显示找到的23个结果中的1-10个。
1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 5, 4, 6, 3, 6, 4, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 6, 5, 8, 4, 9, 6, 6, 3, 8, 6, 8, 4, 6, 4, 4, 2, 5, 4, 6, 3, 6, 4, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 7, 6, 10, 5, 12, 8, 8, 4, 12, 9, 12, 6, 9, 6, 6, 3, 10, 8, 12, 6, 12, 8, 8, 4, 8, 6, 8, 4, 6, 4, 4, 2, 6, 5, 8, 4, 9, 6
评论
n的合成是一个有限的正整数序列与n相加。第k个合成按标准顺序（第k行A066099美元)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得-古斯·怀斯曼2020年4月3日
配方奶粉
对于成分b（1），。。。，b（k），a（n）=产品{i=1}^k b（i）。
一些猜测：
当n>=0时，a（2n+1）=a（n）。
从a（2n）的第一个公式中，我们得到a（4n+2）=2*a（n），a（4n）=2*a（2n）-a（n）。
求和{k=0..2^n-1}a（k）=A001519号（n+1），对于n>=0。
a（2^m*（2^n-1））=m+1，对于n>0，m>=0。（结束）
例子
成分编号11为2,1,1；2*1*1=2，所以a（11）=2。
表格开始：
1
1
2 1
3 2 2 1
4 3 4 2 3 2 2 1
5 4 6 3 6 4 4 2 4 3 4 2 3 2 2 1
按标准顺序排列的第146个组成是（3,3,2），乘积为18，因此a（146）=18-古斯·怀斯曼2020年4月3日
数学
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[Times@@stc[n]，{n，0，100}](*古斯·怀斯曼2020年4月3日*）
1, 2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 16, 24, 36, 48, 54, 72, 96, 120, 32, 48, 72, 96, 108, 144, 192, 240, 162, 216, 288, 360, 384, 480, 600, 720, 64, 96, 144, 192, 216, 288, 384, 480, 324, 432, 576, 720, 768, 960, 1200, 1440, 486, 648, 864, 1080, 1152, 1440, 1800, 2160, 1536, 1920, 2400, 2880, 3000
配方奶粉
猜想：a（n）=2*a（f（n））+Sum_{k=0.floor（log_2（n））-1}a（f（n）+2^k*（1-T（n，k）））对于n>1，a（0）=1，a（1）=2，f（n）=A053645号（n） ，T（n，k）=地板（n/2^k）模块2-米哈伊尔·库尔科夫2019年11月10日
当n>=0时，a（2n+1）=a（n）+a（2n）。
a（2n）=a（n）+a（2n-2^A007814号（n） 对于n>0，a（0）=1。（结束）
猜想：a（2^m*（2n+1））=Sum_{k=0..m+1}二项式（m+1，k）*a（2|k*n）对于m>=0，n>=0且a（0）=1-米哈伊尔·库尔科夫2023年4月24日
数学
表[DivisorSigma[0，#]&@Apply[Times，Map[#1^#2&@@#&，FactorInteger[#]/。{p，e}/；e==1:>{Times@@Prime@Range@PrimePi@p，e}]]&[Times@@Prime@Flatten@Position[#，1]&@Reverse@IntegerDigits[n，2]]，{n，0，71}](*迈克尔·德弗利格2017年3月18日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=my（k=if（n，logint（n，2）），s=1）；触头（i=0，k，s+=比特（n，k-i））\\凯文·莱德2021年1月20日
1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 4, 3, 6, 2, 9, 4, 8, 1, 5, 4, 8, 3, 12, 6, 12, 2, 16, 9, 18, 4, 27, 8, 16, 1, 6, 5, 10, 4, 15, 8, 16, 3, 20, 12, 24, 6, 36, 12, 24, 2, 25, 16, 32, 9, 48, 18, 36, 4, 64, 27, 54, 8, 81, 16, 32, 1, 7, 6, 12, 5, 18, 10, 20, 4, 24, 15, 30, 8, 45, 16, 32, 3
配方奶粉
也可以通过使用适当的置换映射，从为其他枚举计算的每个分区部分的乘积中获得，类似于A125106号:
当n>=0时，a（2n+1）=a（n）。
求和{k=0..2^n-1}a（k）=A000110号（n+1），对于n>=0。
a（（4^n-1）/3）=n！对于n>=0。
a（2^m*（2^n-1））=（m+1）^n对于n>=0，m>=0。（结束）[需要验证]
黄体脂酮素
（方案）
（定义(A243499型n） （让循环（（n n）（i 1）（p 1））（cond（（零？n）p）（偶数？n）（循环（/n 2）（+1 1）p））（其他（循环（/（-n 1）2）i（*p i））））
交叉参考
囊性纤维变性。A125106号,A161511号（给出相应的总和），A227184型,A003963号,A243504型,A006068号,A005940号,2011年1月,A000110号,A007814号,A023416号,A053645号,A329369型（类似复发），A341392飞机.
平方表，由反对偶读取，其中第n+1行的g.f.由：x*R_{n+1}（x）=（1+n*x-1/R_n（x*x ^n个。
+10
17
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 6, 1, 1, 4, 13, 24, 1, 1, 5, 22, 71, 120, 1, 1, 6, 33, 148, 461, 720, 1, 1, 7, 46, 261, 1156, 3447, 5040, 1, 1, 8, 61, 416, 2361, 10192, 29093, 40320, 1, 1, 9, 78, 619, 4256, 23805, 99688, 273343, 362880, 1, 1, 10, 97, 876, 7045, 48096, 263313
配方奶粉
T（n，0）=1，T（0，k）=k！，否则，对于n>=1和k>=1：
T（n，k）=（T（n-1，k+1）-T（n-1，k））/n-Sum_{j=1..k-1}T（n，j）*T（n-1，k-j）。
T（n，k）=（k/n）*[x^k]log（和{m=0..k}（n-1+m）/（n-1）*x ^m）。
R_n（x）=-（n-1）/n） /Sum_{i>=1}（i+n-2）*x^i，n>0-弗拉德塔·乔沃维奇2006年5月6日
第R行的G.f.可以用连分数表示：W（0），其中W（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/（1-x*（k+1+R）/（x*（k+1+R）-1/W（k+1）））-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
对于第n行，n>=1:R（n，x）=（Sum_{k>=0}（n+k）/不*x^k）/（和{k>=0}（n-1+k）/（n-1）*x ^k）。
R（n，x）/（1-n*x*R（n、x））=和{k>=0}（n+k）/不*x ^k。
对于n>=0，R（n，x）满足Riccati方程x^2*d/dx（R（n），x）+n*x*R（n、x）^2-（1+（n-1）*x）*R（n，x）+1=0，其中R（n；0）=1。
应用Stokes 1982发现，对于n>=0，R（n，x）=1/（1-x/（1-（n+1）*x/（1-2*x/。（结束）
例子
表格开始：
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, ...
1, 1, 3, 13, 71, 461, 3447, 29093, 273343, ...
1, 1, 4, 22, 148, 1156, 10192, 99688, 1069168, ...
1, 1, 5, 33, 261, 2361, 23805, 263313, 3161781, ...
1, 1, 6, 46, 416, 4256, 48096, 591536, 7840576, ...
1, 1, 7, 61, 619, 7045, 87955, 1187845, 17192275, ...
1, 1, 8, 78, 876, 10956, 149472, 2195208, 34398288, ...
1, 1, 9, 97, 1193, 16241, 240057, 3804353, 64092553, ...
1, 1, 10, 118, 1576, 23176, 368560, 6262768, 112784896, ...
行由阶乘序列的对数生成：
对数（1+x+2*x^2+6*x^3+24*x^4+…n！*x^n+…）=x+（3/2）*x^2+（13/3）*x|3+（71/4）*x*4+（461/5）*x_5+。。。
（1/2）*对数（1+2*x+6*x^2+…+（n+1）/1!)*x^n+…）=x+（4/2）*x^2+（22/3）*x|3+（148/4）*x*4+（1156/5）*x_5+。。。
（1/3）*对数（1+3*x+12*x^2+60*x^3+…+（n+2）/2!)*x^n+…）=x+（5/2）*x^2+（33/3）*x|3+（261/4）*x*4+（2361/5）*x_5+。。。
第n行的G.f.可用连分数表示：
R_n（x）=1/（1+n*x-（n+1）*x/（1+（n+1。。。
或递归地表示为：R_n（x）=1/（1+n*x-（n+1）*x*R_{n+1}（x））。
MAPLE公司
T:=（n，k）->系数（级数（超几何（[n+1，1]，[]，x）/超几何（[n，1]
#显示为序列
seq（seq（T（n-k，k），k=0..n），n=0..10）；
#显示为方形阵列
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..10）），n=0..10.）#彼得·巴拉2022年7月16日
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=其中[n<0||k<0，0，k==0||k==1，1，n==0，k！，真，（T[n-1，k+1]-T[n-1、k]）/n-和[T[n、j]*T[n-1，k-j]，{j，1，k-1}]]；表[T[n-k，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2018年2月18日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（n<0||k<0，0，if（k==0||k==1，1，if，（n==0，k！，（T（n-1，k+1）-T（n-1
for（n=0，10，for（k=0，10，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）{T（n，k）=如果（n<0|k<0，0，if（k==0，1，if
对于（n=0,10，对于（k=0,10,print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
1, 1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 8, 4, 6, 2, 9, 3, 4, 1, 16, 8, 12, 4, 18, 6, 8, 2, 27, 9, 12, 3, 16, 4, 5, 1, 32, 16, 24, 8, 36, 12, 16, 4, 54, 18, 24, 6, 32, 8, 10, 2, 81, 27, 36, 9, 48, 12, 15, 3, 64, 16, 20, 4, 25, 5, 6, 1, 64, 32, 48, 16, 72, 24, 32, 8, 108, 36, 48, 12, 64, 16, 20, 4, 162, 54, 72, 18, 96, 24, 30, 6, 128
评论
这个序列可以表示为一个二叉树。左边的每个子元素是通过将其父元素乘以（树}中第一个宽度索引的1+{二进制权重）得到的，而右边的每个子对象只是其父元素的克隆：
1
|
...................1...................
2 1
4......../ \........2 3......../ \........1
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
8 4 6 2 9 3 4 1
16 8 12 4 18 6 8 2 27 9 12 3 16 4 5 1
等。
（结束）
FindStat提供此序列和之间的映射序列A000110号从集合[Set partitions]开始（参见Links部分的说明）-米哈伊尔·库尔科夫，2023年5月20日[需要验证]
配方奶粉
当n>=0时，a（2n+1）=a（n）。
a（2^m*（2n+1））=Sum_{k=0..m}二项式（m，k）*a（2|k*n）对于m>=0，n>=0且a（0）=1。
a（n）=a（f（n））+Sum_{k=0.floor（log_2（n））-1}（1-T（n，k））*a（f（n）+2^k*（1-T（n，k）））对于n>1，a（0）=1，a（1）=1，其中f（n）=A053645号（n） 其中T（n，k）=地板（n/2^k）mod 2。（结束）[需要验证]
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，
a（iquo（n，2，'d'））*`如果`（d=1，1，加（i，i=Bits[分割]（n+1）））
结束：
数学
数组[DivisorSigma[0，应用[Times，Map[#1^#2&@@#&，FactorInteger[#1]/。{p，e}/；e==1:>{Times@@Prime@Range@PrimePi@p，e}]]/#2&@@{Times@Prime@Flatten@Position[#，1]&@Reverse@#，（1+Count[#，1'）！}&@IntegerDigits[#，2]&，89，0](*迈克尔·德弗利格2021年2月24日*）
黄体脂酮素
（PARI）
A284005型（n） ={my（k=if（n，logint（n，2）），s=1）；prod（i=0，k，s+=位测试（n，k-i））；}；\\发件人A284005型
1, 2, 7, 27, 114, 523, 2589, 13744, 77821, 467767, 2972432, 19895813, 139824045, 1028804338, 7905124379, 63287544055, 526827208698, 4551453462543, 40740750631417, 377254241891064, 3608700264369193, 35613444194346451, 362161573323083920, 3790824599495473121
评论
至少有一个单元素且单元素中最小元素等于3的n+3分区数。或者，具有至少一个单元素且单元素中最大元素等于n+1的n+3分区数Olivier GERARD，2007年10月29日
超出A005493号（n） 使用特定的两个单独集群的元素设置分区，具有不同的两个单独集群的元素集的编号。-安德烈·戈德（andy.Goder（AT）gmail.com），2007年12月17日
参考文献
Olivier Gérard和Karol A.Penson，集分区统计预算，编制中，截至2011年9月22日尚未出版。
链接
马丁·科恩（Martin Cohn）；埃文，西蒙；小卡尔·门格尔。；菲利普·霍珀（Philip K.Hooper）。；关于一组n个不同对象的分区数阿默尔。数学。《月刊》第69期（1962年），第8期，第782--785页。MR1531841。
马丁·科恩（Martin Cohn）；埃文，西蒙；小卡尔·门格尔。；菲利普·霍珀（Philip K.Hooper）。；关于n个不同对象集的划分数阿默尔。数学。《月刊》第69期（1962年），第8期，第782--785页。MR1531841.[带注释的扫描件]
配方奶粉
例如：exp（exp（x）-1）*（exp（2*x）-exp（x）+1）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年2月11日
G.f.:G（0），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月19日
G.f.：1-G（0），其中G（k）=1-1/（1-k*x-2*x）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月17日
G.f:1-1/x+（1-x）^2/x/（G（0）-x），其中G（k）=1-x*（k+1）/（1-x/G（k+1；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月26日
G.f.:G（0）*（1-1/x），其中G（k）=1-1/（1-x*（k+1））/（1-x/（x-1/G（k+1；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月7日
a（n）~n^2*贝尔（n）/朗伯W（n）^2*（1-2*朗伯W（n）/n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月28日
MAPLE公司
a： =n->加（（-1）^k*二项式（2，k）*组合[贝尔]（n+k），k=0..2）：序列（a（n），n=0..20）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月5日
黄体脂酮素
（Python）
#需要python 3.2或更高版本。否则，请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围（1000）内的_：
….blist=列表（累加（[b]+blist））
….b=blist[-1]
交叉参考
类似复发：A006014号,A090365型,A124758号,A217924型,A243499型,A284005型,A290615型,A329369型,A341392飞机,1947年3月,A347205型,A350309型.
a（n）=n！*[x^n]经验（2*exp（x）-x-2）。三角形的行和A217537型.
+10
12
1, 1, 3, 9, 35, 153, 755, 4105, 24323, 155513, 1064851, 7760745, 59895203, 487397849, 4166564147, 37298443977, 348667014723, 3395240969785, 34365336725715, 360837080222761, 3923531021460707, 44108832866004121, 511948390801374835, 6126363766802713481
评论
A087981号（n） =和{k=0..n}（-1）^k*s（n+1，k+1）*a（k）；
|A000023号（n） |=|Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*s（n，k）*a（k）|
其中s（n，k）是第一类无符号斯特林数。
a（n）是{1,2，…，n}的不等集划分数，其中两个块被认为是等价的，而其中一个块可以通过交替（偶数）置换从另一个块中获得-杰弗里·克雷策2013年3月17日
配方奶粉
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x*k-x/（1-2*x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月6日
例如：exp（2*exp（x）-x-2）-杰弗里·克雷策2013年3月17日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-（k+1）*x-2*（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月3日
G.f.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）/（2*x^2*（k+1）-（1-x-x*k）*（1-2*x-x*k）/T（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月19日
a（n）=和{k=0..n}和{j=0..k}二项式（n，k-j）*2^j*（-1）^（k-j）*斯特林2（n-k+j，j）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月28日
a（n）=exp（-2）*Sum_{k>=0}2^k*（k-1）^n/k-伊利亚·古特科夫斯基2020年6月27日
a（n）~2*n^（n-1）*exp（n/LambertW（n/2）-n-2）/（sqrt（1+LambertW（n1/2））*LambertW（n/2，n-1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月26日
例子
a（3）=9，因为我们有：{1,2,3}；{1,3,2}; {1}{2,3}; {1}{3,2}; {2}{1,3}; {2}{3,1}; {3}{1,2}; {3}{2,1}; {1}{2}{3}. -杰弗里·克雷策2013年3月17日
MAPLE公司
egf:=exp（2*exp（x）-x-2）：ser:=系列（egf，x，25）：
序列（n！*系数（ser，x，n），n=0..23）#彼得·卢什尼2024年4月22日
数学
nn=23；范围[0，nn]！系数列表[Series[Exp[2 Exp[x]-x-2]，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2013年3月17日*）
nmax=25；系数列表[级数[1/（1-x+连续分数k[-2*k*x^2，1-（k+1）*x，{k，1，nmax}]），{x，0，nmaxneneneep]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月25日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
return[为范围（n）中的n添加（T行（n））]
（最大值）
a（n）：=总和（总和（二项式（n，k-j）*2^j*（-1）^（k-j）*斯特林2（n-k+j，j），j，0，k），k，0，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月28日*/
按行读取的三角形：T（n，k）是｛1,2，…，k+n｝的置换数，其具有超越集｛1,2，…，k｝（k=0的空集），0<=k<=n-1。
+10
10
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 7, 1, 1, 15, 31, 15, 1, 1, 31, 115, 115, 31, 1, 1, 63, 391, 675, 391, 63, 1, 1, 127, 1267, 3451, 3451, 1267, 127, 1, 1, 255, 3991, 16275, 25231, 16275, 3991, 255, 1, 1, 511, 12355, 72955, 164731, 164731, 72955, 12355, 511, 1
评论
置换p在S_n中的例外集是指数i的集合，使得p（i）>i。
此数组还源于以下问题{0,1}-矩阵。反对偶读取的对称数组：A（n，k）（n>=1，k>=0）=满足两个条件的0和1的n×k矩阵的个数：（i）没有列完全为0；（ii）没有0同时在其上方有一个1，在其左侧有另一个1。
等价地（参见Steingriímsson-Williams参考）A（n，k）是{1，…，n+k}上p_1>=1。。。，p_n>=n，p_{n+1}<n+1，。。。，p_{n+k}<n+k。然后A（n，k）=A（k+1，n-1），对于n>=1和k>=0。
例如，满足（i）和（ii）的七个2X2矩阵是
00 01 10 10 11 11 11
11 11 01 11 00 01 11
满足另一个定义的{1,2,3,4}的七个排列是
1423, 2413, 3412, 3421, 4213, 4312, 4321.
（结束）
链接
阿文德·艾耶（Arvind Ayyer）、丹尼尔·哈思科克（Daniel Hathcock）和普拉萨德·特塔利（Prasad Tetali），可顶置换、例外和非循环定向，arXiv:2010.11236[math.CO]，2020年。提到这个序列。
Arvind Ayyer和Beáta Bényi，用额外的芯片进行排列，arXiv:2104.13654[math.CO]，2021年4月。（见表1。）
Beáta Bényi和Peter Hajnal，多贝努利族的组合性质，arXiv预印本arXiv:1602.08684[math.CO]，2016。参见C_{n，k}。
贝塔·贝尼（Beáta Bényi）和马蒂厄·约苏阿特·维格斯（Matthieu Josuat-Vergès），Genocchi数恒等式的组合证明，arXiv:2010.10060[math.CO]，2020年。
E.Clark和R.Ehrenborg，极值超越统计量的显式表达式《欧洲组合数学杂志》，31，2010，270-279（定理3.1）。
贝瑞妮斯·德尔克罗伊克斯·奥格、弗洛伦特·希弗特、帕特西·拉博德·祖比埃塔、珍妮·克里斯托普斯·阿瓦尔和阿德里安·布西科，无歧义树：新结果和推广（完整版），arXiv:2103.07294[cs.DM]，2021（提案1.8）。
R.Ehrenborg和E.Steinglimsson，置换的例外集，应用进展。数学。，24284-2992000（提案6.5）。
艾纳·斯坦格利姆森和劳伦·威廉姆斯，排列表和排列模式《组合理论杂志》，A 114（2007），211-234。
Julius Worpitzky，Studienüber die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen，《数学杂志》。94:203-232, 1883.
配方奶粉
T（n，k）=和{i=1..k+1}（-1）^（k+1-i）*i*i^（n-1-k）*箍筋2（k+1，i）（0<=k<=n-1）。
通用公式：A（x，y）=x*y*和{n>=1}n！*x^n*产品_{k=1..n}（1+y+k*x*y）/（1+（1+y）*k*x+k^2*x^2*y）-保罗·D·汉纳2013年2月1日
例如：log（1/（1-（exp（x）-1）*（exp，y）-1））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年4月17日
设W（n，k）=k*Stirling2（n+1，k+1）表示Worpitzky数，然后A（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*W（k，j）*（j+1）^-彼得·卢什尼2018年3月14日
假设Ayyer和Bényi称之为“C型poly-Bernoulli数”的数组缺少第一行（1,0,0，…）。那么T（n，k）=p_{n}（k），其中p_{n}（x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*（k+1）^x*Sum__{j=0..n}E1（n，j）*二项式（n-j，n-k）和E1（n，k）是一阶欧拉数。这反映了Worpitzky对伯努利数的方法。这个公式也可以写成：T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*（j+1）^n*A028246号（k+1，j+1）-彼得·卢什尼，2021年4月29日
例子
T（4,2）=7，因为3412、4312、2413、2314、2431、3421和4321是{1,2,3,4}与excedance集{1,2}的唯一置换。
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 7, 7, 1;
1, 15, 31, 15, 1;
1, 31, 115, 115, 31, 1;
1, 63, 391, 675, 391, 63, 1;
1, 127, 1267, 3451, 3451, 1267, 127, 1;
1, 255, 3991, 16275, 25231, 16275, 3991, 255, 1;
...
格式为方形数组a（n，k），0<=k<=n：
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ... [A000225号]
1, 7, 31, 115, 391, 1267, 3991, 12355, ... [A091344号]
1, 15, 115, 675, 3451, 16275, 72955, 316275, ... [A091347号]
1, 31, 391, 3451, 25231, 164731, 999391, 5767051, ... [A091348号]
1, 63, 1267, 16275, 164731, 1441923, 11467387, 85314915, ...
1, 127, 3991, 72955, 999391, 11467387, 116914351, 1096832395, ...
MAPLE公司
与（组合）：T:=proc（n，k）如果k<n，则加上（-1）^（k+1-i）*阶乘（i）*i^（n-1-k）*stirling2（k+1，i），i=1..k+1），否则0 end if end proc：对于n到10 do seq（T（n，k），k=0..n-1）end do；#以三角形形式生成序列
#或者作为方形阵列：
A:=（n，k）->加（（-1）^（k-j）*j*箍筋2（k+1，j+1）*（j+1）^（n+1），j=0..k）；
seq（打印（seq（A（n，k），k=0..7）），n=0..6）#彼得·卢什尼2018年3月14日
#使用Arakawa和Kaneko给出的指数生成函数：
gf：=多对数（-t，1-exp（-x））/（exp（x）-1）：
ser:=系列（gf，x，12）：c:=n->n*系数（ser，x，n）：
seq（lprint（seq（subs（t=k，c（n）），n=0..8）），k=0..8）#彼得·卢什尼2021年4月29日
#使用递归关系：
A:=proc（n，k）选项记忆；局部j；如果n=0，则返回k^n-fi；
加法（二项式（k+1，j+1）*A（n-1，k-j），j=0..k）结束：
对于从0到7的n，进行lprint（seq（A（n，k），k=0..8））od#彼得·卢什尼2024年4月19日
数学
T[n_，k_]：=总和[（-1）^（k+1-i）*i！*i^（n-1-k）*StirlingS2[k+1，i]，{i，1，k+1}]；
表[T[n，k]，{n，1，10}，{k，0，n-1}]//压扁(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年11月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=polcoeff（x*y*和（m=0，n，m！*x^m*积（k=1，m，（1+y+k*x*y）/（1+（1+y）*k*x+k^2*x^2*y+x*O（x^n））），n，x），k，y）}\\保罗·D·汉纳2013年2月1日
对于（n=1,10，对于（k=1，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）tabl（nn）={默认值（序列精度，nn+1）；pol=log（1/（1-（exp（x）-1）*\\米歇尔·马库斯2015年4月17日
交叉参考
囊性纤维变性。A000225号,A028246号,A091344号,A091347号,A091348号,A092552号,A136127号,A152884号,A255192型,A329369型,A371761.
扩展
定义已更正。2010年2月17日，Karel Casteels（kcastel（AT）sfu.ca）将“T（n，k）is the number of permutations of{1,2，…，n}…”更改为“T
a（2n+1）=a（n）对于n>=0，a（2n）=a^A007814号（n） ），其中a（0）＝1。
+10
8
1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 6, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 9, 5, 7, 2, 10, 6, 9, 3, 10, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 12, 7, 10, 3, 14, 9, 14, 5, 16, 7, 9, 2, 15, 10, 16, 6, 19, 9, 12, 3, 20, 10, 14, 4, 15, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 15, 9, 13, 4, 18, 12, 19, 7, 22, 10, 13
评论
散点可能被称为“刮风天的柏树林”-安蒂·卡图恩2021年11月30日
配方奶粉
对于n＞＝0，a（2n+1）＝a（n）。
求和{k=0..2^n-1}a（k）=A000108号（n+1），对于n>=0。
a（2^m*（2^n-1））=二项式（n+m，n），对于n>=0，m>=0。
一般化：
b（2n+1，p，q）=b（n，p，q）对于n>=0。
b（2n，p，q）=p*b（n，p、q）+q*b（n-2^A007814号（n） ，p，q）=n>0，b（0，p，q）=1。
和{k=0..2^n-1}b（k，2，1）=A006318号（n） 对于n>=0。
和{k=0..2^n-1}b（k，2，2）=A115197年（n） 对于n>=0。
和{k=0..2^n-1}b（k，3，1）=A108524号（n+1），对于n>=0。
和{k=0..2^n-1}b（k，3，3）=A116867号（n） 对于n>=0。
b（（4^n-1）/3，p，q）是广义加泰罗尼亚数C（p，q；n）。
猜想：C（p，q；n）=和{k=0..n-1}p^k*q^（n-k-1）和{j=0..k}q^j*A009766号对于n>1且C（p，q；0）=C（p、q；1）=1的情况，为（n-2，j）。
数学
a[0]=1；a[n_]：=a[n]=如果[OddQ[n]，a[（n-1）/2]，a[n/2]+a[n/2-2^整数指数[n/2，2]]；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年9月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n==0，1，if（n%2，a（n\2），a（n/2）+a（n/2-2^估值（n/2，2））\\米歇尔·马库斯2021年9月9日
在此序列的二进制变换的INVERT变换下左移1位。
+10
7
1, 1, 3, 11, 47, 225, 1177, 6625, 39723, 251939, 1681535, 11764185, 86002177, 655305697, 5193232611, 42726002123, 364338045647, 3215471252769, 29331858429241, 276224445794785, 2682395337435723, 26832698102762435, 276221586866499839, 2923468922184615897
评论
a（n）似乎是不可分解排列的数目(A003319号)避免虚线图案32-41和41-32的[n+1]-大卫·卡伦2014年8月27日
这是真的：非空置换可以避免32-41和41-32，当且仅当它的所有分量都这样做时。所以，如果A（x）表示不可分解的g.f{32-41,41-32}-避免，则F（x）：=1/（1-A（x））是所有的g.F{32-41,41-32}-避免。发件人A074664号，F（x）=1/x（1-1/B（x）），其中B（x）是贝尔数的o.g.F。求解A（x）-大卫·卡伦2017年7月21日
配方奶粉
G.f.:A（x）满足A（x）=1/（1-A（x/（1-x））*x/（1-x））。
G.f.：1/（1-x/（1-2x/（1-×/（1-3x/-保罗·巴里2010年2月25日
连续分数：
G.f.：1-x/（G（0）+x）；G（k）=x-1+x*k+x*（x-1+x*k）/G（k+1）。
通用公式：1/x-1/2+（x^2-4）/（4*U（0）-2*x^2+8。
通用系数：1/x+1/（U（0）-1），其中U（k）=-x*k+1-x-x^2*（k+1）/U（k+1。
通用公式：（1-U（0））/x-1，其中U（k）=1-x*（k+2）-x^2*（k+1）/U（k+1。
G.f.：（1-U（0））/x，其中U（k）=1-x*（k+1）/（1-x/U（k+1。
G.f.：1/x+1/（G（0）-1），其中G（k）=1-x/（1-x*（2*k+1）/（1-x/（1-x*（2*k+2）/G（k+1）））。
G.f.：1/x+1/（G（0）-1），其中G（k）=1-x/（1-x*（k+1）/G（k+1。
G.f.：（1-Q（0））/x，其中Q（k）=1+x/（x*k-1）/Q（k+1）。
G.f.：1/x-1/x/Q（0），其中Q（k）=1+x/（1-x+x*（k+1）/（x-1/Q（k+1）））。
（结束）
猜想：a（n）=b（2^（n-1）-1）对于n>0，a（0）=1，其中b（n）=b（（n-2^f（n））/2）+b（floor（（2n-2^f（n）/2））+b(A025480号（n-1））对于n>0，b（0）=1，其中f（n）=A007814号（n） -米哈伊尔·库尔科夫2022年1月11日
MAPLE公司
bintr:=proc（p）proc（n）add（p（k）*二项式（n，k），k=0..n）end-end：
invtr:=proc（p）局部b；
b： =proc（n）选项记忆；局部i；
`如果`（n<1，1，加上（b（n-i）*p（i-1），i=1..n+1））
结束；
结束：
b： =库存（bintr（a））：
a： =n->`如果`（n<0，0，b（n-1））：
数学
a[n]：=模[{a，B}，a=1+x；对于[k=1，k<=n，k++，B=（a/.x->x/（1-x））/（1-x）+O[x]^n//正规；A=1+x*A*B]；级数系数[A，{x，0，n}]]；表[a[n]，｛n，0，23｝](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2016年10月23日，改编自PARI*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=1+x+x*O（x^n）；对于（k=1，n，B=子集（a，x，x/（1-x））/（1-x）+x*0（x^n）；a=1+x*a*B）；波尔科夫（a，n，x））}
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