搜索: a046522-编号:a0465二十二
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A000005号
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| d(n)(也称为τ(n)或σ0(n)),n的除数。 (原名M0246 N0086)
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+10 4781
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e(p),那么d(n)=乘积(e(p)+1)。更一般地说,对于k>0,sigma_k(n)=Product_p((p^((e(p)+1)*k))-1)/(p^k-1)是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y,1<=x<=n,1<=y<=n的方法的数量。有关x*y=n的无序解决方案的数量,请参阅A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊,2003年4月16日
也等于n的分区数p,这样所有部分都具有相同的基数,即max(p)=min(p)-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n,这是将n划分为连续整数的次数。证明:对于n=1,明显正确。对于n=2k+1,k>=1,将每个(必然是奇数)除数映射到这样的分区,如下所示:对于1和n,分别映射k+(k+1)和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt(n),映射(n/d-(d-1)/2)+…+(n/d-1)+(n/d)+(n/d+1)+…+(n/d+(d-1)/2){也就是说,n/d加上(d-1)/2对,每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt(n),map((d-1)/2-(n/d-1))+…+((d-1)/2-1)+(d-1((d+1)/2+(n/d-1)){即,n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区都必须是上述形式之一,因此一对一的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
等于三角形的行和A159934号,相当于通过卷积生成a(n)A000005号以1开头;(1,1,2,2,3,2,…)的INVERTi变换A000005号, (A159933号): (1, 1,-1, 0, -1, 2, ...). 示例:a(6)=4=(1,1,2,2,3,2)点(2,-1,0,-1,1,1)=(2,-1,0,-2,3,2)=4-加里·亚当森2009年4月26日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau(k)>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a(n)也是2*n划分为相等部分的数量,减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k(n)=log d(n)*log log n/(log 2*log n),则lim-sup k(nA280235型)每一个n(尼古拉斯和罗宾,1983年)。
存在无穷多个n,使得d(n)=d(n+1)(Heath-Brown,1984)。此类整数n<=x的数量至少为c*x/(log-log x)^3(Hildebrand,1987),但最多为O(x/sqrt(log-log x))(Erdős,Carl Pomerance和sárközy,1987)。
(结束)
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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E.C.Titchmarsh,《函数理论》,牛津,1938年,第160页。
T.Tao,《彭加莱的遗产》,第一部分,Amer。数学。Soc.,2009年,d(n)的上限见第31ff页。
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链接
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保罗·埃尔德斯(Paul Erdős)、卡尔·波梅兰斯(Carl Pomerance)和安德烈斯·萨尔科齐(András sárközy),关于某些算术函数的局部重复值,程序。阿默尔。数学。Soc.101(1987),1-7。
C.R.Fletcher,小阶环,数学。加兹。第64卷,第13页,1980年。
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小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
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王正兵、罗伯特·福克金和万·福克金,分区与除数的关系,美国数学。《月刊》,第102期(1995年4月),第4期,第345-347页。
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配方奶粉
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如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a(n)=(z+1)*(y+1)*。。。
a(n)=2当n是素数时。
通用公式:求和{n>=1}a(n)x^n=求和{k>0}x^k/(1-x^k)。这通常称为兰伯特系列(见克诺普,蒂奇马什)。
a(n)=和{k=1..n}f(k,n)其中f(k、n)=1,如果k除以n,则为0(Mobius变换A000012号). 等价地,f(k,n)=(1/k)*Sum_{l=1..k}z(k,l)^n,其中z(k,l)是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.:求和{k>0}((-1)^(k+1)*x^(k*(k+1)/2)/((1-x^k)*Product_{i=1..k}(1-x ^i))-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a(n)=n-Sum_{k=1..n}(天花板(n/k)-地板(n/k))-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式:和{k>0}x^(k^2)*(1+x^k)/(1-x^k)。Dirichlet g.f.:zeta(s)^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a(n)/(n^n)=和{n>0,m>0}1/(n*m)-杰拉尔德·麦加维2007年12月15日
对数g.f.:求和{n>=1}a(n)/n*x^n=-log(乘积{n>=1}(1-x^n)^(1/n))-乔格·阿恩特2008年5月3日
a(n)=总和{k=1..n}(楼层(n/k)-楼层(n-1)/k))-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1,a(n)=2+和{k=2..n-1}层((cos(Pi*n/k))^2)。和floor((cos(Pi*n/k))^2)=floor(1/4*e^(-(2*i*Pi*n)/k)+1/4*e*((2*i*Pi*n/k)+1/2)-埃里克·德斯比亚,2010年3月9日,2011年4月16日更正
a(n)=1+总和{k=1..n}(楼层(2^n/(2^k-1))mod 2),针对每个n.Fabio Civolani(civox(AT)tiscali.it),2010年3月12日
(Sum_{d|n}a(d))^2=Sum_}d|n{a(d,d)^3(J.Liouville)。
a(n)=σ_0(n)=1+求和{m>=2}求和{r>=1}(1/m^(r+1))*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^(r+1)-1}e^(2*k*Pi*i*(n+(m-j)*m^r)/m^(r+1))-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a(n)*q^n=(log(1-q)+psi_q(1))/log(q),其中psi_q(z)是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/(1-x^k)得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.:求和{n>=1}求和{d|n}(-log(1-x^(n/d))^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a(n)=Sum_{m=1.n}积分_{x=0..2*Pi}r^(m-n)(cos((m-n)*x)-r^m cos(n*x))/(1+r^(2*m)-2r^m cos(m*x))dx,0<r<1为自由参数。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/(1-x^k)的残数之和得到的-基里卡米(Seiichi Kirikami)2015年10月22日
一般公式:2*x/(1-x)-和{k>0}x^k*(1-2*x^k)/(1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a(n)=和{k=1..n}1/phi(n/gcd(n,k))-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a(k*n)=a(n)*(f(k,n)+2)/(f(k,n)+1),其中f(k、n)是k除以n的最高幂的指数,k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a(n)=(1/n)*求和{k=1..n}σ(gcd(n,k)),其中σ(n)=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}φ(gcd(n,k))*sigma(n/gcd(n,k))/phi(n/gccd(n、k))。(结束)
a(n)=和{j=1..n}和{k=1..j}(1/j)*cos(2*k*n*Pi/j);
a(n)=求和{j=1..n}求和{k=1..j}(1/j)*e^(2*k*n*Pi*i/j),其中i^2=-1。(结束)
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
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枫木
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带有(数字理论):A000005号:=τ;[seq(τ(n),n=1..100)];
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数学
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系数列表[系列[(Log[1-q]+QPolyGamma[1,q])/(q Log[q]),{q,0,100}],q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*)
a[n_]:=系列系数[(QPolyGamma[1,q]+Log[1-q])/Log[q],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*)
a[n]:=级数系数[q/(1-q)^2 q超几何PFQ[{q,q},{q^2,q^2},q,q^2],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*)
a[n_]:=级数系数[q/(1-q)q超几何PFQ[{q,q},{q^2},q,q],{q,0,绝对值@n}](*Mats Granvik公司2015年4月15日*)
具有[{M=500},系数列表[Series[(2x)/(1-x)-Sum[x^k(1-2x^k)/(*马穆卡·吉卜拉泽,2018年8月31日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n==0,0,numdiv(n))}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
(PARI){a(n)=n=abs(n);如果(n<1,0,方向(p=2,n,1/(1-X)^2)[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(sum(m=1,n+1,sumdiv(m,d,(-log(1-x^(m/d)+x*O(x^n))^d/d!)),n)}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
(岩浆)[1..100]]中的[NumberOfDivisors(n):n;//谢尔盖·哈勒(Sergei(AT)Sergei-Haller.de),2006年12月21日
(MuPAD)编号::tau(n)$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
(Sage)[范围(1105)内n的σ(n,0)]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
(哈斯克尔)
除数1=[1]
除数n=(1:过滤器((==0))。雷姆)
[2..n`div`2])++[n]
a=长度。约数
(哈斯克尔)
a000005=产品。地图(+1)。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
(Python)
从sympy导入divisor_count
对于范围(1,20)中的n:print(divisor_count(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
(GAP)列表([1..150],n->Tau(n))#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
(朱莉娅)
函数tau(n)
i=2;数量=1
而i*i<=n
如果rem(n,i)==0
e=0
而rem(n,i)==0
e+=1
n=div(n,i)
结束
数字*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1?数字+数字:数字
结束
println([τ(n)代表1:104中的n])#彼得·卢什尼2023年9月3日
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作者
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经核准的
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3, 5, 6, 10, 11, 12, 17, 22, 29, 34, 35, 41, 44, 51, 58, 59, 60, 65, 70, 71, 72, 82, 84, 87, 91, 92, 96, 101, 102, 107, 111, 115, 118, 119, 125, 128, 129, 130, 137, 141, 142, 147, 149, 155, 174, 179, 182, 183, 191, 197, 201, 202, 205, 209, 213, 214, 215, 217, 222
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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序列不包含完美正方形。事实上,设a(m)=k^2。则d(k^2)+d(k*2))=d(k|2)。注意,d(k^2)是奇数。另一方面,这是众所周知的(A046522美元)d(k^2)<2*k。因此,(k+1)^2-k^2>d(k*2)。因此,k^2<k^2+d(k^2)<(k+1)^2和k^2+d(k ^2)不能是完美的正方形。所以,k^2+d(k^2)是偶数,我们有一个矛盾-弗拉基米尔·舍维列夫2017年2月10日
如果p是素数,t+1是奇数素数,那么p^t不在序列中。事实上,如果d(p^t+t+1)=t+1,那么p^t+t+1=q^t,其中q是质数>p(如果p^t+1=说q^l*r^m,那么(l+1)*(m+1)=t+1,这在条件下是不可能的)。但是q>=p+2和p^t+t+1>=p^t+2*t*p^(t-1)或t+1>=2*t*p ^(t-1),它通常只有解t=1;然而,根据条件t>=2-弗拉基米尔·舍维列夫2017年2月18日
如果奇数k在这个序列中,那么2k也是-查理·内德,2019年1月14日
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链接
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例子
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枫木
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使用(数字理论):a:=proc(n)如果tau(n+tau(n))=tau(n),则n结束如果结束proc:seq(a(n),n=1。。230); #Emeric Deutsch公司2010年4月8日
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数学
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选择[Range@224,Function[n,DivisorSigma[0,n+#]==#&@DivisorSigma[0,n]](*迈克尔·德弗利格2015年9月27日*)
位置[#,0][[All,1]]&@Table[DivisorSigma[0,n+DivisorSigma[0,n]]-DivisorSigma[0,n],{n,222}](*迈克尔·德弗利格2017年5月21日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)是(n)=numdiv(n+n=numdov(n))==n\\M.F.哈斯勒2015年9月27日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A336760型
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| a(0)=0;对于n>0,a(n)=a(n-1)-tau(n)如果非负且不在序列中,否则a(n。 |
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+10 8
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0, 1, 3, 5, 2, 4, 8, 6, 10, 7, 11, 9, 15, 13, 17, 21, 16, 14, 20, 18, 12, 16, 20, 22, 30, 27, 23, 19, 25, 27, 35, 33, 39, 43, 47, 51, 42, 40, 36, 32, 24, 26, 34, 36, 42, 48, 44, 46, 56, 53, 59, 55, 49, 51, 59, 63, 71, 67, 71, 69, 57, 59, 63, 69, 62, 58, 50, 52, 58, 54, 62, 60, 72, 70, 66, 72
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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对于前1000万个术语,未出现的最小值为28。数据表明,当n趋于无穷大时,a(n)/n接近1。Asτ(n)<=2*sqrt(n)(参见A046522号),这意味着28个和其他未访问的小值将永远不会被访问。
在同一范围内,最大值为a(9998226)=10987569,2202001术语重复以前访问过的值,第一次出现时为a(21)=a(16)=16。连续递增项的最长运行时间为30,从a(1115610)=1217112开始,而连续递减项的最短运行时间为534,从a的(9960335)=10946233开始。
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链接
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例子
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a(2)=3。由于2有两个除数,a(2)=a(1)+2=1+2=3。
a(4)=2。因为4有三个除数,而2之前没有被访问过,并且是非负的,所以a(4)=a(3)-3=5-3=2。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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3、6、7、13、14、19、20、24、26、27、32、37、38、40、43、54、57、60、63、67、69、72、74、77、79、84、85、86、87、88、97、103、108、109、111、114、115、125、126、127、132、133、134、136、138、154、158、163、170、174、177、193、194、200、201、204、205、206、209
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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序列中没有完美的正方形。的确,让a(m)=k^2表示某个m。然后,根据定义,d(k^2+2*d(k|2))=d(k*2)。注意,d(k^2)是奇数。另一方面,它是已知的(参见。A046522号)d(k^2)<2*k。因此(k+2)^2-k^2=4*k+4>2*d(k*2)。因此k^2<k^2+2*d(k^2)<(k+2)^2。显然,由于k^2+2*d(k^2)不能是(k+1)^2,那么k^2+2*d(k ^2)就不能是正方形。因此,d(k^2+2*d(k*2))是偶数,这是一个矛盾。
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链接
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数学
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选择[Range@210,Function[d,Divisor Sigma[0,#+2 d]==d]@Divisor西格玛[0,#]&](*迈克尔·德弗利格2017年2月13日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)是(n)=my(d=numdiv(n));d==numdiv(n+2*d)\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月14日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 21, 22, 23, 26, 27, 30, 31, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 45, 46, 47, 50, 53, 54, 57, 60, 61, 62, 65, 67, 72, 73, 74, 78, 82, 83, 90, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 103, 104, 106, 107, 111, 114, 120, 122, 128, 129, 130, 131, 133, 134, 143
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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序列中没有完美的正方形。的确,让a(m)=k^2表示某个m。然后,根据定义,d(k^2+3*d(k|2))=d(k*2)。注意,d(k^2)是奇数。另一方面,它是已知的(参见。A046522号)d(k^2)<2*k。因此(k+3)^2-k^2=6*k+1>3*d(k*2)。因此k^2<k^2+3*d(k^2)<(k+3)^2。注意,显然,k^2+3*d(k^2)不能是(k+2)^2。我们还要证明k^2+3*d(k^2)不能是(k+1)^2,或者等价地,3*d(k ^2)不等于2*k+1。的确,让3*d(k^2)=2*k+1。对于一些素数p,让p^a||k(即p^a| k,但p^(a+1)!|k) ,a>0,所以2*k+1==1(mod p)。但现在我们有3*p^(a+1)|3*d(k^2),因此有3*p ^(a+1)|2*k+1,所以2*k+1==0(mod p)。矛盾。因此,我们得出结论,k^2+3*d(k^2)不能是正方形。因此,d(k^2+3*d(k*2))是偶数,这是一个矛盾。
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链接
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黄体脂酮素
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(PARI)isok(n)=numdiv(n)==numdiv\\米歇尔·马库斯2017年2月14日
(PARI)是(n)=my(d=numdiv(n));d==numdiv(n+3*d)\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月14日
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非n
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