搜索： a283641-编号：a283651
|
| |
|
|
A001045美元
|
| 雅可比数列（或雅可比数）：a（n）=a（n-1）+2*a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=1；同时a（n）=最接近2^n/3的整数。
（原名M2482 N0983）
|
|
+10
708
|
|
|
|
0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, 178956971, 357913941, 715827883, 1431655765, 2863311531, 5726623061, 11453246123
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
高德纳指出（个人交流）雅各布斯塔尔可能从未见过这个序列的实际价值。然而，霍拉达姆使用了“雅各布斯塔尔序列”这个名字，这样一个重要的序列需要一个名称，而且有一条法律规定，某物的名称永远不应该是其发现者的名称-N.J.A.斯隆2020年12月26日
用1 X 1和2 X 2方块平铺3 X（n-1）矩形的方法数。
此外，使用1X2多米诺骨牌和2X2正方形平铺2X（n-1）矩形的方法有很多-托比·戈特弗里德2008年11月2日
此外，a（n）计数以下四个事物中的每一个：具有3阶自同构群的3阶n元拟群，具有6阶自同构群的3阶n元拟群，具有2阶自同构群的3阶（n-1）元拟群和3阶（n-2）元拟群。参见McKay-Wanless（2008）的论文-伊恩·万利斯2008年4月28日
还有用n+2圈系领带的方法。因此，三个转弯构成“东方”，四个转弯构成“四个在手”，五个转弯有三种方法：“开尔文”、“尼基”和“普拉特”。该公式还来源于具有边条件的三角形网格上的特殊随机行走（见Fink和Mao，1999）arne.ring（AT）报告.de，2001年3月18日
此外，以奇数结尾的n+1的组成数（a（2）=3，因为3、21、111是3中唯一以奇数结束的组成）。此外，以偶数结尾的n+2组合的数量（a（2）=3，因为4、22、112是4中唯一以偶数结束的组合）-Emeric Deutsch公司2001年5月8日
出现在通过合并插入进行排序的研究和GCD计算方法的分析中-参见Knuth参考。
用四面体（C_4到K_4）替换单位正方形后，2Xn网格的完美匹配数：
哦。。。
| \/ | \/ | \/ |
| /\ | /\ | /\ |
此外，还将交替求和1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64+中约化分数的分子-约书亚·祖克，2002年2月7日
此外，如果A（n）、B（n）和C（n）是ABC的n正三角形的角，则A（1）=Pi-2*A，A（nAntreas P.Hatzipolakis（xpolakis（AT）otenet.gr），2002年6月5日
另外，两个字母s和t中长度为n+1的单词的数量通过使用关系sss=1、tt=1和stst=1减少为恒等式1。生成器s和t以及三个声明的关系生成组S3-约翰·莱曼2002年6月14日
将尺寸为n的塔移动到顺时针钉所需的过量顺时针移动（逆时针）为-（-1）^n*（2^n-（-1）*n）/3；a（n）是其未签名版本-沃特·梅森2002年9月1日
注意，3*a（n）+（-1）^n=2^n对于帕斯卡三角形是重要的A007318号它来源于帕斯卡三角形的雅各布斯分解，如1+7+21+35+35+21+7+1=（7+35+1）+（1+35+7）+（21+21）=43+43+42=3a（7）-1；1+8+28+56+70+56+28+8+1=（1+56+28）+（28+56+1）+（8+70+8）=85+85+86=3a（8）+1-保罗·巴里，2003年2月20日
在非相邻形式表示中需要正好n个有符号位的正整数数。
等效地，长度-（n-1）个字母{0，1，2}的单词数，其中没有两个连续的字母是非零的，请参阅示例和fxtbook链接-约尔格·阿恩特2012年11月10日
计算三角形相邻顶点之间的行走次数-保罗·巴里，2003年11月17日
每一个用康威符号写的两手征有理纽结都是一个回文数字序列，不是以1开头或结尾的。例如，对于4<=n<=12，两手性有理结为：2 2，2 1 1 2，4 4，3 1 1 3，2 2 2 2，4 1 1 4，3 11 1 1 1 3、2 3 3 2、2 1 2 2 1 2、2 11 1 1 2、6 6、5 1 5、4 2 2 4、3 3 3、2 4 2、3 2 1 2 1 2 3、3 1 2 2 2 1 1 1 2 2、2 2 2 11 1 2、1 1 2 1 1、2 1 1。对于n=2*k（k=1，2，3，…）的两手征有理节点数，我们得到了序列0，1，1，3，5，11，21，43，85，171，341，683，…-斯拉维克·贾布兰，2003年12月26日
a（n+2）计算由C={0,10,11}的码字组成的总长度为n的二进制序列-保罗·巴里2004年1月23日
没有固定点的排列数避免了231和132。
序列的第n项（n>1）等于非正规4X4Haar矩阵的n次幂的2,2项：[1 1 1 0/1 1-1 0/1 1 0 1/1 0-1]-西蒙·塞韦里尼2004年10月27日
a（n）是所有平坦台阶都出现在1级且高度小于或等于2的Motzkin（n+1）序列的数量。例如，a（4）=5统计UDUFD、UFDUD、UFFFD、UFUDD、UUDFD-大卫·卡伦2004年12月9日
如果（m+n）是奇数，那么3*（a（m）+a（n））总是形式为a^2+2*b^2，其中a和b都等于2的幂；因此，（a（m）+a（n））的每个因子总是a^2+2*b^2形式-马修·范德马斯特2003年7月12日
f_{n+1}中的“0,0”个数，其中f_0=“1”和f_{n+1}=将f_n中的所有“1”s更改为“1,0”而将f.n中的全部“0”s更改成“0,1”而形成的序列冯卓贤（cheokyin_restart（AT）yahoo.com.hk），2006年9月22日
所有素数雅各布斯塔尔数A049883号[n] ={3，5，11，43，683，2731，43691，…}除a（4）=5外，都有质数指数。所有带素数指数的素数Jacobsthal数（除a（4）=5外）都是（2^p+1）/3-Wagstaff素数A000979号[n] ●●●●。素数Jacobsthal数的指数列在A107036号[n] ＝{3，4，5，7，11，13，17，19，23，31，43，61，…}。对于n>1A107036号[无]=A000978号[n] 数字n，使得（2^n+1）/3是素数-亚历山大·阿达姆楚克，2006年10月3日
对应关系：a（n）=b（n）*2^（n-1），其中b（n；b（n）的g.f.是b（x）：=x/（1-（x^1+x^2）/2），因此A（n）中的g.f.A（x）满足A（x，=b（2*x）/2。由于b（n）收敛到极限lim（1-x）*b（x）=1/3*（b（0）+2*b（1））=2/3（对于x-->1），因此a（n）/2^（n-1）也收敛到2/3（另请参见A103770号). -Hieronymus Fischer公司2006年2月4日
反向：地板（log_2（a（n）））=n-2，对于n>=2。此外：log_2（a（n）+a（n-1））=n-1，对于n>=1（另请参见A130249号). 表征：x是雅可比数，当且仅当存在4（=c）的幂，使得x是p（x）=9*x*（x-c）+（c-1）*（2*c+1）的根时（另请参见指示符序列A105348号). -Hieronymus Fischer公司2007年5月17日
这个序列计算（1+x+x^2）^（2^n-1）展开式中的奇数系数，n>=0.-Tewodros Amdeberhan（Tewodros（AT）math.mit.edu），2007年10月18日，2008年1月8日
似乎a（n）也是2^n和2^（n+1）之间的整数数，可以被3整除，没有余数John Fossaceca（John（AT）fossace.net），2009年1月31日
介于2^（n+1）和2^（n+2）之间（包括2^（n+2））的连续可憎（或邪恶）数字对的数量-T.D.诺伊2009年2月5日
对A（n+1）的三维解释是，它给出了用1 X 2 X 2块砖填充2 X 2 X n孔的方法的数量-马丁·格里菲斯2009年3月28日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=-2，A[i,1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n-1）*det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
设R表示2维对称群S_3的不可约表示，S和t分别表示1维的符号和平凡不可约表现。将R^n分解为不可约表示，由R的（n）个副本和s和t的（n-1）个副本组成-安德鲁·鲁宾斯基2010年3月12日
分数：1/88=0.0113636363…或1/9898=0.00010103051121-马克·多尔斯2010年5月18日
从“1”开始=（1，0，2，0，4，0，8，…）的INVERT变换；例如，a（7）=43=（1，1，1、3，5，11，21）点（8，0，4，0，2，0，1）=（8+4+10+21）=43-加里·亚当森，2010年10月28日
设U为单位极限矩阵（参见[Jeffery]）
U=U_（6,2）=
(0 0 1)
(0 2 0)
(2 0 1).
然后a（n+1）=（Trace（U^n））/3，a（n+1）=（（U^n）_{3，3}）/3，a（n）=（（U^n）_{1，3}）/3和a（n）=（（U^（n+1））_{1，1}）/2。（完）
该序列出现在使用迭代删除严格控制策略来建立作为严格控制策略的古诺双寡头问题的最佳响应解决方案中。企业1对企业2的选择数量的最佳响应由q*1=1/2*（a-c-q_2）给出，其中a是保留价格，c是边际成本，q_2是企业2的选定数量。假设q_2在[o，a-c]中，q*_1必须在[o、1/2*（a-c）]中。由于成本是对称的，我们知道q_2在[0，1/2*（a-c）]中。那么我们知道q*_1在[1/4*（a-c），1/2*（a-c）]中。继续这样，我们得到的边界序列（分解a-c）是{1/2，1/4，3/8，5/16，…}；分子是雅各布斯塔尔数-迈克尔·奇里科2011年9月10日
每个自然数由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=2，3*a（n-1）等于n的3色组成数，所有部分都大于或等于2，因此相邻部分没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月26日
这个序列与Collatz问题有关。我们考虑数组T（i，j），其中第i行给出了i的奇偶轨迹，例如对于i=6，无限轨迹是6->3->10->5->16->8->4->2->1->4->1->4->2->1…和T（6，j）=[0，1，0，1，0,0，1…，0,0,1，…]。现在，我们考虑每列的数字“1”的总和。我们得到了第n列的序列a（n）=Sum_{k=1..2^n}T（k，n）=Sam_{k=1..2^n}位数字“1”。因为a（n）+a（n+1）=2^n，那么a（n+1）=第n列2^n个元素中的位数“0”-米歇尔·拉格诺2012年1月11日
3!*a（n-1）显然是完全3-图的邻接矩阵的n次幂的迹，一个对角元素都为零且非对角元素都是一的3X3矩阵。第n次方的非对角元素都等于a（n），而每个对角元素对于偶数次方似乎是a（n。这些与图上闭合路径的长度有关（参见Delfino和Viti的论文）-汤姆·科普兰2012年11月6日
2^n*a（-n）=（-1）^（n-1）*a（n），它将序列扩展到负指数：-5/16, 3/8, -1/4, 1/2, 0, 1, 1, 3, 5, ...
如果将术语a（-1）添加到序列数组中并在后续行中迭代其高阶差分，则与我2008年1月17日的评论中提到的二项式变换有关的“autosequence”属性仍然有效：
0 1/2 1/2 3/2 5/2 11/2 ...
1/2 0 1 1 3 5 ...
-1/2 1 0 2 2 6 ...
3/2 -1 2 0 4 4 ...
-5/2 3 -2 4 0 8 ...
11/2 -5 6 -4 8 0 ...
此数组中的主对角线包含0。（结束）
赋值给三角形T（n，0）=1，T（n+1，1）=n；T（r，c）=T（r-1，c-1）+T（r-2，c-2）+T。则T（n+1，n）-T（n，n）=a（n）-J.M.贝戈2013年5月2日
a（n+1）计算在一个圆圈上n个点上顺时针行走的次数，该圆圈的步长为1和2，在两次完整循环后返回起点，并且不重复任何步骤（USAMO 2013，问题5）-基兰·凯德拉亚，2013年5月11日
在顶行和左列中定义一个无限方阵m×m（n，0）=m（0，n）=a（n），否则定义m（i，j）=m（i、j-1）+m（i-1，j-1），然后定义m（n+1，n+1）=3^（n-1）-J.M.贝戈2013年5月10日
a（n）是将n-1的组成（有序分区）分成一类1和两类2的数量。例如：3的a（4）=5组成是1+1+1、1+2、1+2'、2+1和2'+1-鲍勃·塞尔科2013年6月24日
如果没有0，a（n）/2^n等于n在1和2的随机生成无限序列中作为部分和出现的概率。极限比为2/3-鲍勃·塞尔科2013年7月4日
GL（2,2^（n+1））中Z/2Z X Z/2Z的共轭类数_Jared Warner，2013年8月18日
a（n）是3X3矩阵[1，1，1，1,0，0，1，0，0]的（n-1）次幂的左上项。a（n）是六个3X3矩阵[0，1，0；1，1，1；0，1，0]，[0，1,1；0，1,1；1，1,0]，[0，0，1；1-R.J.马塔尔2014年2月3日
这是由a（n）=k*a（n-1）+t*a（n-2）给出的2阶齐次线性递归族中唯一的整数序列，具有正整数系数k和t，初始值a（0）=0和a（1）=1，当n接近无穷大时，其比值a（n+1）/a（n）收敛到2-费利克斯·P·穆加二世2014年3月14日
sqrt（a（n+1）*a（n-1））->a（n）+3/4如果n是偶数，并且->a-理查德·福伯格2014年6月24日
a（n+1）计算P_3的端点上的闭合行走，其中在中间顶点包含一个循环。a（n-1）计算P_3中间顶点上的闭合行走，该顶点上包含一个循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年11月7日
设P是三角形ABC（边为a、b、c）平面上的一点，重心坐标P=[x:y:z]。P相对于ABC的补码定义为补码（P）=[b*y+c*z:c*z+a*x:a*x+b*y]。
那么，对于n>=1，补码（补码（…（补码P）..））=（n次）=
[2*a（n-1）*a*x+（2*a（n-1）-（-1）^n）*（b*y+c*z）：
2*a（n-1）*b*y+（2*a，n-1）-（-1）^n）*（c*z+a*x）：
2*a（n-1）*c*z+（2*a，n-1）-（-1）^n）*（a*x+b*y）]。（完）
a（n）（n>=2）是Fibonacci立方体Gamma（n-2）的诱导超立方体数。见Klavzar参考第513页。例如：a（5）=11。事实上，斐波那契立方体Gamma（3）是<>-（具有垂边的循环C（4）），超立方体是：5个顶点、5条边和1个正方形-Emeric Deutsch公司2016年4月7日
如果立方体y=a*x^3+b*x^2+c*x+d上的点序列{P_i（x_i，y_i）}具有这样的性质，即段P_ i（x_ i，y_ i）P_i+1（x_i+1，y_i+1）始终与立方体P_i+1[x_i+1,y_i+1]相切，则a（n）=-2^n*a/b*（x_（n+1）-（-1/2）^n*x_1）-迈克尔·布罗津斯基2016年8月1日
对于n>0，a（n）等于长度为n-1的三元字的数量，其中0和1避免了奇数长度的运行-米兰Janjic，2017年1月8日
对于n>0，a（n）等于有限群PSL（2,2^n）作用于投影线的2^n+1点的大小为4的子集上的轨道数-保罗·M·布拉德利2017年1月31日
对于n>1，长度为n-2的单词在字母{1,2,3}上的数目，使得奇数字母后面没有奇数字母-阿蒙德·沙巴尼2017年2月17日
此外，“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从原点到右边缘的十进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化。请参见A283641号. -罗伯特·普莱斯2017年3月12日
还有2X（n-2）king图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
设T（0）是一个三角形，T（1）是T（0。当n>0时，T（n）第一个顶点的重心坐标为[2*a（n-1）/a（n），1，1]。
设S（0）是一个三角形，S（1）是S（0。当n>0时，S（n）第一个顶点的重心坐标为[-a（n+1）/a（n），1，1]。（完）
a（n）也是S_{n+1}中峰集为空的错位数-伊莎贝拉·黄2018年4月1日
对于n>0，gcd（a（n），a（n+1））=1-Kengbo路，2020年7月27日
不允许将n+1的2组分数量与1作为一部分；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
偶数阶2n>2的花snark图的哈密顿路径数为12*a（n-1）-高德纳2020年12月25日
当设置S={1，2，…，2^n}，n>=0时，S的最大子集T具有这样的性质：如果x在T中，那么2*x不在T中。例如，对于n=4，#S=16，a（5）=11，T={1，3，4，5，7，9，11，12，13，15，16}（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1991）-伯纳德·肖特2022年2月14日
a（n）是一个二进制字母表上长度为n的单词的数量，该字母表在字典顺序中的位置是三的倍数的一倍以上。a（3）=3:aaa、abb、bba-阿洛伊斯·海因茨2022年4月13日
霍拉达姆（1988）以德国数学家恩斯特·雅各布斯塔尔（1882-1965）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月2日
定义序列u（n）=（u（n-1）+u（n-2））/u（n-3），其中u（0）=0，u（1）=1，u（2）=u（3）=-1。那么u（4*n）=-1+（-1）^n/a（n+1），u。例如，a（3）=3，u（8）=-2/3，u（9）=5/3，u（10）=u（11）=-1-迈克尔·索莫斯2023年10月24日
此外，a（n）是具有n+1个终端（或半边）的循环（n+1）极点C_{n+1}的（3-色）状态数。
例如，对于n=3，C_4的a（3）=3状态（端子的3-着色）为
a a a a b
a a b b a b（结束）
|
|
|
参考文献
|
Jathan Austin和Lisa Schneider，毕达哥拉斯三重保持序列中的广义斐波那契序列，Fib。Q.，58:1（2020），340-350。
托马斯·芬克（Thomas Fink）和毛勇（Yong Mao），《领带的85种方法》（The 85 ways to tie a tie），第四庄园，伦敦，1999年；第85页，Methoden eine Krawatte zu binden。霍夫曼和坎普，汉堡，1999年。
2001年国际数学奥林匹克竞赛，香港预选赛第16题。
Jablan S.和Sazdanovic R.，《LinKnot:计算机结理论》，世界科学出版社，2007年。见第80页。
Ernst Erich Jacobsthal，Fibonaccische Polynome und Kristeilungsgleichungen，Sitzungsber。柏林数学。格塞尔。17 (1919-1920), 43-57.
Tanya Khovanova，“硬币和逻辑”，第6章，各种娱乐学科的数学：第3卷（2019年），Jennifer Beineke和Jason Rosenhouse编辑，普林斯顿大学出版社，普林斯顿和牛津，第73页。国际标准图书编号：0691182582978-0691182582。
唐纳德·科努特（Donald E.Knuth），《计算机编程艺术》（Art of Computer Programming），第3卷，第。5.3.1，等式13。
托马斯·科西，斐波纳契和卢卡斯数字及其应用，威利，2001年，第98页。
史蒂文·罗曼，《编码与信息理论导论》，施普林格出版社，1996年，41-42页。
P.D.Seymour和D.J.A.Welsh，统计力学不等式的组合应用，数学。程序。外倾角。Phil.Soc.77（1975），485-495。[虽然Daykin等人（1979）声称本文研究了当前序列，但似乎没有明确提及。请注意，（3.1）中对数凸的定义是错误的-N.J.A.斯隆2020年12月26日]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Robert M.Young，《微积分中的漫游》，MAA，1992年，第239页
|
|
|
链接
|
Wieb Bosma，符号位和快速求幂《波尔多公报》，第13卷第1期（2001年），第27-41页。
伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹，非对称数三角形的固有性质，J.国际顺序。，第26卷（2023年），第23.4.8条。
L.Carlitz、R.Scoville和V.E.Hoggatt，Jr。，特殊序列的表示《斐波纳契季刊》10.5（1972），第499-518和550页。
Paula Catarino、Helena Campos和Paulo Vasco。关于Mersenne序列《Annales Mathematicae et Informaticae》，46（2016），第37-53页。
D.E.Daykin、D.J.Kleitman和D.B.West，格的两个子集之间的相交数《组合理论》，A 26（1979），135-156。
卡尔·迪尔彻和拉里·埃里克森，连分式和斯特恩多项式《Ramanujan杂志》（2017年）。见表2。
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger，方形网格上的奇数规则元胞自动机，arXiv:153.04249[math.CO]，2015年。
Darrin D.Frey和James A.Sellers，雅可比数与交替符号矩阵，J.整数序列。，第3卷（2000年），第00.2.3条。
E.M.García-Caballero、S.G.Moreno和M.P.Prophet，嵌套根的新Viète样无限乘积，光纤。Q.，52（2014年第1期），27-31。
J.Goldwasser等人。，帕斯卡菱形中的密度，离散数学。，204 (1999), 231-236.
乔尼·格里菲斯，非直线转换《数学公报》，第99页，第347-352页（2015年）。
Richard K.Guy、Tanya Khovanova和Julian Salazar，康威的次级斐波那契序列，arXiv:1207.5099[math.NT]，2012-2014年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔-神话与数学，Birkhäuser 2013。见第56页。图书网站.
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多元命题的组合数学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
Brian Hopkins、Andrew V.Sills、Thotsaporn“AEK”Thanatipanonda和Hua Wang，作文中的部分和子词模式2015年预印本。
A.F.Horadam，雅各布斯塔尔表示数，四分之一光纤。34, 40-54, 1996.
贾黄和埃尔科·莱顿，几种群胚的结合交换谱，arXiv:2401.15786[math.CO]，2024。见第17页。
Dan Ismailescu、Joehyun Kim、Kelvin Kim和Jeewoo Lee，最大角度平分程序，arXiv:1908.02749[math.MG]，2019年。见第17页。
Milan Janjić，单词和线性递归，J.国际顺序。21（2018），第18.1.4条。
Tanya Khovanova，硬币与逻辑，arXiv:1801.01143[math.HO]，2018年。
Tanya Khovanova和Konstantin Knop，改变重量的硬币，arXiv:1611.09201[math.CO]，2016年。
Peter J.Larcombe、Julius Fergy T.Rabago和Eric J.Fennessey，关于由几何平均标度序列项导出的两个导数序列，《巴勒斯坦数学杂志》（2018）第7（2）卷，397-405。
E.Lemmen、J.van Duivenbode、J.L.Duarte和E.A.Lomonova，使用4开关扩展换流单元的柔性多电平变换器《电力电子新兴和精选课题》，IEEE Journal of，卷：PP，2015年第99期。
B.D.McKay和I.M.Wanless，小型拉丁超立方的人口普查，SIAM J.离散数学。22, (2008) 719-736.
A.Moghaddamfar和H.Tajbakhsh，序列的更多行列式表示《整数序列杂志》，17（2014），#14.5.6。
G.Myerson和A.J.van der Poorten，关于递归序列的几个问题阿默尔。数学。月刊102（1995），第8期，698-705。
D.Panario、M.Sahin和Q.Wang，类斐波那契条件序列族，INTEGERS，2013年第13卷，#A78。
D.Panario、M.Sahin、Q.Wang和W.Webb，一般有条件复发《应用数学与计算》，第243卷，2014年9月15日，第220-231页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Yüksel Soykan，广义斐波那契数：求和公式《数学与计算机科学进展杂志》（2020）第35卷，第1期，第89-104页。
Yüksel Soykan，广义斐波那契数平方和的封闭公式《亚洲高级研究与报告杂志》（2020）第9卷，第1期，23-39，文章编号AJARR.55441。
尤克塞尔·索坎、埃尔坎·塔什·德米尔和伊恩西·奥库穆什，具有广义雅可比数分量的对偶双曲数，Zonguldak Bülent Ecevit大学，（土耳其，2019年）。
Paul K.Stockmeyer，帕斯卡·伦布和隐身构型，arXiv:1504.04404[math.CO]，2015年。
2013年美国数学奥林匹克，问题2（由Sam Vandervelde提出）。
阿卜杜勒穆内·泽基里、法里德·本切里夫和拉希德·布马赫迪，阿波斯托恒等式的推广，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.5.1条。
G.B.M.Zerr，问题64《美国数学月刊》，第3卷，第12期，1896年（第311页）。
|
|
|
公式
|
a（n）=2^（n-1）-a（n-1）。a（n）=2*a（n-1）-（-1）^n=（2^n-（-1））^n）/3。
G.f.:x/（1-x-2*x^2）。
例如：（exp（2*x）-exp（-x））/3。
当n>=1时，a（2*n）=2*a（2xn-1）-1；当n>=0时，a-李海焕2002年10月11日；马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it）于2002年12月4日更正
同时，a（n）是二元斐波那契多项式F（n）（x，y）=x*F马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2002年12月4日
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）*（-1）^（n+k）*3^（k-1）-保罗·巴里2003年4月2日
比率a（n）/2^（n-1）收敛到2/3，1/2后的每个分数是前面两个分数的算术平均值-加里·亚当森2003年7月5日
a（n）=U（n-1，i/（2*sqrt（2）））*-保罗·巴里2003年11月17日
a（n+1）=和{k=0..上限（n/2）}2^k*二项式（n-k，k）-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月6日
a（n）=圆（2^n/3）=（2^n+（-1）^（n-1））/3所以lim{n->无穷}2^n/a（n）=3-杰拉尔德·麦卡维2004年7月21日
a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^k*2^（n-k-1）=和}k=0...n-1}，2^k*（-1）-保罗·巴里2004年7月30日
a（n+1）=Sum_{k=0..n}二项式（k，n-k）*2^（n-k）-保罗·巴里2004年10月7日
a（n）=和{k=0..n-1}W（n-k，k）*（-1）^（n-k）*二项式（2*k，kA004070号. -保罗·巴里2004年12月17日
a（n）=和{k=0..n}k*二项式（n-1，（n-k）/2）*（1+（-1）^（n+k））*楼层（2*k+1）/3）。
a（n+1）=和{k=0..n}k*二项式（n-1，（n-k）/2）*（1+（-1）^（n+k））*(A042965号（k） +0^k）。（完）
a（n+1）=天花板（2^n/3）+地板（2^n/3）=（天花板（2*n/3））^2-（地板（2*n/3））^2。
a（n+1）=和{k=0..n}和{j=0..n{（-1）^（n-j）*二项式（j，k）-保罗·巴里2005年1月26日
设M=[1，1，0；1，0，1；0，1，1]，然后a（n）=Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.net），2005年1月28日
a（n）=和{k=0..floor（n/3）}二项式（n，f（n-1）+3*k）；
a（n）=和{k=0..floor（n/3）}二项式（n，f（n-2）+3*k），其中f（n）=A080425型（n） ●●●●。（完）
a（2*n）=（1/3）*Product_{d|n}分圆（d，4）。
a（2*n+1）=（1/3）*Product_{d|2*n+1}分圆（2*d，2）。（完）
a（n）与嵌套的平方根密切相关；这是2*sin（2^（-n）*Pi/2*a（n））=平方{使用'2'n次，n>=0}。
还有2*cos（2^（-n）*Pi*a（n））=平方（2-sqrt（2-squart（…sqrt））…）{使用'2'n-1次，n>=1}以及
2*sin（2^（-n）*3/2*Pi*a（n））=平方（2+sqrt（2+平方（2+平方（…平方（2）））…）{使用'2'n次，n>=0}和
2*cos（2^（-n）*3*Pi*a（n））=-sqrt（2+sqrt（2+sqrt）…）{使用'2'n-1次，n>=1}。
a（n）=2^（n+1）/Pi*反弧sin（b（n+1。
关于arccos函数有一个类似的公式，即a（n）=2^n/Pi*arccos（b（n）/2）。
对于由c（0）=-2，c（n）=sqrt（2+c（n-1））递归定义的序列c（n），以下公式成立：a（n）=2^n/3*（1-（-1）^n*（1-2/Pi*arcsin（c（n+1）/2）））；a（n）=2^n/3*（1-（-1）^n*（1-1/Pi*弧坐标（-c（n）/2）））。
（完）
a（n）+a（n+5）=11*2^n-保罗·柯茨2008年1月17日
a（n）=和{k=1..n}k（2，k）*a（n-k），其中k（n，k）=k，如果0<=k<=n，则k（n、k）=0。（当使用这样的K系数时，K的几个不同自变量或K的几个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如，斐波那契序列可以使用K系数以多种方式生成。）-托马斯·维德2008年1月13日
a（n）+a（n+2*k+1）=a（2*k+1-保罗·柯茨2008年2月12日
a（n）=2X2矩阵[0,2；1,1]^n中的左下项-加里·亚当森2008年3月2日
a（n）=sqrt（8*a（n-1）*a（n-2）+1）。例如，sqrt（3*5*8+1）=11，sqrt（5*11*8+1Giuseppe Ottonello，2009年6月14日
设p[i]=Fibonacci（i-1），A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=det（a）-米兰Janjic2010年5月8日
在代数上等价于在斐波那契数列中第n项的显式（Binet）公式中用9替换5：斐波那奇数列中的第n项公式为F（n）=（（1+sqrt（5））^n-（1-sqrt。将5替换为9给出了（（1+sqrt（9））^n-（1-sqrt，9）^n）/（2^n*sqrt-杰弗里·古德温2011年5月27日
G.f.:x/（1-x-2*x^2）=G（0）/3；G（k）=1-（（-1）^k）/（2^k-2*x*4^k/（2*x*2^k-（（-1）^k）/G（k+1）））；（连分式3种，3步）。
例如：g（0）/3；G（k）=1-（（-1）^k）/（2^k-2*x*4^k/；（连分式第3类，3步）。（完）
G.f.：Q（0）/3，其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1+1/（2x4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月21日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（2*k+1+2*x）/（x*（2%k+2*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月29日
G.f.：Q（0）-1，其中Q（k）=1+2*x^2+（k+2）*x-x*（k+1+2*x）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月6日
a（n）=（和{k=1..n，k奇数}C（n，k）*3^（k-1））/2^（n-1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月5日
a（-n）=-（-1）^n*a（n）/2^n表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年3月18日
a（n）=（-1）^（n-1）*和{k=0..n-1}A135278号（n-1，k）*（-3）^k=（2^n-（-1）^n）/3=（-1）^（n-1）*Sum_{k=0..n-1}（-2）^k等于（-1）^（n-1）*Phi（n，-2），其中当n是奇素数时，Phi是分圆多项式。（对于n>0。）-汤姆·科普兰2014年4月14日
exp（和{n>=1}a（2*n）/a（n）*x^n/n）=和{n>=0}a（n+1）*x*n。
exp（总和{n>=1}a（3*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A084175号（n+1）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（4*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015266号（n+3）*（-x）^n。
exp（总和{n>=1}a（5*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015287号（n+4）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（6*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015305号（n+5）*（-x）^n。
exp（总和{n>=1}a（7*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015323号（n+6）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（8*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015338号（n+7）*（-x）^n。
exp（总和{n>=1}a（9*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015356号（n+8）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（10*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015371号（n+9）*（-x）^n.（结束）
a（n+k）^2-A014551号（k） *a（n）*a（n+k）+（-2）^k*a（n）^2=（-2）*n*a（k）^2，对于n>=0和k>=0-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月21日
Dirichlet g.f.：（PolyLog（s，2）+（1-2^（1-s））*zeta（s））/3-伊利亚·古特科夫斯基，2016年6月27日
a（m）*a（n）+a（m-1）*a。
a（m+n-1）=a（m）*a（n）+2*a（m-1）*a；a（m+n）=a（m+1）*a（n+1）-4*a（m-1）*a。
a（2*n-1）=a（n）^2+2*a（n-1）^2；a（2*n）=a（n+1）^2-4*a（n-1）^2。（完）
a（n+4）=a（n）+5*2^n，a（0）=0，a（1..4）=[1,1,3,5]。也就是说，对于n>0，Jacobsthal数的位数遵循模式1,1,3,5,1,1,3,51,1,3,1,5-宇春记2019年4月25日
以“1”开头的序列是（1，-1，3，-5，11，-21，43，…）的第二个INVERT变换-加里·亚当森2019年7月8日
a（n）^2-a（n+1）*a（n-1）=（-2）^（n-1。
a（n）^2-a（n+r）*a（n-r）=（-2）^（n-r。
a（m）*a（n+1）-a（m+1）*a（n）=（-2）^n*a（m-n）。
a（n）=和{i=0..n-1；j=0..n-1；i+2*j=n-1}2^j*（（i+j）/（i！*j！））。（完）
对于n>0，1/（2*a（n+1））=Sum_{m>=n}a（m）/（a（m+1）*a（m+2））-王凯（Kai Wang）2020年3月3日
a（n）=1+和{k=0..n-1}a（k），如果n为奇数；如果n为偶数，则a（n）=和{k=0..n-1}a（k）。
a（n）=F（n）+和{k=0..n-2}a（k）*F（n-k-1），其中F表示斐波那契数。
a（n）=b（n）+Sum_{k=0..n-1}a（k）*b（n-k），其中b（n）通过b（0）=0，b（1）=1，b（n）=2*b（n-2）来定义。
a（n）=1+2*Sum_{k=0..n-2}a（k）。
a（m+n）=a（m）*a（n+1）+2*a（m-1）*a。
a（2*n）=和{i>=0，j>=0}二项式（n-j-1，i）*二项式的（n-i-1，j）*2^（i+j）。（完）
G.f.：x/（1-x-2*x^2）=Sum_{n>=0}x^（n+1）*Product_{k=1..n}（k+2*x）/（1+k*x）（伸缩级数）-彼得·巴拉2024年5月8日
|
|
|
例子
|
a（2）=3，因为3 X 2矩形的平铺要么只有1 X 1平铺，要么在两个位置中的一个位置有一个2 X 2平铺（以及两个1 X 1平铺）。
a（6）=21长度-5个三元单词，没有两个连续的非零字母是（0的点）
[ 1] [ . . . . ]
[ 2] [ . . . 1 ]
[ 3] [ . . . 2 ]
[ 4] [ . . 1 . ]
[ 5] [ . . 2 . ]
[ 6] [ . 1 . . ]
[ 7] [ . 1 . 1 ]
[ 8] [ . 1 . 2 ]
[ 9] [ . 2 . . ]
[10] [ . 2 . 1 ]
[11] [ . 2 . 2 ]
[12] [ 1 . . . ]
[13] [ 1 . . 1 ]
[14] [ 1 . . 2 ]
[15] [ 1 . 1 . ]
[16] [ 1 . 2 . ]
[17] [ 2 . . . ]
[18] [ 2 . . 1 ]
[19] [ 2 . . 2 ]
[20] [ 2 . 1 . ]
[21] [ 2 . 2 . ]
（完）
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+5*x ^4+11*x ^5+21*x ^6+43*x ^7+85*x ^8+171*x ^9+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
（2^n-（-1）^n）/3；
|
|
|
数学
|
雅可比0[n]：=（2^n-（-1）^n）/3；表[Jacob0[n]，{n，0，33}](*罗伯特·威尔逊v2005年12月5日*）
数组[（2^#-（-1）^#）/3&，33，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{1，2}，{0，1}，40](*哈维·P·戴尔2011年11月30日*）
系数列表[级数[x/（1-x-2x^2），{x，0，34}]，x](*罗伯特·威尔逊v，2015年7月21日*）
表[（2^n-（-1）^n）/3，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
表[Abs[Q二项式[n，1，-2]]，{n，0，35}](*约翰基斯2022年1月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=（2^n-（-1）^n）/3
（PARI）M=[1,1,0；1,0,1；0,1,1]；对于（i=0，34，print1（（M^i）[2，1]，“，”））\\Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.net），2005年1月28日
（鼠尾草）[lucas_number1（n，1，-2）代表范围（34）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
#或者：
a=二进制递归序列（1，2）
[（0..34）中n的a（n）]#彼得·卢什尼2016年8月29日
（哈斯克尔）
a001045=（`div`3）。(+ 1) . a000079
a001045_list=0:1：
zipWith（+）（映射（2*）a001045_list）（尾部a001045-list）
（最大值）
a[0]：0$
a[n]：=2^（n-1）-a[n-1]$
（PARI）a=0；对于（n=0，34，打印1（a，“，”）；a=2*（a-n%2）+1）\\K.Spage公司2014年8月22日
a、 b=0，1
为True时：
产量a
a、 b=b，b+2*a
（Magma）[n le 2选择n-1 else Self（n-1）+2*Self（n-2）:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2016年6月27日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000978号,A000979号,A019322号,A066845号,A105348号,A130249号,A130250型,A130253号,A005578号,A002083号,A113405号,A138000个,A064934号,A003158号,A175286号（皮萨诺时期），147613英镑,A156319号,A002605号,A000225号,A052129号,A014551号（附带“autosequence”），A015266号,A015287号,A015305号,A015323号,A015338号,A015356号,A015371号,A084175号,A245489型,A283641号.
|
|
|
关键词
|
非n,美好的,容易的,核心
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
多亏了高德纳他指出了一些缺失的参考文献，包括Brocard（1880），尽管1973年的《整数序列手册》中提到了这一点，但1995年的《百科全书》中却省略了这一内容-N.J.A.斯隆2020年12月26日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 3, 5, 13, 21, 53, 85, 213, 341, 853, 1365, 3413, 5461, 13653, 21845, 54613, 87381, 218453, 349525, 873813, 1398101, 3495253, 5592405, 13981013, 22369621, 55924053, 89478485, 223696213, 357913941, 894784853, 1431655765, 3579139413
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
从n=3开始，从（2^（n-1）-1）/2^（n-1）中减去：3/4-1/2=1/4，1+4=5=a（3）；7/8-1/4=5/8，其中5+8=13=a（4）；15/16-5/8=5/16，其中5+16=21=a（5）；31/32-5/16=21/32，其中21+32=53=a（6）；63/64-21/32=21/64，21+64=85=a（7）依此类推。对于第一个分数（2^（n-1）-1）/2^（n-1）中的n个奇数，结果接近1/3，对于第一个分数中的n个偶数，结果接近2/3-J.M.贝戈2015年5月8日
此外，“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从左边缘到原点的十进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化。请参见A283641号. -罗伯特·普莱斯2017年3月12日
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
如果n是奇数，那么a（n）=（4^（（n+1）/2）-1）/3；如果n是偶数，则a（n。
G.f.：（1+2*x-2*x^2）/（（1-x）*（1-4*x^ 2））；a（n）=2^（n-1）（3-（-1）^n/3）-1/3（偏移量0）；a（n）=总和{k=0..n+1，4^floor（k/2）/2}（偏移量0）；a（2n）=A002450美元（n+1）（偏移量0）；a（2n+1）=A072197号（n） （偏移量0）-保罗·巴里，2004年5月21日
a（n+2）=4*a（n）+1，a（1）=1，a（2）=3，n>0-尤拉门迪2017年3月7日
|
|
|
例子
|
A002487号开始于0,1,1,2,1,3,2，。。。偏移量为0。因此，a（1）=1，因为（F（2），F（1））=（1,1）发生在A002487号类似地，a（2）=3和a（3）=5，因为（F（3），F（2））=（2,1）发生在第3项，（F（4），FA002487号.
|
|
|
数学
|
f[n_]：=模[{a=1，b=0，m=n}，而[m>0，如果[OddQ@m，b=a+b，a=a+b]；m=楼层[m/2]]；b] ；a=表格[f[n]，{n，0，10^6}]；b=反向/@分区[Map[Fibonacci，Range[Ceiling@Log[GoldenRatio，Max@a]+1]]，2，1]；映射[If[Length@#>0，#[[1，1]]-1，0]&@SequencePosition[a，#]&，b](*迈克尔·德弗利格，2017年3月15日，10.1版，之后Jean-François Alcover公司在A002487号*)
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[0..35]]中[2^（n-1）*（3-（-1）^n/3）-1/3:n//文森佐·利班迪2015年5月9日
（Python）
定义A086893号（n） ：return（1<<n+1，如果n和1其他5<<n-1）//3#柴华湖2024年4月29日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A266508型
|
| “规则28”基本细胞自动机第n次迭代的二进制表示，从单个ON（黑色）细胞开始。 |
|
+10
6
|
|
|
|
1, 11, 101, 1011, 10101, 101011, 1010101, 10101011, 101010101, 1010101011, 10101010101, 101010101011, 1010101010101, 10101010101011, 101010101010101, 1010101010101011, 10101010101010101, 101010101010101011, 1010101010101010101, 10101010101010101011
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
规则156也生成此序列。
此外，“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从原点到右边缘的二进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化。请参见A283641号.
|
|
|
链接
|
斯蒂芬·沃尔夫拉姆，一种新的科学，Wolfram Media，2002年；第55页。
|
|
|
公式
|
发件人科林·巴克2015年12月30日和2019年4月16日：（开始）
a（n）=（44-45*（-1）^n+10^（2+n））/99。
当n>2时，a（n）=10*a（n-1）+a（n-2）-10*a（n-3）。
通用格式：（1+x-10*x^2）/（（1-x）*（1+x）x（1-10*x））。
（完）
|
|
|
数学
|
规则=28；行=20；ca=细胞自动机[rule，{{1}，0}，rows-1，{All，All}]；（*以单个黑色单元格开始*）catri=表[Take[ca[[k]]，{rows-k+1，rows+k-1}]，{k，1，rows}]；（*每行的截断列表*）表[FromDigits[catri[[k]]]，{k，1，rows}]（*行的二进制表示*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Python）打印（[（100*10**n+89）//99表示范围（50）内的n]）#小卡尔·V·凯勒。2021年9月4日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A283642号
|
| 基于5细胞von Neumann邻域，“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从原点到右边缘的十进制表示。 |
|
+10
4
|
|
|
|
1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, 178956971, 357913941, 715827883, 1431655765, 2863311531, 5726623061, 11453246123
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
在零级用单个黑色（ON）单元初始化。
|
|
|
链接
|
斯蒂芬·沃尔夫拉姆，一种新的科学，Wolfram Media，2002年；第170页。
|
|
|
公式
|
通用名称：（1+2*x）/（1+x）*（1-2*x））。
对于n偶数，a（n）=（2^（n+2）-1）/3。
a（n）=（2^（n+2）+1）/3，对于n奇数。
当n>1时，a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）。
（完）
例如：（4*exp（2*x）-exp（-x））/3-斯特凡诺·斯佩齐亚，2020年2月13日
|
|
|
数学
|
CAStep[rule_，a_]：=映射[rule[[10-#]]&，ListConvolve[{{0，2，0}，{2，1，2}，}，a，2]，{2}]；
代码=678；阶段=128；
规则=整数位数[code，2，10]；
g=2*级+1；（*网格最大尺寸*）
a=PadLeft[{{1}}，{g，g}，0，Floor[{g，c}/2]]；（*电网上的初始ON电池*）
ca=a；
ca=表[ca=CAStep[rule，ca]，{n，1，stages+1}]；
PrependTo[ca，a]；
（*修剪整个网格以反映每个阶段一个单元格的增长*）
k=（长度[ca[[1]]]+1）/2；
ca=表[Table[Part[ca[[n]][[j]]，范围[k+1-n，k-1+n]]，{j，k+1-n，k-1+n}]，{n，1，k}]；
表[FromDigits[部分[ca[i]][[i]]，范围[i，2*i-1]]，2]，{i，1，阶段-1}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Python）打印（[（4*2**n+1）//3表示范围（50）中的n]）#小卡尔·V·凯勒。2021年9月3日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.020秒内完成
|
