关键词:k-jacobsthal数,binet公式,生成函数
土耳其分析与数论杂志, 2014 2 (4),第119-124页。
内政部:10.12691/tjant-2-4-3
收到日期:2014年6月8日;2014年7月13日修订;接受日期:2014年7月23日
版权©2013科学与教育出版社。保留所有权利。
1.简介
斐波那契序列和卢卡斯序列是庞大的整数序列数组中的两颗闪亮恒星。数百年来,它们吸引了业余和专业数学家。此外,它们的美丽、丰富的应用、无处不在的发生在完全令人惊讶和毫不相干的地方的习惯,也继续吸引着我们。斐波那契数已经被不同的作者概括了。一些作者通过保留递推关系和改变序列的前两项来推广斐波那契序列[10,12,17],而其他人则通过保留前两项但稍微改变递推关系来推广斐波那契序列[14,15,18].
最近,Fibonacci、Lucas、Pell、Pell-Lucas、Modified Pell、Jacobhstal、Jacobsthal-Lucas序列被推广到任何正实数k个。还有对k个-斐波那契数列k个-卢卡斯序列k个-佩尔序列k个-Pell-Lucas序列,修改后k个-佩尔序列k个-Jacobhstal序列和k个-出现了Jacobsthal-Lucas序列(见[1-6,8,13])。猎鹰和广场[7]给出了以下总和的几个公式k个-算术序列中带索引的斐波那契数。猎鹰[9]定义k个-卢卡斯数,以算术序列表示索引。同时,推导了算术序列中带指数的这些数的生成函数和几个求和公式。
1.1.k个 -雅各布斯塔尔和k个 -雅各布斯塔尔-卢卡斯数1.1.1. 定义1.1(k个-雅各布斯塔尔数)对于任何正实数k个,的k个-雅各布斯塔尔序列说[13]循环定义为
| (1.1) |
具有初始条件.
定义的特殊情况(1.1)
如果我们得到雅各布斯数列[11] (A001045)[16]
如果我们得到了序列A002605号[16].
k-Jacobsthal数(1.1)的前几个项是
k-Jacobsthal序列所满足的一些有趣的性质总结如下[13]:
1.1.1.1.比奈的F类公式
Binet公式n个第个k-Jacobsthal数为
| (1.2) |
哪里,是特征方程的根与方程式(1.1)中定义的递推关系相关,以及,,,.
1.1.12.加泰罗尼亚语我牙本质
| (1.3) |
1.1.13.D’Ocagne身份
如果m>n,则
| (1.4) |
1.1.14.卷积P(P)产品
| (1.5) |
现在,我们介绍k个-Jacobsthal-Lucas序列,其递推关系与k个-雅各布斯塔尔序列。
1.2. 定义1.2对于任何正实数k个,的k个-Jacobsthal-Lucas序列说[2]循环定义为
| (1.6) |
具有初始条件.
特殊情况下:
如果我们得到了Jacobsthal-Lucas序列[11] (A014551)[16].
如果我们得到了序列A080040型[16].
的前几个术语k个-雅各布斯塔尔-卢卡斯数方程(1.6)为
一些有趣的属性k个-Jacobsthal-Lucas序列满足的总结如下[2].
1.2.1. 比奈公式Binet公式k个-雅各布斯塔尔数为
| (1.7) |
哪里,是特征方程的根, ,和与方程(1.6)中定义的递归关系相关。
1.2.2. 加泰罗尼亚人的身份 | (1.8) |
1.2.3. D'Ocagne身份如果m>n,则
| (1.9) |
现在,我们证明了稍后需要的k-Jacobsthal数的一些性质。
| (1.10) |
证明:取R.H.S.并应用Binet公式计算k-Jacobsthal数
那就是
| (1.11) |
证明:我们将用数学归纳法证明这一点。对于
我们看到这是真的
现在为我们有
我们再次看到这是真的
现在,假设公式是正确的,直到
| (1.12) |
然后,
那就是.
2.在k个-Jacobsthal类数一个+r
在本节中,我们将推导算术序列中带指数的k-Jacobsthal数的和的一些公式,例如对于固定整数一和第页这样的话此外,我们还讨论了算术序列中带索引的这些数的生成函数。
首先,我们证明了后面需要的引理。
2.1. 引理2.1对于所有整数
| (2.1) |
证明:取R.H.S.并应用Binet公式计算k-Jacobsthal数和.
那就是
2.2. 引理2.2 | (2.2) |
证明:取R.H.S.并应用Binet公式和引理2.1。
现在,自从,则上述公式可以重写为
方程(2.2)给出了k-Jacobsthal序列的一般项作为前两项的线性组合。
2.2.1. 序列的生成函数假设是序列的生成函数具有那就是
| (2.3) |
现在将两边乘以代数表达式我们得到
现在,从等式(2.2)中,上述等式右侧的总和消失。那就是
| (2.4) |
根据方程式(1.10),我们得到
因此,方程式(2.4)变为
| (2.5) |
特殊情况:
对于不同的值一和第页,共页,序列的生成函数是:
1) 如果然后,
它是k个-雅各布斯塔尔序列[13].
2) 如果,然后
在,
在,
3) 如果,然后
在,
在,
在,
2.2.2. 的总和k个-带算术指数的雅可比数在本节中,我们讨论了k个-带算术指数的雅可比数,其中一和第页是固定整数,这样
2.3。定理2.3k-Jacobsthal类数之和是
| (2.6) |
证明:应用Binet公式计算k-Jacobsthal数,我们得到
2.4. 推论2.4奇k-雅各布斯塔尔数和的公式
如果则方程式(2.6)给出
| (2.7) |
例如:(1)如果,然后和,我们有
(2) 如果,然后,我们有
如果,然后
如果,然后
如果,然后
(3) 如果,然后,我们有
如果,然后
如果,然后
如果,然后
如果,然后
如果,然后
2.5. 推论2.5偶数k-Jacobsthal数之和。
如果,则方程式(2.6)为
| (2.8) |
例如:(1)如果,然后,我们有
如果,然后
如果,然后
(2) 如果,然后,我们有
如果,然后
如果,然后
如果,然后
如果,然后
现在,我们考虑了交替序列通过前面的方法,我们还可以找到这个序列的求和公式。
2.6. 定理2.6带指数的k-Jacobsthal数的交替和由提供
| (2.9) |
证明:取L.H.S.并应用binet公式求解k-Jacobsthal数方程(1.2),我们得到
那就是
对于不同的值一和第页,共页,上述总和可以写成
对于我们有
对于,
a) 如果 然后
b) 如果然后
对于
如果 然后
如果然后
如果然后
参考
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[5] | 卡塔里诺·P、瓦斯科·P、。,关于的一些恒等式和生成函数k个-Pell-Lucas序列《应用数学科学》2013,7(98),4867-4873。 |
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