搜索： 编号：a001045
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A001045号
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| 雅可比数列（或雅可比数）：a（n）=a（n-1）+2*a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=1；同时a（n）=最接近2^n/3的整数。
（原名M2482 N0983）
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+0
700
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0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, 178956971, 357913941, 715827883, 1431655765, 2863311531, 5726623061, 11453246123
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,4
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评论
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高德纳指出（个人交流）雅各布斯塔尔可能从未见过这个序列的实际价值。然而，霍拉达姆使用了“雅各布斯塔尔序列”这个名字，这样一个重要的序列需要一个名称，而且有一条法律规定，某物的名称永远不应该是其发现者的名称-N.J.A.斯隆2020年12月26日
用1 X 1和2 X 2方块平铺3 X（n-1）矩形的方法数。
此外，还列出了用1 X 2多米诺骨牌和2 X 2正方形平铺2 X（n-1）矩形的方法-托比·戈特弗里德2008年11月2日
此外，a（n）还统计了以下四个方面：3阶n元拟群具有3阶自同构群，3阶n元拟群具有6阶自同态群，3级（n-1）元拟群带有2阶自同胚群，以及3阶（n-2）元拟组。参见McKay-Wanless（2008）的论文-伊恩·万利斯2008年4月28日
还有使用n+2圈系领带的方法的数量。所以三个回合就成了“东方人”，四个回合就变成了“四个人”，五个回合有三种方法：“开尔文”、“尼基”和“普拉特”。该公式还来源于具有边条件的三角形网格上的特殊随机行走（见Fink和Mao，1999）arne.ring（AT）epost.de，2001年3月18日
此外，以奇数结尾的n+1的组成数（a（2）=3，因为3、21、111是3中唯一以奇数结束的组成）。此外，以偶数结尾的n+2组合的数量（a（2）=3，因为4、22、112是4中唯一以偶数结束的组合）-Emeric Deutsch公司2001年5月8日
出现在通过合并插入进行排序的研究和GCD计算方法的分析中-参见Knuth参考。
用四面体（C_4到K_4）替换单位正方形后，2Xn网格的完美匹配数：
哦。。。
| \/ | \/ | \/ |
| /\ | /\ | /\ |
此外，还将交替求和1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64+中约化分数的分子-约书亚·祖克2002年2月7日
此外，如果A（n）、B（n）和C（n）是ABC的n正三角形的角，则A（1）=Pi-2*A，A（nAntreas P.Hatzipolakis（xpolakis（AT）otenet.gr），2002年6月5日
另外，两个字母s和t中长度为n+1的单词的数量通过使用关系sss=1、tt=1和stst=1减少为恒等式1。生成器s和t以及三个声明的关系生成组S3-约翰·莱曼2002年6月14日
将尺寸为n的塔移动到顺时针钉所需的过量顺时针移动（逆时针）为-（-1）^n*（2^n-（-1）*n）/3；a（n）是其未签名版本-沃特·梅森2002年9月1日
注意，3*a（n）+（-1）^n=2^n对于帕斯卡三角形是重要的A007318号它来源于帕斯卡三角形的雅各布斯分解，如1+7+21+35+35+21+7+1=（7+35+1）+（1+35+7）+（21+21）=43+43+42=3a（7）-1；1+8+28+56+70+56+28+8+1=（1+56+28）+（28+56+1）+（8+70+8）=85+85+86=3a（8）+1-保罗·巴里2003年2月20日
在非相邻形式表示中需要正好n个有符号位的正整数数。
等效地，长度-（n-1）个字母{0，1，2}的单词数，其中没有两个连续的字母是非零的，请参阅示例和fxtbook链接-乔格·阿恩特2012年11月10日
计算三角形相邻顶点之间的行走次数-保罗·巴里，2003年11月17日
每一个用康威符号写的两手征有理纽结都是一个回文数字序列，不是以1开头或结尾的。例如，对于4<=n<=12，两手性有理结为：2 2，2 1 1 2，4 4，3 1 1 3，2 2 2 2，4 1 1 4，3 11 1 1 1 3、2 3 3 2、2 1 2 2 1 2、2 11 1 1 2、6 6、5 1 5、4 2 2 4、3 3 3、2 4 2、3 2 1 2 1 2 3、3 1 2 2 2 1 1 1 2 2、2 2 2 11 1 2、1 1 2 1 1、2 1 1。对于n=2*k（k=1，2，3，…）的两手性有理结的数量，我们得到了序列0，1，1，3，5，11，21，43，85171341683，…-斯拉维克·贾布兰，2003年12月26日
a（n+2）计算由C={0,10,11}的码字组成的总长度为n的二进制序列-保罗·巴里，2004年1月23日
没有固定点的排列数避免了231和132。
序列的第n项（n>1）等于非正规4X4Haar矩阵的n次幂的2,2项：[1 1 1 0/1 1-1 0/1 1 0 1/1 0-1]-西蒙·塞韦里尼2004年10月27日
a（n）是所有平坦台阶都出现在1级且高度小于或等于2的Motzkin（n+1）序列的数量。例如，a（4）=5统计UDUFD、UFDUD、UFFFD、UFUDD、UUDFD-大卫·卡伦2004年12月9日
如果（m+n）是奇数，那么3*（a（m）+a（n））总是形式为a^2+2*b^2，其中a和b都等于2的幂；因此，（a（m）+a（n））的每个因子总是a^2+2*b^2形式-马修·范德马斯特2003年7月12日
f_{n+1}中的“0,0”个数，其中f_0=“1”和f_{n+1}=将f_n中的所有“1”s更改为“1,0”而将f.n中的全部“0”s更改成“0,1”而形成的序列冯卓贤（cheokyin_restart（AT）yahoo.com.hk），2006年9月22日
所有素数Jacobsthal数A049883号[n] ={3，5，11，43，683，2731，43691，…}除a（4）=5外，都有质数指数。所有带素数指数的素数Jacobsthal数（除a（4）=5外）都是（2^p+1）/3-Wagstaff素数A000979号[n] ●●●●。素数Jacobsthal数的指数列在A107036号[n] ={3、4、5、7、11、13、17、19、23、31、43、61…}。对于n>1A107036号[无]=A000978号[n] 数字n，使得（2^n+1）/3是素数-亚历山大·阿达姆楚克2006年10月3日
对应关系：a（n）=b（n）*2^（n-1），其中b（n）是由b（n）=1/2*（b（n-1）+b（n-2））定义的前两项的算术平均数的序列，初始值b（0）=0，b（1）=1；b（n）的g.f.是b（x）：=x/（1-（x^1+x^2）/2），因此A（n）中的g.f.A（x）满足A（x，=b（2*x）/2。由于b（n）收敛到极限lim（1-x）*b（x）=1/3*（b（0）+2*b（1））=2/3（对于x-->1），因此a（n）/2^（n-1）也收敛到2/3（另请参见A103770号). -Hieronymus Fischer公司2006年2月4日
逆：楼层（log_2（a（n））=n-2，对于n>=2。此外：log_2（a（n）+a（n-1））=n-1，对于n>=1（另请参见A130249号). 表征：x是雅可比数，当且仅当存在4（=c）的幂，使得x是p（x）=9*x*（x-c）+（c-1）*（2*c+1）的根时（另请参见指示符序列A105348号). -Hieronymus Fischer公司2007年5月17日
这个序列计算（1+x+x^2）^（2^n-1）展开式中的奇数系数，n>=0.-Tewodros Amdeberhan（Tewodros（AT）math.mit.edu），2007年10月18日，2008年1月8日
似乎a（n）也是2^n和2^（n+1）之间的整数数，可以被3整除，没有余数John Fossaceca（John（AT）fossace.net），2009年1月31日
介于2^（n+1）和2^（n+2）之间（包括2^（n+2））的连续可憎（或邪恶）数字对的数量-T.D.诺伊2009年2月5日
对（n+1）的三维解释是，它给出了用1 X 2 X 2块砖填充2 X 2 X n孔的方法数量-马丁·格里菲思2009年3月28日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=-2，A[i,1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n-1）*det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
设R表示2维对称群S_3的不可约表示，S和t分别表示1维的符号和平凡不可约表现。将R^n分解为不可约表示，由R的（n）个副本和s和t的（n-1）个副本组成-安德鲁·鲁宾斯基2010年3月12日
分数：1/88=0.0113636363…或1/9898=0.00010103051121-马克·多尔斯2010年5月18日
从“1”开始=（1，0，2，0，4，0，8，…）的INVERT变换；例如，a（7）=43=（1，1，1、3，5，11，21）点（8，0，4，0，2，0，1）=（8+4+10+21）=43-加里·亚当森2010年10月28日
设U为单位极限矩阵（参见[Jeffery]）
U=U_（6,2）=
(0 0 1)
(0 2 0)
(2 0 1).
然后a（n+1）=（Trace（U^n））/3，a（n+1）=（（U^n）_{3，3}）/3，a（n）=（（U^n）_{1，3}）/3和a（n）=（（U^（n+1））_{1，1}）/2。（完）
该序列出现在使用迭代删除严格控制策略来建立作为严格控制策略的古诺双寡头问题的最佳响应解决方案中。企业1对企业2的选择数量的最佳响应由q*1=1/2*（a-c-q_2）给出，其中a是保留价格，c是边际成本，q_2是企业2的选定数量。假定q_2在[o，a-c]中，q*_1必须在[o，1/2*（a-c）]中。由于成本是对称的，我们知道q_2在[0，1/2*（a-c）]中。然后我们知道q*1在[1/4*（a-c），1/2*（a-c）]中。以这种方式继续，我们得到的边界序列（分解a-c）是{1/2，1/4，3/8，5/16，…}；分子是雅各布斯塔尔数-迈克尔·奇里科2011年9月10日
每个自然数由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=2，3*a（n-1）等于n的3色组成数，所有部分都大于或等于2，因此相邻部分没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月26日
这个序列与Collatz问题有关。我们考虑数组T（i，j），其中第i行给出了i的奇偶轨迹，例如对于i=6，无限轨迹是6->3->10->5->16->8->4->2->1->4->1->4->2->1…和T（6，j）=[0，1，0，1，0,0，1…，0,0,1，…]。现在，我们考虑每列的数字“1”的总和。我们得到了第n列的序列a（n）=Sum_{k=1..2^n}T（k，n）=Sam_{k=1..2^n}位数字“1”。因为a（n）+a（n+1）=2^n，那么a（n+1）=第n列2^n个元素中的位数“0”-米歇尔·拉格诺，2012年1月11日
3!*a（n-1）显然是完全3-图的邻接矩阵的n次幂的迹，一个对角元素都为零且非对角元素都是一的3X3矩阵。第n次方的非对角元素都等于a（n），而每个对角元素对于偶数次方似乎是a（n。这些与图上闭合路径的长度有关（参见Delfino和Viti的论文）-汤姆·科普兰2012年11月6日
2^n*a（-n）=（-1）^（n-1）*a（n），它将序列扩展到负指数：-5/16, 3/8, -1/4, 1/2, 0, 1, 1, 3, 5, ...
如果将术语a（-1）添加到序列数组中并在后续行中迭代其高阶差分，则与我2008年1月17日的评论中提到的二项式变换有关的“autosequence”属性仍然有效：
0 1/2 1/2 3/2 5/2 11/2 ...
1/2 0 1 1 3 5 ...
-1/2 1 0 2 2 6 ...
3/2 -1 2 0 4 4 ...
-5/2 3 -2 4 0 8 ...
11/2 -5 6 -4 8 0 ...
此数组中的主对角线包含0。（结束）
赋值给三角形T（n，0）=1，T（n+1，1）=n；T（r，c）=T（r-1，c-1）+T（r-2，c-2）+T。则T（n+1，n）-T（n，n）=a（n）-J.M.贝尔戈2013年5月2日
a（n+1）计算在一个圆圈上n个点上顺时针行走的次数，该圆圈的步长为1和2，在两次完整循环后返回起点，并且不重复任何步骤（USAMO 2013，问题5）-基兰·凯德拉亚，2013年5月11日
在顶行和左列中定义一个无限方阵m×m（n，0）=m（0，n）=a（n），否则定义m（i，j）=m（i、j-1）+m（i-1，j-1），然后定义m（n+1，n+1）=3^（n-1）-J.M.贝尔戈2013年5月10日
a（n）是将n-1的组成（有序分区）分成一类1和两类2的数量。例如：3的a（4）=5组成是1+1+1、1+2、1+2'、2+1和2'+1-鲍勃·塞尔科2013年6月24日
如果没有0，a（n）/2^n等于n在随机生成的1和2的无限序列中作为部分和出现的概率。极限比为2/3-鲍勃·塞尔科2013年7月4日
GL（2,2^（n+1））中Z/2Z X Z/2Z的共轭类数_贾里德警告者，2013年8月18日
a（n）是3X3矩阵[1，1，1，1,0，0，1，0，0]的（n-1）次幂的左上项。a（n）是六个3X3矩阵[0，1，0；1，1，1；0，1，0]，[0，1,1；0，1,1；1，1,0]，[0，0，1；1-R.J.马塔尔2014年2月3日
这是由a（n）=k*a（n-1）+t*a（n-2）给出的2阶齐次线性递归族中唯一的整数序列，具有正整数系数k和t，初始值a（0）=0和a（1）=1，当n接近无穷大时，其比值a（n+1）/a（n）收敛到2-费利克斯·P·穆加二世2014年3月14日
sqrt（a（n+1）*a（n-1））->a（n）+3/4如果n是偶数，并且->a-理查德·福伯格2014年6月24日
a（n+1）计算P_3的端点上的闭合行走，其中在中间顶点包含一个循环。a（n-1）计算P_3中间顶点上的闭合行走，该顶点上包含一个循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年11月7日
设P是三角形ABC（边为a、b、c）平面上的一点，重心坐标P=[x:y:z]。P相对于ABC的补码定义为补码（P）=[b*y+c*z:c*z+a*x:a*x+b*y]。
那么，对于n>=1，补码（补码（…（补码P）..））=（n次）=
[2*a（n-1）*a*x+（2*a（n-1）-（-1）^n）*（b*y+c*z）：
2*a（n-1）*b*y+（2*a，n-1）-（-1）^n）*（c*z+a*x）：
2*a（n-1）*c*z+（2*a，n-1）-（-1）^n）*（a*x+b*y）]。（完）
a（n）（n>=2）是Fibonacci立方体Gamma（n-2）的诱导超立方体数。见Klavzar参考第513页。例如：a（5）=11。事实上，斐波那契立方体Gamma（3）是<>-（循环C（4）有一个垂边），超立方体是：5个顶点，5个边，1个正方形-Emeric Deutsch公司2016年4月7日
如果立方体y=a*x^3+b*x^2+c*x+d上的点序列{P_i（x_i，y_i）}具有这样的性质，即段P_ i（x_ i，y_ i）P_i+1（x_i+1，y_i+1）始终与立方体P_i+1[x_i+1,y_i+1]相切，则a（n）=-2^n*a/b*（x_（n+1）-（-1/2）^n*x_1）-迈克尔·布罗津斯基2016年8月1日
对于n>0，a（n）等于长度为n-1的三元字的数量，其中0和1避免了奇数长度的运行-米兰Janjic2017年1月8日
对于n>0，a（n）等于有限群PSL（2,2^n）作用于投影线的2^n+1点的大小为4的子集上的轨道数-保罗·M·布拉德利2017年1月31日
对于n>1，长度为n-2的单词在字母{1,2,3}上的数目，使得奇数字母后面没有奇数字母-阿蒙德·沙巴尼2017年2月17日
此外，“规则678”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从原点到右边缘的十进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化。请参见A283641号. -罗伯特·普莱斯2017年3月12日
另外，2X（n-2）王图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
设T（0）是一个三角形，T（1）是T（0。当n>0时，T（n）第一个顶点的重心坐标为[2*a（n-1）/a（n），1，1]。
设S（0）是一个三角形，S（1）是S（0。当n>0时，S（n）第一个顶点的重心坐标为[-a（n+1）/a（n），1，1]。（完）
a（n）也是S_{n+1}中峰集为空的错位数-伊莎贝拉·黄2018年4月1日
对于n>0，gcd（a（n），a（n+1））=1-Kengbo路2020年7月27日
不允许将n+1的2组分数量与1作为一部分；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
偶数阶2n>2的花陷阱图的哈密顿路径数为12*a（n-1）-高德纳2020年12月25日
当设置S={1，2，…，2^n}，n>=0时，S的最大子集T具有这样的性质：如果x在T中，那么2*x不在T中。例如，对于n=4，#S=16，a（5）=11，T={1，3，4，5，7，9，11，12，13，15，16}（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1991）-伯纳德·肖特2022年2月14日
a（n）是一个二进制字母表上长度为n的单词的数量，该字母表在字典顺序中的位置是三的倍数的一倍以上。a（3）=3:aaa、abb、bba-阿洛伊斯·海因茨，2022年4月13日
霍拉达姆（1988）以德国数学家恩斯特·雅各布斯塔尔（1882-1965）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月2日
定义序列u（n）=（u（n-1）+u（n-2））/u（n-3），其中u（0）=0，u（1）=1，u（2）=u（3）=-1。则u（4*n）=-1+（-1）^n/a（n+1），u（4*n+1）=2-（-1）^n/a（n+1），u（4*n+2）=u（4*n+3）=-1。例如，a（3）=3，u（8）=-2/3，u（9）=5/3，u（10）=u（11）=-1-迈克尔·索莫斯2023年10月24日
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参考文献
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阿卜杜勒穆内·泽基里、法里德·本切里夫和拉希德·布马赫迪，阿波斯托恒等式的推广，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.5.1条。
G.B.M.Zerr，问题64《美国数学月刊》，第3卷，第12期，1896年（第311页）。
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配方奶粉
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a（n）=2^（n-1）-a（n-1）。a（n）=2*a（n-1）-（-1）^n=（2^n-（-1））^n）/3。
G.f.:x/（1-x-2*x^2）。
例如：（exp（2*x）-exp（-x））/3。
当n>=1时，a（2*n）=2*a（2xn-1）-1；当n>=0时，a-李海旺（Lee Hae-hwang）2002年10月11日；马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it）于2002年12月4日更正
同时，a（n）是二元斐波那契多项式F（n）（x，y）=x*F马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2002年12月4日
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）*（-1）^（n+k）*3^（k-1）-保罗·巴里，2003年4月2日
比率a（n）/2^（n-1）收敛到2/3，1/2后的每个分数是前面两个分数的算术平均值-加里·亚当森2003年7月5日
a（n）=U（n-1，i/（2*sqrt（2）））*（-i*sqrt（2））^（n-1）其中i^2=-1-保罗·巴里2003年11月17日
a（n+1）=和{k=0..上限（n/2）}2^k*二项式（n-k，k）-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月6日
a（n）=圆（2^n/3）=（2^n+（-1）^（n-1））/3所以lim{n->无穷}2^n/a（n）=3-杰拉尔德·麦卡维2004年7月21日
a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^k*2^（n-k-1）=和}k=0...n-1}，2^k*（-1）-保罗·巴里2004年7月30日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（k，n-k）*2^（n-k）-保罗·巴里2004年10月7日
a（n）=和{k=0..n-1}W（n-k，k）*（-1）^（n-k）*二项式（2*k，kA004070号. -保罗·巴里2004年12月17日
a（n）=和{k=0..n}k*二项式（n-1，（n-k）/2）*（1+（-1）^（n+k））*楼层（2*k+1）/3）。
a（n+1）=和{k=0..n}k*二项式（n-1，（n-k）/2）*（1+（-1）^（n+k））*(A042965美元（k） +0^k）。（完）
a（n+1）=天花板（2^n/3）+地板（2^n/3）=（天花板（2*n/3））^2-（地板（2*n/3））^2。
a（n+1）=Sum_{k=0..n}Sum_{j=0.n}（-1）^（n-j）*二项式（j，k）-保罗·巴里2005年1月26日
设M=[1，1，0；1，0，1；0，1，1]，然后a（n）=Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.net），2005年1月28日
a（n）=和{k=0..floor（n/3）}二项式（n，f（n-1）+3*k）；
a（n）=和{k=0..floor（n/3）}二项式（n，f（n-2）+3*k），其中f（n）=A080425型（n） ●●●●。（完）
a（2*n）=（1/3）*Product_{d|n}分圆（d，4）。
a（2*n+1）=（1/3）*Product_{d|2*n+1}分圆（2*d，2）。（完）
a（n）与嵌套平方根密切相关；这是2*sin（2^（-n）*Pi/2*a（n））=平方{使用'2'n次，n>=0}。
还有2*cos（2^（-n）*Pi*a（n））=平方（2-sqrt（2-squart（…sqrt））…）{使用'2'n-1次，n>=1}以及
2*sin（2^（-n）*3/2*Pi*a（n））=平方（2+sqrt（2+平方（2+平方（…平方（2）））…）{使用'2'n次，n>=0}和
2*cos（2^（-n）*3*Pi*a（n））=-sqrt（2+sqrt（2+sqrt）…）{使用'2'n-1次，n>=1}。
a（n）=2^（n+1）/Pi*反弧sin（b（n+1。
关于arccos函数有一个类似的公式，即a（n）=2^n/Pi*arccos（b（n）/2）。
对于由c（0）=-2，c（n）=sqrt（2+c（n-1））递归定义的序列c（n），以下公式成立：a（n）=2^n/3*（1-（-1）^n*（1-2/Pi*arcsin（c（n+1）/2）））；a（n）=2^n/3*（1-（-1）^n*（1-1/Pi*弧坐标（-c（n）/2）））。
（完）
a（n）+a（n+5）=11*2^n-保罗·柯茨2008年1月17日
a（n）=和{k=1..n}k（2，k）*a（n-k），其中k（n，k）=k，如果0<=k<=n，则k（n、k）=0。（使用这种K系数时，K的几个不同参数或K的几个定义可能会导致相同的整数序列。例如，可以使用K系数以多种方式生成斐波那契序列。）-托马斯·维德2008年1月13日
a（n）+a（n+2*k+1）=a（2*k+1-保罗·柯茨2008年2月12日
a（n）=2X2矩阵[0,2；1,1]^n中的左下项-加里·亚当森2008年3月2日
a（n）=sqrt（8*a（n-1）*a（n-2）+1）。例如，sqrt（3*5*8+1）=11，sqrt（5*11*8+1Giuseppe Ottonello，2009年6月14日
设p[i]=Fibonacci（i-1），A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=det（a）-米兰Janjic2010年5月8日
在代数上等价于在斐波那契数列中第n项的显式（Binet）公式中用9替换5：斐波那奇数列中的第n项公式为F（n）=（（1+sqrt（5））^n-（1-sqrt。将5替换为9给出了（（1+sqrt（9））^n-（1-sqrt，9）^n）/（2^n*sqrt-杰弗里·古德温2011年5月27日
G.f.:x/（1-x-2*x^2）=G（0）/3；G（k）=1-（（-1）^k）/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（（-1，^k）/G（k+1）））；（连分式3种，3步）。
例如：g（0）/3；G（k）=1-（（-1）^k）/（2^k-2*x*4^k/；（连分式第3类，3步）。（完）
G.f.：Q（0）/3，其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1+1/（2x4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月21日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（2*k+1+2*x）/（x*（2%k+2*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月29日
G.f.：Q（0）-1，其中Q（k）=1+2*x^2+（k+2）*x-x*（k+1+2*x）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月6日
a（n）=（和{k=1..n，k奇数}C（n，k）*3^（k-1））/2^（n-1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月5日
a（-n）=-（-1）^n*a（n）/2^n表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年3月18日
a（n）=（-1）^（n-1）*和{k=0..n-1}A135278号（n-1，k）*（-3）^k=（2^n-（-1）^n）/3=。（对于n>0。）-汤姆·科普兰2014年4月14日
exp（和{n>=1}a（2*n）/a（n）*x^n/n）=和{n>=0}a（n+1）*x*n。
exp（总和{n>=1}a（3*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A084175号（n+1）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（4*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015266号（n+3）*（-x）^n。
exp（总和{n>=1}a（5*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015287号（n+4）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（6*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015305号（n+5）*（-x）^n。
exp（总和{n>=1}a（7*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015323号（n+6）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（8*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015338号（n+7）*（-x）^n。
exp（总和{n>=1}a（9*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015356美元（n+8）*x^n。
exp（总和{n>=1}a（10*n）/a（n）*x^n/n）=总和{n>=0}A015371美元（n+9）*（-x）^n.（完）
a（n+k）^2-A014551号（k） *a（n）*a（n+k）+（-2）^k*a（n）^2=（-2）*n*a（k）^2，对于n>=0和k>=0-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月21日
Dirichlet g.f.：（PolyLog（s，2）+（1-2^（1-s））*zeta（s））/3-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月27日
a（m）*a（n）+a（m-1）*a。
a（m+n-1）=a（m）*a（n）+2*a（m-1）*a；a（m+n）=a（m+1）*a（n+1）-4*a（m-1）*a。
a（2*n-1）=a（n）^2+2*a（n-1）^2；a（2*n）=a（n+1）^2-4*a（n-1）^2。（完）
a（n+4）=a（n）+5*2^n，a（0）=0，a（1..4）=[1,1,3,5]。也就是说，对于n>0，Jacobsthal数的位数遵循模式1,1,3,5,1,1,3,51,1,3,1,5-宇春记2019年4月25日
以“1”开头的序列是（1，-1，3，-5，11，-21，43，…）的第二个INVERT变换-加里·亚当森2019年7月8日
a（n）^2-a（n+1）*a（n-1）=（-2）^（n-1。
a（n）^2-a（n+r）*a（n-r）=（-2）^（n-r。
a（m）*a（n+1）-a（m+1）*a（n）=（-2）^n*a（m-n）。
a（n）=和{i=0..n-1；j=0..n-1；i+2*j=n-1}2^j*（（i+j）/（i！*j！））。（完）
对于n>0，1/（2*a（n+1））=Sum_{m>=n}a（m）/（a（m+1）*a（m+2））-王凯（Kai Wang）2020年3月3日
a（n）=1+和{k=0..n-1}a（k），如果n为奇数；如果n为偶数，则a（n）=和{k=0..n-1}a（k）。
a（n）=F（n）+和{k=0..n-2}a（k）*F（n-k-1），其中F表示斐波那契数。
a（n）=b（n）+和{k=0..n-1}a（k）*b（n-k），其中b（n。
a（n）=1+2*Sum_{k=0..n-2}a（k）。
a（m+n）=a（m）*a（n+1）+2*a（m-1）*a。
a（2*n）=Sum_{i>=0，j>=0}二项式（n-j-1，i）*二项式（n-i-1，j）*2^（i+j）。（完）
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例子
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a（2）=3，因为3 X 2矩形的平铺要么只有1 X 1平铺，要么在两个位置中的一个位置有一个2 X 2平铺（以及两个1 X 1平铺）。
没有两个非零连续字母的a（6）=21个长度为5的三元单词是（0的点）
[ 1] [ . . . . ]
[ 2] [ . . . 1 ]
[3][…2]
[ 4] [ . . 1 . ]
[ 5] [ . . 2 . ]
[ 6] [ . 1 . . ]
[ 7] [ . 1 . 1 ]
[ 8] [ . 1 . 2 ]
[ 9] [ . 2 . . ]
[10] [ . 2 . 1 ]
[11] [ . 2 . 2 ]
[12] [ 1 . . . ]
[13] [ 1 . . 1 ]
[14] [ 1 . . 2 ]
[15] [ 1 . 1 . ]
[16] [ 1 . 2 . ]
[17] [ 2 . . . ]
[18] [ 2 . . 1 ]
[19] [ 2 . . 2 ]
[20] [ 2 . 1 . ]
[21] [ 2 . 2 . ]
（完）
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+5*x ^4+11*x ^5+21*x ^6+43*x ^7+85*x ^8+171*x ^9+。。。
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MAPLE公司
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（2^n-（-1）^n）/3；
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数学
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雅可比0[n]：=（2^n-（-1）^n）/3；表[Jacob0[n]，{n，0，33}](*罗伯特·威尔逊v2005年12月5日*）
数组[（2^#-（-1）^#）/3&，33，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{1，2}，{0，1}，40](*哈维·P·戴尔2011年11月30日*）
系数列表[级数[x/（1-x-2x^2），{x，0，34}]，x](*罗伯特·威尔逊v2015年7月21日*）
表[（2^n-（-1）^n）/3，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
表[Abs[Q二项式[n，1，-2]]，{n，0，35}](*约翰基斯，2022年1月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（2^n-（-1）^n）/3
（PARI）M=[1,1,0；1,0,1；0,1,1]；对于（i=0，34，print1（（M^i）[2，1]，“，”）\\Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.net），2005年1月28日
（鼠尾草）[lucas_number1（n，1，-2）代表范围（34）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
#或者：
a=二进制递归序列（1，2）
[（0..34）中n的a（n）]#彼得·卢什尼2016年8月29日
（哈斯克尔）
a001045=（`div`3）。(+ 1) . a000079
a001045_list=0:1：
zipWith（+）（映射（2*）a001045_list）（尾部a001045-list）
（最大值）
a[0]：0$
a[n]：=2^（n-1）-a[n-1]$
（PARI）a=0；对于（n=0，34，打印1（a，“，”）；a=2*（a-n%2）+1）\\K.Spage公司2014年8月22日
a、 b=0，1
为True时：
产量a
a、 b=b，b+2*a
（岩浆）[n le 2选择n-1 else Self（n-1）+2*Self[n-2）：n in[1..40]]//文森佐·利班迪2016年6月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000978号,A000979号,A019322号,A066845号,A105348号,A130249号,A130250型,A130253号,A005578号,A002083年,A113405号,A138000个,A064934号,A003158元,A175286号（比萨诺时期），A147613号,A156319号,A002605号,A000225号,A052129号,A014551号（附带“autosequence”），A015266号,A015287号,A015305号,A015323号,A015338号,A015356号,A015371美元,A084175号,A245489型,A283641号.
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心,已更改
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作者
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扩展
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多亏了高德纳他指出了一些缺失的参考文献，包括Brocard（1880），尽管1973年的《整数序列手册》中提到了这一点，但1995年的《百科全书》中却省略了这一内容-N.J.A.斯隆2020年12月26日
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