搜索： a113414-编号：a113414
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 4, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 1, 4, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 3, 2, 2, 6, 2, 4, 4, 2, 2, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 6, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 2, 3, 6, 3, 2, 4, 2, 2, 8
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
也可以将n划分为连续的正整数，包括长度为1的平凡划分（例如，9=2+3+4或4+5或9，因此a（9）=3）。（对抄袭玩家有用。）请参阅A069283号. -亨利·博托姆利2000年4月13日
这被描述为西尔维斯特定理，但为了减少歧义，我建议称之为西尔韦斯特枚举-古斯·怀斯曼2022年10月4日
a（n）也是第一类T_n（x）切比雪夫多项式因式分解中的因子数Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年8月28日
对于n奇数，n是素数，如果序列的第n项是2乔治·J·谢弗（gschaeff（AT）andrew.cmu.edu），2005年9月10日
如果k是最大的部分，那么n的分区数为1，2，。。。，k-1只出现一次。例如：a（9）=3，因为我们有[3,3,2,1]、[2,2,2,2]和[1,1,1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月7日
还有第n个Lucas多项式的因子数-T.D.诺伊2006年3月9日
由Glaisher 1907中的Delta_0（n）表示-迈克尔·索莫斯2013年5月17日
另外，将n的p划分为不同部分的数量，使得max（p）-min（p）<length（p）-克拉克·金伯利2014年4月18日
a（n）等于将2*n-1写成（4*x+2）*y+4*x+1的次数，其中x和y是非负整数。a（n）也等于k的不同值的数目，使得k/（2*n-1）+k除以（k/（2%n-1））^（k/-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年5月23日、2016年7月15日
a（n）也是将n划分为奇数个相等部分的数目-奥马尔·波尔2017年5月14日[这是根据g.f.Sum_{k>=1}x^k/（1-x^（2*k））得出的-N.J.A.斯隆2020年12月3日]
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第五部分，Springer-Verlag，见第487页第47条。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第一卷，第306页。
J.W.L.Glaisher，《关于数字表示为二、四、六、八、十和十二平方和》，夸脱。数学杂志。38（1907），1-62（见第4页）。
罗纳德。L.Graham、Donald E.Knuth和Oren Patashnik，《混凝土数学》，第二版（Addison-Wesley，1994），见第65页练习2.30。
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第28页。
|
|
|
链接
|
T.Verhoeff，矩形和梯形布置《整数序列》，第2卷（1999年），第99.1.6条。
|
|
|
公式
|
Dirichlet g.f.：zeta（s）^2*（1-1/2^s）。
通过用不同的方法计算奇数因子fn，我们得到了三种编写普通生成函数的不同方法。它是：
A（x）=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+2*x^5+2*x ^6+2*x^7+x ^8+3*x ^9+2*×^10+。。。
=和{k>=1}x^（2*k-1）/（1-x^
=和{k>=1}x^k/（1-x^（2*k））
=Sum_{k>=1}x^（k*（k+1）/2）/（1-x^k）[Ramanujan，第二本笔记本，第355页]。
通用公式：x/（1-x）+Sum_{n>=1}x^（3*n）/（1-x^-乔格·阿恩特2010年11月6日
如果p=2，则与a（p^e）=1相乘；如果p>2，则e+1-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
如果n是奇数，则a（n）=d（n）；如果n是偶数，则d（n(A000005号). （请参阅Weisstein页面。）-加里·亚当森2011年3月15日
a（n*2^m）=a（nx2^i），a（（2*j+1）^n）=n+1，对于m>=0，i>=0和j>=0。对于正x和y，a（（2*x+1）^n）=a（（2*y+1）^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年7月17日
L.g.f.：-log（产品{k>=1}（1-x^（2*k-1））^（1/（2*1）））=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2018年7月30日
G.f.：（psi_{q^2}（1/2）+log（1-q^2））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-迈克尔·索莫斯2019年6月1日
Sum_{k=1..n}a（k）~n*log（n）/2+（gamma+log（2）/2-1/2）*n，其中gamma是欧拉常数(A001620号). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月27日
|
|
|
例子
|
G.f.=q+q^2+2*q^3+q^4+2*q*5+2*q_6+2*q~7+q^8+3*q^9+2*q*10+。。。
对于n＝9，有三个9的奇数除数；它们是[1,3,9]。另一方面，有三个由9组成的连续部分：它们是[9]、[5,4]和[4,3,2]，因此a（9）=3。
初始术语说明：
图表
n个（n）_
1 1 _|1|
2 1 _|1 _|
3 2 _|1 |1|
4 1 _|1 _| |
5 2 _|1 |1 _|
6 2 _|1 _| |1|
7 2 _|1 |1 | |
8 1 _|1 _| _| |
9 3 _|1 |1 |1 _|
10 2 _|1 _| | |1|
11 2 _|1 |1 _| | |
12 2 |1 | |1 | |
...
a（n）是图的第n层中水平线段的数量。有关更多信息，请参阅A286001型.（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
对于n从1乘1到100 dos:=0：对于d从1乘2到n do，如果n mod d=0，则s:=s+1:fi:od：打印；日期：
a:=1；
对于ifactors（n）[2]中的d do
如果op（1，d）>2，则
a:=a*（op（2，d）+1）；
结束条件：；
结束do:
a；
|
|
|
数学
|
f[n_]：=块[{d=除数[n]}，计数[OddQ[d]，真]]；表[f[n]，{n，105}](*罗伯特·威尔逊v2004年8月27日*）
表[Total[Mod[Divisors[n]，2]，{n，105}](*扎克·塞多夫，2010年4月16日*）
f[n_]：=块[{d=DivisorSigma[0，n]}，如果[OddQ@n，d，d-Divisor Sigma[0，n/2]]]；数组[f，105](*罗伯特·威尔逊v*)
a[n_]：=和[Mod[d，2]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2013年5月17日*）
a[n_]：=除数和[n，Mod[#，2]&]；(*迈克尔·索莫斯，2013年5月17日*）
计数[除数[#]，_？奇数Q]&/@范围[110](*哈维·P·戴尔2015年2月15日*）
（*cl=当前水平，cs=当前子部分计数*）
a001227[n_]：=模块[{cs=0，cl=0，i，wL，k}，wL=a262045[n]；k=长度[wL]；对于[i=1，i<=k，i++，If[wL[[i]]>cl，cs++；cl++]；如果[wL[[i]]<cl，cl--]]；中文]
a[n_]：=除数Sigma[0，n/2^整数指数[n，2]；阵列[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年6月12日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=汇总（n，d，d%2）}/*迈克尔·索莫斯2007年10月6日*/
（PARI）{a（n）=方向（p=2，n，1/（1-X）/（1-kronecker（4，p）*X））[n]}/*迈克尔·索莫斯2007年10月6日*/
（PARI）a（n）=和（k=1，四舍五入（求解（x=1，n，x*（x+1）/2-n）），（k^2-k+2*n）%（2*k）==0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年5月31日
（哈斯克尔）
a001227=总和。a247795_低
（SageMath）
定义A001227号（n） ：return len（[1代表除数（n）中的d，如果是is_add（d）]）
（Magma）[除数（n）/估值（2*n，2）：[1..100]]中的n//文森佐·利班迪2019年6月2日
（Python）
从functools导入reduce
从运算符导入mul
来自sympy导入因子
定义A001227号（n） ：return reduce（mul，（q+1代表p，q代表因子（n）.items（），如果p>2），1）#柴华武2021年3月8日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000005号,A000079号,A000593号,A010054级（字符功能），A038547号,A050999号,A051000型,A051001号,A051002号,A051731号,A054844号,A069283号,A069288号,A109814号,A115369号,18235年,A118236号,A125911号,A136655型,A183063号,A183064号,237593加元,A247795型,A272887型,A273401型,A279387型,A286001型。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的,多重,核心,改变
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 1, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 0, 4, 0, 2, 2, 0, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag。见第139页示例（iv）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
R.W.Gosper，《十九世纪废弃矿田的露天采矿数学》，收录于《数学中的计算机》（Ed.D.V.Chudnovsky和R.D.Jenks）。纽约：德克尔，1990年。见第279页。
R.W.Gosper，q三角学、符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合数学的实验和发现。编辑：F.G.Garvan和M.E.H.Ismail。Kluwer，Dordrecht，荷兰，2001年，第79-105页。[参见图片。]
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷。见第2卷，第31页，第272条。
Ivan Niven、Herbert S.Zuckerman和Hugh L.Montgomery，《数字理论导论》，第五版，John Wiley and Sons，Inc.，纽约，1991年，第165页。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第575、16.23.1和16.23.2页。
R.P.阿加瓦尔，兰伯特级数和拉马努扬印度科学院产品。科学。（《数学科学》），第103卷，第3期，1993年，第269-293页（见第285页）。
新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.，1988年；第72页，等式（31.2）；第78页，等式如下（32.25）。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。见第108页。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和，《数学幻想曲》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
公式
|
这个序列是许多序列的四分之一。以下是两个示例：
a（n）=b（4*n+1），其中b（n）是乘法的，b（2^e）=0^e，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==3（mod 4），b（p ^e）=1如果p==1（mod4）-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
通用公式：（和{k>=0}x^（（k^2+k）/2））^2=（和{k>=0{x^。
雅可比θ（θ_2（0，sqrt（q）））^2/（4*q^（1/4））的展开。
求和[d|（4n+1），（-1）^（（d-1）/2）]。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+4*v*w^2-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
雅可比k/（4*q^（1/2））*（2/Pi）*k（k）的q^2次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年9月14日。的卷积A001938号和A004018号这出现在Abramowitz-Stegun参考文献第575、16.23.1和16.23.2页中给出的Jacobi sn和cn公式的分母中，其中m=k^2-沃尔夫迪特·朗2016年7月5日
G.f.：Sum_｛k>=0｝a（k）*x^（2*k）=Sum_｛k>=0｝x^k/（1+x^（2*k+1））。
通用公式：Z}x^k/（1-x^（4*k+1））中的和{k-迈克尔·索莫斯2005年11月3日
psi（x）^2=phi（x）*psi（x^2）的x次幂展开，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
莫比乌斯变换是周期8序列[1，-1，-1，0，1，1，-1，0-…]-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=1/2（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi i t），G（）是A104794号。
周期2序列的欧拉变换[2，-2，…]。
通用格式：q^（-1/4）*eta（q^2）^4/eta（q）^2。另请参见精细参考。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））^2/（1-x ^（2*k-1））^2。
通用公式：exp（总和{n>=1}2*（x^n/n）/（1+x^n））-保罗·D·汉纳2016年3月1日
a（n）=A001826号（2+8*n）-A001842号（2+8*n），2+8*n的除数1（mod 4）和3（mod 4）之间的差。参见Ono等人的链接，推论1，或直接参见Niven等人的参考文献，第165页，推论（3.23）-沃尔夫迪特·朗2017年1月11日
连分式1/（1-x^1+x^1*（1-x^1）^2/以x^2的幂表示-迈克尔·索莫斯2017年4月20日
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）-x^。
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）+x^。（结束）
G.f.:Sum_{n=-oo..oo}x^（4*n^2+2*n）*（1+x^（4*n+1））/（1-x^（4*n+1））。见阿加瓦尔，第285页，方程6.20，i=j=1，mu=4。
对于形式4*k+3的素数p，a（n*p^2+（p^2-1）/4）=a（n）。
对于形式为4*k+1的素数p和不等于（p-1）/4（mod p）的n，我们有a（n*p^2+（p^2-1）/4）=3*a（n）（因为b（n），其中b（4*n+1）=a（n，是乘法的）。（结束）
G.f.A（q）满足：
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1-q^（4*n+2））（Agarwal中的集合z=q，alpha=q^2，mu=4，方程式6.15）。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^（2*n）/（1-q^。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1+q^（2*n+1））^2=Sum_{n=-oo..oo}q^。（结束）
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^-马穆卡·吉卜拉泽2021年5月17日
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^（k*（k+1））*（1+q^-马穆卡·吉卜拉泽，2021年6月6日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^6+2*x^7+2*x^9+2*x^10+2*x^11+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^4）=q+2*q^5+q^9+2*q*13+2*q^17+3*q^25+2*q~29+2*q ^37+2*qq^41+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
sigmamr：=过程（n，m，r）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（n）中的d，如果modp（d，m）=r，那么a:=a+1；结束条件：；结束do:a；结束进程：
|
|
|
数学
|
加号@@（（-1）^（1/2（除数[4#+1]-1））(*蚂蚁王2010年12月2日*）
a[n_]：=级数系数[（1/2）椭圆Theta[2，0，q]椭圆Theta[3，0，q]，{q，0，n+1/4}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=级数系数[（1/4）椭圆Theta[2，0，q]^2，{q，0，2n+1/2}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，除数和[4 n+1，（-1）^商[#，2]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月8日*）
三角形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[8n+1]；表[Count[FrobeniusSolve[{1，1}，n]，{__？TriangeQ}]，{n，0，104}](*罗伯特·威尔逊v2017年4月15日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（k*（k+1）/2），x*O（x^n））^2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（-1）^（d\2）））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月2日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^4/eta（x+a）*2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（d%4==1）-（d%4=3））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月14日*/
（PARI）{my（q='q+O（'q^166））；Vec（eta（q^2）^4/eta（q）^2）}\\乔格·阿恩特2017年4月16日
（Sage）模块形式（Gamma1（8），1，prec=420）.1#迈克尔·索莫斯2014年6月8日
（哈斯克尔）
a052343=（翻转div 2）。(+ 1) . a008441号
（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（8），1），420）；A[2]/*迈克尔·索莫斯2015年1月31日*/
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054级,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.014秒内完成
|
