搜索： a046522-id:a046522
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A000005号
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| d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。
（原名M0246 N0086）
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+10
4813
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e（p），那么d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地说，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量，请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n，这是将n划分为连续整数的次数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必须是奇数的）除数映射到如下分区：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），map（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即，n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区都必须是上述形式之一，因此1对1的对应关系和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k（n）=log d（n）*log logn/（log2*logn），则lim-sup k（n）=1（Hardy和Wright，第18章，定理317），k（n）<=k（6983776800）=1.537939…（常数A280235型)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。
存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。
（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第38页。
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G.H.Hardy和E.M.Wright，由D.R.Heath-Brown和J.H.Silverman修订，《数字理论导论》，第6版，牛津大学出版社，2008年。
K.Knopp，《无穷级数的理论与应用》，布莱克，伦敦，1951年，第451页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第二章。（针对不平等等）
S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。有很多关于这个序列的引用-N.J.A.斯隆2014年6月2日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
B.Spearman和K.S.Williams，《数字理论估计手册》，卡尔顿数学。1975年第14号讲稿系列；见第2.1页。
E.C.Titchmarsh，《函数理论》，牛津，1938年，第160页。
特伦斯·陶（Terence Tao），《庞加莱的遗产》（Poincaré's Legacies），第一部分，阿米尔（Amer）。数学。Soc.，2009年，d（n）的上限见第31ff页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。1972年第十次印刷55系列[替代扫描副本，需要Flash插件]。
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吉米·德维利特（Jimmy Devillet）和盖格利·基斯（Gergely Kiss），对偶运算的特征，arXiv:1806.02073[math.RA]，2018年。
保罗·埃尔德斯（Paul Erdős）、卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）和安德烈斯·萨尔科齐（András sárközy），关于某些算术函数的局部重复值，程序。阿米尔。数学。Soc.101（1987），1-7。
C.R.Fletcher，小阶环，数学。加兹。第64卷，第13页，1980年。
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小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
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王正兵、罗伯特·福克金和万·福克金，分区与除数的关系，美国数学。《月刊》，第102期（1995年4月），第4期，第345-347页。
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配方奶粉
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如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。
a（n）=2当n是素数时。
通用公式：求和{n>=1}a（n）x^n=求和{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常被称为兰伯特系列（参见Knopp，Titchmarsh）。
a（n）=和{k=1..n}f（k，n）其中f（k、n）=1，如果k除以n，则为0（Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*Sum_{l=1..k}z（k，l）^n，其中z（k，l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.：求和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1）/2）/（（1-x^k）*Product_{i=1..k}（1-x ^i））-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦加维2007年12月15日
对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日
a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1，a（n）=2+和{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正
a（n）=1+总和{k=1..n}（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2），针对每个n.Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日
（Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_}d|n{a（d，d）^3（J.Liouville）。
a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.：求和{n>=1}求和{d|n}（-log（1-x^（n/d））^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日
一般公式：2*x/（1-x）-和{k>0}x^k*（1-2*x^k）/（1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a（n）=和{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}σ（gcd（n，k）），其中σ（n）=n的除数之和-奥格斯·莱卡2019年5月9日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）；
a（n）=求和{j=1..n}求和{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束）
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A000005号：=τ；[seq（τ（n），n=1..100）]；
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数学
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系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*）
a[n_]：=系列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯，2013年4月25日*）
a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*）
a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*）
具有[{M=500}，系数列表[Series[（2x）/（1-x）-Sum[x^k（1-2x^k）/(*马穆卡·吉卜拉泽，2018年8月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，方向（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯，2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
（岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（哈斯克尔）
除数1=[1]
除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆）
[2..n`div`2]）++[n]
a=长度。约数
（哈斯克尔）
a000005=产品。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
（Python）
从sympy导入divisor_count
对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
（GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
（朱莉娅）
函数tau（n）
i=2；数量=1
而i*i<=n
如果rem（n，i）==0
e=0
而rem（n，i）==0
e+=1
n=div（n，i）
结束
数量*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1？num+num:num
结束
println（[τ（n）代表1:104中的n]）#彼得·卢什尼2023年9月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007427号（Dirichlet逆），A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,A001826号,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,106737年,A129510号,A115361号,A129372号,A127093号,A143319号,A061017号,A091202年,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,A183063号,A263730型,A034296号,A237665型.
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3, 5, 6, 10, 11, 12, 17, 22, 29, 34, 35, 41, 44, 51, 58, 59, 60, 65, 70, 71, 72, 82, 84, 87, 91, 92, 96, 101, 102, 107, 111, 115, 118, 119, 125, 128, 129, 130, 137, 141, 142, 147, 149, 155, 174, 179, 182, 183, 191, 197, 201, 202, 205, 209, 213, 214, 215, 217, 222
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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序列不包含完美正方形。的确，设a（m）=k^2。则d（k^2）+d（k*2））=d（k|2）。注意，d（k^2）是奇数。另一方面，这是众所周知的(A046522号)d（k^2）<2*k。因此，（k+1）^2-k^2>d（k*2）。因此，k^2<k^2+d（k^2）<（k+1）^2和k^2+d（k ^2）不能是完美的正方形。所以，k^2+d（k^2）是偶数，我们有一个矛盾-弗拉基米尔·舍维列夫2017年2月10日
如果p是素数，t+1是奇数素数，那么p^t不在序列中。事实上，如果d（p^t+t+1）=t+1，那么p^t+t+1=q^t，其中q是质数>p（如果p^t+1=说q^l*r^m，那么（l+1）*（m+1）=t+1，这在条件下是不可能的）。但是q>=p+2和p^t+t+1>=p^t+2*t*p^（t-1）或t+1>=2*t*p ^（t-1），它通常只有解t=1；然而，根据条件t>=2-弗拉基米尔·舍维列夫，2017年2月18日
如果奇数k在这个序列中，那么2k也是-查理·内德2019年1月14日
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链接
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例子
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：a:=proc（n）如果tau（n+tau（n））=tau（n），则n结束如果结束proc:seq（a（n），n=1。。230）#Emeric Deutsch公司2010年4月8日
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数学
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选择[Range@224，Function[n，DivisorSigma[0，n+#]==#&@DivisorSigma[0,n]](*迈克尔·德弗利格2015年9月27日*）
位置[#，0][[All，1]]&@Table[DivisorSigma[0，n+DivisorSigma[0,n]]-DivisorSigma[0，n]，{n，222}](*迈克尔·德弗利格2017年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=numdiv（n+n=numdov（n））==n\\M.F.哈斯勒，2015年9月27日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A336760型
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| a（0）=0；对于n>0，a（n）=a（n-1）-tau（n）如果非负且不在序列中，否则a（n。 |
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+10
8
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0, 1, 3, 5, 2, 4, 8, 6, 10, 7, 11, 9, 15, 13, 17, 21, 16, 14, 20, 18, 12, 16, 20, 22, 30, 27, 23, 19, 25, 27, 35, 33, 39, 43, 47, 51, 42, 40, 36, 32, 24, 26, 34, 36, 42, 48, 44, 46, 56, 53, 59, 55, 49, 51, 59, 63, 71, 67, 71, 69, 57, 59, 63, 69, 62, 58, 50, 52, 58, 54, 62, 60, 72, 70, 66, 72
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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对于前1000万个术语，未出现的最小值为28。数据表明，当n趋于无穷大时，a（n）/n接近1。Asτ（n）<=2*sqrt（n）（参见A046522号)，这意味着28和其他未访问的小值将永远不会被访问。
在同一范围内，最大值为a（9998226）=10987569，2202001术语重复以前访问过的值，第一次出现时为a（21）=a（16）=16。连续递增项的最长运行时间为30，从a（1115610）=1217112开始，而连续递减项的最短运行时间为534，从a的（9960335）=10946233开始。
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链接
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例子
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a（2）=3。由于2有两个除数，a（2）=a（1）+2=1+2=3。
a（4）=2。由于4有三个除数，并且2以前没有被访问过并且是非负的，所以a（4）=a（3）-3=5-3=2。
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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3, 6, 7, 13, 14, 19, 20, 24, 26, 27, 32, 37, 38, 40, 43, 54, 57, 60, 63, 67, 69, 72, 74, 77, 79, 84, 85, 86, 87, 88, 97, 103, 108, 109, 111, 114, 115, 125, 126, 127, 132, 133, 134, 136, 138, 154, 158, 163, 170, 174, 177, 193, 194, 200, 201, 204, 205, 206, 209
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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序列中没有完美的正方形。的确，让a（m）=k^2表示某个m。然后，根据定义，d（k^2+2*d（k|2））=d（k*2）。注意，d（k^2）是奇数。另一方面，它是已知的（参见。A046522号)d（k^2）<2*k。因此（k+2）^2-k^2=4*k+4>2*d（k*2）。因此k^2<k^2+2*d（k^2）<（k+2）^2。显然，由于k^2+2*d（k^2）不能是（k+1）^2，那么k^2+2*d（k ^2）就不能是正方形。因此，d（k^2+2*d（k*2））是偶数，这是一个矛盾。
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数学
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选择[Range@210，Function[d，Divisor Sigma[0，#+2 d]==d]@Divisor西格玛[0，#]&](*迈克尔·德弗利格2017年2月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=my（d=numdiv（n））；d==numdiv（n+2*d）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月14日
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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序列中没有完美的正方形。的确，让a（m）=k^2表示某个m。然后，根据定义，d（k^2+3*d（k|2））=d（k*2）。注意，d（k^2）是奇数。另一方面，它是已知的（参见。A046522号)d（k^2）<2*k。因此（k+3）^2-k^2=6*k+1>3*d（k*2）。因此k^2<k^2+3*d（k^2）<（k+3）^2。注意，显然，k^2+3*d（k^2）不能是（k+2）^2。让我们也证明，k^2+3*d（k^2）不能是（k+1）^2，或者，等价地，3*d（k^2）不能等于2*k+1。的确，让3*d（k^2）=2*k+1。对于一些素数p，让p^a||k（即p^a| k，但p^（a+1）！|k） ，a>0，所以2*k+1==1（mod p）。但现在我们有3*p^（a+1）|3*d（k^2），因此有3*p ^（a+1）|2*k+1，所以2*k+1==0（mod p）。矛盾。因此，我们得出结论，k^2+3*d（k^2）不可能是一个正方形。因此，d（k^2+3*d（k*2））是偶数，这是一个矛盾。
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黄体脂酮素
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（PARI）isok（n）=numdiv（n）==numdiv\\米歇尔·马库斯2017年2月14日
（PARI）是（n）=my（d=numdiv（n））；d==numdiv（n+3*d）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月14日
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