显示找到的28个结果中的1-10个。
按行读取三角形：T（n，k）是第（n，k）个循环二项式系数，其中0<=k<=n。
+10
37
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 22
评论
等价地，T（n，k）=带有k个黑色珠子和n-k个白色珠子的项链数量（重量为k的二进制项链）。
列k的生成函数由k阶对称群的循环指数中的置换x_j->x^j/（1-x^j）给出-R.J.马塔尔2018年11月15日
关于Voss、Adams-Waters和Sloane的上述评论，请注意Fredman（1975）证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量（a_0，…，a_{n-1}）的数量S（n，k，v）a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v（modn）由S（n，k，v）=（1/（n+k））*Sum{d|gcd（n，k）}给出A054535号（d，v）*二项式（（n+k）/d，k/d）=S（k，n，v）。
Elashvili等人（1999）也证明了这一结果，他还证明了S（n，k，v）=Sum_{d|gcd（n，k，v）}S（n/d，k/d，1）。这里，S（n，k，0）=A241926型（n，k）=U（n，k）=T（n+k，k）（其中T（n，k=当前数组）。此外，S（n，k，1）=A245558型（n，k）。参见Panyushev（2011），了解更多一般结果和生成函数。
最后，请注意A054535号（d，v）=c_d（v）=Sum_{s|gcd（d，v）}s*Moebius（d/s）。这些是Ramanujan和，它也等于von Sterneck函数c_d（v）=phi（d）*Moebius（d/gcd（d，v））/phi（d/gcr（d，v））。我们有A054535美元（d，v）=A054534号（v，d）。
看看是否有Fredman（1975）、Elashvili et al.（1999）和Panyushev（2011）使用Molien级数对一般v的结果进行了证明，就像Sloane（2014）对v=0（在这种情况下，A054535号（d，0）=φ（d））。（即使数组的列A054535号（d，v）从v=1开始，我们也可以从v=0列开始数组。）
（结束）
U（n，k）是模n留数的k元组的等价类的数目，标识出那些分量因常数而不同的类和那些分量因置换而不同的族-阿尔瓦尔·伊比亚斯2021年9月21日
参考文献
N.G.de Bruijn，Polya的计数理论，载于：应用组合数学（E.F.Beckenbach，ed.），John Wiley and Sons，纽约，1964年，第144-184页（暗示这个三角形的G.F.）。
理查德·斯坦利，枚举组合数学，第二。ed.，Vol 1，Chapter I，Problem 105，pp.122 and 168，讨论了Z/nZ的子集加到0的数量-N.J.A.斯隆2014年5月6日
J.Voß，发布到序列粉丝邮件列表，2014年4月30日。
链接
伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985），237-250。
J.Brandt，分区周期，程序。美国数学。Soc.85（3）（1982），483-486，定理5。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000年版：13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》10（1999），第2期，173--188。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
D.E.Knuth、H.Wilf、C.L.Mallows和D.Klarner，信件，1994年
莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），通过连续分式求循环的k标记和2标记的谱和特征空间的一般方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第5页。
配方奶粉
T（n，k）=（1/n）*和{d|（n，k）}φ（d）*二项式（n/d，k/d）。
对于第n行（n>=1）：（1/n）*Sum_{i=0..n-1}（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n）-乔格·阿恩特，2012年9月28日
例子
三角形起点：
[ 0] 1,
[ 1] 1, 1,
[ 2] 1, 1, 1,
[ 3] 1, 1, 1, 1,
[ 4] 1, 1, 2, 1, 1,
[ 5] 1, 1, 2, 2, 1, 1,
[ 6] 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1,
[ 7] 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1,
[ 8] 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1,
[ 9] 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1,
[10] 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1,
[11] 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1,
[12] 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, ...
MAPLE公司
A047996号：=程序（n，k）局部C，d；如果k=0，则返回1；结束条件：；C:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做C:=C+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:C/n；结束进程：
数学
t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；t[0,0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司，2011年7月19日，根据给定公式*）
黄体脂酮素
（PARI）
p（n）=如果（n<=0，n==0，1/n*和（i=0，n-1，（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n））；
对于（n=0，17，打印（Vec（p（n）））；/*打印三角形*/
（PARI）
T（n，k）=如果（n<=0，n==0，1/n*sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））；
/*打印三角形：*/
｛对于（n=0，17，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”）；）；print（）；）；｝
0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37
评论
具有n个节点的双星（直径为3棵树）的数量。对于n>=3，n-2分为两部分的分区数-华盛顿·邦菲姆2011年2月12日
左半平面中第n个Bernoulli多项式的根数-米歇尔·拉格诺，2012年11月8日
111 211 221 222 322 332 333 433 443 444 544 554
311 411 331 422 441 442 533 552 553 644
511 611 522 622 551 633 661 662
711 811 722 822 733 833
911 A11 922 A22
B11 C11号机组
（结束）
配方奶粉
a（n）=楼层（n-2）/2），对于n>1，否则为0-华盛顿·邦菲姆2011年2月12日
通用格式：x^4/（1-x-x^2+x^3）-科林·巴克2012年1月31日
例子
正方形（n=4）有两条全等对角线；因此a（4）=1。正五角大楼也有相同的对角线；因此a（5）=1。在正六边形的所有对角线中，有两条不相配的对角线；因此a（6）=2，依此类推。
MAPLE公司
with（numtheory）：对于从1到80的n do:it:=0:
y： =[fsolve（bernoulli（n，x），x，complex）]：对于m从1到nops（y）do：如果Re（y[m]）<0，则it:=it+1：else fi:od:printf（`%d，`，it）：od:
黄体脂酮素
（岩浆）
A140106型：=func<n|n eq 1选择0 else Floor（（n-2）/2）>；
（SageMath）
定义A140106型（n） ：如果（n==1）else（n-2）//2，则返回0
（Python）
n组成3个有序相对素部分的数量。
（原名M2531 N0999）
+10
19
0, 0, 1, 3, 6, 9, 15, 18, 27, 30, 45, 42, 66, 63, 84, 84, 120, 99, 153, 132, 174, 165, 231, 180, 270, 234, 297, 270, 378, 276, 435, 360, 450, 408, 540, 414, 630, 513, 636, 552, 780, 558, 861, 690, 828, 759, 1035, 744, 1113, 870, 1104, 972, 1326, 945, 1380, 1116, 1386, 1218
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
一般公式：1+Sum_{n>=1}a（n）*x^n/（1-x^n）=（1-3*x+3*x^2）/（1-x）^3-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月26日
例子
a（3）=1到a（8）=18个三元组：
(1,1,1) (1,1,2) (1,1,3) (1,1,4) (1,1,5) (1,1,6)
(1,2,1) (1,2,2) (1,2,3) (1,2,4) (1,2,5)
(2,1,1) (1,3,1) (1,3,2) (1,3,3) (1,3,4)
(2,1,2) (1,4,1) (1,4,2) (1,4,3)
(2,2,1) (2,1,3) (1,5,1) (1,5,2)
(3,1,1) (2,3,1) (2,1,4) (1,6,1)
(3,1,2) (2,2,3) (2,1,5)
(3,2,1) (2,3,2) (2,3,3)
(4,1,1) (2,4,1) (2,5,1)
(3,1,3) (3,1,4)
(3,2,2) (3,2,3)
(3,3,1) (3,3,2)
(4,1,2) (3,4,1)
(4,2,1) (4,1,3)
(5,1,1) (4,3,1)
(5,1,2)
(5,2,1)
(6,1,1)
（结束）
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带有（数字理论）：
mobtr:=进程（p）
proc（n）选项记住；
加法（mobius（n/d）*p（d），d=除数（n））
结束
结束时间：
数学
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]，GCD@@#==1&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2020年10月14日*）
行读取的三角形T（n，k）：n到k部分的组合数，模循环移位。
+10
18
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 6, 22, 55, 99, 132, 132, 99, 55, 22, 6, 1
评论
T（n，k）=数字n可以表示为k个正整数的有序和的不同方式的数量，只计算一次那些可以通过循环置换相互转换的有序和。
这些可能被描述为循环组成，或者更松散地说是循环分区-N.J.A.斯隆2012年9月5日
参考文献
N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
链接
伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985）237-250。
R.Bekes、J.Pedersen和B.Shao，疯狂茶党循环分区，大学数学。J.，43（2012），24-36。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链组合与“埃尔米特互易”《代数组合》第10卷（1999年），第2期，第173-188页。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
阿诺德·克诺普马赫和内维尔·罗宾斯，循环成分的一些性质，斐波纳契夸脱。48（2010），第3期，249-255。
D.M.Y.Sommerville，关于循环数合成的某些周期性质，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，第2-7卷，第1期（1909年），第263-313页。
R.Razen、J.Seberry和K.Wehrhahn，循环矩阵生成的有序分区和代码J.Combina.理论系列。A、 27（1979），333-341。
例子
三角形开始
1;
1, 1;
1, 1, 1;
1, 2, 1, 1;
1, 2, 2, 1, 1;
1, 3, 4, 3, 1, 1;
1, 3, 5, 5, 3, 1, 1;
1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1;
1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1;
1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1;
1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1;
T（6,3）=4，因为将6表示为3个和的和有4种基本不同的方式1+1+4、1+2+3、1+3+2和2+2+2（所有其他方式都可以通过循环排列上述和中的一个来获得）。
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A037306号：=proc（n，k）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做a:=a+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:a/n；结束进程：
数学
t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；扁平[表[t[n，k]，{n，13}，{k，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月8日，配方后*）
nn=15；f[list_]：=选择[list，#>0&]；地图[f，Transpose[Table[Drop[CoefficientList[Series[CycleIndex[CyclicGroup[n]，s]/。表[s[i]->x^i/（1-x^i），{i，1，n}]，{x，0，nn}]，x]，1]，{n，1，nn}]]//网格(*杰弗里·克雷策2012年10月30日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a037306 n k=div（总和$map f$a027750_row$gcd n k）n，其中
f d=a000010 d*a007318'（分区n d）（分区k d）
a037306_row n=地图（a037306 n）[1..n]
a037306_tabl=映射a037306行[1..]
（PARI）T（n，k）=sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））/n\\米歇尔·马库斯2016年2月10日
T（n，k）是标有数字-k.k的n珠项链的数量，允许反转，总和为零，第一个差值为-k.k。
+10
12
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 4, 6, 2, 1, 3, 5, 12, 11, 4, 1, 4, 7, 23, 34, 33, 6, 1, 4, 10, 38, 88, 144, 86, 13, 1, 5, 12, 60, 187, 471, 576, 278, 21, 1, 5, 15, 88, 358, 1237, 2517, 2613, 873, 45, 1, 6, 19, 125, 625, 2798, 8235, 14611, 11841, 2938, 83, 1, 6, 22, 170, 1023
评论
表格开始
..1...1....1.....1.....1......1......1.......1.......1.......1.......1........1
..1...2....2.....3.....3......4......4.......5.......5.......6.......6........7
..1...2....4.....5.....7.....10.....12......15......19......22......26.......31
..2...6...12....23....38.....60.....88.....125.....170.....226.....292......371
..2..11...34....88...187....358....625....1023....1584....2355....3374.....4700
..4..33..144...471..1237...2798...5648...10483...18174...29863...46918....71037
..6..86..576..2517..8235..22249..52208..110285..214440..390344..672932..1108883
.13.278.2613.14611.58524.186765.505857.1210780.2631514.5293759.9995616.17902216
配方奶粉
第n行的经验值：
n=2：a（k）=a（k-1）+a（k-2）-a（k-3）。
n=3：a（k）=2*a（k-1）-a（k-2）+a（k-3）-2*a（k-4）+a（k-5）。
n=4：a（k）=3*a（k-1）-2*a（k-2）-2*a（k-3）+3*a（k4）-a（k-5）。
n=5：a（k）=2*a（k-1）-2*a（k-3）+2*a（k4）-a（k-5）-2*a（k-6）+2*a（k7）+a（k-8）-2*b（k-9）+2*a-（k-10）-2*a-。
例子
n=6，k=6的一些解：
.-4...-3...-2...-4...-2...-5...-3...-2...-5...-6...-2...-3...-3...-3...-4...-3
.-2....1...-1....2...-1...-5...-1...-1...-1...-2...-1...-1...-3...-3...-4....1
..2...-2...-1...-3....0...-1...-1....0....5....3....0....3...-3...-1...-1...-2
.-1....1....2....0...-1....5....1....3....2....5...-1...-1....1....2....4....3
..3....1....3....3....0....6....5...-1...-1....0....4....3....5....4....4....0
..2....2...-1....2....4....0...-1....1....0....0....0...-1....3....1....1....1
1, 1, 4, 10, 22, 42, 80, 132, 217, 335, 504, 728, 1038, 1428, 1944, 2586, 3399, 4389, 5620, 7084, 8866, 10966, 13468, 16380, 19811, 23751, 28336, 33566, 39576, 46376, 54132, 62832, 72675, 83661, 95988, 109668, 124936, 141778
评论
g.f.是Z（C_6，x）/x^6，循环群C_6的六元循环指数多项式，替换x[i]->1/（1-x^i），i=1，。。。，6.因此，通过Polya枚举，a（n+6）是循环不等的6条项链的数量，其6个珠子用非负整数标记，因此标签之和为n，其中n=0,1,2，。。。请参阅A102190号对于Z（C_6。注意这个公式与这个序列名称的公式是等价的：从一条黑色的6项链开始（所有6个珠子的标签都是0）。如果标签为k，则在6个黑色珠子k个白色珠子的后面插入，然后忽略标签-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
序列（b（n）：n>=1）的CIK[k]变换的g.f.b（x）=Sum_{n>=1}b（n。这里，k=6，b（n）=1表示所有n>=1，b（x）=x/（1-x），从中我们得到了下面给出的g.f.s的另一个证明-Petros Hadjicostas公司2018年1月7日
链接
莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），通过连续分式求循环的k标记和2标记的谱和特征空间的一般方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第6页。
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“CIK[6]”（项链，模糊，未标记，6部分）变换为1，1，1。。。
一般公式：（1-x+x^2+4*x^3+2*x^4+3*x^6+x^7+x^8）/（（1-x）^6*（1+x）^3*（1+x+x2）^2*（1-x+x^2））（推测）-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月5日
通用公式：（x^6）*（1-x+x^2+4*x^3+2*x^4+3*x^6+x^7+x^8）/。（在不同版本中证明R.Stephan猜想（具有正确的偏移量）；请参阅上面的注释条目）-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
G.f.：（1/6）*x^6*（（1-x）^（-6）+（1-x^2）^（-3）+2*（1-x^3）^（-2）+2*（1-x^6）^（-1））-赫伯特·科西姆巴2016年10月22日
例子
我们解释了为什么a（8）=4。根据上述网络链接中给出的C.G.Bower的变换理论，a（8）是将6个未标记的模糊盒子（可能只是大小不同）作为项链排列在一个圆圈上的方法，因此所有盒子中的球总数为8个。在圆上有四种方法：311111、221111、212111和211211。
为了将这些盒子的配置转换为带有8个珠子的项链，其中6个是黑色的，2个是白色的，我们修改了W.Lang给出的上述想法。我们将每个带有m个小球的盒子替换为一个黑色珠子，然后是m-1个白色珠子。上述四个示例分别为BWBBBBB、BWBBBB、BWBWBBB和BWBBB。
（结束）
数学
k=6；表[应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]/n，{n，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
0, 0, 0, 2, 4, 6, 10, 14, 18, 24, 30, 36, 44, 52, 60, 70, 80, 90, 102, 114, 126, 140, 154, 168, 184, 200, 216, 234, 252, 270, 290, 310, 330, 352, 374, 396, 420, 444, 468, 494, 520, 546, 574, 602, 630, 660, 690, 720, 752, 784, 816, 850, 884, 918, 954, 990, 1026
评论
(1,1,2) (1,1,3) (1,1,4) (1,1,5) (1,1,6) (1,1,7)
(1,2,1) (1,2,2) (1,3,2) (1,3,3) (1,4,3) (1,4,4)
(1,3,1) (1,4,1) (1,4,2) (1,5,2) (1,5,3)
(2,1,2) (2,1,3) (1,5,1) (1,6,1) (1,6,2)
(2,3,1) (2,1,4) (2,1,5) (1,7,1)
(3,1,2) (2,2,3) (2,2,4) (2,1,6)
(2,3,2) (2,3,3) (2,2,5)
(2,4,1) (2,4,2) (2,4,3)
(3,1,3) (2,5,1) (2,5,2)
(4,1,2) (3,1,4) (2,6,1)
(3,2,3) (3,1,5)
(3,4,1) (3,2,4)
(4,1,3) (3,4,2)
(5,1,2) (3,5,1)
(4,1,4)
(4,2,3)
(5,1,3)
(6,1,2)
（结束）
配方奶粉
a（n）=楼层（n/3）*（2n-3（楼层（n/3+1））。
通用格式：-2*x^4/（（x-1）^3*（x^2+x+1））-科林·巴克2013年6月6日
和{n>=4}1/a（n）=10/3-Pi/sqrt（3）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年9月27日
数学
表[天花板[n^2/3]-n，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2018年9月7日*）
表[（3n^2-9n+4-4Cos[2nPi/3]）/9，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2018年9月7日*）
线性递归[｛2，-1，1，-2，1｝，｛0，0，2，4，6｝，20](*埃里克·韦斯特因2018年9月7日*）
系数列表[级数[-2 x ^3/（（-1+x）^3（1+x+x^2）），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2018年9月7日*）
表[Length[Select[Join@@Permutations/@Integer Partitions[n，{3}]！减少@@#&&！GreaterEqual@@#&]]，{n，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月15日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000217号,A001399号,A001840号,A059204号,A072705号,A115981号,A329398型,A332578型,A332831型,A332833飞机,A332834飞机,A332874飞机,A333147型,A333190型.
n个节点上的完全图的亏格。
（原名M0503 N0182）
+10
10
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 16, 18, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 39, 43, 46, 50, 55, 59, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 94, 100, 105, 111, 118, 124, 130, 137, 144, 151, 158, 165, 173, 181, 188, 196, 205, 213, 221, 230, 239, 248, 257, 266, 276, 286, 295, 305
参考文献
A.Adem和R.J.Milgram，有限群的上同调，Springer-Verlag，第2版。编辑，200
J.L.Gross和T.W.Tucker，拓扑图论，Wiley，1987；见I（n）第221页。
J.L.Gross和J.Yellen编辑，《图论手册》，CRC出版社，2004年；第740页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
G.Ringel和J.W.T.Youngs，海伍德地图着色问题的解决方案，程序。美国国家科学院。科学。美国，60（1968），438-445。
配方奶粉
长度为10的序列[1,0,1,1,1,0,0,0，0，-1]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2005年8月24日
通用格式：x^5*（1+x^5）/（（1-x）*（1-x^3）*（1x^4））。
a（n）=天花板（n-3）*（n-4）/12），如果n>=3。
当n>=10时，a（n）=2*a（n-1）-2*a（n-2）+3*a（n3）-3*a（4-4）+2*a（v-5）-2*a（n-6）+a（n-7）-哈维·P·戴尔2011年12月18日
通用格式：x^5*（1-x+x^2+x^4-x^3）/（（1+x^2）*（1+x+x^1）*（1-x）^3）-R.J.马塔尔2014年12月18日
a（n）=（49+3*（n-7）*n-9*cos（n*Pi/2）-4*cos-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年12月14日
例子
a（1）=a（2）=a。a（5）=a（6）=a（7）=1，因为K_。
G.f.=x^5+x^6+x^7+2*x^8+3*x^9+4*x^10+5*x^11+6*x^12+8*x^13+。。。
MAPLE公司
A000933号：=-z**4*（1-z+z**2-z**3+z**4）/（z**2+z+1）/（1+z**2）/（z-1）**3#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
数学
系数列表[级数[x^5（1+x^5）/（（1-x）（1-x^3）（1-x^4）），{x，0，70}]，x](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
联接[{0，0}，LinearRecurrence[{2，-2，3，-3，2，-2，1}，{0，0，1，1，2，3}，70]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
连接[{0，0}，表[Ceiling[（n-3）（n-4）/12]，{n，3，20}]](*埃里克·韦斯特因2018年1月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<3，0，ceil（（n-3）*（n-4）/12））}/*迈克尔·索莫斯2005年8月24日*/
（岩浆）[n le 2选择0 else天花板（二项式（n-3，2）/6）：n in[1..70]]//G.C.格鲁贝尔2022年12月8日
（SageMath）[0,0]+[ceil（二项式（n-3,2）/6），对于范围（3,71）中的n#G.C.格鲁贝尔2022年12月8日
六角格子中指数n的本原子格的个数：从z/nZ取x，y，z的三元组，x+y+z=0，丢弃任何可以通过乘以一个单位并进行排列而从另一个三元组中获得的任何三元组。
（原名M0229）
+10
10
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 6, 4, 5, 6, 6, 4, 7, 5, 8, 8, 7, 5, 12, 6, 8, 7, 10, 6, 14, 7, 10, 10, 10, 10, 14, 8, 11, 12, 16, 8, 18, 9, 14, 14, 13, 9, 20, 11, 16, 14, 16, 10, 19, 14, 20, 16, 16, 11, 28, 12, 17, 18, 18, 16, 26, 13, 20, 18, 26, 13, 28
评论
六角形晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
此外，六边形晶格中面积等于n/2的点上顶点的三角形数Amihay Hanany，2009年10月15日[此处面积以晶格单元面积为单位进行测量；由于具有相同半积分面积的不同形状的三角形的数量是无限的，因此这些三角形可能被计数为Davey、Hanany和Rak-Kyeong-Seong论文中定义的等价关系。此外，此评论可能属于A003051号，不是这里-安德烈·扎博洛茨基，2018年3月10日和2019年7月4日]
也是二面体群的Cayley图的2n-顶点连通三次顶点传递图的数量[Potočnik等人]-N.J.A.斯隆2014年4月19日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Bernstein、N.J.A.Sloane和P.E.Wright，《六边形格的子格》，离散数学。170 (1997) 29-39 (摘要,pdf格式,秒).
J.Davey、A.Hanany和Rak-Kyeong Seong，计算Orbifold，arXiv:1002.3609[hep th]，2010年。
配方奶粉
设n=Product_{i=1..w}p_i^e_i。则a（n）=（1/6）*n*Product_{i=1..w{（1+1/p_i）+（C_1）/3+2^（w-2+C_2），
其中，如果2|n或9|n，则C_1=0，=产品{i=1..w，p_i>3}（1+Legendre（p_i，3）），否则，
如果n==0（mod 8），C_2=2；如果n==1，3，4，5，7（mod八），C_2=2。
例子
对于n=6，3个基本三元组是510、411、321。
数学
连接[{1}，表[p=Transpose[FactorInteger[n]][[1]；如果[Mod[n，2]==0||Mod[n、9]==0，c1=0，c1=Product[（1+JacobiSymbol[p[i]]，3]），{i，Length[p]}]；c2={2，1，0，1，1，10，1}[[1+Mod[n，8]]；n*乘积[（1+1/p[i]]），{i，长度[p]}]/6+c1/3+2^（长度[p]-2+c2），{n，2，100}]](*T.D.诺伊，2009年10月18日*）
1, 1, 4, 12, 30, 66, 132, 246, 429, 715, 1144, 1768, 2652, 3876, 5538, 7752, 10659, 14421, 19228, 25300, 32890, 42288, 53820, 67860, 84825, 105183, 129456, 158224, 192130, 231880, 278256, 332112, 394383, 466089, 548340
评论
“CIK[7]”（项链，模糊，未标记，7部分）变换为1，1，1。。。
g.f.是Z（C_7，x）/x^7，循环群C_7的七元循环指数多项式，替换x[i]->1/（1-x^i），i=1，。。。，7.因此，通过Polya枚举，a（n+7）是循环不等的7个项链的数量，其中7个珠子用非负整数标记，使得标记的和为n，其中n=0,1,2，。。。请参阅A102190号对于Z（C_7，x）和中的注释A032191号这个问题与“名称”行中给出的问题等价-沃尔夫迪特·朗2005年2月15日
对于p素数，如果a_p（n）是具有p个黑珠子和n-p个白珠子的项链的数量，则（a_p（n）：n>=1）=CIK[p]（1，1，1，1，…）。由于CIK[k]（B（x））=（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*B（x^d）^{k/d}，其中k=p和B（x）=x+x^2+x^3+…=x/（1-x），我们得到和{n>=1}a_p（n）*x^n=（（p-1）/（1-x^p）+1/（1-x）^p）*x*p/p，即赫伯特·科西姆巴当p为素数时，g。f的通式。
我们立即得到a_p（n）=（（p-1）/p）*I（p|n）+（1/p）*C（n-1，p-1）=（p-1N.J.A.斯隆和沃尔夫迪特·朗.（这里，如果条件成立，I（条件）=1，否则为0。同样，对于整数n和k，如果0<=n<k，C（n，k）=0）
因为序列（a_p（n）：n>=1）是的列k=pA047996号（n，k）=T（n，k），我们从后一序列的文献中得到a_p（n）=T。
（结束）
链接
莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），一种通过连续分数求循环的k-记号和2-记号的谱和本征空间的通用方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第5-6页。
配方奶粉
总尺寸：x^7*（x^6-5*x^5+13*x^4-17*x^3+13*x^2-5*x+1）/（（x^6+x^5+x^4+x^3+x^1）*（1-x）^7）-盖尔·林德（Linder.Gael（AT）wanadoo.fr），2005年1月13日
通用格式：（6/（1-x^7）+1/（1-x）^7）*x^7/7；一般来说，对于有p个黑色珠子和p个素数的项链，g.f.是（（p-1）/（1-x^p）+1/（1-x）^p）*x^p/p-赫伯特·科西姆巴2016年10月15日
数学
k=7；表[应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]/n，{n，k，30}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
删除案例[系数列表[系列[x^7（x^6-5 x^5+13 x^4-17 x^3+13 x^2-5 x+1）/（（x^6+x^5+x^4+x^2+x+1）（1-x）^7），{x，0，41}]，x]，0](*迈克尔·德弗利格2016年10月10日*）
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