登录
这个网站是通过捐款来支持的。OEIS基金会.

 

标志


提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A047 96 按行读取的三角形:t(n,k)是(n,k)第二循环二项式系数,其中0 <=k<=n。 三十七
1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、2, 1, 1、1, 1, 2、2, 1, 1、1, 1, 3、4, 3, 1、1, 1, 1、3, 5, 5、3, 1, 1、3, 1, 1、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、13

评论

等价地,T(n,k)=具有K黑色珠和nk白色珠的项链的数目(重量k的二值项链)。

同样的序列出现,如果我们采取表U(n,k)=项链的数目与n个黑色珠和K白色珠,并通过反对角线读取(参见)。A241926-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯02五月2014

u(n,k)也等于在z/nz中作为k元素之和表示0的方式的数目。-Jens Vo富兰克林·T·亚当斯·沃特斯斯隆4月30日2014至05五月2014。参见链接(“模块化分区和项链”注释)以供证明。

列k的生成函数是由k阶对称群的循环指数代换xyj->x^ j/(1-x^ j)给出的。马塔尔11月15日2018

彼得罗斯哈季科斯塔斯,7月12日2019:(开始)

关于Voss、Adams Watters和斯隆的评论,指出Frdman(1975)证明了满足A00+的非负整数分量的向量s(n,k,v)的数目s(n,k,v,a{{n-1)}。+ A{{N-1 }=K和SuMu{{I=0…N-1 } I * AiI=V(mod n)由S(n,k,v)=(1 /(n+k))* SuMu{{D*GCD(n,k)}给出。A0545 35(d,v)*二项((n+k)/d,k/d)=s(k,n,v)。

这一结果也得到了ELAHVVILI等人的证实。(1999)也证明了S(n,k,v)= SuMu{{Gd(n,k,v)}s(n/d,k/d,1)。这里,S(n,k,0)=A241926(n,k)=u(n,k)=t(n+k,k)(其中t(n,k)是当前数组)。此外,S(n,k,1)=A2455(n,k)。参见PayuSev(2011),得到更一般的结果和生成函数。

最后,注意到A0545 35(d,v)=Cyd(v)=SuMu{{GCD(D,V)} S*MOEBIUS(D/S)。这些是RAMANUJIN和,它也等于冯斯塔克函数Cyd(V)=φ(D)*莫比乌斯(D/GCD(D,V))/φ(D/GCD(D,V))。我们有A0545 35(d,v)=A0545 34(V,D)。

这将是有趣的,看看是否有证据的结果Fredman(1975),埃拉什维利等。(1999)和PayuSev(2011)用Myion级数作为一般V,由SLONE(2014)作V=0的情况(在这种情况下,A0545 35(d,0)=φ(d))。(即使数组的列)A0545 35(d,v)在V=1开始,我们也可以在列V=0处开始阵列。

(结束)

推荐信

de Brujn,波利亚的计数理论,在:应用组合数学(E. F. Beckenbach,ED),John Wiley和儿子,纽约,1964,pp.144-184(暗示这个三角形的G.F.)。

Richard Stanley,列举组合数学,第二。ED,第1卷,第一章,问题105,第122页和第168页,讨论了增加到0的Z/NZ子集的数目。-斯隆06五月2014

J. Vo,张贴到序列风扇邮寄名单,2014年4月30日。

H. S. Wilf,个人通信斯隆,11月,1990日。

A000 0 31对于许多额外的引用和链接。

链接

Seiichi Manyama行n=0…139的三角形,扁平化(从T.D.NOE行0…50)

Ethan Akin,Morton Davis,保加利亚纸牌游戏,嗯。数学月92(4)(1985),32-250。

J. Brandt分区循环,PROC。是。数学SOC。85(3)(1982),48—48 6,定理5。

Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan环形非交叉匹配《整数序列》杂志,第19卷(2016),第16.2.4页。

A. Elashvili,M. Jibladze,循环群正则表示的Hermite互惠Indag。数学(N.S.)9(1998),第2号,第23至第23条。MR1691428(2000℃:13006)

A. Elashvili,M. Jibladze,D. Pataraia,项链与“Hermite互惠”的组合论J.代数COMBIN10(1999)、2, 173、188。MR1719140(2000 J:05009)。见第174页。-斯隆,八月06日2014

M. L. Fredman一类分区的对称关系J组合理论SER。A 18(1975),19-202。

Harold Fredricksen两种颜色珠子项链的生成算法《离散数学》第61卷,第2-3期,1986年9月,181-188期。

D. E. Knuth计算机科学及其与数学的关系阿梅尔。数学月,81(1974),33-34。

D. E. Knuth,H. Wilf,C. L. Mallows,D. Klarner,通信,1994

Petr Lisonek代数组合学的计算机辅助研究,论文,1994,pp.72-73.

D. I. PanyushevFredman互惠、交换群的不变量和Cayley表的恒等式J.代数COMBIN33(2011),111-125。

F. Ruskey制作项链、林顿词和亲戚组合对象服务器。

F. Ruskey和J. Sawada一种有效生成固定密度项链的算法,暹罗J.计算,29(1999)61-184。

F. Ruskey项链、林顿词、De Bruijn序列等。[缓存副本,具有许可,仅PDF格式]

斯隆,关于模分区和项链的一个注记,2014。

P. Stanica,S. Maitra,旋转对称布尔函数-计数和密码性质,磁盘。APPL数学156(2008)1567—1580,G{{n,W}定理9。

维基百科项链动画[断线]?]

沃尔夫拉姆研究项链小程序.

与项链相关的序列的索引条目

公式

t(n,k)=(1/n)*SuMu{{(n,k)}φ(d)*二项式(n/d,k/d)。

t(2×n,n)=A000 323(n);t(2×n+1,n)=A000 0108(n)。-菲利普德勒姆7月25日2006

行n(n>1):(1/n)*SuMi{{i=0,n-1 }(x^(n/gCD(i,n))+1)^ gCD(i,n)。-乔尔格阿尔恩特9月28日2012

G.f.:Suthi{n,k>=0 } t(n,k)*x^ n*y^ k=1 - SuMu{{S>=1 }(φ(s)/s)*log(1-x^ s*(1 +y^ s))。-彼得罗斯哈季科斯塔斯10月26日2017

乘积{d>=1 }(1 -x^ d -y^ d)=乘积{{i,j>=0 }(1 -x^ i*y^ j)^ t(i+j,j),其中i和j均不为零。(从SOMOS的无穷乘积数组)A05168彼得罗斯哈季科斯塔斯7月12日2019

例子

三角形开始:

〔0〕1,

〔1〕1, 1,

〔2〕1, 1, 1,

〔3〕1, 1, 1,1;

〔4〕1, 1, 2,1, 1;

〔5〕1, 1, 2,2, 1, 1;

〔6〕1, 1, 3、4, 3, 1、1;

〔7〕1, 1, 3、5, 5, 3、1, 1;

〔8〕1, 1, 4、7, 10, 7、4, 1, 1;

〔9〕1, 1, 4、10, 14, 14、10, 4, 1、1;

〔10〕1, 1, 5、12, 22, 26、22, 12, 5、1, 1;

〔11〕1, 1, 5、15, 30, 42、42, 30, 15、5, 1, 1;

〔12〕1, 1, 6、19, 43, 66、80, 66, 43、19, 6, 1、1、…

枫树

A047 96= PoC(n,k)局部c,d;如果k=0,则返回1;结束IF;C:=0;在NothOnt[D除数](IGCD(n,k))中,d做C:= C+NothPosi[PHi](d)*二项式(n/d,k/d);结束do:c/n;结束进程:

SEQ(SEQ)A047 96(n,k),k=0…n,n=0…10);马塔尔4月14日2011

Mathematica

T[N],KY]:=合计[EulrPHi](α[*]*二项式[N/O],K/Oy]和/@除数[GCD[N,k])/n;t〔0, 0〕=1;平坦[表[t[n,k],{n,0, 13 },{k,0,n}] ]让弗兰,7月19日2011,在给定公式*之后)

黄体脂酮素

(帕里)

P(n)=(n=0,n=0, 1/n*和)(i=0,n-1,(x^(n/gCD(i,n))+1)^ gCD(i,n));

对于(n=0, 17,打印(Vec(p(n)));/*打印三角形*/

/*乔尔格阿尔恩特9月28日2012*

(帕里)

t(n,k)=(n=0,n=0, 1/n*SUMDEVI(GCD(n,k),d,Eulelphi(d)*二项式(n/d,k/d));

/*打印三角形:*/

{n(n=0, 17,for(k=0,n,Prrt1(t(n,k),),”);;

/*乔尔格阿尔恩特10月21日2012*

交叉裁判

行和:A000 0 31. 列0~12:A000 0 12A000 0 12A000 45 26A000 7997(n+1),A000 8610A000 864A032 191-A032 197.

囊性纤维变性。A05168A052307A0523-A0523.

A037 306A241926对于基本相同的三角形。

A2455A2455对于一个紧密相关的数组。

语境中的顺序:A052307 A067059 A0470704*A227 690 A063686A A000 8327

相邻序列:A047 93 A047 94 A047 95*A047 997 A047 98 A047 99

关键词

诺恩塔布容易

作者

斯隆

扩展

被编辑的名字彼得罗斯哈季科斯塔斯11月16日2017

地位

经核准的

查找γ欢迎γ维基γ注册γ音乐γ情节2γ演示γ指数γ浏览γ更多γ网络摄像机
贡献新的SEQ。或评论γ格式γ样式表γ变换γ超级导引头γ最近
OEIS社区通过保持OEIS基金会

许可协议、使用条款、隐私政策。.

最后修改了9月19日23∶59 EDT 2019。包含327207个序列。(在OEIS4上运行)