搜索： 编号：a047996
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A047996号
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| 按行读取三角形：T（n，k）是第（n，k）个循环二项式系数，其中0<=k<=n。 |
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 22
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,13
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评论
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等价地，T（n，k）=带有k个黑色珠子和n-k个白色珠子的项链数量（重量为k的二进制项链）。
列k的生成函数由k阶对称群的循环指数中的置换x_j->x^j/（1-x^j）给出-R.J.马塔尔2018年11月15日
关于Voss、Adams-Waters和Sloane的上述评论，请注意Fredman（1975）证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量（a_0，…，a_{n-1}）的数量S（n，k，v）a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v（modn）由S（n，k，v）=（1/（n+k））*Sum{d|gcd（n，k）}给出A054535号（d，v）*二项式（（n+k）/d，k/d）=S（k，n，v）。
Elashvili等人（1999）也证明了这一结果，他还证明了S（n，k，v）=Sum_{d|gcd（n，k，v）}S（n/d，k/d，1）。这里，S（n，k，0）=A241926型（n，k）=U（n，k）=T（n+k，k）（其中T（n，k）是当前阵列）。此外，S（n，k，1）=A245558型（n，k）。参见Panyushev（2011），了解更多一般结果和生成函数。
最后，请注意A054535号（d，v）=c_d（v）=Sum_{s|gcd（d，v）}s*Moebius（d/s）。这些是Ramanujan和，它也等于von Sterneck函数c_d（v）=phi（d）*Moebius（d/gcd（d，v））/phi（d/gcr（d，v））。我们有A054535号（d，v）=A054534号（v，d）。
看看是否有Fredman（1975）、Elashvili et al.（1999）和Panyushev（2011）使用Molien级数对一般v的结果进行了证明，就像Sloane（2014）对v=0（在这种情况下，A054535号（d，0）=φ（d））。（即使数组的列A054535号（d，v）从v=1开始，我们也可以从v=0列开始数组。）
（结束）
U（n，k）是模n留数的k元组的等价类的数目，标识出那些分量因常数而不同的类和那些分量因置换而不同的族-阿尔瓦尔·伊比亚斯2021年9月21日
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参考文献
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N.G.de Bruijn，Polya的计数理论，收录于：应用组合数学（E.F.Beckenbach，ed.），John Wiley and Sons，纽约，1964年，第144-184页（表示该三角形的G.F.）。
理查德·斯坦利，枚举组合数学，第二。ed.，第1卷，第一章，问题105，第122和168页，讨论了Z/nZ的子集加成0的数量-N.J.A.斯隆2014年5月6日
J.Voß，发布到序列粉丝邮件列表，2014年4月30日。
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链接
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伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985），237-250。
J.Brandt，分区周期，程序。美国数学。Soc.85（3）（1982），483-486，定理5。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》10（1999），第2期，173--188。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
D.E.Knuth、H.Wilf、C.L.Mallows和D.Klarner，信件，1994年
莫尼卡·雷耶斯（Mónica A.Reyes）、克里斯蒂娜·达洛夫（Cristina Dalfó）、米格尔·天使·菲奥（Miguel ali ngel Fiol）和阿尔诺·梅塞古（Arnau Messegue），通过连续分式求循环的k标记和2标记的谱和特征空间的一般方法，arXiv:2403.20148[math.CO]，2024。见第5页。
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/n）*和{d|（n，k）}φ（d）*二项式（n/d，k/d）。
对于第n行（n>=1）：（1/n）*Sum_{i=0..n-1}（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n）-乔格·阿恩特2012年9月28日
G.f.：求和{n，k>=0}T（n，k）*x^n*y^k=1-求和{s>=1}（φ（s）/s）*log（1-x^s*（1+y^s））-Petros Hadjicostas公司，2017年10月26日
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例子
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三角形开始：
[ 0] 1,
[ 1] 1, 1,
[ 2] 1, 1, 1,
[3]1,1,1，
[ 4] 1, 1, 2, 1, 1,
[ 5] 1, 1, 2, 2, 1, 1,
[ 6] 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1,
[ 7] 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1,
[ 8] 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1,
[ 9] 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1,
[10] 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1,
[11] 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1,
[12] 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, ...
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MAPLE公司
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A047996号：=程序（n，k）局部C，d；如果k=0，则返回1；结束条件：；C:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做C:=C+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:C/n；结束进程：
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数学
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t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；t[0,0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司，2011年7月19日，根据给定公式*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
p（n）=如果（n<=0，n==0，1/n*和（i=0，n-1，（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n））；
对于（n=0，17，打印（Vec（p（n）））；/*打印三角形*/
（PARI）
T（n，k）=如果（n<=0，n==0，1/n*sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））；
/*打印三角形：*/
{对于（n=0，17，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”）；）；打印（）；}
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交叉参考
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关键词
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