显示找到的12个结果中的1-10个。
产品扩展{m>=1}（1+x^m）；将n划分为不同部分的分区数；将n划分为奇数部分的数目。
（原名M0281 N0100）
+10
1517
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, 256, 296, 340, 390, 448, 512, 585, 668, 760, 864, 982, 1113, 1260, 1426, 1610, 1816, 2048, 2304, 2590, 2910, 3264, 3658, 4097, 4582, 5120, 5718, 6378
评论
分成不同部分的分区有时被称为“严格分区”。
爬上m级楼梯的不同方法的数量，采取奇数大小的步骤（或采取不同大小的步骤），其中顺序无关，并且对每个步骤的数量或大小没有其他限制，则为x^m系数。
将n划分为不同部分的数量=将n划分成奇数部分的数量是由于Euler。
双射：给定n=L1*1+L2*3+L3*5+L7*7+。。。，一个奇数部分的分区，用二进制写每个Li，Li=2^a1+2^a2+2^a3+。。。其中aj都不同，然后展开n=（2^a1*1+…）*1+。。。通过移除括号，我们可以将分区划分为不同的部分。对于反向操作，只需将任何偶数拆分为两半，直到没有剩余的偶数。
周期2序列[1,0,1,0，…]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2002年12月16日
不同部分和数1+[1,2]+[1,3]+[1,4]+。。。，其中[1，x]表示选择。例如，a（6）=4，因为我们可以写1+1+1+1+1，1+2+3，1+2+1+1，1+1+3+1-乔恩·佩里2003年12月31日
a（n）是将x_j划分为最多j个部分的次数之和，其中j是第j个三角形数的索引，n-T（j）=x_j。例如：；a（12）=划分成<=12-T（4）的4部分=2+划分成<=12-T（3）的3部分=6+划分成≤12-T（2）的2部分=9+划分成12-T（1）的1部分=11=（2）（11）+（6）（51）（42）（411）（33）（321）（222）+（9）（81）（72）（63）（54）+（11）=2+7+5+1=15-乔恩·佩里2004年1月13日
n的分区数，其中如果k是最大部分，则所有部分1..k都存在-乔恩·佩里2005年9月21日
杰克·格雷尔（Jack Grahl）和富兰克林·亚当斯（Franklin T.Adams-Waters）通过观察“无间隙”分区的费雷斯对偶保证有不同的部分，证明了乔恩·佩里（Jon Perry）的这一主张；由于Ferrers对偶是对合，这在两组分区之间建立了双射-艾伦·C·韦克斯勒2021年9月28日
具有n条边的连接阈值图的数量Michael D.Barrus（mbarrus2（AT）uiuc.edu），2007年7月12日
n个分区的数量，其中最大部分出现奇数次，所有其他部分出现偶数次。（此类分区是带有奇数部分的分区的对偶。）-大卫·沃瑟曼2009年3月4日
最大部分出现一次的n+1对称单峰组合数。n的对称单峰组合数，其中最大部分出现奇数次-乔格·阿恩特2013年6月11日
因为对于这些分区，部分1、2、…的指数。。。或者是0或1（j^0表示没有j部分），我们可以将这些分区称为“费米子分区”。这些部分是能级，即正整数，占领数是0或1（就像泡利的排除原理）。“费米子态”由n的这些分区表示-沃尔夫迪特·朗2014年5月14日
a（n）等于集合{1,2，…，n+1}的置换数p，用一行符号表示为p=p_1p_2…p_（n+1），满足p_，在满足p（i+1）-pi<=1，1<=i<=4的5个字母上的16个排列中，正好有两个主指数为4的排列，即53412和23451。因此a（4）=2。请参阅中的Bala链接A007318号作为证据-彼得·巴拉2022年3月30日
猜想：每个正整数n都可以写成a_1+…+a_k，其中a_1，。。。，ak是严格的分区数（即当前序列的项），没有人将其相除。已验证n=1..1350-孙志伟2023年4月14日
参考文献
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链接
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菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学剑桥大学出版社，2009年；见第48和499页。
瓦茨拉夫·科泰索维奇，贝塞尔极限错误《Mathematica Stack Exchange》，2016年11月9日。
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邱·D·阮（Hieu D.Nguyen）和道格拉斯·塔加特（Douglas Taggart），挖掘OEIS：十个实验推测, 2013. 提到这个序列。
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杨明嘉（Mingjia Yang）和多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger），受限分区的系统计数，arXiv:1910.08989[math.CO]，2019年。
公式
G.f.：产品{m>=1}（1+x^m）=1/Product{m>=0}（1-x^（2m+1））=Sum{k>=0{产品{i=1..k}x^i/（1-x ^i）=Sum{n>=0neneneep x^。
通用公式：和{n>=0}x^n*Product_{k=1..n-1}（1+x^k）=1+Sum_{n>=1}x^n*积{k>=n+1}（1+x^k）-乔格·阿恩特2011年1月29日
Product_{k>=1}（1+x^（2k））=Sum_{k>=0}x^。
渐近：a（n）~exp（Pi l_n/sqrt（3））/（4 3^（1/4）l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。
1/chi（-x）=chi（x）/chi（-x^2）=f（-x”）/phi（x”）=f“x”/phi-迈克尔·索莫斯2011年3月12日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（1152 t））=2^（-1/2）/f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2007年8月16日
q^（-1/24）*eta（q^2）/eta（q）的q次幂展开。
q^（-1/24）2^（-1-2）f2（t）的展开式为q=exp（2 Pi it）的幂，其中f2（）是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^3）^8满足0=f（B（x，B（x^2）），其中f（u，v）=v-u^2+16*u*v^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^8）^3满足0=f（B（x，B（x^3）），其中f（u，v）=（u^3-v）*（u+v^3）-9*u^3*v^3-迈克尔·索莫斯，2008年3月25日
来自Evangelos Georgiadis、Andrew V.Sutherland、Kiran S.Kedlaya（egeorg（AT）mit.edu），2009年3月3日：（开始）
a（0）=1；a（n）=2*（总和{k=1..floor（sqrt（n））}（-1）^（k+1）a（n-k^2））+σ=A010815号). （结束）
乘积g.f.=（1/（1-x））*（1/(1,1,1,...)*
(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)*(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...) * ...; =
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, ... = a*b类
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, ... = a、b、c
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... = a*b*c*d
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ... = a、b、c、d、e
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ... = a*b*c*d*e*f
G.f.：1/2（-1；x）_{inf}，其中（a；q）_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
更精确的渐近线：a（n）~exp（Pi*sqrt（（n-1/24）/3））/（4*3^（1/4）*（n-1/24）^（3/4））*（1+（Pi^2-27）/（24*Pi*sqrt（3*（n-1/24）））+（Pi^4-270*Pi^2-1215）/（3456*Pi^2*（n-1/24）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*3^（1/4）*n^（3/4））*（1+（Pi/（48*sqort（3））-（3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/13824-5/128-45/（128*Pi^2））/n）。
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3）+（Pi/（48*sqort（3））-3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）-（1/32+9/（16*Pi^2））/n）/（4*3^（1/4）*n^（3/4）））。
（结束）
a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（（n+1/24）/3））/sqrt（24*n+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日
通用公式：（1+x）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+3）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=
（1+x）*（1+x^2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+5）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1+x）*（1+x^2。。。。
通用公式：（1/2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n-1）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=
（1/2）*（1/（1+x））*Sum_{n>=0}x^（（n-1）*（n-2）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1/2）x（1/。。。。
G.f.：Sum_｛n>=0｝x^n/产品_｛k=1..n｝（1-x^（2*k））=（1/（1-x））*Sum_｛n>=0｝x^（3*n）/产品_｛k=1..n｝（1-x^（2*k））=（1/（（1-x）*（1-x^3）））*Sum_｛n>=0｝x^（5*n）/产品_｛k=1..n｝（1-x^（2*k））=（1/（（1-x）*（1-x^3）*（1-x^5））*总和_｛n>=0｝x^（7*n）/产品_｛k=1..n｝（1-x^（2*k））=。。。。（结束）
通用公式：A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n-1））/Product_{k=1..2*n}（1-x^k）。（在Mc Laughlin等人，第1.3节，条目7中设置z=x和q=x^2。）
类似地，A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n+1））/Product_{k=1..2*n+1}（1-x^k）。（结束）
通用公式：A（x）=exp（和n>=1}x^n/（n*（1-x^（2*n））-彼得·巴拉2021年12月23日
Sum_｛n>=0｝a（n）/exp（Pi*n）=exp（Pi/24）/2^（1/8）=A292820型. -西蒙·普劳夫2023年5月12日[证明：Sum_{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=phi（exp（-2*Pi））/phi Pi^（3/4）），见I.Mező，2013年的公式（14）和（13）-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月12日]
a（2*n）=和{j=1..n}p（n+j，2*j）和a（2xn+1）=和}j=1..n+1}p（n+j，2*j-1），其中p（n，s）是n的分区数，正好有s个部分-格雷戈里·西蒙2023年8月30日
例子
G.f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+5*x^7+6*x^8+8*x^9+。。。
G.f.=q+q^25+q^49+2*q^73+2*q*97+3*q^121+4*q^145+5*q^169+。。。
1: 1
2: 2
3: 3, 21
4: 4, 31
5: 5, 41, 32
6: 6, 51, 42, 321
7: 7, 61, 52, 43, 421
8: 8, 71, 62, 53, 521, 431
...
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N:=100；t1:=系列（mul（1+x^k，k=1..N），x，N）；A000009号：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；
规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：[seq（combstruct[count]（规范，大小=N），N=0..58）]；
规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：combstruct[allstructs]（规范，大小=10）；#得到n=10的实际分区
局部x，m；
乘积（1+x^m，m=1..n+1）；
膨胀（%）；
系数（%，x，n）；
#或者：
简化（展开（QDifferenceEquations:-QPochhammer（-1，x，99）/2，x））：
seq（系数（%，x，n），n=0..55）#彼得·卢什尼2016年11月17日
数学
分区Q[范围[0，60]]（*_哈维日，2009年7月27日*）
a[n_]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=系列系数[1/乘积[1-x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=使用[{t=Log[q]/（2Pi I）}，级数系数[q^（-1/24）DedekindEta[2t]/DedekindEta[t]，{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=级数系数[1/QPochhammer[x，x^2]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年5月24日*）
a[n_]：=级数系数[Series[QHypergeometricPFQ[{q}，{qx}，q，-qx]，{q，0，n}]/。x->1，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）
a[n_]：=级数系数[QHypergeometricPFQ[{}、{}，q，-1]/2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）
nmax=60；系数列表[级数[Exp[Sum[（-1）^（k+1）/k*x^k/（1-x^k），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月25日*）
nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=聚[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯1999年11月17日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）/eta（x+a），n））}；
（PARI）{a（n）=my（c）；对于部分（p=n，如果（n<1|p[1]<2，c++；对于（i=1，#p-1，如果（p[i+1]>p[i]+1，c---；break））；c}/*迈克尔·索莫斯2017年8月13日*/
（PARI）lista（nn）={q='q+O（'q^nn）；Vec（eta（q^2）/eta（q））}\\阿尔图·阿尔坎2018年3月20日
（岩浆）系数（&*[1+x^m:m in[1..100]]）[1..100]，其中x是多项式环（整数（））。1；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（哈斯克尔）
导入数据。MemoCombinators（memo2，整数）
a000009 n=a000009_列表！！n个
a000009_list=映射（pM1）[0..]，其中
pM=memo2积分p
p _ 0=1
p k m | m<k=0
|否则=pM（k+1）（m-k）+pM（k+1）m
（最大值）num_distinct_partitions（60，list）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/
（最大值）
h（n）：=如果oddp（n）=真，则1为0；
S（n，m）：=如果n=0，则1 else如果n<m，则0 else如果n=m，则h（n）else和（h（k）*S（n-k，k），k，m，n/2）+h（n；
a=二进制递归序列（0，1）
b=欧拉变换（a）
打印（[b（n）代表范围（56）中的n]）#彼得·卢什尼2020年11月11日
从functools导入lru_cache
从数学导入isqrt
@lru_cache（最大大小=无）
使用Memoize
n==0&&返回1
s=总和（（-1）^k*A000009号1中k的（n-k^2）：isqrt（n））
交叉参考
a（n）=和{n=1..m}A097306号（n，m），n分划成m个奇数部分的三角形的行和。
囊性纤维变性。A001318年,A000041号,A000700型,A003724号,A004111号,A007837号,A010815号,A035294号,A068049号,A078408号,A081360型,A088670型,109950英镑,A109968号,A132312号,A146061号,A035363号,A010054号,A057077号,A089806号,A091602型,A237515型,A118457号（分区），A118459号（分区长度），2015年5月23日（零件总数），A230957型（boutrophedon变换）。
r=2到12的r-规则分区数：A000009号,A000726号,A001935号,A035959号,A219601型,A035985号,A261775型,A104502型,A261776型,A328545型,A328546型.
0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 19, 23, 27, 32, 38, 44, 52, 61, 71, 82, 96, 111, 128, 148, 170, 195, 224, 256, 293, 334, 380, 432, 491, 557, 630, 713, 805, 908, 1024, 1152, 1295, 1455, 1632, 1829, 2048, 2291, 2560, 2859, 3189, 3554, 3958, 4404
评论
Ramanujanθ函数：phi（q）：=Sum_{k=-oo..oo}q^（k^2）(A000122号)，chi（q）：=生产{k>=0}（1+q^（2k+1））(A000700型).
公式
（1-phi（-q））/（2*chi（-q））的q次幂展开式，其中phi（）、chi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年2月14日
G.f.：总和（n>=1，q^（2*n^2-n）/prod（k=1..2*n-1，1-q^k））。[乔格·阿恩特2014年4月1日]
例子
a（5）=1到a（15）=14分区（a-F=10..15）：
5 6 7 8 9 A B C D E F
321 421 431 432 532 542 543 643 653 654
521 531 541 632 642 652 743 753
621 631 641 651 742 752 762
721 731 732 751 761 843
821 741 832 842 852
831 841 851 861
921 931 932 942
A21 941 951号
A31和A32
B21 A41
B31型
C21型
54321
（结束）
MAPLE公司
b： =proc（n，i，t）选项记忆`如果`（n>i*（i+1）/2，0，
`如果`（n=0，t，加上（b（n-i*j，i-1，abs（t-j）），j=0..分钟（n/i，1）））
结束：
a： =n->b（n$2,0）：
数学
b[n_，i_，t_]：=b[n，i，t]=如果[n>i*（i+1）/2，0，如果[n==0，t，和[b[n-i*j，i-1，Abs[t-j]]，{j，0，Min[n/i，1]}]]；a[n]：=b[n，n，0]；表[a[n]，{n，0，80}](*Jean-François Alcover公司2015年1月16日之后阿洛伊斯·海因茨*)
系数列表[Normal[Series[（QPochhammer[-x，x]-QPochharmer[x]）/2，{x，0，100}]，x](*安德烈·扎博洛茨基2017年4月12日*）
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@@#&OddQ[Length[#]]&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2021年1月9日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）/eta（x+a）-eta（x++））/2，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；S=1+2*平方（N）；
gf=总和（n=1，S，（n%2！=0）*q^（n*（n+1）/2）/prod（k=1，n，1-q^k））；
凹面（[0]，Vec（gf））/*乔格·阿恩特，2012年10月20日*/
（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；S=1+平方（N）；
gf=总和（n=1，S，q^（2*n^2-n）/prod（k=1，2*n-1，1-q^k））；
凹面（[0]，Vec（gf））\\乔格·阿恩特2014年4月1日
0, 1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 19, 25, 35, 45, 62, 80, 106, 136, 178, 225, 291, 366, 466, 583, 735, 912, 1140, 1407, 1743, 2140, 2634, 3214, 3932, 4776, 5807, 7022, 8495, 10225, 12313, 14762, 17696, 21136, 25236, 30030, 35722, 42367, 50216, 59368, 70138, 82665
评论
分区的秩是最大和减去和数。
还有n个具有负秩的分区的数量-奥马尔·波尔2012年3月5日
n的分区数p，使得max（max（p），p的部分数）不是p的一部分-克拉克·金伯利2014年2月28日
序列枚举每个数n的正秩分区半群。该半群是二元运算“*”下非负秩分区幺半群的子半群：设a是正秩分划（a1，…，ak），其中ak>k，设B=（b1，…bj），其中bj>j。然后让A*B是分区（a1b1，…，a1bj，…，akb1，..，akbj），它的akbj>kj，因此具有正秩。例如，9的分区（2,3,4）的秩为1，其与自身的乘积为81的（4,6,6,8,8,9,12,12,16），其秩为7。负秩划分也有类似的情况——它们是非正秩划分的幺半群的子半群-理查德·洛克·彼得森2018年7月15日
公式
a（n）=p（n-2）-p（n-7）+p（n-15）-…-（-1）^k*p（n-（3*k^2+k）/2）+。。。，其中p（）是A000041号(). -弗拉德塔·乔沃维奇，2004年8月4日
G.f.：乘积{k>=1}（1/（1-q^k））*和{k>=1}（（-1）^k*（-q^（3*k^2/2+k/2））（推测）-托马斯·巴鲁切尔2018年5月12日
例子
a（20）=p（18）-p（13）+p（5）=385-101+7=291。
a（2）=1到a（9）=13个正秩分区：
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(31) (32) (33) (43) (44) (54)
(41) (42) (52) (53) (63)
(51) (61) (62) (72)
(411) (421) (71) (81)
(511) (422) (432)
(431) (441)
(521) (522)
(611) (531)
(5111) (621)
(711)
(5211)
(6111)
（结束）
MAPLE公司
a:=0；
对于组合[分区]（n）do中的p
r:=最大值（op（p））-nops（p）；
如果r>0，则
a:=a+1；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：
数学
表[Count[InterPartitions[n]，q_/；第一个[q]>长度[q]]，{n，24}](*克拉克·金伯利2014年2月12日*）
表[Count[Integer Partitions[n]，p_/！成员Q[p，最大[Max[p]，长度[p]]]，{n，20}](*克拉克·金伯利2014年2月28日*）
P=分区P；
a[n_]：=（P[n]-总和[-（-1）^k（P[n-（3k^2-k）/2]-P[n-[3k^2+k）/2]），{k，1，楼层[（1+Sqrt[1+24n]）/6]}]）/2；
黄体脂酮素
（PARI）我的（N=66，x='x+O（'x^N））；concat（0，Vec（总和（k=1，N，x^k*prod（j=1，k，（1-x^（k+j-2））））\\Seiichi Manyama先生2022年1月25日
交叉参考
注：排名序列的A-数字在下面的括号中。
-排名-
-余额-
0, 0, 2, 0, 4, 2, 8, 4, 14, 12, 26, 22, 44, 44, 76, 78, 126, 138, 206, 228, 330, 378, 524, 602, 814, 950, 1252, 1466, 1900, 2238, 2854, 3362, 4236, 5006, 6232, 7356, 9078, 10720, 13118, 15470, 18800, 22152, 26744, 31456, 37772, 44368, 53002, 62134, 73894
评论
非空分区的Dyson秩是其最大部分减去其长度。空分区的秩未定义。
链接
弗里曼·J·戴森，分区的新对称性《组合理论杂志》7.1（1969）：56-61。
公式
具有奇数秩的部分在共轭下保持不变，而自共轭分区不能具有奇数阶，因此a（n）=2*A101707号（n） 对于n>0。
例子
a（0）=0到a（9）=12个分区（用点表示的空列）：
. . (2) . (4) (32) (6) (52) (8) (54)
(11) (31) (221) (33) (421) (53) (72)
(211) (51) (3211) (71) (432)
(1111) (222) (22111) (422) (441)
(411) (431) (621)
(3111) (611) (3222)
(21111) (3221) (3321)
(111111) (3311) (5211)
(5111) (22221)
(22211) (42111)
(41111) (321111)
(311111) (2211111)
(2111111)
(11111111)
数学
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，OddQ[Max[#]-Length[#]]&]]，{n，0，30}]
交叉参考
注：海因氏数序列的A数字在下面的括号中。
-排名-
-奇数-
囊性纤维变性。A003114号,A006141号,A027187美元,A039900型,A067538号,A096401号,A117409号,A143773号,A324518型,A325134型,A340828型,A340854型/A340855型.
Ramanujan函数R（x）=1+Sum_{n>=1}的展开{x^（n*（n+1）/2）/（（1+x）（1+x^2）（1+x^3）…（1+x^n））}。
（原名M0206）
+10
14
1, 1, -1, 2, -2, 1, 0, 1, -2, 0, 2, 0, -1, -2, 2, 1, 0, -2, 2, -2, 0, 0, 3, 0, -2, -2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, -1, 0, -2, -2, 0, 4, 0, 2, -2, 0, -2, -1, 2, 0, -2, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, -2, 4, 2, -1, 0, 0, -2, -2, -2, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 2, 0, 0, -2, 2, -2, -2, 0, 3, 0, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 1, -2, 0, -2, 0
评论
Ramanujan证明R（x）=2*Sum{n>=0}（S（x）-P（n，x））-2*S（x。A000009号=P（oo，x）和D（x）=-1/2+Sum_{n>=1}x^n/（1-x^n）=-1/2+g.f。A000005号.-迈克尔·索莫斯
参考文献
G.E.Andrews，Ramanujan的“丢失”笔记本V：Euler的分区标识，数学高级。61（1986），第2期，156-164；数学。版本87i:11137。[（2.8）中的扩展不正确。]
F.J.Dyson，《漫步拉马努扬花园》，G.E.Andrews等人，编辑，《拉马努詹再访》，第7-28页。纽约学术出版社，1988年。
F.J.Dyson，《美国数学文选》。Soc.，1996年，第200页。
B.Gordon和D.Sinor，eta-products的乘法性质，数论，马德拉斯1987年，第173-200页，数学课堂讲稿。，1395年，柏林施普林格，1989年。参见第182页。MR1019331（90k:11050）
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
G.E.安德鲁斯，我欠的一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年。
G.E.Andrews、F.J.Dyson和D.Hickerson，分区与不定二次型，发明。数学。91 (1988) 391-407.
亚历山大·帕特科夫斯基（Alexander E.Patkowski），关于秩奇偶函数的注记，离散数学。310 (2010), 961-965.
D.Zagier，量子模块形式，《数学量子：阿兰·康纳斯荣誉会议》示例1，《克莱数学学报11》，AMS和克莱数学研究所，2010年，659-675
公式
通用公式：1-和{n>0}（-x）^n*（1-x）*（1-x^2）*…*（1-x^（n-1））。
通用公式：1+Sum_{n>=1}（x^（n（n+1）/2）/Product_{j=1..n}（1+x^j））-Emeric Deutsch公司2006年3月30日
R（x）=-2+和{n>=0}（n+1）*x^（n（n-1）/2）/（乘积{k=1..n}（1+x^k））-保罗·D·汉纳2010年5月22日
例子
1+x-x^2+2*x^3-2*x^4+x^5+x^7-2*x^8+2*x^10-x^12-2*x^13+。。。
q+q^25-q^49+2*q^73-2*q^97+q^121+q^169-2*q ^193+2*q ^241-。。。
MAPLE公司
g： =1+总和（x^（n*（n+1）/2）/乘积（1+x^j，j=1..n），n=1..20）：gser：=系列（g，x=0，110）：seq（系数（gser，x，n），n=0..104）#Emeric Deutsch公司2006年3月30日
t1:=加（（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2）*（1-q^；t2：=系列（t1，q，40）#N.J.A.斯隆2011年6月27日
数学
最大值=105；f[x_]：=1+和[x^（n*（n+1）/2）/积[1+x^j，{j，1，n}]，{n，1，max}]；系数列表[系列[f[x]，{x，0，max}]，x](*Jean-François Alcover公司2011年12月2日*）
最大值=105；s=1+总和[2*q^（n*（n+1）/2）/QPochhammer[-1，q，n+1]，{n，1，天花板[Sqrt[2 max]]}]+O[q]^ max；系数列表[s，q](*Jean-François Alcover公司2015年11月25日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polceoff（和（k=1，n，t*=如果（k>1，x^k-x，x）+O（x^（n-k+2）），1），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年3月7日*/
（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polcoeff（和（k=1，（平方（8*n+1）-1）\2，t*=x^k/（1+x^k）+x*O（x^（n-（k^2-k）/2）），1），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e，x，y）；如果（n<0，0，n=24*n+1；a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]）；如果0；如果（p%24==1，对于步骤（i=1，平方（p），2，如果（issquare（（i^2+p）/2，&y），x=i；break）），对于（i=1，平方（p\2），如果（issquare（2*i^2+p，&x），y=i；断裂）；（e+1）*（-1）^（（x+if（（x-y）%6，y，-y））/6*e）））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
4, 8, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 40, 48, 54, 60, 64, 72, 80, 81, 90, 96, 100, 108, 112, 120, 128, 135, 144, 150, 160, 162, 168, 180, 192, 200, 216, 224, 225, 240, 243, 250, 252, 256, 270, 280, 288, 300, 320, 324, 336, 352, 360, 375, 378, 384, 392, 400, 405
评论
分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是质数（y_1）**素数（yk），给出正整数和整数分区之间的双射对应。
非空分区的Dyson秩是其最大部分减去其长度。空分区的秩未定义。
链接
弗里曼·J·戴森，分区的新对称性《组合理论杂志》7.1（1969）：56-61。
例子
分区序列及其Heinz数开始于：
4: (1,1) 80: (3,1,1,1,1)
8: (1,1,1) 81: (2,2,2,2)
12: (2,1,1) 90: (3,2,2,1)
16: (1,1,1,1) 96: (2,1,1,1,1,1)
18: (2,2,1) 100: (3,3,1,1)
24: (2,1,1,1) 108: (2,2,2,1,1)
27: (2,2,2) 112: (4,1,1,1,1)
32: (1,1,1,1,1) 120: (3,2,1,1,1)
36: (2,2,1,1) 128: (1,1,1,1,1,1,1)
40: (3,1,1,1) 135: (3,2,2,2)
48: (2,1,1,1,1) 144: (2,2,1,1,1,1)
54: (2,2,2,1) 150: (3,3,2,1)
60: (3,2,1,1) 160: (3,1,1,1,1,1)
64: (1,1,1,1,1,1) 162: (2,2,2,2,1)
72: (2,2,1,1,1) 168: (4,2,1,1,1)
数学
选择[Range[2，100]，PrimePi[FactorInteger[#][[-1，1]]]<PrimeOmega[#]&]
交叉参考
注：海因氏数序列的A数字在下面的括号中。
-排名-
囊性纤维变性。A003114号,A006141号,A039900型,A056239号,A096401号,A112798号,A117409号,A316413年,A325134型,A326845型,A340604型,A340605型,A340828型.
3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 49, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95
评论
分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是质数（y_1）**素数（yk），给出正整数和整数分区之间的双射对应。
非空分区的Dyson秩是其最大部分减去其长度。空分区的秩未定义。
链接
弗里曼·J·戴森，分区的新对称性《组合理论杂志》7.1（1969）：56-61。
例子
分区序列及其Heinz数开始于：
3: (2) 28: (4,1,1) 49: (4,4) 69: (9,2)
5: (3) 29: (10) 51: (7,2) 70: (4,3,1)
7: (4) 31: (11) 52: (6,1,1) 71: (20)
10: (3,1) 33: (5,2) 53: (16) 73: (21)
11: (5) 34: (7,1) 55: (5,3) 74: (12,1)
13: (6) 35: (4,3) 57: (8,2) 76: (8,1,1)
14: (4,1) 37: (12) 58: (10,1) 77: (5,4)
15: (3,2) 38: (8,1) 59: (17) 78: (6,2,1)
17: (7) 39: (6,2) 61: (18) 79: (22)
19: (8) 41: (13) 62: (11,1) 82: (13,1)
21: (4,2) 42: (4,2,1) 63: (4,2,2) 83: (23)
22: (5,1) 43: (14) 65: (6,3) 85: (7,3)
23: (9) 44: (5,1,1) 66: (5,2,1) 86: (14,1)
25: (3,3) 46: (9,1) 67: (19) 87: (10,2)
26: (6,1) 47: (15) 68: (7,1,1) 88: (5,1,1,1)
数学
选择[Range[2，100]，PrimePi[FactorInteger[#][[-1，1]]>PrimeOmega[#]&]
交叉参考
注：海因氏数序列的A数字在下面的括号中。
-排名-
囊性纤维变性。A003114号,A006141号,A039900型,A056239号,A096401号,A112798号,A117409号,A316413年,A324517型,A325134型,A326845型,A340828型.
1, 0, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 18, 24, 26, 32, 38, 46, 52, 60, 70, 83, 96, 112, 128, 148, 170, 194, 224, 256, 293, 334, 380, 432, 492, 556, 630, 712, 804, 908, 1026, 1152, 1296, 1454, 1632, 1828, 2048, 2292, 2560, 2858, 3190, 3554, 3959, 4404
数学
a[n_]：=计数[IntegerPartitions[n]，q_/；EvenQ[First[q]-长度[q]]&长度[q]==长度[Union[q]]]；
按行读取的三角形：T（n，k）=分成秩为k的不同部分的分区数，0<=k<n。
+10
6
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1
评论
A117192号（n） =总和（T（n，k）*（1-k mod 2）：0<=k<n）；
A117193号（n） =总和（T（n，k）*（k mod 2）：0<=k<n）；
A117194号（n） =总和（T（n，k）*（1-k mod 2）：0<k<n）；
公式
G.f.：总和（n>=1，q^（n*（n+1）/2）/prod（k=1..n，1-z*q^k）），见僧侣参考。[乔格·阿恩特2012年10月7日]
例子
三角形开始：
[ 1] 1,
[ 2] 0, 1,
[ 3] 1, 0, 1,
[ 4] 0, 1, 0, 1,
[ 5] 0, 1, 1, 0, 1,
[ 6] 1, 0, 1, 1, 0, 1,
[ 7] 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1,
[ 8] 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1,
[ 9] 0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1,
[10] 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1,
[11] 0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1,
[12] 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1,
[13] 0, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1,
[14] 0, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, ...
T（12.0）=#{}=0，
T（12,1）=#{5+4+2+1}=1，
T（12,2）=#{6+3+2+1，5+4+3}=2，
T（12,3）=#{6+5+1，6+4+2}=2，
T（12.4）=#{7+4+1，7+3+2}=2，
T（12.5）=#{8+3+1，7+5}=2，
T（12.6）=#{9+2+1，8+4}=2，
T（12,7）＝#{9+3}＝1，
T（12,8）=#{10+2}=1，
T（12,9）=#{11+1}=1，
T（12,10）=#{}=0，
T（12,11）=#{12}=1。
MAPLE公司
b： =proc（n，i，k）选项记忆；
如果n<0或k<0，则[]
elif n=0，则[0$k，1]
elif i<1，然后[]
else zip（（x，y）->x+y，b（n，i-1，k），b（n-i，i-1、k-1），0）
fi（菲涅耳）
结束：
T： =proc（n）局部j，r；r： =[]；
对于从0到n的j do
r： =zip（（x，y）->x+y，r，b（n-j，j-1，j-1），0）
od；r[]
结束：
数学
b[n_，i_，k_]：=b[n，i，k]=其中[n<0||k<0，{}，n==0，追加[Array[0&，k]，1]，i<1，{}，True，Plus@@PadRight[{b[n、i-1，k]、b[n-i，i-1，k-1]}]；T[n_]：=模块[｛j，r｝，r＝｛｝；对于[j＝0，j＜＝n，j++，r＝Plus@@PadRight[｛r，b[n-j，j-1，j-1]｝]]；r] ；表[T[n]，{n，1，20}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年1月30日之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
（PARI）
N=33；L=1+2*天花板（平方（N））；
q='q+O（q^N）；
gf=总和（n=1，L，q^（n*（n+1）/2）/prod（k=1，n，1-z*q^k））；
v=Vec（gf）；
{对于（n=1，#v，/*打印三角形：*/
p=Pol（v[n]，'z）+'c0；
p=polrecip（p）；
rw=维奇（p）；rw[1]-=‘c0；
打印1（“[”，n，“]”）；
打印（rw）；
); }
4, 12, 16, 18, 27, 40, 48, 60, 64, 72, 90, 100, 108, 112, 135, 150, 160, 162, 168, 192, 225, 240, 243, 250, 252, 256, 280, 288, 352, 360, 375, 378, 392, 400, 420, 432, 448, 528, 540, 567, 588, 600, 625, 630, 640, 648, 672, 700, 768, 792, 810, 832, 880, 882
评论
分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是质数（y_1）**素数（yk），给出正整数和整数分区之间的双射对应。
非空分区的Dyson秩是其最大部分减去其长度。空分区的秩未定义。
链接
弗里曼·J·戴森，分区的新对称性《组合理论杂志》7.1（1969）：56-61。
例子
分区序列及其Heinz数开始于：
4: (1,1) 150: (3,3,2,1)
12: (2,1,1) 160: (3,1,1,1,1,1)
16: (1,1,1,1) 162: (2,2,2,2,1)
18: (2,2,1) 168: (4,2,1,1,1)
27: (2,2,2) 192: (2,1,1,1,1,1,1)
40: (3,1,1,1) 225: (3,3,2,2)
48: (2,1,1,1,1) 240: (3,2,1,1,1,1)
60: (3,2,1,1) 243: (2,2,2,2,2)
64: (1,1,1,1,1,1) 250: (3,3,3,1)
72: (2,2,1,1,1) 252: (4,2,2,1,1)
90: (3,2,2,1) 256: (1,1,1,1,1,1,1,1)
100: (3,3,1,1) 280: (4,3,1,1,1)
108: (2,2,2,1,1) 288: (2,2,1,1,1,1,1)
112: (4,1,1,1,1) 352: (5,1,1,1,1,1)
135: (3,2,2,2) 360: (3,2,2,1,1,1)
数学
rk[n_]：=PrimePi[FactorInteger[n][[-1，1]]]-PrimeOmega[n]；
选择[Range[2，100]，OddQ[rk[#]]&&rk[#]<0&]
交叉参考
注：海因氏数序列的A数字在下面的括号中。
-排名-
囊性纤维变性。A003114号,A056239号,A096401号,A117193号,A117409号,A325134型,A326845型,A340604型,A340605型,A340787飞机,A340854型/A340855型.
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