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配分函数P

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P（n）,有时也表示p（n）（Abramowitz和Stegun 1972年，第825页；Comtet 1974年，第94页；哈代和赖特1979年，第273页；Conway和Guy，1996年，第94页；安德鲁斯1998年，第1页），给出了编写整数 n个作为积极的整数，其中的顺序加数不考虑重要。按照惯例，分区通常从最大到最小排序（Skiena 1990年，第51页）。例如，由于可以写入4

4=4
(1)
=3+1
(2)
=2+2
(3)
=2+1+1
(4)
=1+1+1+1,
(5)

由此可见P（4）=5.P（n）有时称为无限制分区数，在中实现这个Wolfram语言作为分区P[n个].

的值P（n）对于n=1,2, ..., 是1、2、3、5、7、11、15、22、30、42。。。（组织环境信息系统A000041号).的值P（10^n）对于n=0,1, ... 由1，42，190569292，24061467864032622473692149727991给出。。。（组织环境信息系统A070177美元).

的前几个质数值P（n）是2、3、5、7、11、101、17977、10619863。。。（组织环境信息系统A049575美元)，对应指数2、3、4、5，6, 13, 36, 77, 132, ... （组织环境信息系统A046063型). 作为2017年2月3日，已知最大的n个给出一个概素数是1000007396具有35219十进制数字（E.Weisstein，2017年2月12日），而已知的最大数字n个给出一个经过验证的素数是221444161具有16569十进制数字（S.Batalov，2017年4月20日；http://primes.utm.edu/top20/page.php？id=54条记录).

分区费雷尔斯图

当显式列出数字的分区时n个，最简单的形式是所谓的自然表示法它简单地给出了表示中的数字序列（例如，（2，1，1）对于数字4=2+1+1).这个多重性表示而是给出每个数字的次数与该数字一起出现（例如，（2，1），（1，2）4=2·1+1·2). 这个费雷尔斯图表是分区的图形表示。例如，图以上说明了费雷尔斯图分区的6+3+2+1=15.

Euler给出了一个生成函数对于P（n）使用q个-系列

（q） _（_F）=产品_（m=1）^（infty）（1-q^m）
（6）
=sum_（-infty）^（infty）（-1）^nq^（n（3n+1）/2）
（7）
=1-q-q^2+q^5+q^7-q^（12）-q^。。。。
（8）

这里，指数是广义的五角数0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, ... （组织环境信息系统A001318号)以及k个第个项（以0计为第0项）为（-1）^（|_（k+1）/2_|）（与|_x个_|这个楼层功能).然后是分区编号P（n）由生成功能

1/（（q）_infty）=sum_（n=0）^（infty）P（n）q^n
(9)
=1+q+2q^2+3q^3+5q^4+。。。
(10)

（Hirschorn 1999）。

一个数字的分区数n个进入之内米parts等于其中的分区数最大的是米,以及最多包含的分区数米parts等于划分为以下部分的分区数不超过米.这两个结果都是在注意到费雷尔斯图表可以在行或列中读取（尽管默认顺序是是顺时针的；Hardy 1999，第83页）。

例如，如果a_n=1为所有人n个,然后欧拉变换 b_n（b_n）是的分区数n个成整数部分。

欧拉发明了生成函数这导致了递推方程在里面P（n）,

P（n）=总和_（k=1）^n（-1）^（k+1）[P（n-1/2k（3k-1））+P（n-1/2 k（3k+1））]
(11)

（Skiena 1990年，第57页）。其他递推方程包括

P（2n+1）=P（n）+总和_（k=1）^系数[P（n-4k^2-3k）+P（n-4k ^2+3k）]-总和_（k=1）
(12)

和

P（n）=1/nsum_（k=0）^（n-1）σ_1（n-k）P（k），
(13)

哪里σ1（n）是除数函数（Skiena 1990年，第77页；伯恩特1994，第108页），以及身份

sum_（k=[-（sqrt（24n+1）+1）/6]）^（|_（sqert（24n/1）-1）/6_|）（-1）^kP（n-1/2k（3k+1））=0，
(14)

哪里|_x个_|是楼层功能和【x】是天花板功能.

A类递推关系涉及隔板函数Q由给定

P（n）=sum_（k=0）^（|_n/2_|）Q（n-2k）P（k）。
(15)

阿特金和斯温纳顿·戴尔（1954）获得了意想不到的身份

sum_（n=0）^（infty）P（5n）q^n=产品（n=1）^（infty）（（1-q^（5n-3））
(16)
sum_（n=0）^（infty）P（5n+1）q^n=产品（n=1）^（infty）（（1-q^（5n））
(17)
sum_（n=0）^（infty）P（5n+2）q^n=产品（n=1）^（infty）（（1-q^（5n））
(18)
sum_（n=0）^（infty）P（5n+3）q^n=3产品（n=1）^（infty）（（1-q^（5n-4））
(19)

（Hirschorn 1999）。

麦克马洪获得了递推关系

P（n）-P（n-1）-P-P（n-12）-P（n-15）+=0,
(20)

其中总和过于广义五角数 <=n以及k个第个学期是（-1）^（|_（k+1）/2_|），如上所示。Ramanujan在没有证据的情况下陈述非凡的身份

sum_（k=0）^inftyP（5k+4）q^k=5（（q^5）_infty^5）/（（q）_inffy^6）
(21)

（Darling 1921；Mordell 1922；Hardy 1999，第89-90页），以及

sum_（k=0）^inftyP（7k+5）q^k=7（（q^7）_infty^3）/（（q）_inffy^4）+49q
(22)

（莫代尔1922；哈代1999，第89-90页，错误更正）。

哈代和拉马努扬（1918）使用圆形法和模块化功能以获得渐近解决方案

P（n）～1/（4nsqrt（3））e^（pisqrt（2n/3））
(23)

（哈代1999年，第116页），乌斯彭斯基（1920年）也独立发现了这一点。Rademacher（1937）随后获得了精确收敛的级数解产生Hardy-Ramanujan公式(23)作为第一学期：

P（n）=1/（pisqrt（2））sum_（k=1）^inftyA_k（n）sqrt，
(24)

哪里

A_k（n）=sum_（h=1）^kdelta_（GCD（h，k），1）exp[piisum_（j=1），
(25)

δ_（mn）是克罗内克三角洲、和|_x个_|是楼层功能（哈代1999年，第120-121页）。之后的余数N个条款是

R（N）<CN^（-1/2）+Dsqrt（N/N）sinh（（Ksqrt）/N），
(26)

哪里C类和D类是固定常数（Apostol 1997，pp.104-110；Hardy 1999，pp.121和128). 令人惊讶的是轮廓由Rademacher使用涉及票价序列和福特圈子（《使徒行传》1997年，第102-104页；《哈代》1999年，第121-122页）。1942年，Erdős表明，Hardy和Ramanujan的公式可以通过初等推导出来指（霍夫曼1998年，第91页）。

Bruinier和Ono（2011）发现了配分函数的代数公式P（n）作为代数数的有限和如下所示。定义weight2亚纯模形式F（z）通过

F（z）=1/2（E_2（z）-2E_2（2z）-3E_2（3z）+6E_2（6z））/（eta^2（z）eta^2（2z）eta^2（3z）eta^3（6z）），
(27)

是q=e^（2piiz）,E_2（q）是一个艾森斯坦级数、和eta（q）是一个Dedekind eta公司功能。现在定义

R（z）=-（1/（2pii）d/（dz）+1/（2piy））F（z），
(28)

哪里z=x+iy.此外问题（_n）是积分二元二次型等价类的任意一组表示形式Q（x，y）=ax^2+bxy+cy^2这样的话6 |年具有a> 0个和b=1（模12）,以及每个Q（x，y）,让字母_Q是所谓的CM点上半平面,对于其中Q（字母_Q，1）=0.然后

P（n）=（Tr（n））/（24n-1），
(29)

其中跟踪定义为

Tr（n）=总和_（Q_n中的Q）R（alpha_Q）。
(30)

Ramanujan发现了许多隔板函数P同余.

让f_O（x）成为生成函数对于数字分区的P_O（n）属于n个包含古怪的仅数字和f_D（x）成为生成功能分区数P_D（n）属于n个没有重复，那么

f_O（x）=f_D（x）
(31)
=产品_（k=1,3，…）^（infty）和_（i=0）^
(32)
=1/（产品_（k=1,3，…）^（infty）1-x^k）
(33)
=产品_（k=1）^（infty）（1+x^k）
(34)
=1/2（-q；x）_infty
(35)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+3x^5+。。。，
(36)

正如Euler（Honsberger 1985；Andrews 1998，第5页；Hardy 1999，第86页）发现的，给出了P_O（n）=P_D（n）对于n=0, 1, ... 作为1、1、1，2、2、3、4、5、6、8、10。。。（组织环境信息系统A000009号). 身份

产品_（k=1）^infty（1+z^k）=产品_（k=1）^inft（1-z^（2k-1））^（-1）
(37)

被称为欧拉恒等式（哈迪，1999年，第84页）。

这个生成函数对于分成偶数个不相等部分的分区数量与数量之间的差异奇数个不相等部分中的分区数由下式给出

产品_（k=1）^（infty）（1-z^k）=1-z-z^2+z^5+z^7-z^（12）-z^。。。
(38)
=1+sum_（k=1）^（infty）c_kz^k，
(39)

哪里

对于1/2n（3n+/-1）形式的k，ck={（-1）^n；否则为0。
(40)

让P_E（n）是的分区数即使仅数字，然后让P_（EO）（n）(P_（DO）（n）)是所有部件所在的分区数即使(古怪的)而且都不一样。然后生成功能属于P_（DO）（n）由给定

f_（DO）（x）=产品_（k=1,3，…）^（infty）1+x^k
(41)
=（-x；x^2）_infty
(42)

（Hardy 1999，第86页），的前几个值是1，1，0，1，1。。。（OEIS）A000700型).附加生成函数已给出Honsberger著（1985年，第241-242页）。

令人惊讶的是，没有偶数部分重复的分区数与没有部分出现三次以上的分区数相同，也与没有部分可以被4整除的分区数一样，所有分区都具有生成函数

P_3（n）=产品_（k=1）^（infty）（1+x^（2k））/（1-x^
(43)
=产品_（k=1）^（infty）（1+x^k+x^（2k）+x^（3k））
(44)
=产品_（k=1）^（infty）（1-x^（4k））/（1-x*k）
(45)
=（（x ^4）_infty）/（x）_inft）。
（46）

的前几个值P^*（n）是1、2、3、4、6、9、12、16、22、29、38。。。（组织环境信息系统A001935号；Honsberger 1985，第241-242页）。

通常，没有部分出现的分区数的生成函数大于d日时间是

P_d（n）=产品_（k=1）^（infty）总和_（i=0）^
（47）
=产品_（k=1）^（infty）（1-x^（（d+1）k））/（1-x*k）
(48)

（Honsberger 1985年，第241-242页）。每个部分出现2、3或5次的分区数的生成函数为

P_（2,3,5）（n）=产品_（k=1）^（infty）（1+x^（2k）+x^（3k）+x^（5k））
(49)
=产品_（k=1）^（infty）（1+x^（2k））（1+4^（3k））
(50)
=产品_（k=1）^（infty）（1-x^（4k））
(51)
=（（x^4）_infty（x^6）_inffy）/（x^2）_inft（x^3）_infy）。
(52)

前几个值是0、1、1、1,1、3、1、3、4、4、8、5、9、11、11、12、20、15、23。。。（组织环境信息系统A089958号；Honsberger 1985年，第241-242页）。

没有部件发生一次的分区数为

P_1（n）=产品_（k=1）^（infty）（1+x^（2k）+x^（3k）+…）
(53)
=产品_（k=1）^（infty）（1-x^k+x^（2k））/（1-x*k）
(54)
=产品_（k=1）^（infty）（1+x^（3k））/（1-x^
(55)
=乘积_（k=1）^（infty）（1-x^（6k））/（（1-x^（2k））（1-x^（3k））
(56)
=产品_（k=1）^（inft）（（x^6）_infty）/（x^2）_inft（x^3）_inffy）。
(57)

前几个值是，1，0，1，1，2，1，4，2，6，5，9，7，16，11，22，20，33，28，51，42，71。。。（组织环境信息系统A007690号；霍斯伯格1985年，第241页，修正方程中的符号错误57).

根据这些定理（Honsberger 1985，第64-68页和143-146页），还有一些其他有趣的定理：

1.分区数n个其中没有即使部分重复与的分区数相同n个其中任何部分出现的次数都不超过三次与分区数相同，其中任何部分都不能被4整除。

2.分区数n个其中没有比d日时间与没有术语是的倍数d+1天.

3.分区数n个其中每个部分出现2、3或5次是与每个部分所在的分区数相同同余的模块12至2、3、6、9或10。

4.分区数n个其中没有一个部分出现一次与数字相同的分区n个其中没有任何部分同余的至1或5模块6。

5.部件所在的分区数即使和different等于具有古怪的和即使部分。

P（n）满足不等式

P（n）<=1/2[P（n+1）+P（n-1）]
(58)

（Honsberger，1991年）。

P（n，k）表示书写方式的数量n个总计确切地 k个术语，或者等效地，划分为多个部分的数量其中最大的是确切地 k个（请注意，如果“确切地 k个“已更改为”k个 或更少“和”最大的是确切地 k个，“更改为”无元素大于 k个，“然后隔板功能q个获得。）例如，P（5,3）=2，因为长度为3的5个分区{3,1,1}和{2,2,1}，最大元素为3的5个分区为{3,2}和{3,1,1}.

这个P（n，k）这样的分区可以在沃尔夫拉姆语言使用整数分区[n个,{k个}].

P（n，k）可以从递推关系

P（n，k）=P（n-1，k-1）+P（n-k，k）
(59)

（Skiena 1990年，第58页；Ruskey）P（n，k）=0对于k> n个,P（n，n）=1、和P（n，0）=0。的三角形P（k，n）由给定

11 11 1 11 2 1 11 2 2 1 11 3 3 2 1 1
（60）

（组织环境信息系统A008284号). 的分区数n个具有最大部分k个与相同P（n，k）.

这个递推关系可以精确求解给予

P（n，1）=1
(61)
P（n，2）=1/4[2n-1+（-1）^n]
(62)
P（n，3）=1/（72）[6n^2-7-9（-1）^n+16cos（2/3针）]
(63)
P（n，4）=1/（864）{3（n+1）[2n（n+2）-13+9（-1）^n]-96cos（2/3npi）+108（-1）（n/2）mod（n+1,2）+32sqrt（3）sin（2/3nbi）}，
(64)

哪里P（n，k）=0对于n<k.功能P（n，k）也可以显式给出k个以简单的形式

P（n，2）=|_1/2牛顿_|
(65)
P（n，3）=[1/（12）n^2]，
（66）

哪里|_x个_|是楼层功能和【x】是最接近的整数功能（Honsberger 1985年，第40-45页）。B.Schwennicke的类似处理定义

tk（n）=n+1/4k（k-3）
(67)

然后产生

P（n，2）=[1/2t_2（n）]
(68)
P（n，3）=[1/（12）t3^2（n）]
(69)
P（n，4）={对于n个偶数，[1/（144）t4^3（n）-1/（48）t4（n）]；对于n个奇数，[1/（114）t4]。
(70)

Hardy和Ramanujan（1918）获得了精确的渐近公式

P（n）=总和_（k<αsqrt（n））P_k（n）+O（n^（-1/4）），
(71)

哪里阿尔法是一个常量。然而，总金额

sum_（k=1）^inftyP_k（n）
(72)

分歧，如莱默（1937）首次所示。

另请参阅

阿尔金序列,共轭分区,埃尔德定理,欧拉身份,费雷尔斯图,格尔尼茨定理,分区,分区函数P同余,分区函数q个,配分函数Q,五角形编号,五角数定理,平面分区,随机分区,Rogers-Ramanujan标识,自共轭划分,斯坦利的定理,平方和函数,Tau函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/PartitionsP/

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参考文献

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引用关于Wolfram | Alpha

配分函数P

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“配分函数P”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html

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