搜索： a000990-标识：a000990
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1, 0, 2, 2, 5, 6, 13, 16, 30, 40, 66, 90, 142, 192, 290, 396, 575, 782, 1112, 1500, 2092, 2808, 3848, 5132, 6945, 9192, 12298, 16178, 21422, 28000, 36763, 47748, 62205, 80334, 103910, 133458, 171538, 219150, 280039, 356020, 452469, 572548, 724047
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链接
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配方奶粉
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G.f.：exp（2*Sum_{k>=1}（sigma_1（k）-1）*x^k/k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月21日
a（n）~exp（2*Pi*sqrt（n/3））*Pi^2/（4*3^（7/4）*n^（9/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年8月21日
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例子
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A000990型= (1, 1, 3, 5, 10, 16, ...). 成对差异=（1，0，2，2，5，…）。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 4, 7, 12, 19, 30, 45, 67, 97, 139, 195, 272, 373, 508, 684, 915, 1212, 1597, 2087, 2714, 3506, 4508, 5763, 7338, 9296, 11732, 14742, 18460, 23025, 28629, 35471, 43820, 53963, 66273, 81156, 99133, 120770, 146785, 177970, 215308, 259891, 313065, 376326, 451501
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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也是n+1的所有分区中所有不同整数的总数。例如，a（3）=7，因为4的分区包含不同整数的集合{1}、{1、2}、}、[1、3}、[4]，它们的总数是7-托马斯·维德2004年4月10日
偏移量为1时，n的所有分区中的1的数量也为1。例如，3=2+1=1+1+1，a（3）=（零1）+（一1）+-野本直弘2002年1月9日。参见Riordan参考第184页，最后一个公式，第一个术语，以获取基于Riordan第182（20）页给出的Fine恒等式的证明。
此外，当有两种尺寸为1的部件时，n划分为部件的数量。
还有2n+2的图形林分区数。
a（n）=n的每个分区计数2，每个减量计数1。例如，4的分区是4（2）、31（3）、22（2），211（3）和1111（2）。2 + 3 + 2 + 3 + 2 = 12. 这与费雷尔斯代表有关。我们可以看到，取n的每个分区的Ferrers图，并在所有可用列中添加一个新的*，我们生成n+1的每个分区，但会重复(A058884号). -乔恩·佩里2004年2月6日
此外，n的所有整数分区之间的1-转换次数。1-转换是从包含至少一个“1”的分区中删除一个数字“1”，然后将该“1”添加到该分区中的另一个数字。另一个数字也可以是“1”，但等量的所有数字都被视为不可查询（未标记）。例如，对于n=6，一个分区[1113]可能有以下两个1-转换：[1113]-->[123]和[1113]->[114]。n的1-跃迁形成偏序（偏序集）。对于n=6，有12个1-跃迁：[11111]->[11112]，[11112]->[1113]，[1112]->[1122]，[1113]->[114]，[1113]->[123]，[1122]->[123]，[1122]->[222]，[123]-->[33]，[123]-->[24]，[114]-->[15]，[114]-->[24]，[115]->[6]-托马斯·维德2005年3月8日
还有2n+1的分区数，其中一个部分大于n（也有n个以上的部分），以及2n+2的分区数（其中一个部件大于n+1（或有n+1个以上的部件）-亨利·博托姆利2005年8月1日
此外，n的所有分区中所有钩子长度中的总数为1，例如，a（4）=7，因为n=4的分区的钩子包含多集{4,3,2,1}、{4,2,1,1}，{3,2,1'、{4,1,2,1}，以及它们的总数为7-T.阿姆德伯汉，2012年6月3日
在偏移量为1的情况下，a（n）也是n的所有分区中最大元素和第二大元素之和之间的差值。更一般地说，k在n的所有划分中的出现次数等于n的所有分割中第k个最大元素和（k+1）个最大元素之和的差值，k，k+1，k+2.k+m在n的所有分区中的出现次数之和等于n的所有划分中第k个最大元素之和和与（k+m+1）个最大元素的和之间的差值-奥马尔·波尔2012年10月25日
对于所有n>0，a（0）=1和2*a（n-1）>=a（n）。因此，a（n）是一个完整的序列-弗兰克·M·杰克逊2013年4月8日
a（n）也是n圈C_n的未标记子图的个数。例如，对于n=3，三角形C_3有3个未标记子图带0条边，2个带1条边，1个带2条边，以及1个带3条边（C_3本身），因此a（3）=3+2+1=7-约翰·麦克索利2016年11月21日
a（n）也是所有部分偶数或等于1的2n分区数。证明：当k=0，。。，n、将k求和得出公式-伦纳德·查斯特科夫斯基2018年7月24日
a（n）是在x的（n+1）st导数的展开中出现的polygamma函数的总数！关于x。更具体地说，a（n）是字符串“PolyGamma”出现在Mathematica中D[x！，{x，n+1}]展开式中的次数。例如，D[x！，{x，3+1}]=Gamma[1+x]PolyGamma[0，1+x]^4+6伽马[1+x]PolyGamma[0，1'x]^2 PolyGalma[1，1+x]+3伽马[1+x]多伽马[1，1'x]^2+4伽马[1]多伽马[0，1+x]多伽玛[2，1+/x]+Gamma[1+x]Poly伽马[3，1+x]，我们看到字符串“PolyGamm”出现了总计a（3）=7倍-约翰·M·坎贝尔，2018年8月11日
在偏移量为1的情况下，2n的整数分区数也不包含任何多重图的多个顶点度集（即非多重图分区）；看见A209816型用于多图形分区-古斯·怀斯曼2018年10月26日
另外，a（n）是2n+1正好有一个奇数部分的分区数。
删除奇数部分2k+1，k=0。。。，n、 将2n-2k划分为偶数部分。n-k有同样多的无限制分区；现在将这些数字从0到n相加，得到a（n）-乔治·贝克2019年7月22日
a（n）是多集{r^n，s^1}的多集划分数，相当于任意数m=p^n*q^1的因式分解模式，其中p和q是素数-约尔格·阿恩特2024年1月1日
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参考文献
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H.Gupta，分区中的渐近公式。J.印度数学。Soc.，（N.S.）10（1946），73-76。
H.Gupta等人，《分区表》。皇家学会数学表，第4卷，剑桥大学出版社，1958年，第90页。
R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第6页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，表A-1，第778页-N.J.A.斯隆2018年12月30日
A.M.Odlyzko，渐近枚举方法，第19页
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第199页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Stanley，R.P.，枚举组合数学练习1.26，第1卷。英国剑桥：剑桥大学出版社，第59页，1999年。
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链接
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David Benson、Radha Kessar和Markus Linckelmann，低次对称群的Hochschild上同调，arXiv：2204.09970[数学.GR]，2022年。
Emmanuel Briand、Samuel A.Lopes和Mercedes Rosas，微分算子幂的正规序形式及其组合，arXiv:1811.00857[math.CO]，2018年。
M.S.Cheema和H.Gupta，高斯整数分区表印度国家科学院，《数学表》，第1卷，新德里，1956年。（来自的带注释的扫描页面，以及评论）
马里奥·德萨沃（Mario De Salvo）、达里奥·法西诺（Dario Fasino）、多梅尼科·弗雷尼（Domenico Freni）和乔瓦尼·洛法罗（Giovanni Lo Faro），与序列A000070相关的0-单半超群族《多值逻辑与软计算杂志》，2016年，第27卷，第5/6期，第553-572页。
马里奥·德萨沃（Mario De Salvo）、达里奥·法西诺（Dario Fasino）、多梅尼科·弗雷尼（Domenico Freni）和乔瓦尼·洛法罗（Giovanni Lo Faro），0-半群与群的合并得到的半超群，费洛马32（12）（2018），4177-4194。
P.Flajolet和B.Salvy，欧拉和与轮廓积分表示《实验数学》，7（1）（1998），15-35。
D.Frank、C.D.Savage和J.A.Sellers，关于图形森林分区的个数《组合艺术》，第65卷（2002年），第33-37页。
Manosij Ghosh Dastidar和Sourav Sen Gupta，整数分区中几个结果的推广，arXiv预印本arXiv:11111.0094[cs.DM]，2011。
郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
M.D.Hirschorn，n个分区中1的数量，光纤。夸脱。，51 (2013), 326-329.
G.Pfeiffer，计算传递关系《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。
Maria Schuld、Kamil Brádler、Robert Israel、Daiqin Su和Brajesh Gupt，基于高斯玻色子采样的量子硬件诱导图核，arXiv:1905.12646[quant-ph]，2019年。
Ifeanyichukwu Jeff Ugbene、Gatta Naimat Bakare和Garba Risqot Ibrahim，保序和减序部分一对一变换半群的共轭类《科学、技术、数学和教育杂志》（JOSTMED），15（2）（2019），83-88。
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配方奶粉
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[2,1,1,1,1，1，1，…]的欧拉变换。
对数（a（n））~3.3959+2.44613*sqrt（n）-罗伯特·威尔逊v2002年1月11日
a（n）=（1/n）*和{k=1..n}（σ（k）+1）*a（n-k），n>1，a（0）=1-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月22日
G.f.：（1/（1-x））*产品_｛m>=1}1/（1-x^m）。
Gupta给出了渐近结果a（n-1）~sqrt（6/Pi^2）*sqrtA000041号（n） ●●●●。
设P（2，n）表示n分成k>=2部分的划分集。
a（n-2）=P（2，n）}phi（k）中所有分区的k部分之和，其中phi（k）是Euler totient函数（参见A000010美元). 利用这个结果和关于phi函数平均阶的Mertens定理，得到了渐近结果
a（n-2）~（6/Pi^2）*n*（p（n）-p（n-1））=（6/Pi ^2）*A138880型（n） 作为n->无穷大。（结束）
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（2^（3/2）*Pi*squart（n））*（1+11*Pi/（24*sqert（6*n））+（73*Pi^2-1584）/（6912*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月26日
通用公式：exp（总和{k>=1}（σ_1（k）+1）*x^k/k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月21日
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例子
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G.f.=1+2*x+4*x^2+7*x^3+12*x^4+19*x^5+30*x^6+45*x^7+67*x^8+。。。
对于n=5，考虑n+1的分区：
--------------------------------------
.编号
第6部分，共1部分
--------------------------------------
6 .......................... 0
3 + 3 ...................... 0
4 + 2 ...................... 0
2 + 2 + 2 .................. 0
5 + 1 ...................... 1
3 + 2 + 1 .................. 1
4 + 1 + 1 .................. 2
2 + 2 + 1 + 1 .............. 2
3 + 1 + 1 + 1 .............. 三
2 + 1 + 1 + 1 + 1 .......... 4
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ...... 6
------------------------------------
35-16 = 19
.
6个分区集的第一列和第二列之和的差值为35-16=19，等于6个分区中所有分区的1个数，所以这个序列的第六项是a（5）=19。
（结束）
在偏移量为1的情况下，a（1）=1到a（6）=19个2*n的分区，其最大部分>n：
（2） （4）（6）（8）（A）（C）
(31) (42) (53) (64) (75)
(51) (62) (73) (84)
(411) (71) (82) (93)
（521）（91）（A2）
（611）（622）（B1）
(5111) (631) (732)
(721) (741)
(811) (822)
(6211) (831)
(7111) (921)
（61111）（A11）
(7221)
(7311)
(8211)
(9111)
(72111)
(81111)
(711111)
在偏移量为1的情况下，a（1）=1到a（6）=19个2*n的分区，其部分数>n：
(11) (211) (2211) (22211) (222211) (2222211)
(1111) (3111) (32111) (322111) (3222111)
(21111) (41111) (331111) (3321111)
(111111) (221111) (421111) (4221111)
(311111) (511111) (4311111)
(2111111) (2221111) (5211111)
(11111111) (3211111) (6111111)
(4111111) (22221111)
(22111111) (32211111)
(31111111) (33111111)
(211111111) (42111111)
(1111111111) (51111111)
(222111111)
(321111111)
(411111111)
(2211111111)
(3111111111)
(21111111111)
(111111111111)
（结束）
多集{1^5，2^1}的a（5）=19个多集分区为：
1: {{1, 1, 1, 1, 1, 2}}
2: {{1, 1, 1, 1, 1}, {2}}
3: {{1, 1, 1, 1, 2}, {1}}
4: {{1, 1, 1, 1}, {1, 2}}
5: {{1, 1, 1, 1}, {1}, {2}}
6: {{1, 1, 1, 2}, {1, 1}}
7: {{1, 1, 1, 2}, {1}, {1}}
8: {{1, 1, 1}, {1, 1, 2}}
9: {{1, 1, 1}, {1, 1}, {2}}
10: {{1, 1, 1}, {1, 2}, {1}}
11: {{1, 1, 1}, {1}, {1}, {2}}
12: {{1, 1, 2}, {1, 1}, {1}}
13: {{1, 1, 2}, {1}, {1}, {1}}
14: {{1, 1}, {1, 1}, {1, 2}}
15: {{1, 1}, {1, 1}, {1}, {2}}
16: {{1, 1}, {1, 2}, {1}, {1}}
17: {{1, 1}, {1}, {1}, {1}, {2}}
18: {{1, 2}, {1}, {1}, {1}, {1}}
19: {{1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {2}}
（结束）
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MAPLE公司
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with（combint）:a:=n->add（numpart（j），j=0.n）:seq（a（n），n=0..44）#零入侵拉霍斯2008年8月26日
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数学
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系数列表[级数[1/（1-x）*积[1/（1-x^k），{k，75}]，{x，0，45}]，x](*罗伯特·威尔逊v2004年7月13日*）
表[Count[Flatten@Integer Partitions@n，1]，{n，45}](*罗伯特·威尔逊v2008年8月6日*）
Join[{1}，Accumulate[PartitionsP[Range[50]]+1（*哈维·P·戴尔，2013年3月12日*）
a[n_]：=级数系数[1/（1-x）/QPochhammer[x]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年11月9日*）
累计[PartitionsP[Range[0，49]]](*乔治·贝克2014年10月23日；拼写错误由修复维吉尔·安德烈亚尼2016年7月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1/prod（m=1，n，1-x^m，1+x*O（x^n））/（1-x），n））}/*迈克尔·索莫斯2002年11月8日*/
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（1/（（1-x）*eta（x））/*约尔格·阿恩特2011年5月15日*/
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，numbpart（k））\\米歇尔·马库斯，2016年9月16日
（哈斯克尔）
a000070=p a028310_列表，其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
（鼠尾草）
p=[number of partitions（n）for n in range（leng）]
return[add（p[：k+1）for k in range（leng）]
（GAP）列表（[0..45]，n->总和（[0..n]，k->NrPartitions（k））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月25日
（Python）
从itertools导入累加
定义A000070iter（n）：
L=[0]*n；L[0]=1
定义编号（n）：
S=0；J=n-1；k=2
而0≤J：
T=L[J]
S=S+T如果（k//2）%2其他S-T
J-=k，如果（k）%2其他k//2
k+=1
返回S
对于范围（1，n）中的j：L[j]=numpart（j）
返回累积（L）
打印（列表（A000070iter（100））#彼得·卢什尼2019年8月30日
从itertools导入累加
def A000070List（size:int）->列表[int]：
return[范围（大小）中n的总和（累加（反转（A365676Row（n）））]
打印（A000070列表（45））#彼得·卢什尼2023年9月16日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A014153号,A024786号,A026794号,A026905号,A058884号,A093694号,A133735号,A137633号,A010815号,A027293号,A035363号,A028310号,A000712号,A000990型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A000219号
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| n个平面分区（或平面分区）的数量。
（原名M2566 N1016）
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+10
273
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1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 859, 1479, 2485, 4167, 6879, 11297, 18334, 29601, 47330, 75278, 118794, 186475, 290783, 451194, 696033, 1068745, 1632658, 2483234, 3759612, 5668963, 8512309, 12733429, 18974973, 28175955, 41691046, 61484961, 90379784, 132441995, 193487501, 281846923
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n的二维分区，其中没有行或列比前面的行或列长（比较A001970号). 例如，a（4）=13：
4.31.3.22.211.21..2.111.111.11.1但不是2
.....1....2.....1...1......1...11.1..1........ 11
....................1.............1..1
.....................................1
在上述内容中，还必须要求行和列不减少，例如，也禁止[1,1；2]（这意味着如果空单元格标识为充满0的单元格，则行和列的长度不减少）-M.F.哈斯勒2018年9月22日
也可以视为房间角落中立方体的“安全堆积”数量：高度不应远离角落增加-沃特·梅森
还有由两种颜色的n个对象组成的分区数，每个部分至少包含一个黑色对象；请参见示例-克里斯蒂安·鲍尔2004年1月8日
将n划分为1类部件1、2类部件2……、。。。，k部件k的类型。例如，n=3表示111、12、12'、3、3'、3''-乔恩·佩里2004年5月27日
也可以视为n X n矩阵的Jordan标准形数。（即，5 X 5矩阵有24个不同的Jordon标准形，取决于每个特征值的代数和几何多重性。）-Aaron Gable（agable（AT）hmc.edu），2009年5月26日
（1/n）*n项的卷积*A001157号（n的除数平方和）：（1，5，10，21，26，50，50，85，…）=a（n）。如[布雷索德，第12页]所示：1/6*[1*24+5*13+10*6+21*3+26*1+50*1]=288/6=48-加里·亚当森，2009年6月13日
与充气型卷曲（1、0、1、0，3、0、6、0、13…）=A026007号: (1, 1, 2, 5, 8, 16, 28, 49, 83, ...). -加里·亚当森，2009年6月13日
不幸的是，在G.Almkvist的论文中，Wright公式也是不完整的：“渐近公式和广义Dedekind和”，第344页，（分母应该是sqrt（3*Pi）而不是sqrt。）。史蒂文·芬奇（Steven Finch）在论文《整数分区》（Integer Partitions）中已经纠正了这个错误-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月17日
对偶也是多集链的多集的非同构权重n链的个数。对于每个顶点，多集分区的对偶有一个块，该块由包含该顶点的块的索引（或位置）组成，并以重数计算。多集分区的重量是其各部分大小的总和-古斯·怀斯曼2018年9月25日
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参考文献
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G.Almkvist，《平面分区数量的差异》，手稿，约1991年。
G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，1976年，第241页。
D.M.Bressoud，《证明与确认》，坎布。大学出版社，1999年；第10页第（n）页。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第575页。
L.Carlitz，生成函数和配分问题，A.L.Whiteman编辑，第144-169页，《数论》，Proc。交响乐。纯数学。，8 (1965). 阿默尔。数学。Soc.，见第145页，等式（1.6）。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合计数》，纽约威利出版社，1983年，（5.4.5）。
P.A.MacMahon，《数字分割理论回忆录——第六部分》，菲尔译。皇家学会，211（1912），345-373。
P.A.MacMahon，组合分析。剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第332页。
P.A.MacMahon，除数平方和与给定数的分区数之间的联系，信使数学。，54 (1924), 113-116. 《论文集》，麻省理工出版社，1978年，第一卷，第1364-1367页。见表二-N.J.A.斯隆2014年5月21日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.O.L.Atkin、P.Bratley、I.G.McDonald和J.K.S.McKay，关于m维划分的一些计算，程序。外倾角。Phil.Soc.，63（1967），1097-1100。
A.O.L.Atkin、P.Bratley、I.G.McDonald和J.K.S.McKay，关于m维划分的一些计算，程序。外倾角。Phil.Soc.，63（1967），1097-1100。[带注释的扫描副本]
Michael Beeler、R.William Gosper和Richard C.Schroeppel，哈克姆，项目18，备忘录AIM-239，马萨诸塞州剑桥市麻省理工学院人工智能实验室，1972年。
爱德华·本德，枚举中的渐近方法《SIAM评论》16（1974），第4期，第509页。
E.A.Bender和D.E.Knuth，平面分区的枚举J.Combin，《理论A.13》，第40-54页，1972年。
D.M.Bressoud和J.Propp，交替符号矩阵猜想的求解，通知Amer。数学。Soc.，46（1999年第6期），637-646。
Shouvik Datta、M.R.Gaberdiel、W.Li和C.Peng，平面分区的扭曲扇区，arXiv预印本arXiv:1606.07070[hep-th]，2016年。
史蒂文·芬奇，整数分区2004年9月22日。[经作者许可，缓存副本]
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第580页。
Bernhard Heim、Markus Neuhauser和Robert Tröger，平面分割不等式，arXiv:2109.15145[math.CO]，2021。
Ville Mustonen和R.Rajesh，固体隔板渐近行为的数值估计。。。，arXiv:cond-mat/0303607【cond-mat.stat-mech】，2003年。
L.Mutafchiev和E.Kamenov，关于平面分割数的渐近公式。。。，arXiv:math/0601253[math.CO]，2006；C.R.学院。保加利亚科学。59（2006），第4期，361-366。
Ken Ono、Sudhir Pujahari和Larry Rolen，平面配分函数的Turán不等式，arXiv:2201.01352[math.NT]，2022。
拉斐尔·舒马赫，自我计数身份，光纤。夸脱。，55（2017年第2期），157-167。
E.M.赖特，可旋转分区，J.伦敦数学。《社会学杂志》，43（1968），501-505。
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配方奶粉
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G.f.：产品{k>=1}1/（1-x^k）^k.-麦克马洪，1912年。
序列[1，2，3，…]的欧拉变换。
a（n）~（c_2/n^（25/36））*exp（c_1*n^（2/3）），其中c_1=A249387号=2.00945…和c_2=A249386型=0.23151…-赖特，1931年。Rod Canfield于2010年6月1日更正-见Mutafchiev和Kamenov。c2的精确值是e^（2c）*2^（-11/36）*zeta（3）^（7/36）*。
c1的精确值为3*2^（-2/3）*Zeta（3）^（1/3）=2.0094456608770137530649-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月14日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}a（n-k）*sigma_2（k），n>0，a（0）=1，其中sigma_（n）=A001157号（n） =n的除数平方和-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月20日
通用公式：exp（总和{n>0}σ_2（n）*x^n/n）。a（n）=和{pi}乘积{i=1..n}二项式（k（i）+i-1，k（i+n*k（n）=n-弗拉德塔·乔沃维奇2003年1月10日
更精确的渐近性：a（n）~ Zeta（3）^（7/36）*exp
*（1+c1/n^（2/3）+c2/n^
c1=-0.239944221250649114273759…=-277/（864*（2*泽塔（3））^（1/3））-泽塔（2）^
c2=-0.02576771365117017401620018082…=353*泽塔（3）^（1/3）/（248832*2^（2/3））-17*泽塔
c3=-0.00533195302658826100834286…=-629557/859963392-42944125/（7739670528*泽塔（3））+14977*泽塔
（结束）
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例子
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13的平面分区：
4 3 1 1
2 1
1
a（5）=（1/5！）*（σ2（1）^5+10*σ2*σ2（5）=24-弗拉德塔·乔沃维奇2003年1月10日
有一个（4）=13分区，由4个2种颜色的物体组成（‘b’和‘w’），每个部分至少包含一个黑色物体：
1个黑色部分：
[画外音]
2个黑色部件：
[bbww]
【bww，b】
[体重，体重]
3个黑色部件：
[bbbw]（英国广播公司）
[bbw，b]（英国广播公司）
[bb，bw]
（但不是：[bw，bb]）
[体重，体重，体重]
4个黑色部件：
[bbbb]（英国广播公司）
[bbb，b]（英国广播公司）
[bb，bb]
[bb、b、b]
【b、b、b和b】
（结束）
整数4的相应分区为：
4'''
4''
3'' + 1
2' + 2'
4'
3' + 1
2 + 2'
2' + 1 + 1
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
a（4）=13多集链的非同构代表，其对偶也是多集链：
{{1,1,1,1}}
{{1,1,2,2}}
{{1,2,2,2}}
{{1,2,3,3}}
{{1,2,3,4}}
{{1},{1,1,1}}
{{2},{1,2,2}}
{{3},{1,2,3}}
{{1,1},{1,1}}
{{1,2},{1,2}}
{{1},{1},{1,1}}
{{2},{2},{1,2}}
{{1},{1},{1},{1}}
（结束）
G.f.=1+x+3*x^2+6*x^3+13*x^4+24*x^5+48*x^6+86*x^7+160*x^8+。。。
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MAPLE公司
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级数（mul（（1-x^k）^（-k），k=1..64），x，63）；
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加(
a（n-j）*numtheory[σ][2]（j），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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系数列表[系列[产品[（1-x^k）^-k，｛k，64｝]，｛x，0，64｝]，x]
泽塔[3]^（7/36）/2^（11/36）/Sqrt[3 Pi]/Glaisher E^（3泽塔[3]^（1/3）（n/2）^（2/3）+1/12）/n^（25/36）（*赖特之后的渐近公式；瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月23日*）
系数列表[Series[Exp[Sum[DivisorSigma[2，n]x^n/n，{n，50}]]，{x，0，50}]，x](*埃里克·韦斯特因2018年2月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（exp（sum（k=1，n，x^k/（1-x^k）^2/k，x*O（x^n）），n））｝/*迈克尔·索莫斯2005年1月29日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，（1-x^k+x*O（x^n））^-k），n））}/*迈克尔·索莫斯，2005年1月29日*/
（PARI）我的（N=66，x='x+O（'x^N））；Vec（prod（n=1，n，（1-x^n）^-n））\\约尔格·阿恩特2014年3月25日
（Python）
从sympy导入缓存
从sympy.theory导入除数sigma
@缓存
如果n<=1：
返回1
收益总额(A000219号范围（1，n+1）中k的（n-k）*除数_sigma（k，2））//n
（朱莉娅）
使用Nemo、Memoize
@记忆函数a（n）
如果n==0，返回1结束
s=总和（a（n-j）*1：n中j的除数sigma（j，2））
返回div（s，n）
结束
[0:20中的a（n）代表n]#彼得·卢什尼2020年5月3日
b=欧拉变换（λn:n）
打印（[b（n）代表范围（37）中的n]）#彼得·卢什尼2020年11月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000712号
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| 生成函数=Product_{m>=1}1/（1-x^m）^2；a（n）=n分为2类的分区数。
（原M1376 N0536）
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+10
183
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1, 2, 5, 10, 20, 36, 65, 110, 185, 300, 481, 752, 1165, 1770, 2665, 3956, 5822, 8470, 12230, 17490, 24842, 35002, 49010, 68150, 94235, 129512, 177087, 240840, 326015, 439190, 589128, 786814, 1046705, 1386930, 1831065, 2408658, 3157789, 4126070, 5374390
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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对于n>=1，a（n）也是n维超立方体自同构群中共轭类的个数。这个自同构群是循环群C_2和对称群S_n的环积，其阶为序A000165号.-丹福，2001年11月4日
此外，GL_n（Z）中非相合矩阵的数量：每个Jordan块对角线上只能有+1或-1米歇尔·唐迪（blazar（AT）lcm.mi.infn.it），2004年6月15日
a（n）=总和（k（1）+1）*（k（2）+1）x*（k（n）+1），其中总和取全部（k（1），k（2），。。。，k（n）），使得k（1）+2*k（2）++n*k（n）=n，k（i）>=0，i=1..n，cf。A104510号,A077285号. -弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月21日
解释g.f.：1+2x+5x^2+…=s（x）*s（x^2）*s。。。；其中s（x）=1+2x+3x^2+4x^3+。。。是（高达系数x）的g.fA000027号. -加里·亚当森2010年4月1日
也等于2n的分区数，其中奇数部分在偶数位置和奇数位置出现的次数相同-沃特·梅森2013年4月17日
还有R是R的分区，S是S的分区，R+S=n的有序对（R，S）的个数；请参见示例。这对应于公式a（n）=总和（r+s==n，p（r）*p（s））=总和{k=0..n}p（k）*p（n-k）-约尔格·阿恩特2013年4月29日
还有所有具有恰好n条边和顶点阶为1或2的多图的数量-易卜拉欣·戈尔巴尼2013年12月2日
如果将k置换分解为循环和所谓的路径，则不同类型的分解数等于a（k）；请参阅Chen、Ghorbani和Wong的论文-易卜拉欣·戈尔巴尼2013年12月2日
设T（n，k）是n的两类1到k部分的划分数，其中T（n、0）=A000041号（n） ，n的分区数。那么a（n）=T（n，0）+T（n-1,1）+T（n-2,2）+T（n-3,3）+-格雷戈里·西蒙2019年5月18日
此外，在置换共轭下，配分幺半群P_n中投影的轨道数-詹姆斯·伊斯特2020年7月21日
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参考文献
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H.Gupta等人，《分区表》。英国皇家学会数学表格，第4卷，剑桥大学出版社，1958年，第90页。
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第199页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第1卷，1999年；见第78页第2.5.2条建议。
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链接
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E.R.Canfield、C.D.Savage和H.S.Wilf，整数分区的规则间隔子集，arXiv:math/0308061[math.CO]，2003年。
陈伟业、季克强、威尔夫，BG-银行和2核，arXiv:math/0605474[math.CO]，2006年。
W.Edwin Clark、Mohamed Elhamdadi、Xiang-dong Hou、Masahico Saito和Timothy Yeatman，与点阿贝尔群相关联的连通量子数，arXiv预印本arXiv:1107.5777[math.RA]，2011年。
Shouvik Datta、M.R.Gaberdiel、W.Li和C.Peng，平面分区的扭曲扇区，arXiv预印本arXiv:1606.07070[hep-th]，2016年。参见第节。2.1.
Mario De Salvo、Dario Fasino、Domenico Freni和Giovanni Lo Faro，0-半群与群的合并得到的半超群，Filomat（2018）第32卷，第12期，4177-4194。
鲁斯·霍夫曼（Ruth Hoffmann）、厄兹格尔·阿奎恩（Oh zgür Akgün）和克里斯托弗·杰斐逊（Christopher Jefferson），置换枚举的可组合约束模型，arXiv:2311.17581[cs.DM]，2023。
Han Mao Kiah、Anshoo Tandon和Mehul Motani，子块约束码的广义球面装箱界，arXiv:1901.00387[cs.IT]，2019年。
雅各布·斯普里图拉，关于着色因子分解，arXiv:2008.09984[math.CO]，2020年。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}p（k）*p（n-k），其中p（n）=A000041号（n） ●●●●。
周期1序列的欧拉变换[2,2,2，…]-迈克尔·索莫斯2003年7月22日
a（0）=1，a（n）=（1/n）*和{k=0..n-1}2*a（k）*σ_1（n-k））-约尔格·阿恩特2011年2月5日
a（n）~（1/12）*3^（1/4）*n^（-5/4）*exp（（2/3）*sqrt（3）*Pi*sqrt（n））。-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年9月13日
更精确的渐近性：a（n）~exp（2*Pi*sqrt（n/3））/（4*3^（3/4）*n^（5/4））*（1-（Pi/（12*sqrt（3））+15*sqert（3）/（16*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/864+315/（512*Pi^2）+35/192）/n）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2017年1月22日
当n＝2*m且p（m）是奇数时，a（n）是奇的。
a（n）=（2/n）*Sum_{k=0..n}k*p（k）*p（n-k）对于n>=1。
猜想：当n等于模5的2、3或4时，a（n）可以被5整除（检查到n=1000）。（结束）
通用公式：exp（2*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-x^k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月6日
根据a（n）=0表示n<0的约定，我们有递归a（n”）=g（n）+Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）*（2*k+1）*a（n-k*（k+1(A001318号)否则g（n）=0。例如，n=7=-2*（3*（-2）-1）/2是五边形数，g（7）=1，因此a（7）=1+3*a（6）-5*a（4）+7*a（1）=1+195-100+14=110-彼得·巴拉，2022年4月6日
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例子
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假设有两种整数：k和k'；则a（3）=10，因为3将以下分区分为两类：111，111’，11’1’，1’1’1‘，12，1’2，12’，1‘2’，3，和3’-W·埃德温·克拉克2011年6月24日
有一个（4）=20个4的分区，分成2类。这里p:s代表“s类的p部分”：
01: [ 1:0 1:0 1:0 1:0 ]
02: [ 1:0 1:0 1:0 1:1 ]
03: [ 1:0 1:0 1:1 1:1 ]
04: [ 1:0 1:1 1:1 1:1 ]
05: [ 1:1 1:1 1:1 1:1 ]
06: [ 2:0 1:0 1:0 ]
07: [ 2:0 1:0 1:1 ]
08: [ 2:0 1:1 1:1 ]
09: [ 2:0 2:0 ]
10: [ 2:0 2:1 ]
11: [ 2:1 1:0 1:0 ]
12: [ 2:1 1:0 1:1 ]
13: [ 2:1 1:1 1:1 ]
14: [ 2:1 2:1 ]
15: [ 3:0 1:0 ]
16: [ 3:0 1:1 ]
17: [ 3:1 1:0 ]
18: [ 3:1 1:1 ]
19: [ 4:0 ]
20: [ 4:1 ]
n=4的分区的a（4）=20个有序对（R，S）为
([4], [])
([3, 1], [])
([2, 2], [])
([2, 1, 1], [])
([1, 1, 1, 1], [])
([3], [1])
([2, 1], [1])
([1, 1, 1], [1])
([2], [2])
([2], [1, 1])
([1, 1], [2])
([1, 1], [1, 1])
([1], [3])
([1], [2, 1])
([1], [1, 1, 1])
([], [4])
([], [3, 1])
([], [2, 2])
([], [2, 1, 1])
([], [1, 1, 1, 1])
此列表是使用Sage命令创建的
对于分区元组（2,4）中的P：打印P；
G.f.=1+2*x+5*x^2+10*x^3+20*x^4+36*x^5+65*x^6+110*x^7+185*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[积[1/（1-x^n）^2，{n，40}]，{x，0，37}]，x]；(*罗伯特·威尔逊v2005年2月3日*）
表[Count[Partitions[2*n]，q_/；Tr[（-1）^ Mod[Flatten[Position[q，_？OddQ]]，2]==0]，{n，12}](*沃特·梅森2013年4月17日*）
a[n_]：=级数系数[QPochhammer[x]^-2，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月12日*）
表[长度@整数分区[n，全部，范围@n~加入~范围@n]，{n，0，15}](*罗伯特·普莱斯2020年6月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（1/eta（x+a）^2，n））}/*迈克尔·索莫斯2002年11月14日*/
（PARI）Vec（1/eta（'x+O（'x^66））^2）/*约尔格·阿恩特2011年6月25日*/
（哈斯克尔）
a000712=p a008619_列表，其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
A000712列表（len）=DedekindEta（len，-2）
A000712列表（39）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
a=二进制递归序列（0，1，2，2）
b=欧拉变换（a）
打印（[b（n）表示范围（40）内的n）]#彼得·卢什尼2020年11月11日
（Python）
从sympy导入npartitions
定义A000712号（n） ：return（范围（n+1>>1）中k的总和（n分区（k）*n分区（n-k））<<1）+#柴华武2023年9月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Joe Keane（jgk（AT）jgk.org）提供的更多术语，2001年11月17日
更多来自Michele Dondi（blazar（AT）lcm.mi.infn.it）的术语，2004年6月15日
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状态
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经核准的
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A000991号
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| n个三线分区的数量。
（原名M2554 N1011）
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1, 1, 3, 6, 12, 21, 40, 67, 117, 193, 319, 510, 818, 1274, 1983, 3032, 4610, 6915, 10324, 15235, 22371, 32554, 47119, 67689, 96763, 137404, 194211, 272939, 381872, 531576, 736923, 1016904, 1397853, 1913561, 2610023, 3546507, 4802694, 6481101, 8718309, 11689929, 15627591, 20828892
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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n的分区数，其中有一类部分1、两类部分2和三类其他部分-约尔格·阿恩特2014年3月15日
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参考文献
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L.Carlitz，生成函数和配分问题，A.L.Whiteman编辑，第144-169页，《数论》，Proc。交响乐。纯数学。，8 (1965). 阿默尔。数学。Soc.，见第145页，等式（1.8）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（1-x）^2*（1-x^2）/Product_（k>=1，1-x^k）^3。
a（n）~Pi^3*exp（Pi*sqrt（2*n））/（16*n^3）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（二项式（min（i，3）+j-1，j）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[二项式[Min[i，3]+j-1，j]*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；a[n]：=b[n，n]；表[a[n]，{n，0，45}](*Jean-François Alcover公司2014年3月20日之后阿洛伊斯·海因茨*)
nmax=40；系数列表[系列[（1-x）^2*（1-x^2）*乘积[1/（1-x ^k）^3，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（（1-x）^2*（1-x^2）/eta（x）^3）\\约尔格·阿恩特2013年5月1日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（1-x）^2*（1-x^2）/（[1..2*m]]中的&*[1-x^j:j）^3））//G.C.格鲁贝尔，2018年12月6日
（鼠尾草）
R=PowerSeriesRing（ZZ，'x'）
x=R.发电机（）。O（50）
s=（1-x）^2*（1-x^2）/prod（（1..60）中j的1-x^j）^3
s.系数（）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002799号
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| n的4行分区数（即n的平面分区，最多4行）。
（原名M2563 N1014）
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1, 1, 3, 6, 13, 23, 45, 78, 141, 239, 409, 674, 1116, 1794, 2882, 4544, 7131, 11031, 16983, 25844, 39124, 58680, 87538, 129578, 190830, 279140, 406334, 588026, 847034, 1213764, 1731780, 2459244, 3478185, 4898285, 6872041, 9603356, 13372607, 18553871, 25656865
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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n的分区数，其中有一种部分1，两种部分2，三种部分3，以及四种其他部分-约尔格·阿恩特2014年3月15日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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1，2，3，4，4，…的欧拉变换。。。
G.f.：（1-x）^3*（1-x^2）^2*（1-x^3）/Product_{k>=1}（1-x^k）^4-约尔格·阿恩特2013年5月1日
a（n）~2^（13/4）*Pi^6*exp（2*Pi*sqrt（2*n/3））/（3^（13%）*n^（19/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日
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MAPLE公司
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带有（numtheory）：etr:=proc（p）local b；b： =proc（n）选项记住；局部d，j；如果n=0，则1另外加（加（d*p（d），d=除数（j））*b（n-j），j=1..n）/n fi结束：a:=etr（n->` if`（n<5，n，4））：seq（a（n），n=0..40）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月8日
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数学
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etr[p_]：=模[{b}，b[n_]：=b[n]=如果[n==0，1，Sum[Sum[d*p[d]，{d，除数[j]}]*b[n-j]，{j，1，n}]/n]；b] ；a=etr[最小值[#，4]&]；联接[{1}，表[a[n]，{n，1，38}]](*Jean-François Alcover公司2014年3月10日之后阿洛伊斯·海因茨*)
nmax=40；系数列表[级数[（1-x）^3*（1-x^2）^2*（1-x ^3）*乘积[1/（1-x*k）^4，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；r=4；Vec（prod（k=1，r-1，（1-x^k）^（r-k））/eta（x）^r）\\约尔格·阿恩特2013年5月1日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（1-x）^3*（1-x^2）^2*（1-x ^3）/（[1..2*m]]中的&*[1-x^j:j）^4））//G.C.格鲁贝尔，2018年12月6日
（鼠尾草）
R=PowerSeriesRing（ZZ，'x'）
x=R.发电机（）。O（50）
s=（1-x）^3*（1-x^2）^2*（1-x ^3）/prod（1-x*j代表（1..60）中的j）^4
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 6, 13, 24, 47, 83, 152, 263, 457, 768, 1292, 2118, 3462, 5564, 8888, 14016, 21973, 34081, 52552, 80331, 122078, 184161, 276303, 411870, 610818, 900721, 1321848, 1929981, 2805338, 4058812, 5847966, 8390097, 11990531, 17069145, 24210571, 34215537, 48190451, 67644522
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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n的分区数，其中有k种部件k，k≤4，5种部件对所有其他部件进行排序-约尔格·阿恩特2014年3月15日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：1/Product_{k>=1}（1-x^k）^min（k，5）-肖恩·欧文2012年7月24日
a（n）~15625*Pi^10*sqrt（5）*exp（Pi*sqrt（10*n/3））/（2592*sqert（3）*n^7）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
min（d，5）*d，d=除数（j）*a（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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nmax=40；系数列表[级数[（1-x）^4*（1-x^2）^3*（1-x ^3）^2*（1-x-^4）*乘积[1/（1-x*k）^5，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；r＝5；Vec（prod（k=1，r-1，（1-x^k）^（r-k））/eta（x）^r）\\约尔格·阿恩特2013年5月1日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（1-x）^4*（1-x^2）^3*（1-x^3）^2*（1-x ^4）/（&*[1-2*m]]中的1-x^j:j）^5））//G.C.格鲁贝尔，2018年12月6日
（鼠尾草）
R=PowerSeriesRing（ZZ，'x'）
x=R.发电机（）。O（50）
s=（1-x）^4*（1-x^2）^3*（1-x^3）^2*（1-x ^4）/prod（1-x*j代表（1..60）中的j）^5
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A242641型
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| 反对角线向上读取的数组：B（s，n）（s>=1，n>=0）=n的s行分区数。 |
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11
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 5, 5, 1, 1, 3, 6, 10, 7, 1, 1, 3, 6, 12, 16, 11, 1, 1, 3, 6, 13, 21, 29, 15, 1, 1, 3, 6, 13, 23, 40, 45, 22, 1, 1, 3, 6, 13, 24, 45, 67, 75, 30, 1, 1, 3, 6, 13, 24, 47, 78, 117, 115, 42, 1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 83, 141, 193, 181, 56, 1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 85, 152, 239, 319, 271, 77
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,6
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评论
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s线分区是至多s行的平面分区。n的s线分区与n的分区是相乘的，n的分区具有最小（k，s）类的k部分（参见g.f.）-约尔格·阿恩特2015年2月18日
行s渐近于（Product_{j=1..s-1}j！）*Pi^（s*（s-1）/2）*s^（（s^2+1）/4）*exp（Pi*sqrt（2*n*s/3））/（2^（[s*（s+2）+5）/4）*3^-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日
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链接
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P.A.MacMahon，除数平方和与给定数的分区数之间的联系，Messenger数学。，54 (1924), 113-116. 《论文集》，麻省理工出版社，1978年，第一卷，第1364-1367页。见表二。
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配方奶粉
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对于行s:Product_{i=1..s}（1-q^i）^（-i）*Product_{j>=s+1}（1-q^j）^。[麦克马洪]
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例子
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数组开始：
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, ...
1, 1, 3, 5, 10, 16, 29, 45, 75, 115, 181, 271, 413, ...
1, 1, 3, 6, 12, 21, 40, 67, 117, 193, 319, 510, 818, ...
1, 1, 3, 6, 13, 23, 45, 78, 141, 239, 409, 674, 1116, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 47, 83, 152, 263, 457, 768, 1292, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 85, 157, 274, 481, 816, 1388, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 159, 279, 492, 840, 1436, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 281, 497, 851, 1460, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 499, 856, 1471, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 858, 1476, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 859, 1478, ...
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 859, 1479, ...
...
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MAPLE公司
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#方形数组的Maple代码：
M： =100：
F： =s->mul（（1-q^i）^（-i），i=1..s）*mul（1-qq^j）^，（-s），j=s+1..M）；
A： =（s，n）->系数（级数（F（s，q，M），q，n）；
对于从1到12的s，进行lprint（[seq（A（s，j），j=0..12）]）；日期：
#第二个Maple项目：
B： =proc（s，n）选项记住`如果`（n=0，1，加（加（min（d，s））
*d、 d=数值[除数]（j））*B（s，n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
seq（seq（B（d-n，n），n=0..d-1），d=1..14）#阿洛伊斯·海因茨2018年10月2日
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数学
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M=100；F[s_]：=积[（1-q^i）^-i，{i，1，s}]*积[（1-q^j）^-s，{j，s+1，M}]；A[s_，n_]：=系数[级数[F[s]，{q，0，M}]，q，n]；表[A[s-j，j]，{s，1，12}，{j，0，s-1}]//展平(*Jean-François Alcover公司2015年2月18日，在Maple代码之后*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 85, 157, 274, 481, 816, 1388, 2298, 3798, 6170, 9968, 15895, 25209, 39550, 61703, 95431, 146757, 224036, 340189, 513233, 770415, 1149933, 1708277, 2524846, 3715285, 5441762, 7937671, 11529512, 16681995, 24043245, 34527521, 49404590, 70452001, 100128249
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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n的分区数，其中k类部分k表示k≤5，6类部分表示所有其他部分-约尔格·阿恩特2014年3月15日
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链接
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瓦茨拉夫·科特索维奇，图-渐近比率（50000个术语，收敛缓慢）
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配方奶粉
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G.f.：1/产品{n>=1}（1-x^n）^min（n，6）-约尔格·阿恩特2014年3月15日
a（n）~2160*Pi^15*exp（2*Pi*sqrt（n））/n^（39/4）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日
通用公式：（1-x）^5*（1-x^2）^4*（1-x^3）^3*（1-x ^4）^2*（1-x-^5）/（产品{j>=1}（1-x*j））^6-G.C.格鲁贝尔，2018年12月6日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
min（d，6）*d，d=除数（j）*a（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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m： =50；系数列表[级数[（1-x）^5*（1-x^2）^4*（1-x2^3）^3*（1-x ^4）^2*（1-x^5）/（乘积[（1-xx^j），{j，1，m}]）^6，{x，0，m}]，x](*G.C.格鲁贝尔2018年12月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；r=6；Vec（prod（k=1，r-1，（1-x^k）^（r-k））/eta（x）^r）
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（1-x）^5*（1-x^2）^4*（1-x^3）^3*（1-x ^4）^2*（1-x-^5）/（&*[1..2*m]]中的1-x^j:j）^6））//G.C.格鲁贝尔，2018年12月6日
（鼠尾草）
R=PowerSeriesRing（ZZ，'x'）
x=R.发电机（）。O（50）
s=（1-x）^5*（1-x^2）^4*（1-x ^3）^3*（1-x-^4）^2*（1-x^5）/prod（1-x*j代表（1..60）中的j）^6
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 159, 279, 492, 840, 1436, 2394, 3980, 6510, 10586, 17001, 27148, 42908, 67424, 105067, 162786, 250427, 383186, 582663, 881521, 1326319, 1986118, 2959376, 4390175, 6483255, 9534945, 13964910, 20374513, 29612085, 42883238, 61880879, 88993610, 127560266
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n的分区数，其中k类部分k表示k<=6，7类部分表示所有其他部分-约尔格·阿恩特2014年3月15日
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链接
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瓦茨拉夫·科特索维奇，图-渐近比率（50000个术语，收敛缓慢）
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配方奶粉
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G.f.：1/产品{n>=1}（1-x^n）^min（n，7）-约尔格·阿恩特2014年3月15日
a（n）~346032180025*Pi^21*sqrt（7）*exp（Pi*sqrt（14*n/3））/（69984*sqrt（3）*n^13）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月28日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
min（d，7）*d，d=除数（j）*a（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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m： =50；r： =7；系数列表[级数[积[（1-x^k）^（r-k），{k，1，r-1}]/（积[（1-x^j），{j，1，m}]）^r，{x，0，m}]，x](*G.C.格鲁贝尔2018年12月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；r=7；Vec（prod（k=1，r-1，（1-x^k）^（r-k））/eta（x）^r）
（岩浆）m:=50；r： =7；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&*[（1-x^k）^（R-k）:k in[1..R-1]]）/（&*[1-x^j:j in[1..2*m]]）^R））//G.C.格鲁贝尔，2018年12月6日
（鼠尾草）
m=50；r=7
R=PowerSeriesRing（ZZ，'x'）
x=R.发电机（）。O（米）
s=prod（（1-x^k）^（r-k）代表（1..r-1）中的k）/prod（1-x*j代表（1..m+2）中的j）^7
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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