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| A008277号 |
| 第二类斯特林数三角，S2（n，k），n>=1，1<=k<=n。 |
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631
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 6, 1, 1, 15, 25, 10, 1, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, 1, 511, 9330, 34105, 42525, 22827, 5880, 750, 45, 1, 1, 1023, 28501, 145750, 246730, 179487, 63987, 11880, 1155, 55, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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也称为斯特林集合数，写为{n，k}。
S2（n，k）将n个集合的分区计数为k个非空子集。
三角形S2（n，k），1<=k<=n，按行读取，由[0，1，0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，…]DELTA[1，0，1A084938号.
将｛1，…，n+1｝划分为k+1个非连续整数的非空子集的分区数，包括分区1|2||n+1如果n=k。例如，S2（3,2）=3，因为{1,2,3,4}划分为三个子集的不连续整数的数目是3，即13|2|4，14|2|3，1|24|3-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月20日
从一副k张卡中抽出n张卡（带替换卡）。假设prob（n，k）是每张牌至少抽一次的概率。那么prob（n，k）=S2（n，k）*k/k^n（参见A090582美元). -雷纳尔·罗森塔尔2005年10月22日
定义f_1（x），f_2（x）。。。，f_1（x）=e^x，n=2，3。。。，f{n+1}（x）=（d/dx）（x*fn（x））。那么f_n（x）=e^x*Sum_{k=1..n}S2（n，k）*x^（k-1）-米兰Janjic2008年5月30日
S2（n，k）使用k个不同的符号给出了长度为n的单词的“模式”数量-参见[Cooper&Kennedy]，了解术语“模式”的准确定义。例如，长度为6的单词AADCBB和XXEGTT具有相同的字母模式。长度为3的单词的五种模式是AAA、AAB、ABA、BAA和ABC，表中第3行为（1,3,1）。
等价地，S2（n，k）给出了长度为n的正整数（n_1，…，n_n）序列的个数，其中有k个不同的条目，例如n_1=1和n_（i+1）<=1+max{j=1..i}n_j对于i>=1（限制增长函数）。例如，Stirling（4,2）=7，因为长度为4的序列有两个不同的条目，满足条件为（1,1,1,2）、（1,1,2,1）、（1.2,1,1）、（1.1,2,2）、“（1,2,2）”、“（1.2,2,1）”和“（1,2,1,2）”。
（结束）
S2（n+1，k+1）是[n]的成对不相交非空子集的大小为k的集合的数目。例如：S2（4,3）=6，因为[3]中有六个这样的子集集合具有基数二：{（1）（23）}、{（12）（3）}，{（13）（2）}和{（2）{（一）（二）}-杰弗里·克雷策2009年4月6日
考虑一组A000217号（n） n种颜色的球，其中，对于每个整数k=1到n，只有一种颜色出现在集合中，总共k次。（每个球只有一种颜色，与其他颜色相同的球无法区分。）a（n+1，k+1）等于选择每种颜色的0个或多个球的方法数，即至少选择一次（n-k）种颜色，并且没有两种颜色的选择次数相同-马修·范德马斯特2010年11月22日
S2（n，k）是n个顶点上的单调标记森林数，其中有k棵树，每棵树的高度不超过1。请参阅下面的链接“用斯特林和贝尔数字计算森林数量”-丹尼斯·沃尔什2011年11月16日
如果D是算子D/dx，E是算子xd/dx。斯特林数由以下公式给出：E^n=Sum_{k=1..n}S2（n，k）*x^k*D^k.-Hyunwoo Jang，2011年12月13日
第二类Stirling多项式（又称Bell/Touchard多项式）是下降阶乘（又称Pochhammer符号或第一类Stirling多项式）的本影成分逆，即二项式（Bell（.，x），n）=x^n/n！（参考科普兰2007年的公式），表示二项式（xD，n）=二项式！其中D=D/dx和：xD:^n=x^n*D^n-汤姆·科普兰2014年4月17日
S2（n，k）是嵌套n个matryoshkas（俄罗斯嵌套玩偶）的方式数，因此k个matryoshkas完全不包含在任何其他matryosh ka中-卡洛·桑纳2015年10月17日
行多项式R（n，x）=Sum_{k=1..n}S2（n，k）*x^k出现在n次幂例如f.的分子中，e（n，x）=Summ_{m>=0}m^n*x^m/m！，如E（n，x）=exp（x）*x*R（n，x），对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2017年4月2日
k+1个长度为n+1且没有重复字母的未标记字母上的单词数-托马斯·安东2019年3月14日
k*S2（n，k）是从n元集到k元集的满射数-宋嘉宁，2022年6月1日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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S2（n，k）=k*S2（n-1，k）+S2（n-1，k-1），n>1。S2（1，k）=0，k>1。S2（1,1）=1。
例如：A（x，y）=E^（y*E^x-y）。例如，对于第m列：（E^x-1）^m/m！。
S2（n，k）=（1/k！）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n。
行总和：贝尔数A000110号（n） =和{k=1..n}S2（n，k），n>0。
S（n，k）=所有（n-k）组合{i_1，i_2，…，i_k}的总和（i_1*i_2*…*i_（n-k。S（n，k）=总和（1^（r_1）*2^（r _2）*…*k^（r_k））对整数r_j>=0求和，对于j=1..k，求和{j=1..k}r_j=n-k-沃尔夫迪特·朗2019年8月15日。
关于渐近性，请参阅Hsu（1948）等资料。
求和{n>=0}S2（n，k）*x^n=x^k/（（1-x）（1-2x）（1-3）。。。（1-kx））。
设P（n）=n的整数分区数(A000041号)，p（i）=n的第i个分区的部分数，d（i）=n的第i个分区的不同部分数，p（j，i）=n的第i分区的第j个部分，m（i，j）=n第i个划分的第j部分的重数，和{i=1..p（n），p（i）=m}=从i=1到i=p（n=考虑m个零件。那么S2（n，m）=和{i=1..P（n），P（i）=m}n/（产品{j=1..p（i）}p（i，j）！）*1/（乘积_｛j＝1..d（i）｝m（i，j）！）。例如，S2（6，3）=90，因为n=6具有以下m=3部分的分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：6/(1!*1!*4!) * 1/(2!*1!) = 15, (123): 6!/(1!*2!*3!) * 1/(1!*1!*1!) = 60, (222): 6!/(2!*2!*2!) * 1/(3!) = 15. 络合物之和为15+60+15=90=S2（6，3）-托马斯·维德2005年6月2日
递归：S2（n+1，k）=和{i=0..n}二项式（n，i）*S2（i，k-1）。对于n=0或k=1，初始条件S2（n，k）=1，以及对于k=0，S2（m，k）=0，我们有密切相关的递归S2（k，n）=Sum_{i=k.n}二项式（n-1，i-1）*S2（i-1，k-1）-托马斯·维德2007年1月27日
第二类Stirling数S2（n，k）的表示，n=1,2，。。。，k=1,2，。。。，n、 作为（n）F（n-1）型超几何函数的特殊值：S2（n，k）=（-1）^（k-1）*超几何（[-k+1,2,2，…，2]，[1,1，…，1]，1）/（k-1！，即，分子中有n个参数：一个等于-k+1，n-1个参数都等于2；分母中的n-1个参数都等于1，参数值等于1。示例：S2（6，k）=seq（evalf（（-1）^（k-1）*超地理（[-k+1,2,2,2,2]，[1,1,1,1]，1）/（k-1！），k=1..6）=1,31,90,65,15,1-卡罗尔·彭森2007年3月28日
Bell_n（x）=求和{j=0..n}S2（n，j）*x^j=Sum_{j=0..n}E（n，j）*滞后（n，-x，j-n）=Sum_{j=0-.n}（E（n、j）/n！）*（n！*Lag（n，-x，j-n））=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（Bell.（x）+j，n），其中Bell_n（x）是Bell/Touchard/指数多项式；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。
对于x=0，方程给出了求和{j=0..n}E（n，j）*二项式（j，n）=1表示n=0，0表示所有其他n*二项式（y，n），对于方程中的x，得到了Worpitzky恒等式；y^n=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（y+j，n）。
注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（和{k=0..n}E（n、k））。此外，（n！*Lag（n，-1，j-n））是A086885号对座位安排进行了简单的组合解释，对x=1的方程进行了组合解释；不*铃声_n（1）=n*和{j=0..n}S2（n，j）=和{j=0..n}E（n，j）*（n！*滞后（n，-1，j-n））。
（附于2020年9月16日）有关伯努利数的连接、扩展、证明，以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示，请参阅我的文章《互惠与雨伞巫术》。（结束）
第n行=非零项的最左列A127701型^（n-1）。此外，（n+1）-三角形的第四行=A127701型*第n行；删除零。例子：A127701型* [1, 3, 1, 0, 0, 0, ...] = [1, 7, 6, 1, 0, 0, 0, ...]. -加里·亚当森2007年11月21日
第n对角线的O.g.f.是D^n（x），其中D是运算符x/（1-x）*D/dx-彼得·巴拉2012年7月2日
n*i*S2（n-1，i）=和{j=（i+1）..n}（-1）^（j-i+1）*j/（j-i）*S2（n，j）-列奥尼德·贝德拉图克2012年8月19日
G.f.：（1/Q（0）-1）/（x*y），其中Q（k）=1-（y+k）*x-（k+1）*y*x^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年11月9日
将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。
利用Bell（n，x）=B（n，x），D=D/dx和：xD:^n=x^n*D^n，Dobinski公式给出了f（y）^B（.，x）=e^（-x）*e^。则f（y）^B（.，：xD:）g（x）=[f。
特别地，对于f（y）=（1+y），
A） （1+y）^B（.，x）=e^（-x）*e^，
B） （I+dP）^B（.，x）=e^（x*dP）=P（x）=e^[x*（e^M-I）]=e^[M*B（=132440英镑，米=A238385型-I=对数（I+dP），I=单位矩阵，以及
C） （1+dP）^（xD）=e^（dP:xD:）=P（：xD:。
D） P（x）^m=P（m*x），这意味着（Sum_{k=1..m}a_k）^j=B（j，m*x。例如，（a1+a2+a3）^2=a1^2+a2^2+a3^2+2（a1*a2+al1*a3+a2*a3）=3*B（2，x）+6*B（1，x）^2=9x^2+3x=B（2,3x）。
E） P（x）^2=P（2x）=E^[M*B（.，2x）]=A038207号（x） ，n维超立方体的面向量。
（结束）
三角形第n对角线的O.g.f.（n=0,1,2，…）：和{k>=0}k^（k+n）*（x*e^（-x））^k/k！。对比以下对角线的生成函数A039755号。另请参阅。A112492号. -彼得·巴拉2014年6月22日
地板（1/（-1+总和{n>=k}1/S2（n，k））=A034856美元（k-1），对于k>=2。分数部分在k较大时变为零-理查德·福伯格，2015年1月17日
设x_（n），称为阶乘项（Boole，1970）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60），表示下降阶乘积{k=0..n-1}（x-k）。那么，对于n>=1，x_（n）=Sum_{k=1..n}A008275号（n，k）*x^k，x^n=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x_（k），其中A008275号（n，k）是第一类斯特林数。
第m列的O.g.f.：x^m/（产品{j=1..m}1-j*x）-丹尼尔·切卡2022年8月25日
S2（n，k）~（k^n）/k！，将k固定为n->oo-丹尼尔·切卡2022年11月8日
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示例
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三角形S2（n，k）开始于：
\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n\10 11 12 13 14 15。。。
----------------------------------------------------------------------------------
1 | 1
2 | 1 1
3 | 1 3 1
4 | 1 7 6 1
5 | 1 15 25 10 1
6 | 1 31 90 65 15 1
7 | 1 63 301 350 140 21 1
8 | 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 | 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10 | 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45
1
11 | 1 1023 28501 145750 246730 179487 63987 11880 1155
55 1
12 | 1 2047 86526 611501 1379400 1323652 627396 159027 22275
1705 66 1
13 | 1 4095 261625 2532530 7508501 9321312 5715424 1899612 359502
39325 2431 78 1
14 | 1 8191 788970 10391745 40075035 63436373 49329280 20912320 5135130
752752 66066 3367 91 1
15 | 1 16383 2375101 42355950 210766920 420693273 408741333 216627840 67128490
12662650 1479478 106470 4550 105 1
。。。
----------------------------------------------------------------------------------
x^4=1x_（1）+7x_（2）+6x_（3）+1x_（4），其中x_（k）=P（x，k）=k*C（x，k）-丹尼尔·福格斯2016年1月16日
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MAPLE公司
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seq（seq（组合[stirling2]（n，k），k=1..n），n=1..10）#零入侵拉霍斯2007年6月2日
stirling_2:=（n，k）->（1/k！）*加法（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..k）；
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数学
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表[StirlingS2[n，k]，{n，11}，{k，n}]//压扁(*罗伯特·威尔逊v2006年5月23日*）
BellMatrix[f_，len_]：=使用[{t=数组[f，len，0]}，表[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
行=12；
B=BellMatrix[1&，行]；
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1,22，对于（k=1,n，print1（stirling（n，k，2），“，”））；打印（））\\乔格·阿恩特2013年4月21日
（PARI）斯特林2（n，k）=和（i=0，k，（-1）^i*二项式（k，i）*i^n）*（-1）*k/k\\M.F.哈斯勒2012年3月6日
（哈斯克尔）
a008277 n k=a008277_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a008277_row n=a008277-tabl！！（n-1）
a008277_tabl=地图尾部$a048993_tabl--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月26日
（最大值）create_list（stirling2（n+1，k+1），n，0，30，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
（鼠尾草）斯特林_编号2#丹尼·罗拉博2015年10月11日
（J） n（（]（1%！））*+/@（（^~*（]（_1^|.））*（！{：）@]）i.@>：）k注。斯蒂芬·马克迪西2016年4月6日
（岩浆）[[StirlingSecond（n，k）：k in[1..n]]：n in[1..12]]//G.C.格鲁贝尔，2019年5月22日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号,A001296号,A001297号,A001298号,A007318号,A028246号,A039810型-A039813号,A048994号,A087107号-A087111号,A087127美元,A094262号,A127701型.
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关键词
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作者
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已批准
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