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(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A143496 第二类4-斯特林数。 15
1,4,1,16,9,1,64,61,15,1,256,369,151,22,1,1024,2101,1275,305,30,1,4096,11529,9751,3410,545,39,1,16384,61741,70035,33621,7770,896,49,1,65536,325089,481951,305382,95781,15834,1386,60,1,262144,1690981,3216795 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

4,2个

评论

这是第二类r-Stirling数的r=4的情况。第二类4-Stirling数计算了将集合{1,2,…,n}划分为k个非空不相交子集的方法,并限制元素1、2、3、4属于不同的子集。见案件概述邮编:A143494(r=2)。第一类4-Stirling数的对应数组是邮编:A143493. 这两类r-Stirling数的理论是在[Broder]中发展起来的。有关4-Lah编号,请参阅邮编:A143499.

狼牙2011年9月29日:(开始)

T(n,k)=S(n,k,4),n>=k>=4,在米哈伊洛夫的第一篇论文中,公式(28)或(A3)。E、 g.f.列k从(A20)开始,k->4,r->k。因此,在偏移量[0,0]下,这个三角形就是谢弗三角形(exp(4*x),exp(x)-1,列号m>=0:exp(4*x)*((exp(x)-1)^m)/m!。参见下面给出的公式之一。有关谢弗矩阵,请参见下面的W.Lang链接A006232罗马参考文献,也可以在A132393.

(结束)

链接

n=4..51的n,a(n)表。

布罗德·安德烈Z。,r-Stirling数,离散数学。49241-259(1984年)

A、 朱马迪尔达耶夫和叶利乌西佐夫,有向图的路分解及其在Weyl代数中的应用,arXiv预印本arXiv:1408.6764v1[math.CO],2014年。[版本1包含许多对OEI的引用,这些引用在版本2中被删除。-N、 斯隆2015年3月28日]

阿斯卡尔·祖马迪尔达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,走道、分区和正常排序《组合学电子杂志》,22(4)(2015),#P4.10。

五、 米哈伊洛夫,一些玻色子算子函数的序,J.Phys A:数学。第16代(1983)第3817-3827页。

五、 米哈伊洛夫,正规序与广义Stirling数,J.Phys A:数学。第18代(1985)231-235。

埃里希·纽沃思,递归定义的组合函数:对Galton板的扩展,离散数学。239第1-3、33-51号(2001年)

五十、 Liu,Y.Wang,只有实零点多项式序列的统一方法,arXiv:math/0509207[math.CO],2005-2006年。[来自彼得·巴拉2008年9月19日]

迈克尔·J·施洛瑟和梅苏·尤奥,椭圆车号和文件号《组合学杂志》,2017年第1期,第1期。

公式

T(n+4,k+4)=1/k!*和{i=0..k}(-1)^(k-i)*C(k,i)*(i+4)^n,n,k>=0。

T(n,k)=斯特林2(n,k)-6*斯特林2(n-1,k)+11*斯特林2(n-2,k)-6*斯特林2(n-3,k),n,k>=4。

递推关系:T(n,k)=T(n-1,k-1)+k*T(n-1,k),当n>4时:T(n,3)=T(3,n)=0;T(4,4)=1;T(4,k)=0(k>4)。n(4,4^-4)n(4),n(4),n(4)。

E、 g.f.(k+4)-th列(偏移量4):1/k!*实验(4*x)*(实验(x)-1)^k。

O、 g.f.k列:和{n>=k}T(n,k)*x^n=x^k/((1-4*x)*(1-5*x)*…*(1-k*x))。

E、 g.f.:exp(4*t+x*(exp(t)-1))=Sum{n=0..inf}Sum_(k=0..n)t(n+4,k+4)*x^k*t^n/n!=Sum{n=0..inf}B_n(4;x)*t^n/n!=1+(4+x)*t/1!+(16+9*x+x^2)*t^2/2!+其中行多项式B峈n(4;x):=和{k=0..n}T(n+4,k+4)*x^k可称为4-贝尔多项式。

Dobinski型恒等式:行多项式B\u n(4;x)=exp(-x)*和{i=0..inf}(i+4)^n*x^i/i!;和{k=0..n}k!*T(n+4,k+4)*x^k=和{i=0..inf}(i+4)^n*x^i/(1+x)^(i+1)。

T(n,k)是下降阶乘与移位单项式(x+4)^(n-4)之间的联系系数。例如,16+9*x+x*(x-1)=(x+4)^2;64+61*x+15*x*(x-1)+x*(x-1)*(x-2)=(x+4)^3。

这个数组是矩阵积P^3*S,其中P表示帕斯卡三角形,A007318型S表示第二类斯特林数的下三角数组,A008277号(应用[Neuwirth]的定理10)。

逆数组是A049459号,第一类有符号4-Stirling数。

彼得·巴拉2008年9月19日:(开始)

设D是导数算子D/dx,E是欧拉算子x*D/dx。那么x^(-4)*E^n*x^4=和{k=0..n}T(n+4,k+4)*x^k*D^k。

行生成多项式R_n(x):=和{k=4..n}T(n,k)*x^k满足R_(n+1)(x)=x*R_n(x)+x*d/dx(R_n(x)),R_4(x)=x^4。因此多项式R_n(x)只有实零点(应用推论1.2)。[刘和王])。

与4-欧拉数E_4(n,j)的关系:=邮编:A144698(n,j):T(n,k)=4!/k!*和{j=n-k..n-4}eU4(n,j)*二项式(j,n-k)表示n>=k>=4。

(结束)

例子

三角形开始

n\k |…..4…..5…..6…..7…..8…..9

========================================

4…..1

5….|…..4…..1

6…..16…..9…..1

7

8…..256…369…151…22…..1

9…..1024..2101..1275…305….30…..1

...

T(6,5)=9。将{1,2,3,4,5,6}{1,2,2,3,4,5,6}{1,2,3,3,6}{{1,5}{2}{3}{4{{1,5}{3}{4}{{1,6}{{1,6}{{1{{{4{{5}{{2,5}{{2,5}{{3{3{3{3{3{4{{{{{{{{{{{{2{6}{{{2{6}{1{3}{4}{5}{{3,5}{1}{2}{4{{6}{3{3,6}{1{1}{2{4 4 5}{{4、5{1{1{{{{{{{3{{3{{{{{{{{{{{{{{4,6}{1}{2}{3}{5}}和{5,6}{1}{2}{3}{4}}。

枫木

使用组合:T:=(n,k)->1/(k-4)!*加((-1)^(k-i)*二项式(k-4,i)*(i+4)^(n-4),i=0..k-4):对于n从4到13的do序列(T(n,k),k=4..n)结束do;

数学

t[n,k_u]:=StirlingS2[n,k]-6*StirlingS2[n-1,k]+11*StirlingS2[n-2,k]-6*StirlingS2[n-3,k];展平[表[t[n,k],{n,4,13},{k,4,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年12月2日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A003468号(第7栏),A005060号(第5栏),A008277号,A016103号(第6栏),A045379号(行总和),A049459号(矩阵求逆),邮编:A143493,邮编:A143494,邮编:A143495,邮编:A143499.

上下文顺序:A038231 A104855电话 A303054型*邮编:A143697 A272088号 A271135型

相邻序列:邮编:A143493 邮编:A143494 邮编:A143495*邮编:A143497 邮编:A143498 邮编:A143499

关键字

容易的,,

作者

彼得·巴拉2008年8月20日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月12日15:02。包含336439个序列。(运行在oeis4上。)