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A14396 第二类的4-斯特林数。 十五
1, 4, 1,16, 9, 1,64, 61, 15,1, 256, 369,151, 22, 1,1024, 2101, 1275,305, 30, 1,4096, 11529, 9751,3410, 545, 39,1, 16384, 61741,70035, 33621, 7770,896, 49, 1,896, 49, 1,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

4、2

评论

这是第二类R-斯特林数R=4的情况。第二类的4-斯特林数计算了集合{1,2,…,n}与K 1, 2, 3非空子集的划分方法,其中元素4和元素2属于不同的子集。关于一般情况的评论见A14334(r=2)。第一类4-斯特林数的对应数组是A14334. 在[Brrd]中发展了两类R—斯特林数的理论。对于4-LAH数,指A14399.

狼人郎,9月29日2011:(开始)

t(n,k)=S(n,k,4),n>=k>=4,在Mikhailov的第一篇论文中,等式(28)或(a3)。从k(4),r>k的(a20)列k,因此,用偏移[0,0],这个三角形是Sheffer三角形(EXP(4×x),EXP(x)- 1),其列号为m>0:EXP(4×x)*((EXP(x)-1)^ m)/m;请参阅下面给出的公式之一。对于Sheffer矩阵,参见下面的W. Lang链接A000 623用S.Road参考,也发现在A1323.

(结束)

链接

n,a(n)n=4…51的表。

Broder Andrei Z.R斯特林数离散数学。49,241-259(1984)

A. Dzhumadildaev和D. Yeliussizov有向图的路径分解及其在Weyl代数中的应用,ARXIV预印记ARXIV:14087.64 64 V1[数学.CO],2014。版本1包含许多对OEIS的引用,这些版本在版本2中被删除。-斯隆3月28日2015

阿斯卡·达马迪耶尔和Damir Yeliussizov游走、分区和正规排序《组合数学》电子杂志,22(4)(2015),第4页。

V. V. Mikhailov一些玻色子算子函数的排序J. Phys A:数学。第16号(1983)38 17-38 27页。

V. V. Mikhailov正规序与广义斯特灵数J. Phys A:数学。第18号(1985)21-23页。

Erich Neuwirth递归定义的组合函数:扩展高尔顿板离散数学。239号1-3,33-51(2001)

L. Liu,Y. Wang,仅有实零点的多项式序列的统一方法,阿西夫:数学/ 0509207 [数学.CO],2005-2006。[来自彼得巴拉9月19日2008

Michael J. Schlosser和Meesue YooElliptic Rook与文件号《组合数学》电子杂志,24(1)(2017),第1.31页。

公式

t(n+4,k+ 4)=1/k!* Suthi{{i=0…k}(-1)^(k- i)*c(k,i)*(i+4)^ n,n,k>=0。

T(n,k)=斯特林2(N,K)- 6 *斯特林2(N-1,K)+ 11×斯特林2(N-2,K)- 6 *斯特林2(n-3,K),对于n,k>4。

递推关系:T(n,k)=t(n-1,k-1)+k*t(n-1,k)为n>4的边界条件:t(n,3)=t(3,n)=0;n(t,4,4)=1;t(4,k)=0,k>4。特殊情况:t(n,4)=4 ^(n-4);t(n,5)=5 ^(n-4)-4 ^(n-4)。

E.g.f.(K+ 4)-TH列(偏移4):1/K!*EXP(4×x)*(EXP(x)- 1)^ k。

O.G.F.K-TH列:SuMu{{N}=K}t(n,k)*x^ n=x^ k/((1-4*x)*(1-5*x)***(1-k*x))。

E.g.f.:EXP(4×T+x*(EXP(t)-1))= SUMY{{n=0…INF}SUMUM(k=0…n)t(n+4,k+4)*x^ k*t^ n/n!= Suthi{n=0…INF}Byn(4;x)*t^ n/n!=1+(4+x)*t/1!+(16 + 9×x+x^ 2)*t^ 2/2!+,其中行多项式,Byn(4;x)=SuMu{{k=0…n} t(n+1,k+4)*x^ k,可以称为4-贝尔多项式。

Dobinski型恒等式:行多项式Byn(4;x)=EXP(-x)*SuMi{{i=0…INF}(i+4)^ n*x^ i/i!SUMU{{K=0…n} K!*t(n+4,k+ 4)*x^ k=SuMu{{i=0…INF}(i+4)^ n*x^ i/(1 +x)^(i+1)。

T(n,k)是下降阶乘与移位单数(x+4)^(n-4)之间的连接系数。例如,16+9×x+x*(x-1)=(x+4)^ 2;64+61×x+15×x*(x-1)+x*(x-1)*(x-2)=(x+4)^ 3。

这个数组是矩阵乘积p^ 3 *s,其中p表示Pascal三角形,A000 7318S表示第二类斯特灵数的下三角阵列,A000 827(应用NeWrrth]定理10)。

逆阵是A049,第一类的有符号4-斯特林数。

彼得巴拉,9月19日2008:(开始)

设D为导数算子D/DX,E为Euler算子x*d/dx。然后x^(- 4)*e^ n*x^ 4=SuMu{{k=0…n} t(n+4,k+4)*x^ k*d^ k。

行生成多项式rnn(x)=SUMY{{K=4…n}(n,k)*x^ k满足递归r*(n+1)(x)=x*rnn(x)+x*d/dx(ryn(x)),具有r4(x)=x ^ 4。由此可见,多项式Ryn(x)只有实零点(应用推论1.2)。[刘和王])。

与4-欧拉数Ey4(n,j)的关系:=A144698(n,j):t(n,k)=4!K!* Suthi{{J= n.k.N-4} Ey4(n,j)*二项式(j,n- k),对于n>=k>=4。

(结束)

例子

三角开始

n k……4…5…6…7…8…9

事业单位

4……1

5……4…1。

6……16…9…1。

7……64…61…15…1

8……256…369…151…22…1

9…1024…2101…1275…305…30 30…1

T(6,5)=9。The set {1,2,3,4,5,6} can be partitioned into five subsets such that 1, 2, 3 and 4 belong to different subsets in 9 ways: {{1,5}{2}{3}{4}{6}}, {{1,6}{2}{3}{4}{5}}, {{2,5}{1}{3}{4}{6}}, {{2,6}{1}{3}{4}{5}}, {{3,5}{1}{2}{4}{6}}, {{3,6}{1}{2}{4}{5}}, {{4,5}{1}{2}{3}{6}}, {{4,6}{1}{2}{3}{5}} and {{5,6}{1}{2}{3}{4}}.

枫树

用组合:t:=(n,k)-> 1(/k4)!*加法((1)^(k i)*二项式(k- 4,i)*(i+4)^(n-4),i=0…k- 4):对于n从4到13,做SEQ(t(n,k),k=4…n)结尾DO;

Mathematica

t[n],k]:=斯特林s2 [ n,k] - 6斯特林s2 [n-1,k] + 11 *斯特林s2 [n-2,k] - 6 *斯特林s2 [n-3,k];平坦[表[t[n,k],{n,4, 13 },{k,4,n}] ](*)让弗兰,十二月02日2011日)

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 34 68(第7栏)A000 5060(第5栏)A000 827A016103(第6栏)A045 79(行和)A049(矩阵逆)A14334A14334A14395A14399.

语境中的顺序:A038 A10855 A303054*A143697 A72088 A171135

相邻序列:A14334 A14334 A14395*A14397 A14398 A14399

关键词

容易诺恩塔布

作者

彼得巴拉8月20日2008

地位

经核准的

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最后修改7月22日17:02 EDT 2019。包含325225个序列。(在OEIS4上运行)