搜索: a008277-编号:a008277
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1, 6, 1, 66, 18, 1, 1056, 372, 36, 1, 22176, 9240, 1200, 60, 1, 576576, 271656, 42840, 2940, 90, 1, 17873856, 9269568, 1685376, 142800, 6090, 126, 1, 643458816, 360847872, 73313856, 7254576, 386400, 11256, 168, 1, 26381811456, 15799069440
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n,m)列举了由m个平面增加的6元树组成的无序n顶点m森林。基于a(n,m)递推的证明。另请参阅F.Bergeron等人的参考资料,尤其是表1第一行和示例1中的示例F.(m=1)-沃尔夫迪特·朗2007年9月14日
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链接
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F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,施普林格1992年,第24-48页。添加日期:2014年3月1日。
F.Bergeron、Philippe Flajolet和Bruno Salvy,增加树木的种类,HAL,Inria Rapport De Recherche。于2014年3月1日增补。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,一般玻色子正规序问题,arXiv:quant-ph/04020272004年。
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配方奶粉
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a(n,m)=n*A049375型(n,m)/(m!*5^(n-m));a(n+1,m)=(5*n+m)*a(n,m)+a(n、m-1),n>=m>=1;a(n,m):=0,n<m;a(n,0):=0,a(1,1)=1;第m列的示例:((-1+(1-5*x)^(-1/5))^m)/m!。
a(n,m)=总和(|A051150型(n,j)|*S2(j,m),j=m.n)(矩阵乘积),其中S2(j,m):=A008277号(j,m)(斯特林2三角形)。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth,2001年2月15日;另见2001年Neuwirth参考文献。参见下面给出的关于Jabotinsky矩阵乘积的一般评论A035342号.
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例子
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三角形开始:
{1};
{6,1};
{66,18,1};
{1056,372,36,1};
...
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MAPLE公司
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#将(1,0,0,…)添加为列0。
BellMatrix(n->mul(5*k+1,k=0..n),9)#彼得·卢什尼2016年1月28日
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数学
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a[n,m]:=n*系数[级数[(-1+(1-5*x)^(-1/5))^m)/m!,{x,0,n}],x^n];
扁平[表[a[n,m],{n,1,9},{m,1,n}][[1;;38]]
行数=9;
t=表[积[5k+1,{k,0,n}],{n,0,行}];
T[n_,k_]:=腹部[n,k,T];
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 7, 1, 91, 21, 1, 1729, 511, 42, 1, 43225, 15015, 1645, 70, 1, 1339975, 523705, 69300, 4025, 105, 1, 49579075, 21240765, 3226405, 230300, 8330, 147, 1, 2131900225, 984172735, 166428990, 13820205, 621810, 15386, 196, 1, 104463111025
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n,m)列举了由m个平面递增的七元树组成的无序n顶点m森林。基于a(n,m)递推的证明。另请参阅F.Bergeron等人的参考资料,尤其是表1第一行和示例1中的示例F.(m=1)-沃尔夫迪特·朗2007年9月14日
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链接
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F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类,《计算机科学讲义》第581卷(1992年),第24-48页。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,一般玻色子正规序问题。,arXiv:quant-phys/04020272004。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,一般玻色子正规序问题,物理。莱特。A 309(2003)198-205。
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配方奶粉
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a(n,m)=总和(|A051151号(n,j)|*S2(j,m),j=m.n)(矩阵乘积),其中S2(j,m):=A008277号(j,m)(斯特林2三角形)。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth,2001年2月15日;另请参阅2001年Neuwirth参考。参见下面给出的关于Jabotinsky矩阵乘积的一般评论A035342号.
a(n,m)=n*A092083号(n,m)/(m!*6^(n-m));a(n+1,m)=(6*n+m)*a(n,m)+a(n、m-1),n>=m>=1;a(n,m):=0,n<m;a(n,0):=0,a(1,1)=1。
例如,对于第m列:((-1+(1-6*x)^(-1/6))^m)/m!。
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例子
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{1}; {7,1}; {91,21,1}; {1729511,42,1}。。。
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MAPLE公司
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#将(1,0,0,…)添加为列0。
贝尔矩阵(n->mul(6*k+1,k=0..n),9)#彼得·卢什尼2016年1月26日
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数学
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mmax=9;a[n,m]:=n*系数[级数[((-1+(1-6*x)^(-1/6))^m)/m!,{x,0,mmax}],x^n];
行=9;
t=表[积[6k+1,{k,0,n}],{n,0,行}];
T[n_,k_]:=腹部[n,k,T];
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 9, 1, 153, 27, 1, 3825, 855, 54, 1, 126225, 32895, 2745, 90, 1, 5175225, 1507815, 150930, 6705, 135, 1, 253586025, 80565975, 9205245, 499590, 13860, 189, 1, 14454403425, 4926412575, 623675430, 39180645, 1345050, 25578, 252, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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例子
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1;
9,1;
153,27,1;
3825,855,54,1;
126225,32895,2745,90,1;
5175225,1507815,150930,6705,135,1;
253586025,80565975,9205245,499590,13860,189,1;
14454403425,4926412575,623675430,39180645,1345050,25578,252,1;
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MAPLE公司
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b[0]:=g(x):
对于1到10 do的j
b[j]:=简化(x^9*diff(b[j-1],x$1);
结束do;
#将(1,0,0,…)添加为列0。
贝尔矩阵(n->mul(8*k+1,k=0..n),10)#彼得·卢什尼2016年1月29日
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数学
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行=8;
t=表[Product[8k+1,{k,0,n}],{n,0,rows}];
T[n_,k_]:=BellY[n,k,T];
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008277号,A019538年,A035342号,A035469号,A049029号,A049385号,A092082号,A132056号,A223512型-A223522型,A223168型-A223172型,A223523型-A223532型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 20, 1, 780, 60, 1, 45240, 4320, 120, 1, 3483480, 382200, 13800, 200, 1, 334414080, 40556880, 1734600, 33600, 300, 1, 38457619200, 5039012160, 243505080, 5699400, 69300, 420, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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例子
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1;
20,1;
780,60,1;
45240,4320,120,1;
3483480,382200,13800,200,1;
334414080,40556880,1734600,33600,300,1;
38457619200503901210243505080569940069300420,1;
5153320972800,718724260800,38155703040,1024322880,15262800,127680,560,1;
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MAPLE公司
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b[0]:=f(x):
对于j,从1到10 do
b[j]:=简化(x^20*diff(b[j-1],x$1);
末端do;
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008277号,A019538年,A035342号,A035469号,A049029号,A049385号,A092082号,A132056号,A223511型-A223522型,A223168型-A223172型,A223523型-A223532型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 5, 6, 1, 15, 32, 12, 1, 52, 175, 110, 20, 1, 203, 1012, 945, 280, 30, 1, 877, 6230, 8092, 3465, 595, 42, 1, 4140, 40819, 70756, 40992, 10010, 1120, 56, 1, 21147, 283944, 638423, 479976, 156072, 24570, 1932, 72, 1, 115975, 2090424, 5971350, 5660615, 2350950, 487704, 53550, 3120, 90, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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此表中的第(n,k)项给出了集合[n]={1,2,…,n}到k个块中的双分区数。为了形成[n]的双重划分,我们首先将[n]写成[n]中k个非空子集(块)X_i的不相交并X_1U…U X_k。然后将每个块X_i进一步划分为子块,以给出一个双分区。例如,{1,2,4}U{3,5}是[5]分为2个块的分区,而{1,4},{2}}U{3},{5}是将该分区细化为[5]分为2个块(和4个子块)的双分区。
将本表第(n,k)项的上述解释与A013609号(帕斯卡三角形的正方形,但行的读取顺序相反)计算[n]的子集对(X,Y),使|Y|=k和X包含在Y中。(结束)
T(n,k)是将n个集合划分为彩色块的数目,这样就正好使用了k种颜色,并且颜色是按递增顺序引入的。T(3,2)=6:1a|23b,13a|2b,12a|3b,1a|2a|3b,1a|2b|3a,1a|1b|3b-阿洛伊斯·海因茨2019年8月27日
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链接
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A.Aboud、J.-P.Bultel、A.Chouria、J.-G.Luque和O.Mallet,组合Hopf代数中的Bell多项式,arXiv预印本arXiv:1402.2960[math.CO],2014-2015。
T.Mansour、A.Munagi和M.Shattuck,递归关系与二维集划分,J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.1.
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配方奶粉
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T=(S2)^2。
T(n,k)=和{i=k.n}S2(n,i)*S2(i,k)。
T(n,k)=Sum_{不相交并集X_1U…U X_k=[n]}贝尔(|X_1|)**Bell(|X_k|),其中Bell(n)=A000110号(n) ●●●●。
递归方程:T(n+1,k+1)=Sum_{j=k.n}Bell(n+1-j)*二项式(n,j)*T(j,k)。
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例子
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三角形开始:
k=1 2 3 4 5总和
n个
1 1 1
2 2 1 3
3 5 6 1 12
4 15 32 12 1 60
5 52 175 110 20 1 358
矩阵乘法Stirling2*Stirling2:
1 0 0 0
1 1 0 0
1 3 1 0
1 7 6 1
.
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 2 1 0 0
1 3 1 0 5 6 1 0
1 7 6 1 15 32 12 1
T(5,2)=175:5集可以划分为2个块,既可以是3集和2集的并集,也可以是4集和单集的并流。
在第一种情况下,有10种方法可以将5个集合划分为3个集合和2个集合。每个3组可以用Bell(3)=5方式进一步划分为子块,每个2组可以用贝尔(2)=2方式进一步划分成子块。所以我们总共得到10*5*2=100个这种类型的双分区。
在第二种情况下,有5种方法可以将5个集合划分为4个集合和1个集合。每个4组可按Bell(4)=15方式进一步划分,每个1组可按贝尔(1)=1方式进一步划分。因此,我们总共得到了这种类型的5*15*1=75个双分区。
因此,总的来说,T(5,2)=100+75=175。(结束)
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MAPLE公司
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#将(1,0,0,…)添加为列0。
贝尔矩阵(n->组合:-贝尔(n+1),10)#彼得·卢什尼2016年1月28日
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数学
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压扁[表[Sum[StirlingS2[n,i]*Stirling S2[i,k],{i,k,n}],{n,1,10},{k,1,n}]](*印地瑞尼Ghosh2017年2月22日*)
行=10;
t=表[BellB[n+1],{n,0,rows}];
T[n_,k_]:=腹部[n,k,T];
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 21, 9, 1, 231, 111, 18, 1, 3465, 1785, 345, 30, 1, 65835, 35595, 7650, 825, 45, 1, 1514205, 848925, 196245, 24150, 1680, 63, 1, 40883535, 23586255, 5755050, 775845, 62790, 3066, 84, 1, 1267389585, 748471185, 190482705, 27478710
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a(n,m),n>=m>=1,枚举了由m个递增平面(也称为有序)树组成的无序n顶点m-森林,其中一个顶点的出度r=0(叶或根),并且每个出度r>=1的顶点都属于r+2类型(类似于(r+2)元顶点)。根据第一列Y(z)的示例f:=1-(1-4*x)^(1/4)和f.Bergeron等人在A001498号,等式(8),Y'(z)=φ(Y(z)),Y(0)=0,外差o.g.f.φ(w)=1/(1-w)^3-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
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链接
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P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,一般玻色子正规序问题,arXiv:quant-ph/02120722002年。
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配方奶粉
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a(n,m)=n*A049213号(n,m)/(m!*4^(n-m));a(n+1,m)=(4*n-m)*a(n,m)+a(n、m-1),n>=m>=1;a(n,m):=0,n<m;a(n,0):=0,a(1,1)=1。
第m列的示例:(1-(1-4*x)^(1/4))^m)/m!。
偏移量为0时,例如f.是1/(1-4*x)^(3/4)*exp(t*(1-(1-4*x)^(1/4)))=1+(3+t)*x+(21+9*t+t^2)*x^2/2!+。。。。
因此,当行和列编号从0开始时,这个三角形就是指数Riordan数组[d/dx(F(x)),F(x。
行多项式递推:R(n+1,t)=t*Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*A008545号(k) *R(n-k,t),其中R(0,t)=1。(结束)
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例子
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{1}; {3,1}; {21,9,1}; {231,111,18,1}; {3465,1785,345,30,1}; ...
a(3,2)=9的树组合学:有三个m=2的森林,每个森林有一棵树是根(度r=0),另一棵树是根和叶,有三个版本(比如三元顶点)。每个这样的森林可以用三种方式(如(1,(23))、(2,(13))和(3,(12))来标记,从而产生9个这样的森林-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
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数学
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a[n,m]/;n>=m>=1:=a[n,m]=(4(n-1)-m)*a[n-1,m]+a[n-l,m-1];a[n,m]/;n<m=0;a[_,0]=0;a[1,1]=1;扁平[表[a[n,m],{n,1,9},{m,1,n}]](*Jean-François Alcover公司,2011年7月22日*)
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黄体脂酮素
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#添加列1,0,0。。。在三角形的左侧。
multit_4_3=λn:prod(4*k+3,对于k in(0..n-1))
mfact=[(0..n)中k的多因子43(k)]
返回bell_transform(n,mfact)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 1, 6, 12, 10, 3, 1, 14, 61, 124, 131, 70, 15, 1, 30, 240, 890, 1830, 2226, 1600, 630, 105, 1, 62, 841, 5060, 16990, 35216, 47062, 40796, 22225, 6930, 945, 1, 126, 2772, 25410, 127953, 401436, 836976, 1196532, 1182195, 795718, 349020, 90090, 10395
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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这个序列的原始名称是“三角形,按行读取,给出生成各种S2(n,k)(第二类斯特林数)的公式的系数。第p行(p>=1)包含T(i,p),i=1到2*p-1,其中T(i、p)满足和{i=1..2*p-1}T(i)*C(n-p,i-1)”。
第二类Stirling数三角形的第n对角序列的项A008277号即(Stirling2(N+N-1,N)),N>=1,由N次多项式2*N-2给出。该多项式可以表示为下降阶乘多项式二项式(N-N,0)、二项式,二项式(N-N,2*N-2)。下表给出了这些展开式中的系数。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
Milton Abramowitz和Irene A.Stegun,编辑。,数学函数手册(包括公式、图表和数学表格),美国商务部,国家标准局,应用数学。系列5519641046页(第9次印刷:1970年11月)-组合分析,表24.4,第二类斯特林数(作者:弗朗西斯·米克萨),第835页。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas、Eduardo J.s.Villaseñor、,广义斯特林排列与森林:高阶欧拉数和沃德数,《组合数学电子杂志》22(3)(2015),#P3.37。
M.Kazarian,霍奇积分的KP层次第2页,arxiv:0809.3263[math.AG],2008年9月18日。[来自汤姆·科普兰2015年6月12日]
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配方奶粉
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显然,具有这些系数的二元多项式P(n,u,z)的一个提升算子是R=(u+z)^2*z*d/dz,其中P(0,u,z)=z。例如,R P(1,u,z=R^2P(0、u、z)=R^2 z=u^4 z+6 u^3 z^2+12 u^2 z^3+10 uz^4+3 z^5=P(2,u,zi)。请参阅Kazarian链接-汤姆·科普兰2015年6月12日
反向多项式似乎是由1+exp[t*(x+1+z)^2*(1+z)d/dz]z在z=0时计算得到的-汤姆·科普兰2015年6月13日
T(n,k)=k*T(n、k)+2*(k-1)*T(n,k-1)+(k-2)*T。
第n对角线A008277号:Stirling2(N+N-1,N)=和{k=1..2*N-1}T(N,k)*二项式(N-N,k-1),对于N=1,2,3,。。。。
行多项式R(n,z)=Sum_{k>=1}k^(n+k-1)*(z/(1+z)*exp(-z/(l+z))^k/k!,n=1,2,。。。,根据中给出的公式A008277号对于第二类斯特林数对角线的o.g.f。
因此,正如科普兰(Copeland)在上文中推测的那样,对于n>=1,R(n+1,z)=(1+z)^2*z*d/dz(R(n,z))。
R(n,z)=(1+z)^(2*n+1)*B(n,z/(1+z)),其中B(n、z)是二阶欧拉数三角形的行多项式A008517号(见Barbero等人,第6节,方程式27)。(结束)
根据Bala的注释,行多项式具有显式形式R(n,z)=(1+z)^(n+1)*Sum{k=0..n}(z^k*Sum_{m=0..k}((-1)^(m+k)*二项式(n+k,n+m)*Stirling2(n+m,m))-彼得·卢什尼,2016年6月15日
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例子
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第5行包含1,30240890183022261600630105,因此生成Stirling2(n+4,n)数的公式(A001298号)将如下所示:1+30*(n-5)+240*C(n-5,2)+890*C。例如,n=9表示Stirling2(13,9)=359502。
三角形开始:
1;
1, 2, 1;
1, 6, 12, 10, 3;
1, 14, 61, 124, 131, 70, 15;
1, 30, 240, 890, 1830, 2226, 1600, 630, 105;
...
R(2,z)=(1+z)^2*z
R(3,z)=(1+z)^2*(z+3*z^2)
R(4,z)=(1+z)^4*(z+10*z^2+15*z^3)
R(5,z)=(1+z)^5*(z+25*z^2+105*z^3+105*z^4)。(结束)
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MAPLE公司
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row_poly:=n->(1+z)^(n+1)*加法(z^k*加法((-1)^(m+k)*二项式(n+k,n+m)*Stirling2(n+m,m),m=0.k),k=0..n):T_row:=n->seq(系数(row_poly(n),z,j),j=1.2*n+1):
seq(T_row(n),n=0..6)#彼得·卢什尼2016年6月15日
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数学
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清除[T,q,u];T[0]=q[1];T[n]:=总和[m*(u^2*q[m]+2*u*q[m+1]+q[m+2])*D[T[n-1],q[m],{m,1,2*n+1}];row[n_]:=列表@@Expand[T[n-1]]/。{u->1,q[_]->1};表[行[n],{n,1,7}]//展平(*Jean-François Alcover公司2015年6月12日*)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008277号,A000217号,A001296号,A001297号,A001298号,A094216号,A008275号,A008517号,A134991号,A112494号,A144969号.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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经核准的
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1, 5, 1, 35, 15, 1, 315, 215, 30, 1, 3455, 3325, 725, 50, 1, 44590, 56605, 17100, 1825, 75, 1, 660665, 1060780, 415555, 60900, 3850, 105, 1, 11035095, 21772595, 10606470, 1998605, 172550, 7210, 140, 1, 204904830, 486459105, 286281665, 66528210, 7346955, 417690, 12390, 180, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始:
1;
5,1;
35, 15, 1;
315, 215, 30, 1;
3455, 3325, 725, 50, 1;
44590, 56605, 17100, 1825, 75, 1;
...
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数学
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1、1、2、1、4、5、1、8、14、15、1、16、41、51、52、1、32、122、187、202、203、1、64、365、715、855、876、877、1、128、1094、2795、3845、4111、4139、4140、1、256、3281、11051、18002、20648、21110、21146、21147、1、512、9842、43947、86472、109299、115179、115929、115974、115975
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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T(n,k)是将n个可区分的球放入k个不可区分的箱子中的方法数-杰弗里·克雷策2011年3月22日
T(n,k)是一组大小为n的分区数,最多包含k个部分。
T(n,k)是k张牌组中n个自上而下随机洗牌的序列数,这些洗牌组保持不变。
T(n,k)=<pi^n,1_{Sym_k}>,其中pi是对称群Sym_k的自然置换特征。这给出了当方框的计数序列在Young图上移动时T(n、k)的另一个组合解释。参考链接到下面。(结束)
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参考文献
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理查德·斯坦利,《枚举组合数学》,剑桥大学出版社,1997年,第38页。(12种方式中排名第7)
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链接
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T.S.Motzkin,气缸和其他分类号的分类号,《组合数学》。交响乐团。纯数学。19,AMS,1971年,第167-176页。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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例如,对于行多项式s(n,y)=Sum_{k=0..n}a(n,k)*y^k是(y*E^(E^,x*y)-1)-E^(y*(E^x-1))/(y-1)-1-罗伯特·伊斯雷尔2015年8月10日
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例子
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三角形开始:
1;
1, 2;
1, 4, 5;
1, 8, 14, 15;
1, 16, 41, 51, 52;
...
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MAPLE公司
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使用(组合):A102661号_行:=proc(n)局部k,j;seq(加上(stirling2(n,j),j=1..k),k=1..n)结束:
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数学
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表[表[Sum[StirlingS2[n,i],{i,1,k}],{k,1,n}],}n,1,10}]//网格(*杰弗里·克雷策2011年3月22日*)
表[累计[StirlingS2[n,范围[n]],{n,10}]//压扁(*哈维·P·戴尔2019年10月28日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a102661 n k=a102661_tab!!(n-1)!!(k-1)
a102661_row n=a102661表格!!(n-1)
a102661_tabl=映射(扫描1(+)。尾)$tail a048993_tabl
(PARI)tabl(nn)={对于(n=1,nn,对于(k=1,n,print1(总和(i=1,k,stirling(n,i,2)),“,”););print();}\\米歇尔·马库斯2015年8月10日
(鼠尾草)
定义T(n,k):
返回和(范围(1,k+1)中j的[stirling_number2(n,j)])
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交叉参考
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关键词
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作者
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1, 3, 1, 12, 9, 1, 60, 75, 18, 1, 358, 660, 255, 30, 1, 2471, 6288, 3465, 645, 45, 1, 19302, 65051, 47838, 12495, 1365, 63, 1, 167894, 728556, 685580, 235193, 35700, 2562, 84, 1, 1606137, 8792910, 10285488, 4444188, 877653, 86940, 4410, 108, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始
1;
3, 1;
12, 9, 1;
60, 75, 18, 1;
358, 660, 255, 30, 1;
2471, 6288, 3465, 645, 45, 1;
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数学
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压扁[表[SeriesCoefficient[(Exp[Exp[x]-1]-1]-1)^k,{x,0,n}]n/k!,{n,9},{k,n}]](*斯特凡诺·斯佩齐亚2022年9月12日*)
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