一类斯特林数公式的组合证明

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DOI:10.1515/puma-2015-0009
引用本出版物
摘要
在本文中,我们根据前面的要求,提供了一些涉及第二类Stirling数的最近恒等式的双射证明。我们的论点也产生了一个众所周知的q-Stirling数的推广。
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一类斯特林数公式的组合证明
马克·沙塔克
数学系
宇宙T的y恩尼斯
诺克斯维尔,田纳西州37996-1320
shattuck@math.utk.edu
摘要
在这篇注释中,我们提供了一些最近的恒等式的客观证明搅拌-
第二类ling数,如前所述。 我们的论点也会让步
根据一个众所周知的-斯特林数。
1简介
隔断一套,we是指成对不相交子集的集合,称为阻碍,
谁的联盟是集合。 Fn>1和 16k6n,我et公司Pn、 k表示所有分区的集合
的[n] ={1,2,…,n}进入之内k块和Pn=kPn、 k. 成员Pn、 k被称为k-
并称为be输入标准格式如果是blocks公司B1/B2/···/Bk是这样安排的
那个敏(B1)<···<最小(Bk). 回想一下Pn、 kPn被给予,
分别地, 斯特林数字第二类错误率S(n、 k)铃号呢B(n)(参见
序列分别为A008277和A000110在[10]和最近的好的[5])。 在什么地方
跟随,如果n是正整数,那么让[m、 n] ={m、 米+1,…,n}如果6n,
与[m、 n] =如果m>n. 自始至终,二项式系数是b是的n
k=n!
k!(nk)!
如果06k6n,与n
k否则取零。
在[6]中,有几个身份证奥尔文·斯特林和贝尔·努姆贝丝是被v发现的异乎寻常的
代数方法,如生成函数和循环的使用。 关于
提出了以下恒等式的组合证明:
S(n、 k) =
n2
2
j=0
j
=0n2j
jj
S(n2ji、 k (一)
+
n1
2
j=0
j
=0n1j
jj
S(n1ji、 k (一),16k6n,
(1.1)
1
n1
2
j=0
j
=0n1j
jj
S(n1ji、 k (一)=
n
j=0
((一)jS(nj、 k),16k6n,
(1.2)
n1
2
j=0
j
=0n1j
jj
B(n1j) =
n1
j=0
((一)jB(nj), n>1,(1.3)
n2
2
j=0
j
=0n2j
jj
S(n2ji、 k(二)=
n
j=k
((一)njn
jS(j、 k),26k6n。
(1.4)
W我现在想起来一些术语文献[6]中的nology。 有序元素对(a、 b)在一个
的子集[n]满足b1(月dn)被称为(圆形的)成功会话. 也就是说
继承是一对连续的e整数或一对整数的出现(n,1) 一。 爸爸关节
的[n]据说包含成功会话如果它的任何一个街区有。 例如,分区
π=15689/23/47∈P9,包含四个序列,即, (五),6) ,(8),9) ,(9),1) 以及 (二),3) 一。
如果循环序列不是作为一系列连续元素的一部分出现的
大于2(wh在这里n和1被认为是连续的),那么它被称为独立的.
在前面的例子中,只有序列(5,6) 和(2),3) 的π是分离的。 问题
对包含某个n的分区进行计数
各种各样的 形式;见[7],其中线性序列(即(n,1) )w经过研究,
以及相关论文[3,8]。
cr(n、 k)表示Pn、 k其成员包含r
循环序列。 dr(n、 k)表示分区enu子集的基数-
被合并cr(n、 k)在他们的成员中所有的序列都是分离的。 在[6]中,它是
显示出 nr
rcr(n、 k) =n1
rdr(n、 k).(1.5)
这是本课程的目的提供注释所要求的(1.1)的双向证明-
(1.5)。 可给出可比公式秩序预计起飞时间分区(即
关于街区本身的事情)也可以用多项式推广
斯特林数字BER,我们在最后一节中考虑。
在这场争论中w、 有时会更容易被说服愿意去想某件事
几何设置. 线性的圆形的n-贴瓷砖,我们我一个a cov人数贝尔斯
1,2,…,n,写在一条直线上或顺时针围绕一个圆圈e、 分别,由indis提供-
可区分方块(件一个n和多米诺骨牌
cov公司爱尔兰two相邻n编号)。 如果06k6n
2,然后让Rn、 kCn、 k表示集合
线性和圆形n-瓷砖包含k多米诺骨牌。 众所周知(参见,例如,[9])
|Rn、 k|=nk
k|Cn、 k|=n
nknk
k.
2
2 恒等式的双目标证明
W首先提供com二进制身份证明(1.1)。
证明 (1.1).
让我们假设k>2,因为结果很清楚如果k=1。 假设 π=B1/B2/···/Bk
Pn、 k以标准形式表示。 定义,归纳, 顺序1<一个2<···在里面
〔2〕,n]具体如下。 1[2是最小的成员,n]块状发生B1属于π,
假设至少有一个这样的元素t(如果不是,则序列为空)。
ℓ >我们确定成为[1+二,n]发生在B1. 让我们参考一下
对任何一个元素第t页,共[2页,n]等于+1 对于 一些 作为预计起飞时间. 请注意,通过定义
成员序列必须属于块B1,而一个有掩护的士兵第页,共页
形式+ 1可能属于任何区块。
We现在sho那是什么n1j
jj
S(n1ji、 k1) 计算内存伯斯Pn、 k
正好是2jcov公司[2]中的元素,n],j+是的属于第一个街区。 To首先这样做
注意有n1j
j包含元素的子集的选择ts公司,166j,
因为这些子集是一一对应的Rn1,j ,其中
号码贝尔斯1对应le所涵盖的位置多米诺骨牌的一半n
线性的(n1) -铺瓷砖。 一旦已被选中,我们选择内存剧组的贝斯
{1+1,一个2+1,…,aj+1}一起进入一个街区还有埃勒门t 1。
最后,我们把剩下的分开n1j埃勒曼ts,共[2]北,北]进入k1个街区
可以在S(n1ji、 k 1) w是啊。 所有的人都在一起cks给出了
成员Pn、 k以及生成这样的分区的过程
是可逆的。
F或者举个例子,让n=12,k=4,j=3和 =2,带1=3,2=6和=10,
假设4和7是从{4,7,11}去第一个街区。 如果剩下的
[12]的六个元素被划分为三个blo曲轴组件{2,9},{5,11,12},{8},然后是一个
获取分区{1,,4,6,7,10},{2,9},{5,11,12},{8}∈P12,4里面有六个
cov公司参考文献[12]中的元素,其中五个元素h属于第一个blo对呀。
总结一切可能j,其中066j6n1
2,表示数字
成员Pn、 k包含夏娃n cov数量艾德勒曼ts由s给出
在(1.1)右侧求和。 所以我们仍要计算Pn、 k反对-
包含奇数个covERD元素。 注意,如果一个分区有一个奇数
cov的有了元素,那么它就可以了情况并非如此n是海湾吗红色,属于第一个
阻止。 因此,计算剩余的分区是e颤动从nt数到n数量
成员Pn1,k包含ev英语数字cov的误码率在添加n
第一块这样的分区。 但这是之前的问题n替换为n1和
因此giv是(1.1)右侧的第一个和。 这就完成了枚举
的成员Pn、 k并得到恒等式(1.1)。
备注:求和(1.1)ov急诊室16k6n显然是新的铃声数字重复
B(n) =
n2
2
j=0
j
=0n2j
jj
B(n2j)
+
n1
2
j=0
j
=0n1j
jj
B(n1j), n>1.(2.1)
F或公式(2.1) 福罗从允许y编号前面证明中块的误码率。 看到了吗
[4,11]对于其他钟号重复出现。
证明 (1.2)(1.3).
W提供e(1.2)。 允许num中的一个分区内块的错误率
接下来的论点将是e(1.3)。 让我们假设k>2英寸(1.2),因为结果
清除ifk=1。 An、 k=n
j=0Pnj、 kπ∈Pnj、 k有记号((一)j. 然后是右手
侧面 (1.2)给出所有成员的符号之和An、 k.
W定义标牌版次伊辛投资公司解决方案开启An、 k具体如下。 考虑元素
在内部π∈Pm、 k, 哪里k66n,b去了一个街区π作为字符串的一部分
连续的 电动汽车要素en或 奇数长度,即 对等 t就这样m、 米
1,…,米t+ 1属于同一街区,但是t没有。 如果t是偶数,那么我们
删除元素π如果t很奇怪,然后我们加上元素新台币+1 π. F
例如,如果n=9,k=3和 =7,那么π={1,},{2,5,6,7},{4} ∈ P7,w我要映射到
π={1,},{2,5,6,7,8},{4}∈P8,.
这种手术被认为是一种逆转An、 k这是没有定义的
π∈Pn、 k就这样n作为字符串o的一部分属于块f连续要素ts,共
奇数长度。 请注意 这个组织的成员 的子集An、 k有正号,哪个w我会的
用表示A
n、 k. 完成 (1.2)),我们需要d显示 在左手边
给出的基数A
n、 k.
以证明 (1.1)上面,(1.2)的左边计算Pn+1k
包含奇数个covERD元素,其中n+ 1米我们是最大的
因此与1属于同一个块。 另外,也会有一个可能是空的
表单的字符串n、 n1,…,n(二)t1) 这部分 阻止。 因此, 删除
从所有这些分区中减去1每个元素第t页,共[2页,n +1] 结果 在里面
的成员A
n、 k完成职业生涯 (1.2)。
证明 (1.4).
假设nk被给予的k6j6n. 考虑有序对的集合
(S、 ρ),其中S是[n]大小njρ是集合的一个分区[n]S
k阻碍。 Bn、 j表示所有suc的集合h序偶(S、 ρ)以及Bn=n
j=kBn、 j.
成员Bn、 j甲肝e标志((一)nj. 然后是righ手t侧 (1.4)给出
所有成员的迹象Bn.
4
W定义一个反向投资的标志解决方案开启Bn具体如下。 Giv公司英语(S、 ρ)∈Bn,让
最小的元素[n]Ss是最小的元素 [+1,n]令人满意的
任一(a)sS或(b)s[n]S,与sb与同一街区私奔ρ作为
做。 假设s存在,我们定义一个旋转开启 Bn通过移动sS到街区去
包含在里面ρ如果(a)发生或通过mov惯性导航与制导sρ到片场去S如果(b)发生。 注意
这个操作定义了一个投资解决方案h改变sign但保留了两者
s. 例如,如果n=10,k=3,j=7,S={1,4,8}ρ={2,5,10},{,9},{6,7},
然后=2和s=4和(S、 ρ)将与(S, ρ),其中S={1,8}
ρ={2,4,5,10},{,9},{6,7}.
此操作未定义为 (S、 ρ)∈Bn在哪儿S是形式上的[]对某些人来说
066nk,最小的元素[n]S在一个街区里ρ.
删除元素(还有那个街区骗局我们看到了 一组幸存者
投资部解决_方案_是_模棱两可_的_ 。_nt到片场An1,k1=n1
j=k1Pj、 k1从以前的专业人士属于
属于 (1.2),其中λ∈Pj、 k 1现在是b是的((一)n1j. 现在申请
投资用于证明 (1.2)对这组幸存者ors意味着
所有成员Bn等于集合的基数A
n1,k1从那个专业人士那里的。 请注意
|A
n1,k1|由(1.2)的左侧给出,其中n替换为n1和k通过k1个,
这就证明了 (1.4)。
证明 (1.5)。
W提供e(1.5)在稍微重写的形式
n
nrnr
rcr(n、 k) =n
rdr(n、 k).(2.2)
考虑一下这一套美国有序对(α、 π),其中α∈Cn、 rπ是的成员Pn、 k
r循环成功塞俄斯。 表示有序对的集合(β, π),其中β是一个
的子集[n]大小rπ是成员 属于Pn、 kr循环成功所有的离子
是分离的。
W投反对票f之间美国,which表示(2.2)。 让(α, π)∈U .
W首先考虑[n]以至于π1发生在与的同一个块中
如果我>1,连同1个ifnoCCUR与1在同一个块中。 我们 拿着这些e要素与形态
我们称之为β. W然后取剩下的nr埃勒曼ts,共π在他们的
并将它们简化为字母[nr]获得会员bπ属于Pnr、 k
不包含循环成功塞俄斯。
首先,假设不是 多米诺公司在数字上贝尔斯_n
和1英寸α. 1<我2<··· <我r表示[n]那是cov被右翼包围
多米诺骨牌的一半α顺时针旋转时。 W首先添加元素1
到…的街区bπ其中包含11、增加所有内存伯斯[1,n r]在bπ一个接一个。
To产生的[nr+ 1] ,我们加上元素t2到包含
21并增加所有成员[2,n r+1] 通过 一个。 代表 对于 每个 后来的
元素直到所有j甲肝已添加。 注意,在最后的分区中,元素
5
n和1不在同一blo中同时出现ck自nr1中没有发生
同一块bπ.
如果有多米诺骨牌n和1英寸α,然后我们重复abov程序,这个
放假1<我2<···<ir1表示[2]的成员,n 1] 包括
右半多米诺骨牌。 To最终成员Pn1,k 我们补充道n对block公司
包含1。
不管怎样,让π表示成员Pn、 k从中获得bπ. 请注意π包含
长度不超过tw的连续字母字符串o自bπ不包含循环
从那以后j+1j>所有1个j. 这意味着π包含r圆形suc割让,
所有这些都是分离的。 f(α, π) = (β, π). 上述生成过程(β, π)
从(α, π)看到了吗 在考虑情况后是可逆的 是否1和n属于
去同一个街区π. 注意,在π
对应于j序列,它决定α反过来可以是
用来重建bππ鉴于β. 因此f生成所需的双射甚至美国.
To说明双射f,假设n=9,k=4个 r=3。 (α, π)∈U 给予
通过α=DSD2d∈C9,(如果这个序列代表这是安可的顺序特德
作为一辆旅行车顺时针旋转圆,从1开始,其中1和2是cov同样的东西
多米诺骨牌)和π=1389个/24/56/7∈P9,4. 那么β={1,6,9}bπ=13/26/4/5∈P6,4,
具有1=2,2=5和=9。 插入j依次进入bπ作为des上面有木垛
给予
bπ=13/26/4/5124/37/5/61245/38/6/7π=1245个/389/6/7∈P9,4.
请注意π包含三个(detac循环成功离子,这意味着(β, π)∈V.
3概括
σ(n、 k)表示[n]进入k块的顺序
阻碍很重要。 等价物泰利,数字ber公司σ(n、 k)计算满射函数集
从[n]到[k]. 请注意σ(n、 k) =k!S(n、 k);参见序列 OEIS[10]中的A019538
关于这些数字的更多信息。 乘以b时另一边k!,身份
上述第(1.1)、(1.2)和(1.4)段给出了类似的形式乌拉斯σ(n、 k)自从
第二个论点y斯特林总数中出现的数字是固定的。 F 例子,
从(1.4),我们得到
k(k(一)
n2
2
j=0
j
=0n2j
jj
σ(n2ji、 k(二)=
n
j=k
((一)njn
jσ(j、 k).(3.1)
也可以将 以前的身份 w术语我知道-
斯特林数的推广伯斯。 n= 1++···+n1如果n>1,带0=0。
卡里茨[1]认为-斯特林数伯斯S(n、 k)由重复性定义
S(n、 k) =S(n1,k (一)+kS(n1,k), n、 k >1,
6
具有S(0),k) =δk,0对于k>0,并显示它们由
S(n、 k) = 1
(k
2)k!
k
j=0
((一)jq(j
2)k
j
[(kj)]n,
哪里k! =k
=1k
j=k!
j!(kj)!. 后来,卡里茨[2]定义了一个关于Pn、 k
为了什么S(n、 k)它的分布是p吗多项式。 W我们在这里用 ew如[12]所示。 如果
π=B1/B2/···/Bk∈Pn、 k是标准形式,那么让 ew(π) =Pk
=1((一)(|B| −1) 一。
很清楚并且可以用递归表示
S(n、 k) =
π∈Pn、 k
ew(π).
将此解释用于S(n、 k),可以将恒等式(1.1)和(1.2)概括为
跟踪16k6n:
S(n、 k) =
n2
2
j=0
j
=0n2j
jj
n1kjS(n2ji、 k (一)
+
n1
2
j=0
j
=0n1j
jj
nkjS(n1ji、 k 1) (3.2)
n1
2
j=0
j
=0n1j
jj
nkjS(n1ji、 k (一)=
n
j=0
((一)jS(nj、 k).(3.3)
W第十八个v前一个com的版本二进制参数应用于这些形式乌拉斯。
注意n1kj(3.2)右边第一个和的因素说明
事实上分区的枚举类n2J_._埃勒曼ts发生在
街区以外B1,不包括最小的元素每个区块内的ts
再来一个 ew比他们平时的价值如果它们组成一个隔墙
由他们自己锿。 这个nkj同样地,可以在第二个因子中计算总和.
To解释(3.3),更方便t更换每个[n]与n+1 还有一个苏姆
当应用 ew
统计的。 请注意,inv在上面(1.2)的证明中使用的解决方案会反转符号,但是
不会改变w八个,自从埃勒姆添加的nt 或者拿了一个华盛顿州y属于
因此不会影响 ew价值观。 权重因子nkj
出现在(3.3)左边的和中,出现在理由相同
从那以后j+其他元素与属于同一个块n在列举的
隔墙等级。
7
工具书类
[1] 五十、 卡里茨, -伯努利n数字和多项式, 杜克数学。J。15(1948)987-1000年。
[2] 五十、 卡里茨, 广义斯特林数,组合分析笔记杜克大学-
维斯特是的,(1968)第8-15页。
[3] 朱文铸工程安装, 设置有限制的分区,离散数学。308(2008年)
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[4] H、 走吧uld和J.Quaintance,斯皮维的贝尔数的含义ber公式,J。
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[六] T、 Mansour和A.O.Munagi,用循环序列设置分区,欧洲伊恩J。
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[7] A、 O.穆纳吉, 具有连续序列的扩展集分区,欧洲一个J.Combin。29
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[8] M、 Shattuck,重新计算有限制的集合分区的关系,阿尔斯科姆。
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门特,埃勒中心距打开。J、 通信箱子。12(2005年)10。
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艺术。08.2.5条。
[12] C、 G.Wagner,分区统计和-钟号(=1) 你说,J、 整数序列。7
(2004)第。04.1.1条。
2010数学学科分类行动: 一级05A19;二级05答18。
关键词:斯特林 数字,贝尔数,组合概率o的。
8
  • ... 产生的序列块是V的序列块分解,缩写为V的“s.b.d.”。例如,分区p=1,8,9/2,3,4,6/5,10/7,11,12包含序列(2,3),(3,4),(8,9),(11,十二)所以V=[12]的s.b.d.是(1),(2,3,4),(5),(6),(7),(8,9),(10),(11,12)。。。
    ... 产生的序列块是V的序列块分解,缩写为V的“s.b.d.”。例如,分区p=1,8,9/2,3,4,6/5,10/7,11,12包含序列(2,3),(3,4),(8,9),(11,12);因此V=[12]是(1)、(2,3,4)、(5)、(6)、(7)、(8,9)、(10)、(11,12)。。。
    ... 产生的序列块是V的序列块分解,缩写为V的“s.b.d.”。例如,分区p=1,8,9/2,3,4,6/5,10/7,11,12包含序列(2,3),(3,4),(8,9),(11,12);因此V=[12]的s.b.d.是(1),(2,3,4),(5),(6),(7),(8,9),(10),(11,十二). ...
  • ... (注:马克·沙塔克[20]最近在这一节中发现了一些组合恒等式的证明。。。
    文章
    我们考虑了有限集的划分的计数,根据一个块内连续元素的数目,假设元素是围绕一个圆排列的。这个统计,通常被称为\emph{circular sequence},在20世纪40年代欧文·卡普兰斯基(Irving Kaplan sky)的一篇论文中首次出现了集合的组合,在许多组合问题中继续扮演着重要的角色。在本文中,我们得到了避免循环序列的分区数和包含指定数目的分区数的有趣公式循环序列。我们的方法既包括基本组合推理,也包括普通幂级数和指数幂级数生成函数的应用,还介绍了几个新的组合恒等式。
  • 文章
    全文可用
    我们都认识0,1,1,2,3,5,8,13,。。。但是1,2,4,6,3,9,12,8,10,5,15,。。。?如果你遇到一个数字序列,想知道它以前是否被研究过,只有一个地方可以查看,即整数序列的在线百科全书(或OEIS)。如今,OEIS已进入第49个年头,它包含超过22万个序列,每年新增2万个条目。本文将简要介绍OEIS及其历史。本书还将讨论一些由于复发而产生的序列,这些序列比斐波纳契的要少,这是由于格雷格·巴克和米哈伊·卡拉吉乌、里德·凯利、乔纳森·艾尔斯、迪翁·吉斯维特和扬·里瑟玛·范艾克。
  • 文章
    全文可用
    我们给出了第二类经典Stirling数之间的一些关系的组合论元,以及通过对有限集划分的每个块中元素之间的距离的限制而得到的这些数的两个精化。
  • 文章
    我们考虑了有限集的划分的计数,根据一个块内连续元素的数目,假设元素是围绕一个圆排列的。这个统计,通常被称为\emph{circular sequence},在20世纪40年代欧文·卡普兰斯基(Irving Kaplan sky)的一篇论文中首次出现了集合的组合,在许多组合问题中继续扮演着重要的角色。在本文中,我们得到了避免循环序列的分区数和包含指定数目的分区数的有趣公式循环序列。我们的方法既包括基本组合推理,也包括普通幂级数和指数幂级数生成函数的应用,还介绍了几个新的组合恒等式。
  • 文章
    我们证明了贝尔数的两个最著名的表达式,πn =sum{k=0}^n{n over k}和pi{n+1}=sum{k=0}^n二项式{n}{k}*pi 都是第三个贝尔数表达式的特例,并给出了后者的组合证明。
  • 介绍了集合划分研究的历史概况和最早的成果时间线,较为详细地介绍了书籍序列求解递推关系生成函数Lagrange反演公式包含与排除生成树原理关于集合划分Dobinski公式的初步结果集合上的不同表示子词统计分为两个大小的子词模式:上升、水平和下降峰谷子词模式:l-上升,l-水平,在集合划分统计和块表示统计、规范化和Rook表示记录和弱记录上,一个字母相邻出现之间的位置数内部统计统计量和广义模式主要指标交叉口数量,嵌套和对齐避免集合分区中的模式历史和连接避免子序列模式广义模式部分有序模式对集合分区的多重限制避免大小为3的模式和非交叉集合分区中的另一模式模式避免一般等价于两个大小的模式四个左Motzkin数序列A054391 Catalan和广义Catalan数Pell数正则集分区距离限制singleton块连接渐近性和随机集划分工具来自概率论工具来自复分析的Z-统计量集划分作为几何字的集合分区的渐近性码,无环算法和集分区灰色码和无环算法生成Pn集分区和正规序的灰色码无环算法,线性表示和N((a+a)N)Wick定理和q-正规序p-正规序非交叉正规序附录书目索引练习,研究方向和开放性问题出现在每章的末尾。
  • 文章
    最近,Spivey发现了一个新的B(n+m)公式,其中B(n+m)是第(n+m)个贝尔数。他的证明本质上是组合的。本文给出了Spivey结果的母函数证明。它还利用Spivey公式来确定B(n)的一个新公式。最后将这三个恒等式推广到一般的单变量Bell多项式。
  • 文章
    全文可用
    我们研究了三个配分统计量,以及q-Stirling和q-Bell数,它们是它们的生成函数,当q=-1时计算这些数。在这项研究中,费米奥尼亚数中出现的数字(1)和振荡数。
  • 文章
    全文可用
    我们研究了Carlitz的q-Fibonacci多项式和q-Lucas多项式Fn(q;t)和Ln(q;t)的特殊值。给出了简单的代数处理和详细的组合处理,后者基于这些多项式是分别在线性和圆形多米诺排列上的一对统计的二元生成函数。
  • 文章
    我们通过连续元素或连续序列的字符串来枚举集合分区,并得到具有任意长度的序列的分区数的公式。我们的方法涉及到对分区块中的对象的直接操作。通过两种分区变换算法,将继承概念推广到m-正则分区。我们还提出了整数分区与集合分区之间基于连续的连接,并给出了一个应用于{1,2,…,n}的任意子集分区的连续枚举。