一些斯特灵数公式的组合证明

文章(PDF可用)2014年12月γ353读
DOI:101515/PUMA-2015-009
引用本刊物
摘要
在本文中,我们提供了一些最近的恒等式的证明,包括第二类的斯特灵数,如先前所要求的。我们的论点也产生了一个众所周知的Q-斯特林数的推广。
一些斯特灵数公式的组合证明
马克沙塔克
数学系
大学钇钇铝石榴石恩尼斯湖
诺克斯维尔,TN.796131320
Stuutkk.Math.Utk.EDU
摘要
在本文中,我们提供了一些最近的恒等式的双射证明。伏击搅拌
第二类岭数,如前所述。 我们的论点也有说服力。
一个众所周知的概括Q-斯特灵号码。
1引言
由A分区一组,wE将表示成对不相交子集的集合,叫做街区
集合是谁的结合。 fN>1和 KN,LETn,k表示所有分区的集合。
[的]N={,…,n}进入之内K砌块和N=γKn,k. 一个成员n,k被称为K-
分区并称为Be在标准形式如果它的BLOCKS/B/·········/BK这样安排
那一分钟(<·········<分钟(K 回想一下n,kN给出,
分别地 斯特灵的努姆第二类BERSn,k和贝尔数N(见)
序列A000 827和A000 0110,在[ 10 ]和最近的BO中OK〔5〕。 在什么
如下,如果N是正整数,然后让[m,n={米,米+ 1,…,n}如果N
m,n=γ如果M>N. 始终,给出了二项式方程。YγN
Kγ=N
KN-K)!
如果0KNγN
Kγ否则取零。
在〔6〕中,若干恒等式奥尔文斯特灵和Bell num由V发现BER阿里乌斯
代数方法,如生成函数和递归的使用。 问题
提出了下列恒等式的组合证明:
Sn,k=
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγSN--J-我,K -1)
+
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγSN--J-我,K -1)Kn
(1.1)
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγSN--J-我,K -1)=
N
X
J= 0
-1)JSN-J,KKn
(1.2)
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγN--J-I=
N-
X
J= 0
-1)JN-J N>(1.3)
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγSN--J-我,K-2)=
N
X
J=K
-1)N-JγN
JγSJ,KKN
(1.4)
W现在回忆一些泰米来自[ 6 ]的文献。 一个有序的元素对(甲、乙
子集[]N满足-γ1(钼)DN)被称为圆形的苏克教派. 也就是说,A
继承是一对延续。E整数或一对的出现n1)。 PA租借权
[的]N据说含蔗糖教派如果它的任何块。 例如,分区
π= 15689/二十三/四十七P包含四个继承,即 (5)6),(8)9),(9)1)和 (2)3)。
如果作为连续元素的字符串的一部分不发生循环继承
大于2(WH)埃尔N而1被认为是连续的,那么据说是独立的.
在前面的例子中,只有继承(5)。6)和(2)3)π是分离的。 问题
计数包含n的分区已经考虑了大量的继承。
各种 形式;参见[7 ],其中线性继承(即排除);n1)W再研究,
以及相关论文〔3, 8〕。
CRn,k表示子集的基数n,k其成员包含R
循环继承 DRn,k表示分区子集的基数
受欢迎的CRn,k在其成员中,所有的继承都是独立的。 在[ 6 ]中,它是
表明 γN-R
RγCRn,k=γN-
RγDRn,k.(1.5)
这是当前的目的。道夫笔记e(1.1)所要求的双射证明:
(1.5)。 可以给出类似的公式。排序预计起飞时间分区(即,那些顺序)
有关砌块本身的问题)和多项式推广
斯特灵南部BER,我们在第三节中考虑的。
在弗洛洛的论据中W,有时会更多的COV对某事物的思考
几何上的集合. 由A线性的圆形的N-瓷砖,我们A型冠状病毒努姆岭BER
,…,n以线或顺时针围绕圆周书写E,分别,通过印度-
棋盘形方块单宁和多米诺骨牌
冠状病毒荷兰铁路邻n树丛) 如果0KγN
γ然后让Rn,kCn,k表示集合
线性和圆形的N-含倾翻K多米诺骨牌。 这是众所周知的(见,例如,[ 9 ])
γ受体n,kγ=γN-K
KγCn,kγ=N
N-KγN-K
Kγ.
恒等式的双射证明
WE.RST提供一个COM身份证明的二元证明(1.1)。
证明 (1.1).
让我们假设K>2,因为结果是清楚的K= 1。 假设 π=/B/·········/BKγ
n,k以标准形式表示。 归纳法 序列<<·········进入
〔2〕,n如下。 是[ 2 ]中最小的成员,n块状发生属于π
假设至少有一个这样的元素T(如果不是,那么序列是空的)。
>1,我们γ成为最小的成员γ-+ 2,n发生在. 让我们参考
对任何元素t〔2〕,n等于γγ+ 1 一些 γ作为翻唱预计起飞时间. 注意,通过思考
成员γ序列必须属于块而被覆盖的元素t
形式γ+ 5月1日属于任何街区。
W现在,嘘w那γN--J
JγJ
IγSN--J-我,K-1)对MEM进行计数Besn,k
恰好2J冠状病毒2中的EDE元素,nJ+I惠克H属于第一个块。 To这样做,RST
注意有γN--J
Jγ包含元素的子集的选择TSγ,1γJ
因为这样的子集是一一对应的与会员RN-,J 那里
号码BERγ-1对应于LE所覆盖的位置。多米诺骨牌的半衰期N
线性的(线性的)N-1)-瓷砖。 一旦γ被选中我们选择IMEM来自集合的BER
{+ 1A+ 1……J+ 1}一起进入一个街区γ元素T 1。
终于我们分割剩下的N--J-I榄香烯Ts〔2〕,n进入K-1个街区
可以做到SN--J-我,K -1)WAES。 一起所有的BLOCKS给出了一个
成员n,k所需的窗体,并且生成这样的分区的过程被看见。
是可逆的。
f或例子,让N=12,K=4,J= 3和 I= 2,与=3,= 6和=10,
假设4和7是从{十一}进入第一街区。 如果剩余
〔12〕的六个元素被划分为三个BLO。CKAS{}{十一十二}{}然后一个
获得分区{}{}{十一十二}{} P十二其中有六个
冠状病毒WHIC中的〔12〕、VE的EDE元素H属于第一个BLOCK。
总结一切可能JI,其中0IJγN-
γ意味着数字
成员的n,k含夏娃冠状病毒N个数艾德琳TS是由S给出的
(1.1)右边的和。 因此,仍然需要对成员进行统计。n,kCON--
泰宁奇数COV元素。 注意,如果分区有奇数。
冠状病毒ELD元素,然后它不是这样的N红色属于RST
块。 因此,对剩余分区进行计数是奎瓦尔n计算n
成员N-,K含电动汽车恩努姆冠状病毒的误码率添加元素N
这类分区的RST块。 但这是优先考虑的问题。N被替换N-1和
因此,GIV在(1.1)的右手边上得到rST和。 这就完成了枚举。
成员的n,k并产生身份(1.1)。
备注:求和(1.1)铒1KN给出明显的新钟赭石重现
N=
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγN--J-I
+
γN-
γ
X
J= 0
J
X
I= 0γN--J
JγJ
IγN--J-I N>.(2.1)
f奥穆拉(2.1) 福洛允许一个钇同位素前述证明中的块的BER。
〔4, 11〕用于其它贝尔数的重现。
对…的证明 (1.2)(1.3).
WE省E(1.2)。 允许数字块中的BER以在分区中变化
下面的论证将E(1.3)。 让我们假设K>2(1.2)中的结果
清除如果K= 1。 n,k=γN
J= 0N-J,KπPN-J,K有迹象-1)J. 然后右手
(1.2)给出了所有成员的符号的和。n,k.
W一个符号启示录厄辛上洗脱n,k如下所述。 考虑元素是否
在内部πP米,K 在哪里?KN,B一个街区π作为字符串的一部分
连续的 电动车元件EN或 奇数长度,即 奇偶校验 T这样米,米 -
,……-T+ 1属于同一块,但-T没有。 如果T就算是,那么我们
删除元素π如果T是奇怪的,然后我们添加元素新台币+ 1 π. f
例如,如果N=9,K= 3和 = 7,那么π={}{}{} W乌尔德地图
π={}{}{} P.
这种手术被看作是逆转复旧的标志。n,k那不是为了
πPn,k这样N属于一个块作为字符串O的一部分F连续元素TS
奇数长度。 注意所有 这方面的成员 子集n,k有正负号E将
以表示*
n,k. 完成证明 (1.2),我们D秀 那个左手边
给出基数*
n,k.
通过证明 (1.1)上文中,(1.2)的左手边对所有成员进行计数。N+ 1,K
包含奇数的冠状病毒ELD元素,其中N+ 1米是最大的
因此属于与1相同的块。 此外,还有可能是空的。
窗体字符串n,n-,…,n-(2)T-1)包括其中的一部分 块。 因此, 删除
1从所有这样的分区中减去一个FRO每个元素t〔2〕,n +1 结果 进入
成员*
n,k并完成PRO其中的 (1.2)。
证明 (1.4).
假设NK并给出KJN. 考虑有序对集
S,π在哪里S是[的子集]N尺寸N-Jπ是集合的一个分区。N]-S
K街区 j表示所有SUC的集合H序对S,πN=γN
J=Kj.
成员j甲型肝炎病毒e符号-1)N-J. 然后是RRYT侧 (1.4)给出了
所有成员的迹象N.
W一个反转的符号上洗脱N如下所述。 吉欧EN(S,πN
最小的元素N]-SS是最小的元素 [+ 1,n令人满意
(或)SγS或(b)Sγ[N]-SS延伸到同一块π作为
做。 假设S我们存在论上的繁荣 N通过移动SS到街区
包含进入π如果(a)发生或通过MOV惯性导航与制导Sπ到集合S如果(b)发生。 笔记
这个操作是一个入侵检测系统。洗脱剂H改变S但同时保存
S. 例如,如果N=10,K=3,J=7,S={}π={}{}{}
然后= 2和S= 4和(S,π)将与(S,π在哪里S={}
π={}{}{}.
此操作不适用于 S,πN在哪儿S是形式的[γ为一些
γN-K的最小元素N]-S在一个单独的块中π.
删除元素(和Con Con泰宁IT),我们看到 幸存者组
英孚溶解是等价的。NT到SETN-,K-=γN-
J=K-J,K-从前面的专业属于
属于 (1.2),符号在哪里拉姆PJ,K -现在给出B钇(Y)-1)N--J. 现在应用
英孚OLUTHY在证明中的应用 (1.2)这组存活率OR表示符号和
所有成员N等于集合的基数*
N-,K-从那个专业的。 注意
A*
N-,K-γ是由(1.2)的左手边给出的。N被替换N-1和KK-1,
这就证明了 (1.4)。
证明 (1.5)。
WE省e(1.5)略微改写形式
N
N-RγN-R
RγCRn,k=γN
RγDRn,k.(2.2)
考虑集合U有序对(α,π在哪里αCn,rπ是一个成员n,k
R循环抽吸情绪。 V表示有序对集合。β,π在哪里β是一个
子集[]N尺寸Rπ是一个成员 属于n,kR循环成功所有的离子
是分离的。
W一个双射f之间UV啊!H将意味着(2.2)。 让(απ .
W首先考虑Iγ[N这样内部πI-1发生在同一块中I
如果I1,连同1No同一块中的cCURS为1。 我们 拿这些E形态与形式
我们将调用的集合β. W然后拿走剩下的N-R榄香烯TSπ在他们之内
相应的块,并将它们减少到字母中。N-R获得会员π属于N-K
不含圆形的情绪。
首先假设情况不是这样的 多米诺公司V努姆BERN
1英寸α. I<我<········· <我R表示[成员]N这是冠状病毒右翼势力
一半的多米诺骨牌α顺时针旋转圆周时。 W添加元素I
到街区π其中包含I-1,增加所有MEM〔数〕I,n -R进入π一个。
To所得的分区N-R+ 1,我们添加元素TI对包含的块
I-1并增加所有成员I,n -R+1 一个。 代表 每个 后来的
元素,直到所有元素IJ甲型肝炎病毒增加了E。 注意,在元素划分中,元素
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