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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A039810型 Stirling2三角形的矩阵平方A008277号:2级将[n]的分区设置为k个一级子集。 18
1, 2, 1, 5, 6, 1, 15, 32, 12, 1, 52, 175, 110, 20, 1, 203, 1012, 945, 280, 30, 1, 877, 6230, 8092, 3465, 595, 42, 1, 4140, 40819, 70756, 40992, 10010, 1120, 56, 1, 21147, 283944, 638423, 479976, 156072, 24570, 1932, 72, 1, 115975, 2090424, 5971350, 5660615, 2350950, 487704, 53550, 3120, 90, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
这个三角形将某些第二类广义Stirling数分组A000558号,A000559号, ... 它们也可以解释为树高3,叶数n,根的顺序受到限制。
发件人彼得·巴拉2014年7月19日:(开始)
此表中的第(n,k)项给出了集合[n]={1,2,…,n}到k个块中的双分区数。为了形成[n]的双重划分,我们首先将[n]写成[n]中k个非空子集(块)X_i的不相交并X_1U…U X_k。然后将每个块X_i进一步划分为子块,以给出一个双分区。例如,{1,2,4}U{3,5}是[5]分为2个块的分区,{{1,4},{2}}U}{3},}是此分区的细化,将[5]的双重分区分为2块(和4个子块)。
将本表第(n,k)项的上述解释与A013609号(帕斯卡三角形的正方形,但行的读取顺序相反)计算[n]的子集对(X,Y),使|Y|=k和X包含在Y中。(结束)
另外,不含列0的移位贝尔数B(n+1)的贝尔变换。有关Bell变换的定义,请参见A264428型. -彼得·卢什尼2016年1月28日
T(n,k)是将n个集合划分为彩色块的数目,这样就正好使用了k种颜色,并且颜色是按递增顺序引入的。T(3,2)=6:1a|23b,13a|2b,12a|3b,1a|2a|3b,1a|2b|3a,1a|2b|3b-阿洛伊斯·海因茨,2019年8月27日
链接
蒂尔曼·皮耶斯克,前100排,扁平
A.Aboud、J.-P.Bultel、A.Chouria、J.-G.Luque和O.Mallet,组合Hopf代数中的Bell多项式,arXiv预印本arXiv:1402.2960[math.CO],2014-2015。
T.Mansour、A.Munagi和M.Shattuck,递归关系与二维集划分,J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.1.
配方奶粉
S2系列=A008277号(第二类斯特林数)。
T=(S2)^2。
T(n,k)=和{i=k.n}S2(n,i)*S2(i,k)。
第k列的示例:(exp(x)-1)-1)^k/k!。[由更正满山圣一2022年2月12日]
发件人彼得·巴拉2014年7月19日:(开始)
T(n,k)=Sum_{不相交并X_1U…U X_k=[n]}Bell(|X_1|)**Bell(|X_k|),其中Bell(n)=A000110号(n) ●●●●。
递归方程:T(n+1,k+1)=Sum_{j=k.n}Bell(n+1-j)*二项式(n,j)*T(j,k)。
行总和[1,3,12,60358,…]=A000258号.(结束)
例子
三角形开始:
k=1 2 3 4 5总和
n个
1 1 1
2 2 1 3
3 5 6 1 12
4 15 32 12 1 60
5 52 175 110 20 1 358
矩阵乘法Stirling2*Stirling 2:
1 0 0 0
1 1 0 0
1 3 1 0
1 7 6 1
.
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 2 1 0 0
1 3 1 0 5 6 1 0
1 7 6 1 15 32 12 1
发件人彼得·巴拉2014年7月19日:(开始)
T(5,2)=175:5集可以划分为2个块,既可以是3集和2集的并集,也可以是4集和单集的并流。
在第一种情况下,有10种方法可以将5个集合划分为3个集合和2个集合。每个3集可以以Bell(3)=5的方式被进一步划分为子块,并且每个2集可以以Bell(2)=2的方式被进一步划分为子块。因此,我们总共获得了10*5*2=100个这种类型的双分区。
在第二种情况下,有5种方法可以将5集划分为4集和1集。每个4组可按Bell(4)=15方式进一步划分,每个1组可按贝尔(1)=1方式进一步划分。因此,我们总共得到了这种类型的5*15*1=75个双分区。
因此,总的来说,T(5,2)=100+75=175。(结束)
MAPLE公司
#BellMatrix函数定义于A264428型.
#将(1,0,0,…)添加为列0。
贝尔矩阵(n->组合:-贝尔(n+1),10)#彼得·卢什尼2016年1月28日
数学
压扁[表[Sum[StirlingS2[n,i]*Stirling S2[i,k],{i,k,n}],{n,1,10},{k,1,n}]](*因德拉尼尔·戈什2017年2月22日*)
行=10;
t=表[BellB[n+1],{n,0,rows}];
T[n_,k_]:=腹部[n,k,T];
表[T[n,k],{n,1,rows},{k,1,n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗,2018年6月22日,之后彼得·卢什尼*)
黄体脂酮素
(PARI)T(n,k)=总和(j=0,n,斯特林(n,j,2)*斯特林(j,k,2))\\满山圣一2022年2月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A039811号,A039814号,A039813号(斯特林矩阵的其他产品)。
T(n,1)=A000110号(n) (第一列)(钟号)。
T(n,2)=A000558号(n) 2级设置分区,包含2个一级类。
T(n,n-1)=A002378号(n-1)=n*(n-1。
总和为A000258号(n) ,2级设置分区。
偏移量为0的另一个版本:A130191号.
水平镜像三角形为A046817号.
T(2n,n)给出A321712飞机.
关键词
非n,
作者
克里斯蒂安·鲍尔1999年2月15日
扩展
定义和解释编辑奥利维尔·杰拉德2011年7月31日
状态
经核准的

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