A154537-OEIS公司

A154537号

按行读取三角形T（n，m）：设p（n，x）=exp（-x）*Sum_{m>=0}（2*m+1）^n*x^m/m！；则T（n，m）=[x^m]p（n，x）。

1, 1, 2, 1, 8, 4, 1, 26, 36, 8, 1, 80, 232, 128, 16, 1, 242, 1320, 1360, 400, 32, 1, 728, 7084, 12160, 6320, 1152, 64, 1, 2186, 36876, 99288, 81200, 25312, 3136, 128, 1, 6560, 188752, 768768, 929376, 440832, 91392, 8192, 256, 1, 19682, 956880, 5758880, 9901920, 6707904, 2069760, 305664, 20736, 512

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

行总和为A126390型.

这些数字与作为MacMahon数的第二类Stirling数有关A060187号与欧拉数有关。

设p和q表示作用于函数f（x）上的算子，由pf（x）=x*f（x。设A是反交换算子qp+pq。然后A^n=Sum_{k=0..n}T（n，k）p^kq^k。例如，A^3（f）=f+26*x*df/dx+36*x^2*d^2（f）/dx^2+8*x^3*d^3（f）/dx*3。 -彼得·巴拉2014年7月24日

发件人彼得·巴拉，2023年5月21日：（开始）

比较多项式p（n，x）的定义和Dobiñski的Bell多项式公式（A008277号对于n>=1）：贝尔（n，x）=exp（-x）*Sum_{m>=0}m^n*x^m/m！。

Boyadzhiev证明了Bell（n，x）=d/dx（exp（-x）*Sum_{m>=0}（1^n+2^n+…+（m-1）^n）*x^m/m！ ).该表的相应结果是，第n行多项式p（n，x）=d/dx（exp（-x）*Sum_{m>=0}（1^n+3^n+…+（2*m-1）^n）*x^m/m！ ).（结束）

链接

n=0..54时的n、a（n）表。

赫里斯托·博亚德日耶夫，与Stirling、超调和和错位数、Bernoulli和Euler多项式、幂和阶乘的新恒等式，arXiv:2011.03101v3[math.NT]，2020-2021。

帕韦·希琴科，导致（n/log n，n/log^2 n）-渐近正态性的一类多项式递归，arXiv:2403.03422[math.CO]，2024。见第9页。

沃尔夫迪特·朗，Sheffer和Riordan数三角形对角序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

埃里克·魏斯坦的数学世界，多宾斯基公式

配方奶粉

发件人彼得·巴拉，2011年10月28日：（开始）

T（n，k）=1/k！*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*（2*j+1）^n。

递归关系：T（n，k）=2*T（n-1，k-1）+（2*k+1）*T（n-1，k）。

T（n，k）=（2^k）*A039755号（n，k）。

例如：exp（x+y*（exp（2*x）-1））=1+（1+2*y）*x+（1+8*y+4*y^2）*x^2/2！ + .…（完）