搜索: a278679-编号:a278669
|
|
A008292号
|
| 行读取的欧拉数T(n,k)三角形(n>=1,1<=k<=n)。 |
|
+10 402
|
|
|
1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 11, 1, 1, 26, 66, 26, 1, 1, 57, 302, 302, 57, 1, 1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1, 1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1, 1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1, 1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
评论
|
欧拉多项式的系数。具有k-1的n个对象的排列数量增加。具有n+1个节点和k个叶子的根不断增加的树的数量。
T(n,k)=[n]的排列数,k次。T(n,k)=需要k读数的[n]排列数(参见Knuth参考)。T(n,k)=[n]在其反演表中有k个不同项的置换数-Emeric Deutsch公司2004年6月9日
T(n,k)=写入Coxeter元素的方法数量_{e1}秒_{e1-e2}s_{e2-e3}秒_{e3-e4}。。。s{e_{n-1}-en}类型B_n的反射群,使用s{e_k}和形式s{e_i+e_j}的少量反射,其中i=1,2。。。,n和j尽可能不等于iPramook Khungurn(Pramook(AT)mit.edu),2004年7月7日
T(n,k)/n!也表示被(n-1)维超平面x_1+x_2+。。。x_n=k,x_1+x_2+。。。xn=k-1;或者,等价地,它表示均匀分布在0和1之间的n个独立随机变量之和介于k-1和k.之间的概率。-Stefano Zunino,2006年10月25日
[E(.,t)/(1-t)]^n=n*滞后[n,-P(.,t)/(1-t)]和[-P*拉格[n,E(.,t)/(1-t)]隐含地包含一个组合拉盖尔变换对,其中E(n,t)是欧拉多项式,P(n,t)是A131758号. -汤姆·科普兰2007年9月30日
G(x,t)=1/(1+(1-exp(x*t))/t)=1+1*x+(2+t)*x^2/2!+(6+6*t+t^2)*x^3/3!+。。。给出了行多项式A090582号,置换面体的反向f多项式(参见A019538年).
G(x,t-1)=1+1*x+(1+t)*x^2/2!+(1+4*t+t^2)*x^3/3!+。。。给出的行多项式A008292号,永曲面的h多项式(Postnikov等人)。
G((t+1)*x,-1/(t+1”)=1+(1+t)*x+(1+3*t+2*t^2)*x^2/2!+。。。给出了行多项式A028246号.
(完)
[n]上的子超越函数f是映射f:[n]->[n],使得对于所有i,1<=f(i)<=i,1<=i<=n。T(n,k)等于[n]的子超越函数f的数量,使得f的图像具有基数k[Mantaci&Rakotondrajao]。例T(3,2)=4:如果我们用单词f(1)f(2)标识一个次超函数f。。。f(n)则[3]上的次超函数是111、112、113、121、122和123,并且其中四个函数具有基数为2的图像集-彼得·巴拉,2008年10月21日
n>=1的多项式E(z,n)=分子(和{k>=1}(-1)^(n+1)*k^n*z^(k-1))直接导致欧拉数的三角形-约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日
来自Walther Janous(walter.Janous(AT)tirol.com),2009年11月1日:(开始)
(欧拉)多项式e(n,x)=Sum_{k=0..n-1}T(n,k+1)*x^k也是无穷和的闭式表达式的分子:
S(p,x)=和{j>=0}(j+1)^p*x^j,即
当|x|<1且p为正整数时,S(p,x)=e(p,x)/(1-x)^(p+1)。
(请注意,在列出公式部分的部分中,T(n,k)的使用不一致。我默认了第一个。)(完)
如果n是奇数素数,那么第(n-2)-和(n-1)-行的所有数字都在级数k*n+1中-弗拉基米尔·舍维列夫2011年7月1日
欧拉三角形是求和{k=1..n}k^j的第r次连续求和公式中的一个元素,它似乎是求和_{k=1..n}T(j,k-1)*二项式(j-k+n+r,j+r)-加里·德特利夫斯2011年11月11日
Li和Wong证明T(n,k)计算了具有n+1个顶点和角度之和(2*k-n-1)*Pi的组合不等星多边形。一个等价的公式是:定义对称群S_n中置换p的总符号变化S(p)等于和{i=1..n}符号(p(i)-p(i+1)),其中取p(n+1)=p(1)。T(n,k)给出了q(1)=1且S(q)=2*k-n-1的S_(n+1)中置换数q。例如,T(3,2)=4,因为在S_4中,排列(1243)、(1324)、(1342)和(1423)具有总符号变化0-彼得·巴拉2011年12月27日
Xiong、Hall和Tsao提到Riordan,并提到传统的欧拉数a(n,k)是(1,2…n)具有k弱超越的置换数-苏珊·维南德2014年8月25日
与代数几何/拓扑和特征类的联系在Buchstaber和Bunkova、Copeland、Hirzebruch、Lenart和Zainoulline、Losev和Manin以及Sheppard联系中进行了讨论;科普兰的格拉斯曼人、法伯人和波斯尼科夫人、谢泼德人和威廉姆斯人;以及合成反演和微分算子,在科普兰和帕克链接中-汤姆·科普兰,2015年10月20日
公式中提到的双变量例如f.与Aluffi-Marcolli链接中讨论的某些图中的乘法边有关。见第42页-汤姆·科普兰2016年12月18日
行多项式P(n,x)=Sum_{k=1..n}T(n,k)*x^k出现在o.g.f.g(n,x)=Sum _{m>=0}S(n,m)*x ^m的分子中,对于n>=1,S(n、m)=Sum _}j=0..m}j^n,作为g(n、x)=Sum_}k=1..n}P(n、x)/(1-x)^(n+2)对于n>=0(0^0=1)。另请参见三角形A131689型2017年3月31日,对改写后的表格发表评论。例如,f见A028246号2017年3月13日发表评论-沃尔夫迪特·朗2017年3月31日
有关埃尔哈特多项式、多面体体积、多对数、托德算子和其他特殊函数、多项式和序列的关系,请参见A131758美元以及其中的参考文献-汤姆·科普兰2017年6月20日
超单体的归一化体积,归于拉普拉斯。(参见De Loera等人的参考文献,第327页。)-汤姆·科普兰,2018年6月25日
|
|
参考文献
|
Mohammad K.Azarian,《几何系列》,第329题,《数学与计算机教育》,第30卷,第1期,1996年冬季,第101页。解决方案发表于1997年春季第31卷第2期,196-197页。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第106页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第243页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第260页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,1990年,第254页;第二。编辑,第268页。[Worpitzky的身份(6.37)]
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley,Reading,MA,1998年,第3卷,第47页(练习5.1.4编号20)和第605页(解决方案)。
孟莉和罗恩·戈德曼。《二项式和欧拉数及其相关分布的和的极限》,《离散数学》343.7(2020):111870。
安东尼·门德斯(Anthony Mendes)和杰弗里·雷梅尔(Jeffrey Remmel),《从对称函数生成函数》(Generating functions from symmetric functions),该书的初步版本,可从杰弗里·莱梅尔的主页获得http://math.ucsd.edu/~雷梅尔/
K.Mittelstaedt,欧拉数的随机方法,Amer。数学。Mnthly,127:7(2020),618-628。
T.K.Petersen,《欧拉数字》,Birkhauser,2015年。
J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第215页。
R.Sedgewick和P.Flajolet,《算法分析导论》,Addison-Wesley,Reading,MA,1996年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,图M3416,学术出版社,1995年。
H.S.Wall,连分式分析理论,切尔西,1973年,见第208页。
D.B.West,组合数学,剑桥,2021年,第101页。
|
|
链接
|
P.Aluffi和M.Marcolli,费曼动机与删除压缩,arXiv:0097.3225【数学ph】,2009年。
E.Banaan、S.Butler、C.Cox、J.Davis、J.Landgraf和S.Ponce,通过rook布局推广欧拉数,arXiv:1508.03673[math.CO],2015年。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor,一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构,arXiv:1307.2010[math.CO],2013年。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki,树丛中的图案,arXiv:161107793[cs.DM],2016年。
H.Belbachir、M.Rahmani和B.Sury,二项式系数倒数的矩和,J.国际顺序。14 (2011) #11.6.6.
Hacene Belbachir、Mourad Rahmani和B.Sury,二项式系数倒数的交替和《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.2.8号。
F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,施普林格1992年,第24-48页。
Michael Bukata、Ryan Kulwicki、Nicholas Lewandowski、Lara Pudwell、Jacob Roth和Teresa Wheeland,避免模式置换的统计分布,arXiv:1812.07112[math.CO],2018年。
F.Cachazo、S.He和E.Y.Yuan,有理映射的三维散射,arXiv:1306.2962【第七次】,2013年。
F.Cachazo、S.Mizera和G.Zhang,散射方程:实解和直线上的粒子,arXiv:1609.00008[hep-th],2016年。
David Callan,问题498《大学数学杂志》,第24卷,第2期(1993年3月),第183-190页(8页)。
L.Carlitz,欧拉数和运算符《数学学报》第24:2页(1973年),第175-200页。
L.Carlitz、D.C.Kurtz、R.Scoville和O.P.Stackelberg,欧拉数的渐近性质,Zeitschrift für Wahrscheinlichkeits theory und verwandte Gebiete,23(1),47-54(1972)。
拉斐尔·塞尔夫和约塞巴·达尔摩,准物种分布,arXiv:1609.05738[q-bio.PE],2016年。
J.A.De Loera、J.Rambau和F.Santos,三角剖分:算法和应用的结构《数学中的算法和计算》,第25卷,施普林格-弗拉格出版社,2010年。
J.Desarmenien和D.Foata,有符号的欧拉数,离散数学。99(1992),第1-3期,第49-58页。
A.Dzhumadil’daev和D.Yeliussizov,二项式系数的幂和《整数序列杂志》,16(2013),第13.1.6条。
R.Ehrenborg、M.Readdy和E.Steingrímsson,立方体的混合体积和切片,J库姆。理论,A系列81,第1期,1998年1月,121-126。
Dominique Foata和Guo-Niu Han,双子数和新的q正切数,夸脱。数学杂志。62 (2) (2011) 417-432.
E.T.Frankel,数字微积分与有限差分《美国数学月刊》,57(1950),14-25。[带注释的扫描副本]
杰森·富尔曼(Jason Fulman)、吉恩·基姆(Gene B.Kim)、桑楚尔·李(Sangchul Lee)和T.凯尔·彼得森(T.Kyle Petersen),关于降和排列符号的联合分布,arXiv:1910.04258[math.CO],2019年。
D.Galvin、G.Wesley和B.Zacovic,枚举阈值图和一些相关的图类,arXiv:2110.08953[math.CO],2021。
S.Garoufalidis和R.Kashaev,从状态积分到q级数,arXiv:1304.2705[math.GT],2013年。
亚历山大·格尼丁(Alexander Gnedin)和格里戈里·奥尔桑斯基(Grigori Olshanski),欧拉数三角形的边界,arXiv:math/0602610[math.PR],2006年。
赫维格·豪泽(Herwig Hauser)和克里斯托夫·库桑(Christoph Koutschen),多元线性回归与幂级数分割,离散数学。312(2012),第24期,3553-3560。MR2979485。
F.Hirzebruch,欧拉多项式数学硕士。1(2008),第9-12页。
P.Hitchzenko和S.Janson,加权随机楼梯表,arXiv:12122.5498[math.CO],2012年。
D.H.Lehmer,广义欧拉数J.Combina.理论系列。A 32(1982),第2期,195-215。MR0654621(83k:10026)。
P.A.MacMahon,数字的除数,程序。伦敦数学。《社会学杂志》,(2)19(1920),305-340;科尔。论文II,第267-302页。
文森特·皮劳(Vincent Pilaud)和V.Pons,Permutrees树木,arXiv预印arXiv:1606.09643[math.CO],2016-2017。
C.de Jesús Pita Ruiz Velasco,卷积与Sulanke数,JIS 13(2010)10.1.8。
P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。
P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。[带注释的扫描副本]
A.Postnikov、V.Reiner和L.Williams,广义置换面,arXiv:0609184[math.CO],2007年。
J.Riordan,三角排列数,程序。阿默尔。数学。Soc.2(1951)429-432,r(x,t)。
D.P.罗塞,按上升和继任次数排列,程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》,19(1968),8-16。[带注释的扫描副本]
Grzegorz Rzadkowski和M.Urlinska,欧拉数的推广,arXiv预印arXiv:1612.06635[math.CO],2016-2017。
J.Sack和H.Ulfarsson,排列的精细反演统计,arXiv:1106.1995[math.CO],2011年。
L.K.Williams,全阳性格拉斯曼细胞的计数,arXiv:math/0307271[math.CO],2003-2004。
Anthony J.Wood、Richard A.Blythe和Martin R.Evans,排除过程的组合映射,arXiv:1908.00942【第二次统计】,2019年。
熊廷尧、乔纳森·霍尔和曹洪平,一般欧拉数的组合解释《离散数学杂志》(2014),文章编号870596,6页。
D.叶利乌西佐夫,多集上的置换统计2012年,哈萨克斯坦-英国技术大学计算机科学博士学位论文。
|
|
配方奶粉
|
T(n,k)=k*T(n-1,k)+(n-k+1)*T(n-1,k-1),T(1,1)=1。
T(n,k)=和{j=0..k}(-1)^j*(k-j)^n*二项式(n+1,j)。
例如,A(x,q)=和{n>0}(和{k=1..n}T(n,k)*q^k)*x^n/n!=q*(e^(q*x)-e^x)/(q*e^x-e^(q*x))满足dA/dx=(A+1)*(A+q)-迈克尔·索莫斯2011年3月17日
对于列列表,第n项:T(c,n)=c^(n+c-1)+Sum_{i=1..c-1}(-1)^i/i*(c-i)^(n+c-1)*产品{j=1..i}(n+c+1-j)-Randall L Rathbun公司,2002年1月23日
约翰·罗伯逊(jpr2718(AT)aol.com),2002年9月2日:(开始)
欧拉数T(i,n)的四个特征:
1.当n>=1时,T(0,n)=1;当i>=1,T(i,1)=0。
2.T(i,n)=和{j=0..i}(-1)^j*二项式(n+1,j)*(i-j+1)^n,对于n>=1,i>=0。
3.设C_n是R^n中具有顶点(e_1,e_2,…,e_n)的单位立方体,其中每个e_i为0或1,并使用所有2^n组合。那么T(i,n)/n!是超平面x_1+x_2+…+之间C_n的体积x_n=i和x_1+x_2+…+x_n=i+1。因此T(i,n)/n!是i<=X_1+X_2+…+的概率X_n<i+1,其中X_j是独立的均匀[0,1]分布参见Ehrenborg&Readdy参考。
4.设f(i,n)=T(i,n)/n!。f(i,n)是唯一系数,因此当n>=1且abs(r)>1时,(1/(r-1)^(n+1))Sum_{i=0..n-1}f(i、n)r^{i+1}=Sum_}j>=0}(j^n)/(r^j)。(完)
第n行的O.g.f.:(1-x)^(n+1)*polylog(-n,x)/x-弗拉德塔·乔沃维奇2002年9月2日
三角形T(n,k),n>0和k>0,按行读取;由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,…]DELTA[1,0,2,0,3,1,4,0,5,0,6,…](散布着0的正整数)给出,其中DELTA是在A084938号.
Bell_n(x)=求和{j=0..n}S2(n,j)*x^j=Sum_{j=0..n}E(n,j)*滞后(n,-x,j-n)=Sum_{j=0-.n}(E(n、j)/n!)*(n!*Lag(n,-x,j-n))=Sum_{j=0..n}E(n,j)*二项式(Bell.(x)+j,n),其中Bell_n(x)是Bell/Touchard/指数多项式;S2(n,j),第二类斯特林数;E(n,j),欧拉数;和Lag(n,x,m),相关的m阶Laguerre多项式。
对于x=0,方程给出了求和{j=0..n}E(n,j)*二项式(j,n)=1表示n=0,0表示所有其他n*二项式(y,n),对于方程中的x,得到了Worpitzky恒等式;y^n=和{j=0..n}E(n,j)*二项式(y+j,n)。
注意E(n,j)/n!=E(n,j)/(和{k=0..n}E(n、k))。此外,(n!*Lag(n,-1,j-n))是A086885号对座位安排进行了简单的组合解释,对x=1的方程进行了组合解释;不*铃声_n(1)=n*和{j=0..n}S2(n,j)=和{j=0..n}E(n,j)*(n!*滞后(n,-1,j-n))。
(2020年9月16日附页)有关伯努利数的连接、扩展、证明以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示,请参阅我的《后互惠与巫术》。(完)
G.f:1/(1-x/(1-x*y/1-2*x/(1-2*x*y/(1-3*x/-保罗·巴里2010年3月24日
如果n是奇素数,那么以下连续的2*n+1项是1模n:a((n-1)*(n-2)/2+i),i=0..2*n。这个项链是最大的,因为前一项和下一项都不是1模n。-Vladimir Shevelev,2011年7月1日
对于k=0,1,2,。。。放G(k,x,t):=x-。。。。然后,G(k,x,t)关于x的级数倒转给出了当k=0时当前表的一个例子f,以及对于2008年5月17日当k=1时。
例如,f.B(x,t):=g(0,x,t(1+4*t+t^2)*x^3/3!+。。。满足自治微分方程dB/dx=(1+B)*(1+t*B)=1+(1+t)*B+t*B^2。
应用[Bergeron等人,定理1]给出了欧拉多项式的组合解释:a(n,t)计算n个顶点上的平面增树,其中每个顶点的超度数<=2,超度数1的顶点为1+t颜色,超度值2的顶点为t颜色。下面给出了一个示例。参见。2008年5月17日应用[Dominici,定理4.1]给出了计算欧拉多项式的以下方法:设f(x,t)=(1+x)*(1+t*x),设D是算子f(x、t)*D/dx。然后A(n+1,t)=D^n(f(x,t))在x=0处求值。
(完)
在科普兰2008年的评论中,例如f.A(x,t)=g[x,(t-1)]-1,组成逆函数为Ainv(x,t)=log(t-(t-1-汤姆·科普兰2011年10月11日
T(2*n+1,n+1)=(2*n+2)*T(2*n,n)。(例如,66=6*11,2416=8*302,…)-加里·德特利夫斯2011年11月11日
例如:(1-y)/(1-y*exp(1-y,*x))-杰弗里·克雷策2012年11月10日
设{A(n,x)}n>=1表示从[1,1+x,1+4*x+x^2,…]开始的欧拉多项式序列。给定两个复数a和b,由R(n,x):=(x+b)^n*a(n+1,(x+a)/(x+b))定义的多项式序列,n>=0,满足递推方程R(n+1,x)=d/dx((x+a)*(x+b)*R(n、x))。这些多项式给出了数据库中几个三角形的行生成多项式,包括A019538年(a=0,b=1),A156992号(a=1,b=1),A185421号(a=(1+i)/2,b=(1-i)/2),A185423号(a=exp(i*Pi/3),b=expA185896号(a=i,b=-i)。
(完)
例如:1+x/(T(0)-x*y),其中T(k)=1+x*(y-1)/(1+(k+1)/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月7日
A) 双变量例如,f.A(x,A,b)=(e^(ax)-e^(bx))/(A*e^(a^2+4ab+b^2)*x^3/3!+(a^3+11a^2b+11ab^2+b^3)x^4/4!+。。。
B) B(x,a,B)=对数((1+ax)/(1+bx))/(a-B)=x-(a+B)x^2/2+(a^2+ab+B^2)x^3/3-(a^3+a^2b+ab^2+B^3)x^4/4+…=log(1+u.*x),其中(u.)^n=u_n=h(n-1)(a,b)是一个完全齐次多项式,是a(x,a,b)在x中的组成逆(见Drake,第56页)。
C) A(x)满足dA/dx=(1+A*A)(1+b*A),可以用Weierstrass椭圆函数表示(见Buchstaber&Bunkova)。
D) 二元欧拉行多项式由在x=0时计算的迭代导数((1+ax)(1+bx)D/dx)^n x生成(参见A145271号).
E) A(x,A,b)=-(E ^(-ax)-E ^(-bx))/(A*E ^。
F) FGL(x,y)=A(B(x,A,B)+B(y,A,B),A,B=(x+y+(A+B)xy)/(1-ab*xy)被称为双曲形式群定律,与Lenart和Zainoulline的广义上同调理论有关。(完)
对于x>1,n阶欧拉多项式A(n,x)=(x-1)^n*log(x)*Integral_{u>=0}(上限(u))^n*x^(-u)du-彼得·巴拉2015年2月6日
求和{j>=0}j^n/e^j,当n>=0时,等于求和{k=1..n}T(n,k)e^k/(e-1)^(n+1),这是变量“e”中的有理函数,其近似值为n!当e=A001113号= 2.71828... -理查德·福伯格2015年2月15日
对于固定k,T(n,k)~k^n,通过归纳法证明-冉·潘2015年10月12日
发件人A145271号,将下三角Pascal矩阵的第n条对角线(主对角线n=0)乘以在x=0时计算的g_n=(d/dx)^n(1+a*x)*(1+b*x),即g_0=1,g_1=(a+b),g_2=2ab,否则g_n=0,得到VP(n,k)=二项式(n,k)g_(n-k)的三对角矩阵VP。则该条目的第m个二元行多项式为P(m,a,b)=(1,0,0,…)[VP*S]^(m-1)(1,a+b,2ab,0,..)^T,其中S是移位矩阵A129185号,表示除权基数x^n/n!中的微分!。另外,P(m,a,b)=(1,0,0,…)[VP*S]^m(0,1,0…)^T-汤姆·科普兰2016年8月2日
|
|
例子
|
三角形T(n,k)开始于:
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
1: 1
2: 1 1
3: 1 4 1
4:1 11 11 1
5: 1 26 66 26 1
6: 1 57 302 302 57 1
7: 1 120 1191 2416 1191 120 1
8: 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1
9: 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1
10: 1 1013 47840 455192 1310354 1310354 455192 47840 1013 1
-----------------------------------------------------------------
例如f.=(y)*x^1/1!+(y+y^2)*x^2/2!+(y+4*y^2+y^3)*x^3/3!+-迈克尔·索莫斯2011年3月17日
设n=7。那么以下2*7+1=15个连续项是1(mod 7):a(15+i),i=0..14-弗拉基米尔·舍维列夫2011年7月1日
第3行:在3个顶点上增加0-1-2树的平面(彩色顶点的数量显示在顶点的右侧)为
.
.1 o(1+t)1 o t 1 o t
. | / \ / \
. | / \ / \
.2o(1+t)2o3o3o2o
. |
. |
0.3个
.
树的总数是(1+t)^2+t+t=1+4*t+t^2。
|
|
MAPLE公司
|
A008292号:=proc(n,k)选项记忆;如果k<1或k>n,则为0;elif k=1或k=n,则为1;否则k*进程名(n-1,k)+(n-k+1)*进程名;结束条件:;结束进程:
|
|
数学
|
t[n_,k_]=和[(-1)^j*(k-j)^n*二项式[n+1,j],{j,0,k}];
压扁[表[系数列表[(1-x)^(k+1)*PolyLog[-k,x]/x,x],{k,1,10}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月27日*)
表[计数[
计数[#,x_/;x>0]&&@(差异/@
排列[范围[n]])][[;;,2]],{n,10}](*李涵2020年10月11日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){T(n,k)=如果(k<1|k>n,0,如果(n==1,1,k*T(n-1,k)+(n-k+1)*T(n-1,k-1))}/*迈克尔·索莫斯1999年7月19日*/
(PARI){T(n,k)=和(j=0,k,(-1)^j*(k-j)^n*二项式(n+1,j))}/*迈克尔·索莫斯,1999年7月19日*/
{A008292号(c,n)=c^(n+c-1)+和(i=1,c-1,(-1)^i/i*(c-i)^(n+c-1)*prod(j=1,i,n+c+1-j))}
(哈斯克尔)
导入数据。列表(genericLength)
a008292 n k=a008292_tabl!!(n-1)!!(k-1)
a008292_row n=a008292_tabl!!(n-1)
a008292_tabl=迭代f[1],其中
f xs=zipWith(+)
(zipWith(*)([0]++xs)(反向ks))
其中ks=[1..1+genericLength xs]
(Python)
从症状导入二项式
def T(n,k):返回和([(-1)**j*(k-j)**n*二项式(n+1,j),对于范围(k+1)中的j)])
对于范围(1,11)中的n:打印([T(n,k)对于范围(1,n+1)中的k)])#因德拉尼尔·戈什2017年11月8日
(右)
T<-函数(n,k){
S<-numeric()
对于(j in 0:k)S<-c(S,(-1)^j*(k-j)^n*选择(n+1,j))
返回(总和(S))
}
对于(1:10中的n){
用于(k in 1:n)打印(T(n,k))
(GAP)平面(列表([1..10],n->列表([1.n],k->总和([0..k],j->(-1)^j*(k-j)^n*二项式(n+1,j))))#穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年6月29日
(Sage)[[sum((-1)^j*二项式(n+1,j)*(k-j)^n for j in(0..k))for k in(1..n)]for n in(1..12)]#G.C.格鲁贝尔2019年2月23日
(岩浆)欧拉系:=func<n,k|(&+[(-1)^j*二项式(n+1,j)*(k-j+1)^n:j in[0..k+1]])>;[[欧拉(n,k):[0..n-1]中的k:[1..10]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年4月15日
|
|
交叉参考
|
参见。A019538年,A028246号,A048993号,A048994号,A049019号,A086885号,A090582号,A129185号,A131758号,A139605型,A173018型.
|
|
关键词
|
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A001286号
|
| Lah数:a(n)=(n-1)*n/2 (原名M4225 N1766)
|
|
+10 70
|
|
|
1, 6, 36, 240, 1800, 15120, 141120, 1451520, 16329600, 199584000, 2634508800, 37362124800, 566658892800, 9153720576000, 156920924160000, 2845499424768000, 54420176498688000, 1094805903679488000, 23112569077678080000, 510909421717094400000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
2,2
|
|
评论
|
0,1,2,3,4,…的第一个欧拉变换-罗斯·拉海耶2005年3月5日
偏移量为0时:n X n矩阵m(i,j)的行列式=(i+j+1)/我/j-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月11日
这些数字出现在表示n(n+1)(n+2)。。。(n+k)[n+(n+1)+(n+2)+…++(1+4+9+16+…+n^2),n(n+1)(n+2)(n+3)-亚历山大·波沃洛茨基2006年10月16日
a(n)是对称群S_n上弱Bruhat阶的Hasse图中的边数。对于S_n中的置换p,q,如果p,q相差一个相邻的置换,并且q比p多一个反转,则q覆盖弱Bruhat阶的p。因此,由于互换第三和第四条目的置换,23514覆盖23154。参见。A002538号为了强大的布鲁哈特秩序-大卫·卡伦2007年11月29日
a(n)也是{1,2,…,n}的所有置换中的例外数(置换p的例外是这样的p(j)>j的值j)。证明:超过j(n-1)!乘以数字j+1,j+2。。。,n;现在,Sum_{j=1.n}(n-j)(n-1)!=n!(n-1)/2。例如:a(3)=6,因为置换123、132、312、213、231、321的异常数分别为0、1、1、2、1-Emeric Deutsch公司2008年12月15日
(-1)^(n+1)*a(n)是n X n矩阵的行列式,其(i,j)-第个元素对于i=j是0,对于j>i是j-1,对于j<i是j-米歇尔·拉格诺2010年5月4日
对于m>=4,a(m-2)是除一条边外,具有m个完全顶点的简单图中的哈密顿圈数。证据:想想m个人的不同的圆桌座位,这样“1”和“2”可能不是邻居;计数是(m-3)(m-2)/2.另请参阅A001710号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉,2014年6月17日
|
|
参考文献
|
A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证明:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,第90页,前4页。
Louis Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第156页。
A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分与级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992年。
约翰·里尔丹,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第44页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
Yasmin Aguillon等人。,论停车功能与河内塔,arXiv:2206.00541[math.CO],2022。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki,树架子上的图案,arXiv:1611.07793[cs.DM],2016年。
埃尔达尔·菲舍尔、约翰·马考斯基和弗塞沃洛德·拉基塔,限制集配分函数的MC-完整性,arXiv:2302.08265[math.CO],2023年。
Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Jan Kretschmann和J.Carlos Martínez Mori,S_n弱阶布尔区间,arXiv:2306.14734[math.CO],2023年。
Lucas Chaves Meyles、Pamela E.Harris、Richter Jordaan、Gordon Rojas Kirby、Sam Sehayek和Ethan Spingarn,单位间隔停车函数与二面体,arXiv:2305.15554[math.CO],2023。
桑迪·克拉夫扎尔、乌洛什·米卢蒂诺维奇和西里尔·皮特,Hanoi图和一些经典数,世博会。数学。23(2005),第4期,371-378。
S.Lehr、J.Shallit和J.Tromp,关于自动实的向量空间,理论。计算。科学。163(1996),第1-2期,193-210页。
P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。
P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。[带注释的扫描副本]
|
|
配方奶粉
|
a(n)=Sum_{i=0..n-1}(-1)^(n-i-1)*i^n*二项式(n-1,i)。-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月26日[更正人阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月2日]
a(n+1)=(-1)^(n+1)*det(M_n),其中M_n是n X n矩阵M_(i,j)=max(i*(i+1)/2,j*(j+1)/2)-贝诺伊特·克洛伊特2004年4月3日
的第五个二项式变换A135218号: (1, 1, 1, 25, 25, 745, 3145, ...). -加里·亚当森2007年11月23日
如果我们定义f(n,i,x)=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stiling2(j,i)*x^(k-j),那么a(n)=(-1)^n*f(n、2、-2),(n>=2)-米兰Janjic2009年3月1日
a(n)=(n+1)*和{k=1..n-1}1/(k^2+3*k+2)-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a(n+1)=a(n)*n*(n+1”)/(n-1)-柴华武2018年4月11日
|
|
例子
|
G.f.=x^2+6*x^3+36*x^4+240*x^5+1800*x^6+15120*x^7+141120*x^8+。。。
|
|
MAPLE公司
|
seq(总和(mul(j,j=3..n),k=2..n)),n=2.21)#零入侵拉霍斯2007年6月1日
|
|
数学
|
表[Sum[n!,{i,2,n}]/2,{n,2,20}](*零入侵拉霍斯2009年7月12日*)
nn=20;使用[{a=累加[Range[nn]],t=范围[nn]!},时间@@@线程[{a,t}]](*哈维·P·戴尔2013年1月26日*)
表[(n-1)n!/2,{n,2,30}](*文森佐·利班迪,2016年9月9日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(Sage)[(n-1)*在(2,21)范围内n的阶乘(n)/2]#零入侵拉霍斯2009年5月16日
(哈斯克尔)
a001286 n=总和[1..n-1]*乘积[1..n-1]
(岩浆)[(n-1)*阶乘(n)/2:n in[2..25]]//文森佐·利班迪2016年9月9日
(Python)
来自未来进口部
对于范围(2100)内的n:
|
|
交叉参考
|
参见。A001710号,A052609型,A062119号,A075181号,A060638型,A060608型,A060570型,A060612型,A135218年,A019538年,A053495号,A051683号,A213168型,A278677型,A278678型,A278679型,A008292号.
三角形第三列(m=2)|A111596号(n,m)|:|S1|的矩阵乘积。S2斯特林数矩阵。
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
1, 5, 23, 109, 544, 2876, 16113, 95495, 597155, 3929243, 27132324, 196122796, 1480531285, 11647194573, 95297546695, 809490850313, 7126717111964, 64930685865768, 611337506786061, 5940420217001199, 59502456129204083, 613689271227219015, 6510381400140132872
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
2,2
|
|
评论
|
树架是有序的二叉(0-1-2)递增树,其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级。经典的Françon双射将树丛映射为置换。下面所示的模式T231对应于由置换231构造的树自我。流行度是所有大小为n的对象的某个统计值(在本例中是剩余子对象的数量)的总和。
a(n)也是[n-1]的所有集合分区的所有块中最后一个项目的总和。a(4)=23,因为[3](123,12|3,13|2,1|23,1|2|3)的所有集合分区的所有块中最后一个条目的和是3+5+5+4+6=23-阿洛伊斯·海因茨2017年4月24日
|
|
链接
|
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Vincent Vajnovszki、,树丛中的图案,arXiv:161107793[cs.DM],2016年。
|
|
配方奶粉
|
例如:(z*E^z-E^z+1)*E^(E^z-1)。
渐近:a(n)~n*b(n)。
a(n)~n*贝尔(n)*(1-1/LambertW(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月28日
|
|
例子
|
大小为3的树架:
1 1 1 1 1 1
/ \ / \ / \ / \
2 2 / \ 2 \ / 2
/\ 2 2 3 3
3 3 \ /
3 3
T231型:
1
/
/
2
\
三
避免T231模式的3号树架:
1 1 1 1 1
/ \ \ / \ / \
2 2 \ 2 \ / 2
/ \ 2 3 3
3 3 /
三
这里留守儿童的受欢迎程度是5。
|
|
MAPLE公司
|
b: =proc(n,m)选项记忆`如果`(n=0,[1,0],
(p->p+[0,p[1]*n])(b(n-1,m+1))+m*b(n-1,m))
结束时间:
a: =n->b(n-1,0)[2]:
|
|
数学
|
a[n_]:=(n+1)贝尔B[n]-贝尔B[n+1];
|
|
黄体脂酮素
|
(Python)
#第一个版本,简单递归
来自sympy import bell
如何(_Mny)=30
打印([(n+1)*bell(n)-bell(n+1)for n in range(HOW_MANY)])
(Python)
#泰勒展开的第二个版本
从sympy导入*
从sympy.abc导入z
贝尔=exp(exp(z)-1)
h=(z*exp(z)-exp(z)+1)*bell
NUMBER_OF_COEFFS=8
coeffs=多边形(系列(h,n=NUMBER_OF_coeffs)).coeffs()
反向系数()
#并删除对应于O(n**k)的第一个系数1
系数pop(0)
打印(范围内n的[系数[n]*阶乘(n+2)(len(系数))])
|
|
交叉参考
|
参见。A000110号,A000111号,A000142号,A001286号,A008292号,A131178号,A278678型,A278679型,A285595型,A286897型,A367955型.
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
278678元
|
| 避开T321模式的树架中留守儿童的流行程度。 |
|
+10 6
|
|
|
1, 4, 19, 94, 519, 3144, 20903, 151418, 1188947, 10064924, 91426347, 887296422, 9164847535, 100398851344, 1162831155151, 14198949045106, 182317628906283, 2455925711626404, 34632584722468115, 510251350142181470, 7840215226100517191, 125427339735162102104
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
2,2
|
|
评论
|
树架是有序的二叉(0-1-2)递增树,其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级。经典的Françon双射将树丛映射为置换。下图所示的模式T321对应于由置换321构造的树自我。流行度是所有大小为n的对象的某个统计值(在本例中是剩余子对象的数量)的总和。
|
|
链接
|
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Vincent Vajnovszki、,树丛中的图案,arXiv:1611.07793[cs.DM],2016年。
|
|
配方奶粉
|
例如:(-sin(z)+1+(z-1)*cos(z))/(1-sin(z)。
渐近:a(n)~8*(Pi-2)/Pi^3*n^2*(2/Pi)^n。
|
|
例子
|
大小为3的树架:
1 1 1 1 1 1
/ \ / \ / \ / \
2 2 / \ 2 \ / 2
/ \ 2 2 3 3
3 3 \ /
3 3
T321型:
1
/
2
/
三
避免T321图案的3号树架:
1 1 1 1 1
\ / \ / \ / \
2 / \ 2 \ / 2
\ 2 2 3 3
3 \ /
3 3
留守儿童的受欢迎程度为4。
|
|
MAPLE公司
|
b: =proc(u,o)选项记忆`如果`(u+o=0,1,
加(b(o-1+j,u-j),j=1..u)
结束时间:
a: =n->(n+1)*b(n+1,0)-b(n+2,0):
|
|
数学
|
b[u_,o_]:=b[u,o]=如果[u+o==0,1,和[b[o-1+j,u-j],{j,1,u}]];
a[n]:=(n+1)*b[n+1,0]-b[n+2,0];
|
|
黄体脂酮素
|
(Python)
#通过泰勒展开
从sympy导入*
从症状abc导入z
h=(-sin(z)+1+(z-1)*cos(z))/(1-sin(z)
NUMBER_OF_COEFFS=20
coeffs=多边形(系列(h,n=NUMBER_OF_coeffs)).coeffs()
反向系数()
#并删除对应于O(n**k)的第一个系数1
系数pop(0)
打印(范围内n的[系数[n]*阶乘(n+2)(len(系数))])
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A131178号
|
| 非平面递增的一元二叉树(0-1-2),其中大于度1的节点有2种颜色。 |
|
+10 4
|
|
|
1, 2, 5, 16, 64, 308, 1730, 11104, 80176, 643232, 5676560, 54650176, 569980384, 6401959328, 77042282000, 988949446144, 13488013248256, 194780492544512, 2969094574403840, 47640794742439936, 802644553810683904, 14166772337295285248, 261410917571703825920
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
评论
|
大小为n的标记树是n个节点上的根树,这些节点由集合{1,…,n}中的不同整数标记。递增树是一个标记树,这样沿着从根开始的任何分支的标签序列都会递增。因此,递增树的根将标记为1。在一元二叉树(有时称为0-1-2树)中,节点的出度为0、1或2。这里我们计算的是非平面(其中来自节点的子树不在它们之间排序)增加的一元二叉树,其中超度数为1的节点有两种颜色。下面给出了一个示例-彼得·巴拉2011年9月1日
平面增加的0-1-2树的数量,其中outdegree 1的节点有两种颜色,避免了模式T213。请参见A278679型更多定义和示例-谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月24日
|
|
链接
|
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Vincent Vajnovszki、,树丛中的图案,arXiv:1611.07793[cs.DM],2016年。
F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,施普林格1992年,第24-48页。
拉波·西奥尼(Lapo Cioni)、卢卡·费拉里(Luca Ferrari)和科伦蒂·亨利特(Corentin Henriet)。两回可排序排列与战斗鱼之间的直接双射,欧元。配置梳。,图论应用。(2023)第12号,283-289。
|
|
配方奶粉
|
例如:A(x)=(2*(exp(sqrt(2)*x)-1))/((2+sqrt+5*x^3/3+16*x^4/4+64*x^5/5!+。。。。
母函数A(x)满足自治微分方程A'=1+2*A+1/2*A^2,其中A(0)=0。因此,反函数A(x)^-1可以表示为积分A(x,^-1=int{t=0..x}1/(1+2*t+1/2*t^2)。
应用[Dominici,定理4.1]来反演积分,给出了计算序列项的以下方法:设f(x)=1+2*x+1/2*x^2。设D是算子f(x)*D/dx。然后a(n)=D^n(f(x))在x=0处求值。与比较A000111号(n+1)=D^n(1+x+x^2/2!)在x=0时计算。
(完)
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-2*x*(2*k+1)-m*x^2*(k+1)*(2xk+1)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月24日
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-2*x*(k+1)-1/2*x^2*(k+1*(k+2)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月2日
a(n)~n!*2^((n+3)/2)/log(3+2*sqrt(2))^(n+1)-瓦茨拉夫·科特索维奇,2013年10月8日
G.f.:猜想:T(0)/(1-2*x)-1,其中T(k)=1-x^2*(k+1)*(k+2)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月19日
例如:x/(T(0)-x),其中T(k)=4*k+1+x^2/(8*k+6+x^2/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月30日
|
|
例子
|
G.f.=x+2*x ^2+5*x ^3+16*x ^4+64*x ^5+308*x ^6+1730*x ^7+11104*x ^8+。。。
a(3)=5:用字母a或b表示1级以上的两种类型的节点,5个可能的树是
.
.1a 1b 1a 1b 1
. | | | | / \
.2a 2b 2b 2a 2 3
. | | | |
. 3 3 3 3
|
|
MAPLE公司
|
E: =(2*(exp(sqrt(2)*x)-1))/((2+sqrt
S: =地图(简化,系列(E,x,101)):
seq(系数(S,x,j)*j!,j=1..100)#罗伯特·伊斯雷尔2016年11月23日
|
|
数学
|
最大值=25;f[x_]:=(2*(扩展[Sqrt[2]*x]-1))/((2+Sqrt[2])-(2-Sqrt[20])*Exp[Sqrt[2]*x]);删除[Simplify[CoefficientList[Series[f[x],{x,0,max}],x]*范围[0,max]!],1] (*Jean-François Alcover公司2011年10月5日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)x='x+O('x^66);/*那么多术语*/
默认值(realprecision,1000);/*在此处使用浮动*/
egf=(2*(exp(sqrt(2)*x)-1))/((2+sqrt;
圆形(Vec(serlaplace(egf))/*显示术语*/
(PARI)/*应首选以下课程*/
Vec(serlaplace(serreverse(内部(1/(1+2*x+1/2*x^2)+O(x^66))))
(PARI){a(n)=if(n<1,0,n!*polcoeff(2/(-2+quadgen(8)*(-1+2/(1-exp(quadgen(8)*x+x*O(x^n))))),n)};
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
条款>=80176来自彼得·巴拉2011年9月1日
将偏移量更改为1,以符合名称和示例-迈克尔·索莫斯2016年11月23日
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
搜索在0.018秒内完成
|