%I#706 2022年9月23日15:40:06

%S 1,1,1,1,4,1,11,11,1,1,26,26,1,1,57302302,57,1,112011912416，

%电话1191120,1247429315619156194293247,11502146088234，

%电话：1561908823414608502,110134784045519213103541310354455192478401013,1

%N按行读取的欧拉数T（N，k）三角形（N>=1，1<=k<=N）。

%C此处使用的索引遵循Riordan和Comtet经典著作中给出的索引。其他两个版本参见A173018和A123125_N.J.A.Sloane，2010年11月21日

%C欧拉多项式的系数。具有k-1的n个对象的排列数增加。具有n+1个节点和k个叶子的增加根树的数量。

%C T（n，k）=[n]在k次运行时的置换数。T（n，k）=需要k读数的[n]排列数（参见Knuth参考）。T（n，k）=[n]在其反演表中有k个不同项的排列数_Emeric Deutsch，2004年6月9日

%C T（n，k）=写入Coxeter元素的方法数量_{e1}秒_{e1-e2}秒_{e2-e3}s_{e3-e4}。。。s{e_{n-1}-en}类型B_n的反射群，使用s{e_k}和形式s{e_i+e_j}的少量反射，其中i=1，2。。。，n和j尽可能不等于iPramook Khungurn（Pramook（AT）mit.edu），2004年7月7日

%三角形A123125的k>=1和n>=1的C减法。-_菲利普·德雷厄姆，2006年10月22日

%C T（n，k）/n！也表示被（n-1）维超平面x_1+x_2+。。。x_n=k，x_1+x_2+。。。xn=k-1；或者，等价地，它表示均匀分布在0和1之间的n个独立随机变量之和介于k-1和k.之间的概率。-Stefano Zunino，2006年10月25日

%C[E（.，t）/（1-t）]^n=n*滞后[n，-P（.，t）/（1-t）]和[-P*拉格[n，E（.，t）/（1-t）]隐含地包含一个组合拉盖尔变换对，其中E（n，t）是欧拉多项式，P（n，t）是A131758中的多项式_汤姆·科普兰，2007年9月30日

%C来自Tom Copeland_，2008年10月7日：（开始）

%CG（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1*x+（2+t）*x^2/2！+（6+6*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了A090582的行多项式，以及置换面体的反向f多项式（参见A019538）。

%CG（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了A008292的行多项式，以及置换面体的h多项式（Postnikov等人）。

%CG（（t+1）*x，-1/（t+1”）=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2/2！+。。。给出了A028246的行多项式。

%C（结束）

%C[n]上的一个次超函数f是一个映射f:[n]->[n]，使得所有i的1<=f（i）<=i，1<=i<=n。T（n，k）等于[n]的次超函数的数量f，使得f的图像具有基数k[Mantaci&Rakotondrajao]。例T（3,2）=4：如果我们用单词f（1）f（2）标识一个次超函数f。。。f（n）则[3]上的次超函数是111、112、113、121、122和123，其中四个函数具有基数为2的图像集_Peter Bala，2008年10月21日

%C根据上面Tom Copeland_的注释，这个三角形的第n行是a_（n-1）型置换自面体的对偶单形复形的h向量。相应的f矢量是A019538的行。例如，1+4*x+x^2=y^2+6*y+6和1+11*x+11*x2+x^3=y^3+14*y^2+36*y+24，其中x=y+1，给出[1,6,6]和[1,14,36,24]作为A019538的第三行和第四行。该三角形的希尔伯特变换（定义见A145905）为A047969。B型欧拉数三角形见A060187（B型置换自面体的对偶单纯形复数的h向量）。D型h向量数组见A066094。限制欧拉数表见A144696-A144699_Peter Bala，2008年10月26日

%C关于A008292的自然精炼，与成分反演和迭代导数有关，请参见A145271_汤姆·科普兰，2008年11月6日

%C n>=1的多项式E（z，n）=分子（和{k>=1}（-1）^（n+1）*k^n*z^（k-1））直接通向欧拉数的三角形_Johannes W.Meijer，2009年5月24日

%C来自Walther Janous（walter.Janous（AT）tirol.com），2009年11月1日：（开始）

%C（欧拉）多项式e（n，x）=Sum_{k=0..n-1}T（n，k+1）*x^k也是无穷和的闭式表达式的分子：

%CS（p，x）=和{j>=0}（j+1）^p*x^j，即

%当|x|<1且p为正整数时，CS（p，x）=e（p，x）/（1-x）^（p+1）。

%C（注意在列出公式部分的部分中T（n，k）的用法不一致。我默认第一条。）（结束）

%如果n是奇数素数，那么第（n-2）-行和第（n-1）-行的所有数字都在级数k*n+1中_弗拉基米尔·谢维列夫，2011年7月1日

%欧拉三角形是求和{k=1..n}k^j的第r次连续求和公式的一个元素，它似乎是求和_{k=1..n}T（j，k-1）*二项式（j-k+n+r，j+r）_Gary Detlefs，2011年11月11日

%C Li和Wong证明了T（n，k）计数具有n+1个顶点和角和（2*k-n-1）*Pi的组合不等价星形多边形。一个等价的公式是：定义对称群S_n中置换p的总符号变化S（p）等于和{i=1..n}符号（p（i）-p（i+1）），其中取p（n+1）=p（1）。T（n，k）给出了q（1）=1且S（q）=2*k-n-1的S_（n+1）中置换数q。例如，T（3,2）=4，因为在S_4中，置换（1243）、（1324）、（1342）和（1423）的总符号变化为0_Peter Bala，2011年12月27日

%C Xiong、Hall和Tsao提到Riordan，并提到传统的欧拉数a（n，k）是具有k弱超越的（1,2…n）置换数_Susanne Wienand_2014年8月25日

%C与代数几何/拓扑和特征类的联系在布赫斯塔贝尔和布科娃、科普兰、赫茨布鲁克、勒纳特和扎伊诺乌林、洛舍夫和马宁以及谢泼德联系中进行了讨论；科普兰的格拉斯曼人、法伯人和波斯尼科夫人、谢泼德人和威廉姆斯人；以及合成反演和微分算子，在科普兰和帕克链接中_Tom Copeland_ 2015年10月20日

%C公式中提到的双变量例如f.与Aluffi-Marcolli链接中讨论的某些图中的乘法边有关。见第42页_汤姆·科普兰，2016年12月18日

%C左孩子在树丛中的分布是由欧拉数的移位给出的。树架是有序的二叉（0-1-2）递增树，其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级。更多定义和示例请参见A278677、A278678或A278679_谢尔盖·柯尔吉佐夫，2016年12月24日

%C行多项式P（n，x）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k出现在o.g.f.g（n，x）=Summ_{m>=0}S（n，m）*x*m的分子中，其中S（n、m）=Sum{j=0..m}j^n表示n>=1，如g（n、x）=Sum_{k=1.n}P（n、x）/（1-x）^（n+2）表示n>=0（0^0=1）。另请参见带有2017年3月31日注释的三角形A131689，了解改写后的表格。例如，请参见带有2016年3月13日注释的A028246。-_Wolfdieter Lang，2017年3月31日

%C关于埃尔哈特多项式、多面体体积、多对数、托德算子和其他特殊函数、多项式和序列的关系，请参见A131758及其参考文献_汤姆·科普兰，2017年6月20日

%C关于积分参数下黎曼-泽塔函数值的关系，见A131758和杜邦参考文献_汤姆·科普兰，2018年3月19日

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%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%F T（n，k）=k*T（n-1，k）+（n-k+1）*T（n-1，k-1），T（1，1）=1。

%F T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j）。

%F行总和=n！=A000142（n），除非n=0.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月17日

%例如，A（x，q）=和{n>0}（和{k=1..n}T（n，k）*q^k）*x^n/n！=q*（e^（q*x）-e^x）/（q*e^x-e^（q*x））满足dA/dx=（A+1）*（A+q）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月17日

%F对于列列表，第n项：T（c，n）=c^（n+c-1）+Sum_{i=1..c-1}（-1）^i/i*（c-i）^（n+c-1）*产品{j=1..i}（n+c+1-j）_Randall L Rathbun，2002年1月23日

%F摘自约翰·罗伯逊（jpr2718（AT）aol.com），2002年9月2日：（开始）

%F欧拉数T（i，n）的四个特征：

%F 1。当n>=1时，T（0，n）=1；当i>=1，T（i，1）=0。

%F 2。T（i，n）=Sum_{j=0..i}（-1）^j*二项式（n+1，j）*（i-j+1）^n对于n>=1，i>=0。

%F 3。设C_n是R^n中具有顶点（e_1，e_2，…，e_n）的单位立方体，其中每个e_i为0或1，并使用所有2^n组合。那么T（i，n）/n！是超平面x_1+x_2+…+之间C_n的体积x_n=i和x_1+x_2+…+x_n=i+1。因此T（i，n）/n！是i<=X_1+X_2+…+的概率X_n<i+1，其中X_j是独立的均匀[0，1]分布参见Ehrenborg&Readdy参考。

%表格4。设f（i，n）=T（i，n）/n！。f（i，n）是唯一系数，因此当n>=1且abs（r）>1时，（1/（r-1）^（n+1））Sum_{i=0..n-1}f（i、n）r^{i+1}=Sum_}j>=0}（j^n）/（r^j）。（结束）

%第n行的财务报表：（1-x）^（n+1）*polylog（-n，x）/x.-Vladeta Jovovic_，2002年9月2日

%F三角形T（n，k），n>0和k>0，按行读取；由[0，1，0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，…]DELTA[1，0，2,0,3，0,4,0,5,0,6，…]（散布着0的正整数）给出，其中DELTA是A084938中定义的Deléham算子。

%F和{k=1..n}T（n，k）*2^k=A000629（n）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年6月5日

%F来自Tom Copeland_，2007年10月10日：（开始）

%F Bell_n（x）=和{j=0..n}S2（n，j）*x^j=和{j=0..n}E（n，j）*滞后（n，-x，j-n）=和（n！*Lag（n，-x，j-n））=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（Bell.（x）+j，n），其中Bell_n（x）是Bell/Touchard/指数多项式；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。

%F对于x=0，方程给出了求和{j=0..n}E（n，j）*二项式（j，n）=1表示n=0，0表示所有其他n*二项式（y，n），对于方程中的x，得到了Worpitzky恒等式；y^n=和{j=0..n}E（n，j）*二项式（y+j，n）。

%F注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（和{k=0..n}E（n、k））。此外，（n！*Lag（n，-1，j-n））是A086885，根据座位安排进行了简单的组合解释，对x=1的方程式进行了组合解释；不*铃声_n（1）=n*和{j=0..n}S2（n，j）=和{j=0..n}E（n，j）*（n！*滞后（n，-1，j-n））。

%F（2020年9月16日附页）有关伯努利数的连接、扩展、证明以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示，请参阅我的后互惠与巫术。（结束）

%F根据A049019中描述的坡面体的h-和F-多项式与例如F.s的倒数之间的关系：（t-1）（（t-1）d/dx）^n 1/（t-exp（x））在x=0时评估，给出了A019538和A090582的t中的第n个欧拉行多项式和（t-1）中的第n个行多项式。根据A139605中的Comtet和Copeland参考文献：（（t+exp（x）-1）d/dx）^（n+1）x给出了t中的一对欧拉多项式，作为x中泰勒级数展开式x^0和x^1的系数

%F G.F：1/（1-x/（1-x*y/1-2*x/（1-2*x*y/（1-3*x/_保罗·巴里（Paul Barry），2010年3月24日

%F如果n是奇素数，那么以下连续的2*n+1项是1模n：a（（n-1）*（n-2）/2+i），i=0..2*n。这个项链是最大的，因为前一项和下一项都不是1模n。-Vladimir Shevelev，2011年7月1日

%F From _Peter Bala，2011年9月29日：（开始）

%F对于k=0,1,2，。。。把G（k，x，t）：=x-（1+2^k*t）*x^2/2+（1+2^k*t+3^k*t^2）*x^3/3-（1+2^k*t+3^k*t^2+4^k*t^3）*x^4/4+。。。。然后，G（k，x，t）关于x的级数倒转给出了当前表中k=0时的示例f.和k=1时的A008517。

%F例如，F.B（x，t）：=g（0，x，t（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。满足自治微分方程dB/dx=（1+B）*（1+t*B）=1+（1+t）*B+t*B^2。

%F应用[Bergeron等人，定理1]给出了欧拉多项式的组合解释：a（n，t）计算n个顶点上的平面增树，其中每个顶点的出度<=2，出度1的顶点为1+t颜色，出度2的顶点为t颜色。下面给出了一个示例。参见A008517。应用[Dominici，定理4.1]给出了计算欧拉多项式的以下方法：设f（x，t）=（1+x）*（1+t*x），设D是算子f（x、t）*D/dx。然后A（n+1，t）=D^n（f（x，t））在x=0处求值。

%F（完）

%F例如，在科普兰2008年的评论中，F.A（x，t）=g[x，（t-1）]-1，组成逆矩阵为Ainv（x，t）=log（t-（t-1_汤姆·科普兰，2011年10月11日

%F T（2*n+1，n+1）=（2*n+2）*T（2*n，n）。（例如，66=6*11，2416=8*302，…）-_Gary Detlefs_，2011年11月11日

%F例如：（1-y）/（1-y*exp（1-y，*x））_Geoffrey Critzer，2012年11月10日

%F From _Peter Bala，2013年3月12日：（开始）

%设{A（n，x）}n>=1表示从[1，1+x，1+4*x+x^2，…]开始的欧拉多项式序列。给定两个复数a和b，由R（n，x）：=（x+b）^n*a（n+1，（x+a）/（x+b））定义的多项式序列，n>=0，满足递推方程R（n+1，x）=d/dx（（x+a）*（x+b）*R（n、x））。这些多项式给出了数据库中几个三角形的行生成多项式，这些三角形包括A019538（a=0，b=1）、A156992（a=1，b+1）、A185421（a=（1+i）/2，b=（1-i）/2）、A1185423（a=exp（i*Pi/3）、b=exp、A185896（a=i，b=-i）。

%F（完）

%F例如：1+x/（T（0）-x*y），其中T（k）=1+x*（y-1）/（1+（k+1）/T（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年11月7日

%F来自Tom Copeland，2014年9月18日：（开始）

%F A）双变量，例如F.A（x，A，b）=（e^（ax）-e^（bx））/（A*e^（a^2+4ab+b^2）*x^3/3！+（a^3+11a^2b+11ab^2+b^3）x^4/4！+。。。

%F B）B（x，a，B）=对数（（1+ax）/（1+bx））/（a-B）=x-（a+B）x^2/2+（a^2+ab+B^2）x^3/3-（a^3+a^2b+ab^2+B^3）x^4/4+…=log（1+u.*x），其中（u.）^n=u_n=h（n-1）（a，b）是一个完整的齐次多项式，是a（x，a，b。

%F C）A（x）满足dA/dx=（1+A*A）（1+b*A），可以用Weierstrass椭圆函数表示（见Buchstaber&Bunkova）。

%F D）二元欧拉行多项式由在x=0时计算的迭代导数（（1+ax）（1+bx）D/dx）^n x生成（参见A145271）。

%F E）A（x，A，b）=-（E^（-ax）-E^（-bx））/。

%F F）FGL（x，y）=A（B（x，A，B）+B（y，A，B），A，B=（x+y+（A+B）xy）/（1-ab*xy）被称为双曲形式群定律，与Lenart和Zainoulline的广义上同调理论有关。（结束）

%F对于x>1，第n个欧拉多项式A（n，x）=（x-1）^n*log（x）*Integral_{u>=0｝（天花板（u））^n*x^（-u）du。-_Peter Bala，2015年2月6日

%F求和{j>=0}j^n/e^j，对于n>=0，等于求和{k=1..n}T（n，k）e^k/（e-1）^（n+1），变量“e”中的有理函数，其近似值为n！当e=A001113=2.71828…-Richard R.Forberg_，2015年2月15日

%F对于固定的k，T（n，k）~k^n，用归纳法证明_Ran Pan_，2015年10月12日

%F从A145271开始，将下三角Pascal矩阵的第n条对角线（主对角线n=0）乘以在x=0时计算的g_n=（d/dx）^n（1+a*x）*（1+b*x），即g_0=1，g_1=（a+b），g_2=2ab，否则g_n=0，得到VP（n，k）=二项式（n，k）g_（n-k）的三对角矩阵VP。则该项的第m个二元行多项式是P（m，a，b）=（1，0，0，0，…）[VP*S]^（m-1）（1，a+b，2ab，0，…）^T，其中S是移位矩阵A129185，表示幂分基x^n/n！中的微分！。此外，P（m，a，b）=（1，0，0，…）[VP*S]^m（0，1，0…）^T.-Tom Copeland_2016年8月2日

%e三角形T（n，k）开始于：

%电子1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

%e 1：1

%电子2：1 1

%电子3:1 4 1

%电子4：1 11 11 1

%电子邮箱5:1 26 66 26 1

%电子邮箱：1 57 302 302 57 1

%电子邮箱7:1 120 1191 2416 1191 120 1

%电子邮箱：1 247 4293 15619 15619 4293 247 1

%电子邮箱：1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1

%电子邮箱：1013 47840 455192 1310354 1310354 455192 47840 1013 1

%e。。。重新格式化。-_Wolfdieter Lang，2015年2月14日

%e（电子）-----------------------------------------------------------------

%e例如f.=（y）*x^1/1！+（y+y^2）*x^2/2！+（y+4*y^2+y^3）*x^3/3！+…-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月17日

%e设n=7。那么以下2*7+1=15个连续项是1（mod 7）：a（15+i），i=0..14_Vladimir Shevelev，2011年7月1日

%e行3：在3个顶点上增加0-1-2树的平面（彩色顶点的数量显示在顶点的右侧）为

%e、。

%e、。1o（1+t）1o t 1o t

%电子|/\/\

%电子|/\/\

%e、。2o（1+t）2o3o3o2o

%e|

%e、|

%e、。3个

%e、。

%e树的总数为（1+t）^2+t+t=1+4*t+t^2。

%p A008292:=proc（n，k）选项记住；如果k<1或k>n，则为0；elif k=1或k=n，则为1；else k*procname（n-1，k）+（n-k+1）*procname（n-1，k-1）；结束条件：；结束进程：

%t[n_，k_]=和[（-1）^j*（k-j）^n*二项式[n+1，j]，{j，0，k}]；

%t扁平[表[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]]（*Jean-François Alcover_，2011年5月31日，在_Michael Somos_*之后）

%t压扁[表[系数列表[（1-x）^（k+1）*PolyLog[-k，x]/x，x]，{k，1，10}]]（*_Vaclav Kotesovec_，2015年8月27日*）

%t表格[计数[

%t计数[#，x_/；x>0]&/@（差异/@

%t排列[范围[n]]）][[；；，2]]，{n，10}]（*Li Han_，2020年10月11日*）

%o（PARI）{T（n，k）=如果（k<1|k>n，0，如果（n==1，1，k*T（n-1，k）+（n-k+1）*T（n-1，k-1））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），1999年7月19日*/

%o（PARI）{T（n，k）=和（j=0，k，（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），1999年7月19日*/

%o{A008292（c，n）=c^（n+c-1）+总和（i=1，c-1，（-1）^i/i！*（c-i）^（n+c-1）*prod（j=1，i，n+c+1-j））}

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（genericLength）

%o a008292 n k=a008292_tabl！！（n-1）！！（k-1）

%o a008292_row n=a008292_tabl！！（n-1）

%o a008292_tabl=迭代f[1]，其中

%o f xs=zipWith（+）

%o（zipWith（*）（[0]++xs）（反向ks））

%o其中ks=[1..1+genericLength xs]

%o--_Reinhard Zumkeller_，2013年5月7日

%o（Python）

%o来自症状输入二项式

%o定义T（n，k）：返回和（[（-1）**j*（k-j）**n*二项式（n+1，j），对于范围（k+1）中的j）]）

%o对于范围（1，11）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（1,n+1）中的k）]）#_Indranil Ghosh，2017年11月8日

%o（R）

%o T<-函数（n，k）{

%o S<-numeric（）

%o表示（j in 0:k）S<-c（S，（-1）^j*（k-j）^n*选择（n+1，j））

%o回报（总和（S））

%o}（o）

%o代表（1:10中的n）{

%o表示（k in 1:n）打印（T（n，k））

%o}#_Indranil Ghosh，2017年11月8日

%o（GAP）平面（列表（[1.10]，n->列表（[1..n]，k->总和（[0..k]，j->（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j）））；#_Muniru A Asiru_，2018年6月29日

%o（Sage）[[sum（（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j）^n for j in（0..k））for k in（1..n）]for n in（1..12）]#_G.C.Greubel_，2019年2月23日

%o（岩浆）欧拉系：=func<n，k|（&+[（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j+1）^n:j in[0..k+1]]）>；[[欧拉（n，k）：[0..n-1]]中的k：[1..10]]中中的n；//_G.C.Greubel_，2019年4月15日

%Y列k=2..8为A000295、A000460、A000498、A00055、A000514、A001243、A001444。

%Y参见A019538、A028246、A048993、A0489964、A049019、A086885、A090582、A129185、A131758、A139605、A173018。

%K non，tabl，nice，eigen，core，看

%O 1,5型

%A _N.J.A.Sloane，1996年3月15日

%E感谢_Michael Somos_提供更多评论。

%E克里斯蒂安·G·鲍尔的进一步评论，2000年5月12日