搜索： a278677-编号：a278671
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A000110号
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| 贝尔数或指数数：划分一组n个标记元素的方法。
（原名M1484 N0585）
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+10
1308
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1、1、2、5、15、52、203、877、4140、21147、115975、678570、4213597、27644437、190899322、1382958545、10480142147、82864869804、682076801659、5832742205057、51724158235372、474869816156751、4506715738447323、4415200585508346、445958869294805289、4638590332229999353、4963124652361876274
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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其差分表的前对角线是移位的序列，参见Bernstein和Sloane（1995）-N.J.A.斯隆2015年7月4日
还可以定义在一组n个元素上的等价关系的数量Federico Arboleda（Federico.Arboleda（AT）gmail.com），2005年3月9日
a（n）=由n+1个相邻区域组成的映射的非同构着色数。相邻区域不能具有相同的颜色-大卫·W·威尔逊2005年2月22日
如果一个整数是平方数，并且有n个不同的素因子，那么a（n）是将其写成除数乘积的方法的数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月23日
考虑树根高度最多为2。让每棵树“生长”到下一代n意味着我们为每个节点生成一棵新树，它要么是根，要么是高度1，这就给出了贝尔数-乔恩·佩里2003年7月23日
从[1,1]开始，遵循[1，k]->[1，k+1]和[1，k]k倍的规则，例如，[1,3]被转换为[1,4]，[1,3+，[1.3]。则a（n）为所有分量之和：[1,1]=2；[1,2], [1,1] = 5; [1,3], [1,2], [1,2], [1,2], [1,1] = 15; 等-乔恩·佩里2004年3月5日
n行诗的不同押韵模式的数量：押韵模式是一系列字母（例如“abba”），因此最左边的字母总是“a”，任何字母都不能比左边最大的字母多出一个。因此，“aac”无效，因为“c”大于“a”。例如，a（3）=5，因为有5个押韵方案：aaa、aab、aba、abb、abc；另见Neven Juric的例子-比尔·布莱维特2004年3月23日
{1，…，n+1}划分为不连续整数子集的分区数，包括分区1|2||n+1。例如，a（3）=5：{1,2,3,4}有5个划分为非连续整数子集，即13|24、13|2|4、14|2|3、1|24|3、1 |2|3|4-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月20日
产生术语的三角形（加法）方案，源自重现，摘自Oscar Arevalo（loarevalo（AT）sbcglobal.net），2005年5月11日：
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
其中P（n）=n的整数分区数，P（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，Pp（i，j）！））*（1/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n+1）是一个n元集上既对称又可传递的二元关系数Justin Witt（justinmwitt（AT）gmail.com），2005年7月12日
如果使用Jon Perry（2004年3月5日）的规则，则a（n-1）=[用于形成a（n）的组件数量]/2.-Daniel Kuan（dkcm（AT）yahoo.com），2006年2月19日
a（n）是从{1，…，n}到{1，…，n，n+1}的函数f的数目，这些函数满足域中所有x的以下两个条件：（1）f（x）>x；（2） f（x）=n+1或f（f（x。例如，a（3）=5，因为正好有五个函数满足这两个条件：f1={（1,4），（2,4），，（3,4）}，f2={-丹尼斯·沃尔什，2006年2月20日
长度为n的异步站点交换模式的数量，这些模式没有零throws（即不包含0），并且其轨道数量（在Allen Knutson给出的意义上）等于球的数量。例如，当n=4时，以下15个站点交换满足条件：4444、4413、4242、4134、4112、3441、2424、1344、2411、1313、1241、2222、3131、1124、1111。还有从单位和循环排列中选择n个排列的方法（12），（123）。。。，（1 2 3…n），以使其组成一致。对于n=3，我们得到了以下五个参数：id o id o id，id o（12）o（12。（要查看双射，请查看Ehrenborg和Readdy论文。）-安蒂·卡图恩2006年5月1日
a（n）是[n]上的排列数，其中3-2-1（分散）图案仅作为3-2-4-1图案的一部分出现。例如：a（3）=5统计[3]上除321以外的所有排列。参见“成分特征序列”参考a（n）=大小为n的排列表数量(A000142号)其第一行不包含0。例如：a（3）=5计算{{}、{}，{}}、}、、{{1}、-大卫·卡兰2006年10月7日
该序列也是（下三角）帕斯卡矩阵矩阵指数中的第一列，按exp（-1）缩放：PE=exp（P）/exp（1）=
1
1 1
2 2 1
5 6 3 1
15 20 12 4 1
52 75 50 20 5 1
203 312 225 100 30 6 1
877 1421 1092 525 175 42 7 1
1
1 1
2 1 1
5 2 1 1
15 5 2 1（X）P
52 15 5 2 1 1
203 52 15 5 2 1 1
877 203 52 15 5 2 1 1
（结束）
这些项也可以用有限的步长和精确的整数运算来计算。代替exp（P）/exp（1），可以计算A=exp（P-I），其中I是适当维数的恒等矩阵，因为（P-I。那么a（n）=a[n，1]，其中n是从1开始的行index-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月10日
当n是素数时，a（n）==2（mod n），但反过来并不总是成立的。定义Bell伪素数为复合数n，使得a（n）==2（mod n）。W.F.Lunnon最近发现了Bell伪素数21361=41*521和C46=3*23*162186468930901345905353905290526854205539989357，并推测Bell伪素极其稀少。因此，在不久的将来，第二个贝尔伪素数不太可能被确定。我确认21361是第一个-大卫·W·威尔逊2007年8月4日和2007年9月24日
a（n）也是（n链的）幂等序递减的完全变换的数目。
a（n）也是（n链的）幂零部分一阶递减变换的个数。
a（n+1）也是（n链的）部分一阶递减变换的数目。（结束）
Bell（n）是n模式序列的数量[Cooper&Kennedy]。n模式序列是一个整数序列（a_1，…，a_n），对于某些j<i，a_i=i或a_i=a_j。例如，Bell（3）=5，因为3模式序列是（1,1,1），（1,1,3），（1.2,1），（1.2，2）和（1,2,3）。
Bell（n）是长度为n的正整数（n_1，…，n_n）的序列数，其中n_1=1和n_（i+1）<=1+max{j=1..i}n_j表示i>=1（参见B.Blewett的评论）。有趣的是，如果我们将后一个条件加强到N_（i+1）<=1+N_i，我们会得到加泰罗尼亚数字A000108号而不是贝尔号码。
（结束）
二项式系数b（i，j）的无穷低三角矩阵的指数中的项f（i，j）是f（i、j）=b（i、j）e a（i-j）-大卫·帕西诺2008年12月4日
当每个结果以“1”开头时，（[1,0,0,0，…]的二项式变换）的重复迭代将收敛于（1，2，5，15，52，…）；这样最终结果就是固定极限：（[1,1,2,5,15，…]的二项式变换）=（1,2,5,15,52，…）-加里·W·亚当森2009年1月14日
Bell数B（n）和1/Gamma（1+x）的n阶导数之间的关系，在x=1时计算：
a） 通过seq（subs（x=1，simplify（（d^n/dx^n）GAMMA（1+x）^（-1））），n=1..5）产生许多这样的导数；
b） 让它们以digamma（Psi（k））和polygamma（Psi（k，n））函数表示，并且不进行评估；
对于n=1..5，此类表达式的示例如下：
n=1:-Psi（1），
n=2:-（-Psi（1）^2+Psi（1,1）），
n=3:-磅/平方英寸（1）^3+3*磅/平方英尺（1）*磅/立方英寸（1,1）-磅/立方英尺（2,1），
n=4:（-Psi（1）^4+6*Psi（1，
n=5:-磅/平方英寸（1）^5+10*磅/平方毫米；
c） 对于给定的n，读取涉及digamma或polygamma函数的每个项的系数的绝对值之和。
这个总和等于B（n）。示例：B（1）=1，B（2）=1+1=2，B（3）=1+3+1=5，B（4）=1+6+3+4+1=15，B（5）=1+10+15+10+5+1=52；
d） 观察到贝尔数B（n）的这种分解显然没有明确涉及第二类斯特林数。
（结束）
渐近展开（0！+1！+2！+…+（n-1）！）/（n-1）！=a（0）+a（1）/n+a（2）/n^2+。。。和（0！+1！+2！+…+n！）/n！=1+a（0）/n+a（1）/n^2+a（2）/n^3+-迈克尔·索莫斯2009年6月28日
a（n）=E（X^n），即关于具有（速率）参数泊松分布的随机变量X原点的第n个矩，λ=1-杰弗里·克雷策2009年11月30日
Bell数是任何给定的有限泛代数中不同同态图像数的上限。每个代数同态都由其核决定，其核必须是同余关系。由于关于有限泛代数的可能同余关系的数目必须是其可能等价类（由贝尔数给出）的子集，因此它自然而然地遵循-最大窗台数2010年6月1日
设B（x）=（1+x+2x^2+5x^3+…）。则B（x）满足于A（x）/A（x^2），其中A（xA173110型：（1+x+3x^2+6x^3+20x^4+60x^5+…）=B（x）*B（x^2）*B-加里·W·亚当森2010年7月8日
具有故障位的二进制计数器从值0开始，并尝试在每一步递增1。每个应该切换的位可能会切换，也可能不会切换。a（n）是计数器在n个步骤后可以使值为0的方式数。例如，当n=3时，5条轨迹为0,0,0.0；0、1、0；0,1,1,0; 0,0,1,0; 0,1,3,0. -大卫·斯卡布勒2011年1月24日
没有贝尔数可以被8整除，也没有贝尔数与模8的6同余；见Lunnon、Pleasants和Stephens中的定理6.4和表1.7-乔恩·佩里，2011年2月7日，澄清人埃里克·罗兰2014年3月26日
a（n+1）是（对称）半正定n×n 0-1矩阵的个数。这些对应于{1，…，n+1}上的等价关系，其中矩阵元素M[i，j]=1当且仅当i和j彼此等价但不等价于n+1-罗伯特·伊斯雷尔2011年3月16日
a（n）是n个顶点上有根树高度小于2的单调标记森林的数量。我们注意到，如果任何父顶点的标签大于任何子顶点的标签，则标记的根树是单调标记的。请参阅链接“使用斯特林和贝尔数字计算森林数量”-丹尼斯·沃尔什2011年11月11日
B（n）计算长度n+1韵律方案，不重复。例如，对于n=2，有5个长度为3的押韵方案（aaa、aab、aba、abb、abc），没有重复的2个押韵方案是aba、abc。这基本上是O.Munagi的结果，即Bell数将分区计算为非连续整数的子集（见2005年3月20日的评论）埃里克·巴赫，2012年1月13日
映射数f:[n]->[n]，其中f（x）<=x，f（f（x-乔格·阿恩特，2013年1月4日
[n]的排列避免了等价类（i）1-23、3-21、12-3、32-1和（ii）1-32、3-12、21-3、23-1中8个虚线图案中的任何一个。（参见Claesson 2001参考。）-大卫·卡兰，2013年10月3日
猜想：没有a（n）的形式是x^m，m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
求和{j=0..n}二项式（n，j）*a（j）=（1/e）*求和{k>=0}（k+1）^n/k！=（1/e）和{k=1..oo}k^（n+1）/k！=a（n+1），n>=0，使用多宾斯基公式。查看评论加里·W·亚当森2008年12月4日，关于帕斯卡特征序列-沃尔夫迪特·朗2015年2月2日
实际上，它并不是帕斯卡矩阵的特征序列；相反，帕斯卡矩阵对序列的作用是一种移位。它是从Pascal矩阵导出的矩阵的特征序列（具有特征值1的唯一特征序列），通过在顶部添加行[1,0,0,0…]。二项式和公式可以从分区的定义中导出：标记N个元素的S集合中的任何元素X，并且让X（k）是包含X的S的子集的数目，其中包含k个元素。由于每个子集都有一个唯一陪集，S的分区p（N）的个数由p（N）=Sum_{k=1..N}（X（k）p（N-k））给出；通常X（k）=N-1选择k-1-梅森·博格2015年3月20日
a（n）是嵌套n个matryoshkas（俄罗斯嵌套玩偶）的方法数量：我们可以将{1，2，…，n}标识为大小递增的玩偶，将集合分区的集合标识为一堆玩偶-卡洛·桑纳2015年10月17日
[n]的排列数，其中递增元素连续运行的初始元素按降序排列。a（4）=15:`1234，`2`134，`23`14，`234`1，`24`13，`3`124，`3` 2`14，` 3`24`1，` 34`12，`34`2`1，'4`123，`4`2`13，` 4`23`1，´4`3`12，` 4` 3`2`1`-阿洛伊斯·海因茨2016年4月27日
用交替符号表示，贝尔数是渐近展开式（Ramanujan）中的系数：（-1）^n*(A000166号（n） -n/经验（1））~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+52/n^5-203/n^6+O（1/n^7）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月10日
虽然Hürlimann（2009）的结果并没有明确说明这一点，但这可能满足本福德定律-N.J.A.斯隆2017年2月9日
a（n）=总和（形状m的标准完美表格的#，m是n的组成部分），其中该总和是n>0的所有整数组成部分m的总和。用{1，2，…，n}的集合分区来识别大小为n的标准完美表，很容易看出这个公式是成立的。例如，如果我们按字典顺序对4个整数组合求和，我们会看到1+1+2+1+3+3+15=A000110号(4). -约翰·M·坎贝尔2017年7月17日
a（n）也是（n-1）-三角蜂窝bishop图中独立顶点集（和顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月10日
均匀数条目表示具有可区分的母系和父系等位基因的n个二倍体个体中基因等位基因同一和非同一配置的数量-诺亚·A·罗森博格2019年1月28日
具有n个元素（偏移量=1）的集合上的部分等价关系（PER）的数量，即对称传递（不一定是自反）关系的数量。其思想是在集合中添加一个虚拟元素D，然后在结果上建立等价关系；然后，对于部分等价关系，删除与D等价的任何内容-大卫·斯皮瓦克2019年2月6日
未标记字母时，长度为n+1且没有重复字母的单词数-托马斯·安东2019年3月14日
由Becker和Riordan（1948年）以苏格兰裔美国数学家和作家Eric Temple Bell（1883-1960年）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
还有最多有一个n+1单元素的{1,2，…，n+1}的分区数。例如，a（3）=5:{13|24，12|34，123|4，14|23，1234}-宇春记2020年12月21日
a（n）是在n个元素的集合上西格玛代数的数量。注意，每个sigma代数都是由集合的一个分区生成的。例如，由分区{{1}、{2}、}3,4}}生成的sigma代数是{{}、[1}、[2]、{1,2}，{3,4]、{1,3,4{、{2,3,4neneneep、{1,2,4}-宋嘉宁2021年4月1日
a（n）是n个标记节点上的P_ 3-自由图的数目-埃伦·凯西姆2021年6月4日
a（n）是函数X:（[n]选择2）->{+，-}的数目，因此对于任何有序的三元组abc，我们有X（ab）X（ac）X（bc）不在{+-+，++-，-++}中-罗伯特·劳夫2022年12月9日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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例如：exp（exp（x）-1）。
递归：a（n+1）=Sum_{k=0..n}a（k）*二项式（n，k）。
a（n）=总和{k=0..n}箍筋2（n，k）。
a（n）=和{j=0..n-1}（1/（n-1）！）*A000166号（j） *二项式（n-1，j）*（n-j）^（n-1）-安德烈·拉博西埃2004年12月1日
通用公式：（和{k>=0}1/（（1-k*x）*k！）/exp（1）=超地理学（[-1/x]，[（x-1）/x]超几何（[-mu]，[nu+1]，z）是拉盖尔函数，拉盖尔多项式的解析推广，对于mu不等于非负整数。这个生成函数在x=0附近有无穷多个极点-卡罗尔·彭森2002年3月25日
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}k^n/k！[Dobinski]-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
a（n）对n是渐近的*（2 Pi r^2 exp（r））^（-1/2）exp（exp（r）-1）/r^n，其中r是r exp（l）=n的正根。参见Odlyzko引用。
a（n）渐近于b^n*exp（b-n-1/2）*sqrt（b/（b+n）），其中b满足b*log（b）=n-1/2（参见Graham，Knuth和Patashnik，《混凝土数学》，第二版，第493页）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年10月23日，更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月6日
Lovasz（组合问题和练习，North-Holland，1993，第1.14节，问题9）给出了另一个渐近公式，由Mezo和Baricz引用-N.J.A.斯隆2015年3月26日
G.f.：求和{k>=0}x^k/（乘积{j=1..k}（1-j*x））（参见Klazar的证明）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
a（n+1）=经验（-1）*和{k>=0}（k+1）^（n）/k-杰拉尔德·麦卡维2004年6月3日
a（n）=和{k=1..n}（1/k！）*（和{i=1..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n+0^n）-保罗·巴里2005年4月18日
a（n）=（2*n！/（Pi*e））*Im（Integral_{x=0..Pi}e^（e^）（i^（ix）））sin（nx）dx），其中Im表示虚部[Cesaro]-大卫·卡兰，2005年9月3日
O.g.f.：1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^2/（…/（1-n*x-n*x^ 2/（…））））（因弗拉霍雷博士的缘故，继续分数）-保罗·D·汉纳2006年1月17日
贝尔数B（n）的表示，n=1,2，。。。，作为（n-1）F（n-1）型超几何函数的特殊值，在Maple符号中：B（n）=exp（-1）*超几何（[2,2，…，2]，[1,1，…，1]，1），n=1,2，。。。，即，分子中n-1个参数全部等于2，分母中n-1参数全部等于1，参数值等于1。
示例：
B（1）=exp（-1）*hypergeom（[]，[]，1）=1
B（2）=exp（-1）*hypergeom（[2]，[1]，1）=2
B（3）=exp（-1）*高地层（[2,2]，[1,1]，1）=5
B（4）=exp（-1）*高地层（[2,2,2]，[1,1,1]，1）=15
B（5）=exp（-1）*超深层（[2,2,2,2]，[1,1,1]，1）=52
（警告：此公式是正确的，但计算机应用此公式可能无法产生准确的结果，尤其是使用大量参数时。）
（结束）
a（n+1）=1+求和{k=0..n-1}求和{i=0..k}二项式（k，i）*（2^（k-i））*a（i）-亚尔钦·阿克塔尔2007年2月27日
a（n）=[1,0,0，…，0]T^（n-1）[1,1,1，…，1]'，其中T是n×n矩阵，主对角线{1,2,3，…，n}，1位于对角线正上方，0位于其他位置。[梅耶]
a（n）=（（2*n！）/（Pi*e））*意象部分（积分[从0到Pi]（e^e^e~（i*theta））*sin（n*theta，数据eta）-乔纳森·沃斯邮报2007年8月27日
a（n）=T（n，1）=Sum_{j=0..n}S2（n，j）=Summ_{j=0..n}E（n，j）*Lag（n，-1，j-n）=Sum _{j=0..n}[E（n、j）/n！]*[n！*Lag；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（Sum_{k=0..n}E（n，k））。
欧拉数计算排列上升，表达式[n！*Lag（n，-1，j-n）]为A086885号用座位安排的简单组合解释，对n*a（n）=和{j=0..n}E（n，j）*[n！*滞后（n，-1，j-n）]。
（结束）
定义f_1（x）、f_2（x）。。。f_1（x）=e^x，n=2,3，。。。f{n+1}（x）=（d/dx）（x*fn（x））。那么对于贝尔数B_n，我们得到B_n=1/e*f_n（1）-米兰Janjic2008年5月30日
a（n）=（n-1）！求和{k=1..n}a（n-k）/（n-k！（k-1）！）其中a（0）=1-托马斯·维德2008年9月9日
a（n+k）=Sum_{m=0..n}斯特林2（n，m）Sum_{r=0..k}二项式（k，r）m^r a（k-r）.-大卫·帕西诺（davepasino（AT）yahoo.com），2009年1月25日。（通常，这可以写成a（n+k）=Sum_{m=0..n}斯特林2（n，m）（a+m）^k-N.J.A.斯隆，2009年2月7日）
a（n）=和{k_1=0..n+1}和{k_2=0..n}。。。和{k_i=0..n-i}。。。总和｛k_n=0..1｝
δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）
其中，如果k_i>k_（i+1）且k_（i+1）<>0，则δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=0
否则，δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=1。
（结束）
设A是n阶上Hessenberg矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i、j]：=二项式（j-1，i-1），（i<=j），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年7月8日
G.f.：1/（1-x/（1-1*x/（1-x/（1-2*x/…））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
a（n+1）=总和{m=0..n}箍筋2（n，m）*（m+1），n>=0。与上述a（n）的第三个公式进行比较。这里Stirling2=A048993号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日
G.f.：（-1）^（1/x）*（（-1/x）/e+（！（-1-1/x））/x）其中z！和！z是阶乘和子阶乘，推广到复杂参数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
例如：exp（exp（x）-1）=1+x/（g（0）-x）；G（k）=（k+1）*贝尔（k）+x*贝尔（k+1。
通用公式：W（x）=（1-1/（G（0）+1））/exp（1）；G（k）=x*k^2+（3*x-1）*k-2+x-（k+1）*（x*k+x-1）^2/G（k+1；（连分数欧拉类，1步）。
G.f.：W（x）=（1+G（0）/（x^2-3*x+2））/exp（1）；G（k）=1-（x*k+x-1）/（（k+1）！）-（（（k+1）！）^2） *（1-x-k*x+（k+1）！）/（（（k+1）！）*（1-x-k*x+（k+1）！）-（x*k+2*x-1）*（1-2*x-k*x+（k+2）！）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:A（x）=1/（1-x/（1-x/（1+x/G（0）））；G（k）=x-1+x*k+x*（x1+x*k）/G（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：-1/U（0），其中U（k）=x*k-1+x-x^2*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：1+x/U（0），其中U（k）=1-x*（k+2）-x^2*（k+1）/U（k+1；（连分数，1步）。
通用系数：1+1/（U（0）-x），其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连分数，2步）。
G.f.：1+x/（U（0）-x），其中U（k）=1-x*（k+1）/（1-x/U（k+1））；（连分数，2步）。
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x/（1-x*（2*k+1）/（1-x/（1-x*（2*k+2）/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:G（0）/（1+x），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/；（续分数）。
G.f.：-（1+2*x）*Sum_{k>=0｝x^（2*k）*（4*x*k^2-2*k-2*x-1）/（2*k+1）*（2*x*k-1）*A（k）/B（k），其中A（k）=产品_{p=0..k}（2*p+1），B（k）=产品_{p=0..k}（2*p-1）*（2*x*p-x-1）*（2*x*p-2*x-1）。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x*（S-1），其中S=Sum_{k>=0}（1+（1-x）/（1-x-x*k））*（x/（1-x。
G.f.：（G（0）-2）/（2*x-1），其中G（k）=2-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:-G（0），其中G（k）=1-（x*k-2）/（x*k-1-x*（x*k-1）/（x+（x*km-2）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:G（0），其中G（k）=2-（2*x*k-1）/（x*k-1-x*（x*k-1）/；（续分数）。
G.f.：（G（0）-1）/（1+x），其中G（k）=1+1/（1-k*x）/（1-x/（x+1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.：1/（x*（1-x）*G（0））-1/x，其中G（k）=1-x/（x-1/（1+1/（x*k-1）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x/（Q（0）-x），其中Q（k）=1+x/（x*k-1）/Q（k+1）；（续分数）。
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-x-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：1/（1-x*Q（0）），其中Q（k）=1+x/（1-x+x*（k+1）/（x-1/Q（k+1）））；（续分数）。
G.f.：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1-x^2*（k+1）/；（续分数）。
（结束）
a（n）~exp（exp（W（n））-n-1）*n^n/W（n）^（n+1/2），其中W（x）是Lambert W函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月1日
a（n）~n^n*exp（n/LambertW（n）-1-n）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月13日
a（n）是-exp（-1）*（-1）^x*x*Gamma（-x，0，-1）的渐近展开式中的系数，其中Garma（a，z0，z1）是广义不完全Gamma函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月12日
a（n）=1+楼层（exp（-1）*Sum_{k=1..2*n}k^n/k！）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月13日
当p是素数且m>=1时，a（p^m）==m+1（mod p）（参见Hurst/Schultz参考文献中的引理3.1）-Seiichi Manyama先生2016年6月1日
a（n）=和{k=0..n}超几何（[1，-k]，[]，1）*Stirling2（n+1，k+1）=和A182386号（k） *箍筋2（n+1，k+1）-梅利卡·特布尼2022年7月2日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+15*x^4+52*x^5+203*x^6+877*x^7+4140*x^8+。。。
来自Neven Juric，2009年10月19日：（开始）
n=4的a（4）=15韵律方案为
aaaa，aaab，aaba，aabb，aabc，abaa，abab，abac，abba，abbc
n=5的a（5）=52韵律方案为
aaaaa、aaaab、aaaba、aaabb、aaabc、aabaa、aabab、aabac、aabba、aabbb、aabbc、aabca、aabcb、aabcc、aaabcd、abaaa、ababab、abaac、ababba、ababb、ababbc、abaca、abac、ababacb、abacb、abcca、abccb、abccc、abccd、abcda、abcdb、abcdc、，abcdd，abcde
（结束）
限制增长字符串（RGS）：
对于n=0，存在一个空字符串；
对于n=1，有一个字符串[0]；
对于n=2，有2个字符串[00]、[01]；
对于n=3，存在a（3）=5个字符串[000]、[001]、[010]、[011]和[012]；
对于n=4，有a（4）=15个字符串
1: [0000], 2: [0001], 3: [0010], 4: [0011], 5: [0012], 6: [0100], 7: [0101], 8: [0102], 9: [0110], 10: [0111], 11: [0112], 12: [0120], 13: [0121], 14: [0122], 15: [0123].
这些是与押韵方案的一对一（识别a=0、b=1、c=2等）。
（结束）
考虑集合S＝｛1，2，3，4｝。a（4）=1+3+6+4+1=15分区是：P1={{1}，{2}，}3}，[4]}；第21页。。P23={a，4}，S\{a，4]}，a=1，2，3；第24页。。P29={{a}，{b}，S\{a，b}}，其中1<=a<b<=4；第31页。。P34={S\{a}，{a}}，a=1。。4; P4={S}。有关图形说明，请参阅Bottomley链接-M.F.哈斯勒2017年10月26日
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MAPLE公司
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A000110号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则另加1（二项式（n-1，i）*A000110号（n-1-i），i=0..n-1）；fi；end:#版本1
A:=系列（exp（x）-1），x，60）：A000110号：=n->n*系数（A，x，n）：#版本2
规范：=[S，{S=集（U，卡>=1），U=集（Z，卡>=1）}，标记]：G:={P=集（集（原子，卡>0））}:combstruct[gfsolve]（G，未标记，x）：seq（combstrut[count]（[P，G，标记]，大小=i），i=0..22）；#版本5，零入侵拉霍斯2007年12月16日
钟表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1，1]；P:=[1]；对于从1到m的n-2 do
P:=列表工具：-部分和（[A[-1]，op（P）]）；A:=[运算（A），P[-1]]od；A结束：BellList（29）#彼得·卢什尼2022年3月24日
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数学
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f[n_]：=总和[StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]；表[f[n]，｛n，0，40｝](*罗伯特·威尔逊v*)
表[BellB[n]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年3月1日*）
B[0]＝1；B[n_]：=1/E和[k^（n-1）/（k-1）！，{k，1，无穷}](*迪米特里·帕帕佐普洛斯，2015年3月10日，编辑M.F.哈斯勒2018年11月30日*）
b[1]=1；k=1；扁平[{1，表[Do[j=k；k+=b[m]；b[m]=j；，{m，1，n-1}]；b[n]=k，{n，1，40}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月7日*）
表[j！系数[Series[Exp[Exp[x]-1]，{x，0，20}]，x，j]，{j，0，20}](*尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（m）；如果（n<0，0，m=contfracpnqn（矩阵（2，n\2，i，k，如果（i==1，-k*x^2，1-（k+1）*x））；polcoeff（1/（1-x+m[2，1]/m[1，1]）+x*O（x^n），n））}/*迈克尔·索莫斯*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=0，n，prod（i=1，k，x/（1-i*x）），x^n*O（x））（n）}/*迈克尔·索莫斯2004年8月22日*/
（PARI）a（n）=圆形（exp（-1）*suminf（k=0，1.0*k^n/k！）\\戈特弗里德·赫尔姆斯，2007年3月30日-警告！仅供说明：如果n=42，则给出错误的结果，如果n>42，则返回错误，标准精度为38位-M.F.哈斯勒2018年11月30日
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（exp（x+x*O（x ^n））-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2009年6月28日*/
（PARI）Vec（塞拉普拉斯（exp（'x+O（'x^66））-1））\\乔格·阿恩特2012年5月26日
（Sage）来自Sage.combinat.expnums import expnums2；扩展2（30，1）#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（鼠尾草）[（0..40）中n的bell_number（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
（Python）#此实现的目标是提高效率。
#m->[a（0），a（1），…，a（m）]对于m>0。
A=[0，i在范围（m）内]
A[0]=1
R=[1，1]
对于范围（1，m）内的n：
A[n]=A[0]
对于范围（n，0，-1）中的k：
A[k-1]+=A[k]
R.append（A[0]）（右附加）
返回R
（Python）
#需要python 3.2或更高版本。否则，请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围（20）内的_：
blist=列表（累加（[b]+blist））
b=整体叶盘[-1]
（Python）
来自sympy进口bell
打印（[范围（27）中n的钟形（n）]）#迈克尔·布拉尼基，2021年12月15日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n，k=0）：返回int（n<1）或k*a（n-1，k）+a（n-l，k+1）
打印（[a（n）代表范围（27）中的n]）#彼得·卢什尼2022年6月14日
（岩浆）[贝尔（n）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年2月7日
（Maxima）标记列表（beln（n），n，0，40）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月4日*/
（哈斯克尔）
类型N=整数
n_partitioned_k:：n->n->n
1`n_partitioned_k`1=1
1`n_partitioned_k`_=0
n`n_partitioned_k`k=k*（pred n`n_partitioned_k` k）+（pred n `n_pPartitioned_k ` pred k）
n_分区：：n->n
n分区0=1
n_partitioned n=总和$map（\k->n`n_partioned_k`k）$[1..n]
（哈斯克尔）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000045号,A000108号,A000166号,A000204号,A000255号,A000311号,A000296年,A003422号,A024716号,A029761号,A049020号,A058692美元,A060719号,A084423号,A087650号,A094262号,1993年3月1日,A165194号,A165196号,A173110型,A227840型,A182386号.
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关键字
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核心,非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A008292号
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| 行读取的欧拉数T（n，k）三角形（n>=1，1<=k<=n）。 |
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+10
401
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1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 11, 1, 1, 26, 66, 26, 1, 1, 57, 302, 302, 57, 1, 1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1, 1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1, 1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1, 1, 1013, 47840, 455192, 1310354, 1310354, 455192, 47840, 1013, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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欧拉多项式的系数。具有k-1的n个对象的排列数增加。具有n+1个节点和k个叶子的增加根树的数量。
T（n，k）=[n]的排列数，k次。T（n，k）=需要k读数的[n]排列数（参见Knuth参考）。T（n，k）=[n]在其反演表中有k个不同项的置换数-Emeric Deutsch公司2004年6月9日
T（n，k）=写入Coxeter元素的方法数量_{e1}秒_{e1-e2}秒_{e2-e3}秒_{e3-e4}。。。s{e_{n-1}-en}类型B_n的反射群，使用s{e_k}和形式s{e_i+e_j}的少量反射，其中i=1，2。。。，n和j尽可能不等于iPramook Khungurn（Pramook（AT）mit.edu），2004年7月7日
T（n，k）/n！也表示被（n-1）维超平面x_1+x_2+。。。x_n=k，x_1+x_2+。。。xn=k-1；或者，等价地，它表示均匀分布在0和1之间的n个独立随机变量之和介于k-1和k.之间的概率。-Stefano Zunino，2006年10月25日
[E（.，t）/（1-t）]^n=n*滞后[n，-P（.，t）/（1-t）]和[-P*拉格[n，E（.，t）/（1-t）]隐含地包含一个组合拉盖尔变换对，其中E（n，t）是欧拉多项式，P（n，t）是A131758号. -汤姆·科普兰2007年9月30日
G（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1*x+（2+t）*x^2/2！+（6+6*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A090582号，置换面体的反向f多项式（参见A019538年).
G（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A008292号，永曲面的h多项式（Postnikov等人）。
G（（t+1）*x，-1/（t+1”）=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2/2！+。。。给出了行多项式A028246号.
（结束）
[n]上的子超越函数f是映射f:[n]->[n]，使得对于所有i，1<=f（i）<=i，1<=i<=n。T（n，k）等于[n]的子超越函数f的数量，使得f的图像具有基数k[Mantaci&Rakotondrajao]。例T（3,2）=4：如果我们用单词f（1）f（2）标识一个次超函数f。。。f（n）则[3]上的次超函数是111、112、113、121、122和123，并且其中四个函数具有基数为2的图像集-彼得·巴拉2008年10月21日
n>=1的多项式E（z，n）=分子（和{k>=1}（-1）^（n+1）*k^n*z^（k-1））直接导致欧拉数的三角形-约翰内斯·梅耶尔2009年5月24日
来自Walther Janous（walter.Janous（AT）tirol.com），2009年11月1日：（开始）
（欧拉）多项式e（n，x）=Sum_{k=0..n-1}T（n，k+1）*x^k也是无穷和的闭式表达式的分子：
S（p，x）=和{j>=0}（j+1）^p*x^j，即
当|x|<1且p为正整数时，S（p，x）=e（p，x）/（1-x）^（p+1）。
（注意在列出公式部分的部分中T（n，k）的用法不一致。我默认第一条。）（结束）
如果n是奇数素数，那么第（n-2）-和（n-1）-行的所有数字都在级数k*n+1中-弗拉基米尔·舍维列夫2011年7月1日
欧拉三角形是求和{k=1..n}k^j的第r次连续求和公式中的一个元素，它似乎是求和_{k=1..n}T（j，k-1）*二项式（j-k+n+r，j+r）-加里·德特利夫斯2011年11月11日
Li和Wong证明T（n，k）计算了具有n+1个顶点和角度之和（2*k-n-1）*Pi的组合不等星多边形。一个等价的公式是：定义对称群S_n中置换p的总符号变化S（p）等于和{i=1..n}符号（p（i）-p（i+1）），其中取p（n+1）=p（1）。T（n，k）给出了q（1）=1且S（q）=2*k-n-1的S_（n+1）中置换数q。例如，T（3,2）=4，因为在S_4中，置换（1243）、（1324）、（1342）和（1423）的总符号变化为0-彼得·巴拉2011年12月27日
Xiong、Hall和Tsao提到Riordan，并提到传统的欧拉数a（n，k）是（1，2…n）具有k弱超越的置换数-苏珊·维南德2014年8月25日
在Buchstaber和Bunkova、Copeland、Hirzebruch、Lenart和Zainoulline、Losev和Manin以及Sheppeard链接中讨论了与代数几何/拓扑和特征类的联系；科普兰的格拉斯曼人、法伯人和波斯尼科夫人、谢泼德人和威廉姆斯人；以及合成反演和微分算子，在科普兰和帕克链接中-汤姆·科普兰2015年10月20日
公式中提到的双变量例如f.与Aluffi-Marcolli链接中讨论的某些图中的乘法边有关。见第42页-汤姆·科普兰2016年12月18日
行多项式P（n，x）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k出现在o.g.f.g（n，x）=Sum _{m>=0}S（n，m）*x ^m的分子中，对于n>=1，S（n、m）=Sum _}j=0..m}j^n，作为g（n、x）=Sum_}k=1..n}P（n、x）/（1-x）^（n+2）对于n>=0（0^0=1）。另请参见三角形A131689型2017年3月31日，对改写后的表格发表评论。例如，f见A028246号2017年3月13日发表评论-沃尔夫迪特·朗2017年3月31日
有关埃尔哈特多项式、多面体体积、多对数、托德算子和其他特殊函数、多项式和序列的关系，请参见A131758号以及其中的参考文献-汤姆·科普兰2017年6月20日
超单体的归一化体积，归于拉普拉斯。（参见De Loera等人的参考文献，第327页。）-汤姆·科普兰，2018年6月25日
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参考文献
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配方奶粉
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T（n，k）=k*T（n-1，k）+（n-k+1）*T（n-1，k-1），T（1，1）=1。
T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j）。
例如，A（x，q）=和{n>0}（和{k=1..n}T（n，k）*q^k）*x^n/n！=q*（e^（q*x）-e^x）/（q*e^x-e^（q*x））满足dA/dx=（A+1）*（A+q）-迈克尔·索莫斯2011年3月17日
对于列列表，第n项：T（c，n）=c^（n+c-1）+Sum_{i=1..c-1}（-1）^i/i*（c-i）^（n+c-1）*产品{j=1..i}（n+c+1-j）-Randall L Rathbun公司2002年1月23日
约翰·罗伯逊（jpr2718（AT）aol.com），2002年9月2日：（开始）
欧拉数T（i，n）的四个特征：
1.当n>=1时，T（0，n）=1；当i>=1，T（i，1）=0。
2.T（i，n）=和{j=0..i}（-1）^j*二项式（n+1，j）*（i-j+1）^n，对于n>=1，i>=0。
3.设C_n是R^n中具有顶点（e_1，e_2，…，e_n）的单位立方体，其中每个e_i是0或1，并且使用所有2^n组合。那么T（i，n）/n！是超平面x_1+x_2+…+之间C_n的体积x_n=i和x_1+x_2+…+x_n=i+1。因此T（i，n）/n！是i<=X_1+X_2+…+的概率X_n<i+1，其中X_j是独立的均匀[0，1]分布参见Ehrenborg&Readdy参考。
4.设f（i，n）=T（i，n）/n！。f（i，n）是唯一系数，因此当n>=1且abs（r）>1时，（1/（r-1）^（n+1））Sum_{i=0..n-1}f（i、n）r^{i+1}=Sum_}j>=0}（j^n）/（r^j）。（结束）
第n行的O.g.f.：（1-x）^（n+1）*polylog（-n，x）/x-弗拉德塔·乔沃维奇2002年9月2日
三角形T（n，k），n>0和k>0，按行读取；由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6，…]DELTA[1,0,2,0,3,1,4,0，5,0，6，…]（散布着0的正整数）给出，其中DELTA是在A084938号.
Bell_n（x）=求和{j=0..n}S2（n，j）*x^j=Sum_{j=0..n}E（n，j）*滞后（n，-x，j-n）=Sum_{j=0-.n}（E（n、j）/n！）*（n！*Lag（n，-x，j-n））=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（Bell.（x）+j，n），其中Bell_n（x）是Bell/Touchard/指数多项式；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。
对于x=0，方程给出了求和{j=0..n}E（n，j）*二项式（j，n）=1表示n=0，0表示所有其他n*二项式（y，n），对于方程中的x，得到了Worpitzky恒等式；y^n=和{j=0..n}E（n，j）*二项式（y+j，n）。
注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（Sum_{k=0..n}E（n，k））。此外，（n！*Lag（n，-1，j-n））是A086885号对座位安排进行了简单的组合解释，对x=1的方程进行了组合解释；不*铃声_n（1）=n*和{j=0..n}S2（n，j）=和{j=0..n}E（n，j）*（n！*滞后（n，-1，j-n））。
（2020年9月16日附页）有关伯努利数的连接、扩展、证明以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示，请参阅我的《后互惠与巫术》。（结束）
G.f:1/（1-x/（1-x*y/1-2*x/（1-2*x*y/（1-3*x/（1-3*x*y/（1-…（续分数）））-保罗·巴里2010年3月24日
如果n是奇数素数，那么下面连续的2*n+1项是1模n：a（（n-1）*（n-2）/2+i），i=0..2*n。这个项链在上一项和下一项都不是1模n的意义上是最大的
对于k=0,1,2，。。。放G（k，x，t）：=x-。。。。然后，G（k，x，t）关于x的级数倒转给出了当k=0时当前表的一个例子f，以及对于A008517号当k=1时。
例如，f.B（x，t）：=g（0，x，t（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。满足自治微分方程dB/dx=（1+B）*（1+t*B）=1+（1+t）*B+t*B^2。
应用[Bergeron等人，定理1]给出了欧拉多项式的组合解释：a（n，t）计算n个顶点上的平面增树，其中每个顶点的超度数<=2，超度数1的顶点为1+t颜色，超度值2的顶点为t颜色。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A008517号应用[Dominici，定理4.1]给出了计算欧拉多项式的以下方法：设f（x，t）=（1+x）*（1+t*x），设D是算子f（x、t）*D/dx。然后A（n+1，t）=D^n（f（x，t））在x=0处进行评估。
（结束）
在科普兰2008年的评论中，例如f.A（x，t）=g[x，（t-1）]-1，组成逆函数为Ainv（x，t）=log（t-（t-1-汤姆·科普兰2011年10月11日
T（2*n+1，n+1）=（2*n+2）*T（2*n，n）。（例如，66=6*11，2416=8*302，…）-加里·德特利夫斯2011年11月11日
例如：（1-y）/（1-y*exp（1-y，*x））-杰弗里·克雷策2012年11月10日
设{A（n，x）}n>=1表示从[1，1+x，1+4*x+x^2，…]开始的欧拉多项式序列。给定两个复数a和b，由R（n，x）：=（x+b）^n*a（n+1，（x+a）/（x+b））定义的多项式序列，n>=0，满足递推方程R（n+1，x）=d/dx（（x+a）*（x+b）*R（n、x））。这些多项式给出了数据库中几个三角形的行生成多项式，包括A019538年（a=0，b=1），A156992号（a=1，b=1），A185421号（a＝（1+i）/2、b＝（1-i）/2），A185423号（a=exp（i*Pi/3），b=expA185896号（a=i，b=-i）。
（结束）
例如：1+x/（T（0）-x*y），其中T（k）=1+x*（y-1）/（1+（k+1）/T（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月7日
A） 双变量例如，f.A（x，A，b）=（e^（ax）-e^（bx））/（A*e^（a^2+4ab+b^2）*x^3/3！+（a^3+11a^2b+1ab^2+b^3）x^4/4！+。。。
B） B（x，a，B）=对数（（1+ax）/（1+bx））/（a-B）=x-（a+B）x^2/2+（a^2+ab+B^2）x^3/3-（a^3+a^2b+ab^2+B^3）x^4/4+…=log（1+u.*x），其中（u.）^n=u_n=h（n-1）（a，b）是一个完整的齐次多项式，是a（x，a，b。
C） A（x）满足dA/dx=（1+A*A）（1+b*A），可以用Weierstrass椭圆函数表示（见Buchstaber&Bunkova）。
D） 二元欧拉行多项式由在x=0时计算的迭代导数（（1+ax）（1+bx）D/dx）^n x生成（参见A145271号).
E） A（x，A，b）=-（E ^（-ax）-E ^（-bx））/（A*E ^。
F） FGL（x，y）=A（B（x，A，B）+B（y，A，B），A，B=（x+y+（A+B）xy）/（1-ab*xy）被称为双曲形式群定律，与Lenart和Zainoulline的广义上同调理论有关。（结束）
对于x>1，n阶欧拉多项式A（n，x）=（x-1）^n*log（x）*Integral_{u>=0}（上限（u））^n*x^（-u）du-彼得·巴拉2015年2月6日
求和{j>=0}j^n/e^j，当n>=0时，等于求和{k=1..n}T（n，k）e^k/（e-1）^（n+1），这是变量“e”中的有理函数，其近似值为n！当e=A001113号= 2.71828... -理查德·福伯格2015年2月15日
对于固定k，T（n，k）~k^n，通过归纳法证明-冉·潘2015年10月12日
发件人A145271号，将下三角Pascal矩阵的第n个对角线（其中n=0为主对角线）乘以在x=0处评估的g_n=（d/dx）^n（1+a*x）*（1+b*x），即g_0=1，g_1=（a+b），g_2=2ab，否则g_n=0，以获得VP（n，k）=二项式（n，k）g_（n-k）的三对角矩阵VP。则该条目的第m个二元行多项式为P（m，a，b）=（1，0，0，…）[VP*S]^（m-1）（1，a+b，2ab，0，..）^T，其中S是移位矩阵A129185号，表示除权基数x^n/n！中的微分！。另外，P（m，a，b）=（1，0，0，…）[VP*S]^m（0，1，0…）^T-汤姆·科普兰2016年8月2日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
1: 1
2: 1 1
3: 1 4 1
4: 1 11 11 1
5: 1 26 66 26 1
6: 1 57 302 302 57 1
7: 1 120 1191 2416 1191 120 1
8: 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1
9: 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1
10:1 1013 47840 455192 1310354 1310354 455192 47840 1013 1
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例如f.=（y）*x^1/1！+（y+y^2）*x^2！+（y+4*y^2+y^3）*x^3/3！+-迈克尔·索莫斯2011年3月17日
设n=7。那么以下2*7+1=15个连续项是1（mod 7）：a（15+i），i=0..14-弗拉基米尔·舍维列夫2011年7月1日
第3行：在3个顶点上增加0-1-2树的平面（彩色顶点的数量显示在顶点的右侧）为
.
.1 o（1+t）1 o t 1 o t
. | / \ / \
. | / \ / \
.2o（1+t）2o3o3o2o
. |
. |
0.3个
.
树的总数是（1+t）^2+t+t=1+4*t+t^2。
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MAPLE公司
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A008292号：=proc（n，k）选项记忆；如果k<1或k>n，则为0；elif k=1或k=n，则为1；否则k*进程名（n-1，k）+（n-k+1）*进程名；结束条件：；结束进程：
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数学
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t[n_，k_]=和[（-1）^j*（k-j）^n*二项式[n+1，j]，{j，0，k}]；
压扁[表[系数列表[（1-x）^（k+1）*PolyLog[-k，x]/x，x]，{k，1，10}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月27日*）
表[计数[
计数[#，x_/；x>0]&&@（差异/@
排列[范围[n]]）][[；；，2]]，{n，10}](*李涵2020年10月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<1|k>n，0，如果（n==1，1，k*T（n-1，k）+（n-k+1）*T（n-1，k-1））}/*迈克尔·索莫斯1999年7月19日*/
（PARI）{T（n，k）=和（j=0，k，（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j））}/*迈克尔·索莫斯1999年7月19日*/
{A008292号（c，n）=c^（n+c-1）+和（i=1，c-1，（-1）^i/i*（c-i）^（n+c-1）*prod（j=1，i，n+c+1-j））}
（哈斯克尔）
导入数据。列表（genericLength）
a008292 n k=a008292_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a008292_row n=a008292_tabl！！（n-1）
a008292_tabl=迭代f[1]，其中
f xs=zipWith（+）
（zipWith（*）（[0]++xs）（反向ks））（zipWith（*）（xs++[0]）ks）
其中ks=[1..1+genericLength xs]
（Python）
从症状导入二项式
def T（n，k）：返回和（[（-1）**j*（k-j）**n*二项式（n+1，j），对于范围（k+1）中的j）]）
对于范围（1,11）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（1，n+1）中的k）]）#印地瑞尼Ghosh2017年11月8日
（R）
T<-函数（n，k）{
S<-numeric（）
对于（j in 0:k）S<-c（S，（-1）^j*（k-j）^n*选择（n+1，j））
返回（总和（S））
}
用于（1:10中的n）{
用于（k in 1:n）打印（T（n，k））
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1.n]，k->总和（[0..k]，j->（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j））））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年6月29日
（Sage）[[sum（（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j）^n for j in（0..k））for k in（1..n）]for n in（1..12）]#G.C.格鲁贝尔，2019年2月23日
（岩浆）欧拉系：=func<n，k|（&+[（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j+1）^n:j in[0..k+1]]）>；[[欧拉（n，k）：[0..n-1]中的k：[1..10]]中的n//G.C.格鲁贝尔，2019年4月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A019538年,A028246号,A048993号,A048994号,A049019号,A086885号,A090582号,A129185号,A131758号,A139605型,A173018型.
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001286号
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| Lah数：a（n）=（n-1）*n/2
（原名M4225 N1766）
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+10
70
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1, 6, 36, 240, 1800, 15120, 141120, 1451520, 16329600, 199584000, 2634508800, 37362124800, 566658892800, 9153720576000, 156920924160000, 2845499424768000, 54420176498688000, 1094805903679488000, 23112569077678080000, 510909421717094400000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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0,1,2,3,4，…的第一个欧拉变换-罗斯·拉海耶2005年3月5日
偏移量为0时：n X n矩阵m（i，j）的行列式=（i+j+1）/我/j-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月11日
当表达n（n+1）（n+2）…时，这些数字就出现了。。。（n+k）[n+（n+1）+（n+2）+…++（1+4+9+16+…+n^2），n（n+1）（n+2）（n+3）-亚历山大·波沃洛茨基，2006年10月16日
a（n）是对称群S_n上弱Bruhat阶的Hasse图中的边数。对于S_n中的置换p，q，如果p，q与相邻的转置不同，并且q比p多一个倒置，则q覆盖弱Bruhart阶的p。因此23514覆盖23154，因为转置交换了第三项和第四项。囊性纤维变性。A002538号为了强大的布鲁哈特秩序-大卫·卡兰2007年11月29日
a（n）也是{1,2，…，n}的所有置换中的例外数（置换p的例外是这样的p（j）>j的值j）。证明：超过j（n-1）！乘以数字j+1，j+2。。。，n；现在，求和{j=1..n}（n-j）（n-1）！=不！（n-1）/2。例如：a（3）=6，因为置换123、132、312、213、231、321的异常数分别为0、1、1、2、1-Emeric Deutsch公司2008年12月15日
（-1）^（n+1）*a（n）是n X n矩阵的行列式，其（i，j）-第个元素对于i=j是0，对于j>i是j-1，对于j<i是j-米歇尔·拉格诺2010年5月4日
对于m>=4，a（m-2）是除一条边外，具有m个完全顶点的简单图中的哈密顿圈数。证据：想想m个人的不同的圆桌座位，这样“1”和“2”可能不是邻居；计数是（m-3）（m-2）/2.另请参阅2017年10月. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第90页，例4。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第156页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
约翰·里尔丹，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第44页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Yasmin Aguillon等人。，论停车功能与河内塔，arXiv:2206.00541[math.CO]，2022。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki，树丛中的图案，arXiv:1611.07793[cs.DM]，2016年。
埃尔达尔·菲舍尔、约翰·马考斯基和弗塞沃洛德·拉基塔，限制集配分函数的MC-完整性，arXiv:2302.08265[math.CO]，2023年。
Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Jan Kretschmann和J.Carlos Martínez Mori，S_n弱阶的布尔区间，arXiv:2306.14734[math.CO]，2023年。
Lucas Chaves Meyles、Pamela E.Harris、Richter Jordaan、Gordon Rojas Kirby、Sam Sehayek和Ethan Spingarn，单位间隔停车函数与二面体，arXiv:2305.15554[math.CO]，2023。
桑迪·克拉夫扎尔、乌洛什·米卢蒂诺维奇和西里尔·皮特，Hanoi图和一些经典数，世博会。数学。23（2005），编号4371-378。
S.Lehr、J.Shallit和J.Tromp，关于自动实的向量空间，理论。计算。科学。163（1996），第1-2期，193-210页。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a（n）=和{i=0..n-1}（-1）^（n-i-1）*i^n*二项式（n-1，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日[更正人：阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月2日]
a（n+1）=（-1）^（n+1）*det（M_n），其中M_n是n X n矩阵M_（i，j）=max（i*（i+1）/2，j*（j+1）/2）-贝诺伊特·克洛伊特2004年4月3日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^n*f（n、2、-2），（n>=2）-米兰Janjic2009年3月1日
a（n）=（n+1）*和{k=1..n-1}1/（k^2+3*k+2）-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a（n+1）=a（n）*n*（n+1”）/（n-1）-柴华武2018年4月11日
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例子
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G.f.=x^2+6*x^3+36*x^4+240*x^5+1800*x^6+15120*x^7+141120*x^8+。。。
a（10）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）*（1*2*3*4*5*6*7*8*9）=16329600-莱因哈德·祖姆凯勒2010年5月15日
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MAPLE公司
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seq（总和（mul（j，j=3..n），k=2..n）），n=2.21）#零入侵拉霍斯2007年6月1日
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数学
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表[Sum[n！，{i，2，n}]/2，{n，2，20}](*零入侵拉霍斯2009年7月12日*）
nn=20；使用[{a=累加[Range[nn]]，t=范围[nn]！}，时间@@@线程[{a，t}]](*哈维·P·戴尔2013年1月26日*）
表[（n-1）n！/2，{n，2，30}](*文森佐·利班迪2016年9月9日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[（n-1）*在（2，21）范围内n的阶乘（n）/2]#零入侵拉霍斯2009年5月16日
（哈斯克尔）
a001286 n=总和[1..n-1]*乘积[1..n-1]
（岩浆）[（n-1）*阶乘（n）/2:n in[2..25]]//文森佐·利班迪2016年9月9日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（2100）内的n：
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交叉参考
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囊性纤维变性。2017年10月,A052609型,A062119号,A075181美元,A060638型,A060608型,A060570型,A060612型,A135218号,A019538年,A053495号,A051683号,A213168型,A278677型,A278678型,A278679型,A008292号.
三角形第三列（m=2）|A111596号（n，m）|：|S1|的矩阵乘积。S2斯特林数矩阵。
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A367955型
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| 块最大和为k的[n]的分区数T（n，k），三角形T（n、k），n>=0，n<=k<=n*（n+1）/2，按行读取。 |
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+10
11
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 5, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 5, 10, 7, 7, 11, 3, 4, 1, 1, 1, 2, 5, 10, 23, 15, 23, 25, 37, 18, 14, 19, 4, 5, 1, 1, 1, 2, 5, 10, 23, 47, 39, 49, 81, 84, 129, 74, 78, 70, 87, 33, 23, 29, 5, 6, 1, 1, 1, 2, 5, 10, 23, 47, 103, 81, 129, 172, 261, 304, 431, 299, 325, 376, 317, 424, 196, 183, 144, 165, 52, 34, 41, 6, 7, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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评论
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T（n，k）定义为所有n，k>=0。三角形只包含正项。如果k<n或k>n*（n+1）/2，则T（n，k）=0。
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链接
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配方奶粉
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和{k=n.n*（n+1）/2}k*T（n，k）=A278677型（n+1）对于n>=1。
和{k=n.n*（n+1）/2}（k-n）*T（n，k）=A200660型（n） 对于n>=1。
T（n，n）=T（n，n*（n+1）/2）=1。
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例子
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T（4,7）=5:123|4，124|3，13|24，14|23，1|2|34。
T（5,9）=10:1234|5，1235|4，124|35，125|34，134|25，135|24，14|235，15|234，1|23|45，1|245|3。
T（5,13）=3:1|23|4|5，1|24|3|5，1 | 25|3|4。
T（5,14）=4:12|3|4|5，13|2|4|5,14|2|3|5，15|2|3 |4。
T（5,15）=1:1|2|3|4|5。
三角形T（n，k）开始于：
1;
. 1;
. . 1, 1;
. . . 1, 1, 2, 1;
. . . . 1、1、2、5、2、3、1；
。1, 1, 2, 5, 10, 7, 7, 11, 3, 4, 1;
. . . . . . 1, 1, 2, 5, 10, 23, 15, 23, 25, 37, 18, 14, 19, 4, 5, 1;
...
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MAPLE公司
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b： =proc（n，m）选项记忆`如果`（n=0，1，
b（n-1，m）*m+展开（x^n*b（n-l，m+1））
结束时间：
T： =（n，k）->系数（b（n，0），x，k）：
seq（seq（T（n，k），k=n..n*（n+1）/2），n=0..10）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i，t）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n，0，
`if`（n=0，t^i，`if`（t=0，0，t*b（n，i-1，t））+
（t+1）^最大值（0，2*i-n-1）*b（n-i，最小值（n-i、i-1），t+1））
结束时间：
T： =（n，k）->b（k，n，0）：
seq（seq（T（n，k），k=n..n*（n+1）/2），n=0..10）；
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 6, 23, 107, 587, 3725, 26952, 219756, 1998951, 20105485, 221838905, 2666280457, 34689290378, 485840964614, 7288997427755, 116634438986227, 1982868327635663, 35692311974248093, 678159760252918824, 13563246929216611852, 284828660383365005643
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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序列最初定义为包含广义拉盖尔多项式的无穷和：a（n）=（（-1）^n*n/exp（1））*Sum_{k>=0｝拉盖尔L（n，n-1，k）/k！，n=0.1。它出现在玻色子算子函数的正规排序问题中。
a（n）是对{1,2，…，n}的（可能是空的）子集S中的元素进行线性排序，然后对S的补码进行分区的方法数-杰弗里·克雷策2015年8月7日
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链接
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配方奶粉
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例如：exp（exp（x）-1）/（1-x）。
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MAPLE公司
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with（组合）：a:=n->add（bell（j）*n/j！，j=0..n）：序列（a（n），n=0..20）#零入侵拉霍斯2007年3月19日
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数学
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nn=21；范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[（Exp[x]-1）]/（1-x），{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策，2015年8月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）egf（s）=我的（v=Vec（s），i）；而（polceoff（s，i）==0，i++）；i——；向量（i+v，j，polceoff（s，j+i）*（j+i！）
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯（exp（x）-1）/（1-x））\\G.C.格鲁贝尔，2019年3月31日
（PARI）a_vector（n）=我的（v=向量（n+1））；v[1]=1；对于（i=1，n，v[i+1]=sum（j=1，i，（（j-1）+1） *二项式（i-1，j-1）*v[i-j+1]）；v\\Seiichi Manyama先生2022年7月14日
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Exp（x）-1）/（1-x））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔，2019年3月31日
（弧垂）m=30；T=泰勒（exp（x）-1）/（1-x），x，0，m）；[（0..m）中n的阶乘（n）*T系数（x，n）]#G.C.格鲁贝尔，2019年3月31日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A285595型
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| [n]的所有集合分区的所有块中第k个项目的总和T（n，k）；三角形T（n，k），n>=1，1<=k<=n，按行读取。 |
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+10
8
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1, 4, 2, 17, 10, 3, 76, 52, 18, 4, 362, 274, 111, 28, 5, 1842, 1500, 675, 200, 40, 6, 9991, 8614, 4185, 1380, 325, 54, 7, 57568, 51992, 26832, 9568, 2510, 492, 70, 8, 351125, 329650, 178755, 67820, 19255, 4206, 707, 88, 9, 2259302, 2192434, 1239351, 494828, 149605, 35382, 6629, 976, 108, 10
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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T（n，k）也是k乘以[n+1]的所有集合分区中大小>k的块数。T（3,2）=10=2*5，因为在[4]的所有集合分区中，即1234、123|4、124|3、134|2、1|234中，有5个大小大于2的块。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=k*和{j=k+1…n+1}二项式（n+1，j）*A000110号（n+1-j）。
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例子
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T（3,2）=10，因为[3]（123，12|3，13|2，1|23，1|2|3）的所有集合分区的所有块中的第二项之和是2+2+3+0=10。
三角形T（n，k）开始于：
: 1;
: 4, 2;
: 17, 10, 3;
: 76, 52, 18, 4;
：362、274、111、28、5；
: 1842, 1500, 675, 200, 40, 6;
: 9991, 8614, 4185, 1380, 325, 54, 7;
: 57568, 51992, 26832, 9568, 2510, 492, 70, 8;
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MAPLE公司
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T： =proc（h）选项记忆；局部b；b：=
proc（n，l）选项记忆`如果`（n=0，[1,0]，
（p->p+[0，（h-n+1）*p[1]*x^1]）（b（n-1，[l[]，1]）+
加（（p->p+[0，（h-n+1）*p[1]*x^（l[j]+1）]）（b（n-1，
排序（子图（j=l[j]+1，l），`>`），j=1..nops（l））
结束：（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（h，[]）[2]）
结束时间：
seq（T（n），n=1..12）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，[1,0]，
add（（（p->p+[0]，p[1]*add（x^k，k=1.j-1）]）(
b（n-j）*二项式（n-1，j-1）），j=1..n））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i）*i，i=1..n））（b（n+1）[2]）：
seq（T（n），n=1..12）；
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数学
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b[n_]：=b[n]=如果[n==0，{1，0}，总和[#+{0，#[1]]*总和[x^k，{k，1，j-1}]}&[b[n-j]*二项式[n-1，j-1]]，{j，1，n}]]；
T[n_]：=表[系数[#，x，i]*i，{i，1，n}]&[b[n+1][2]；
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 19, 94, 519, 3144, 20903, 151418, 1188947, 10064924, 91426347, 887296422, 9164847535, 100398851344, 1162831155151, 14198949045106, 182317628906283, 2455925711626404, 34632584722468115, 510251350142181470, 7840215226100517191, 125427339735162102104
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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树架是有序的二叉（0-1-2）递增树，其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级。经典的Françon双射将树丛映射为置换。下图所示的模式T321对应于由置换321构造的树自我。流行度是对所有n大小的对象的某个统计数据（在这种情况下是留下的孩子的数量）的总和。
|
|
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链接
|
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Vincent Vajnovszki、，树丛中的图案，arXiv:1611.07793[cs.DM]，2016年。
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配方奶粉
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例如：（-sin（z）+1+（z-1）*cos（z））/（1-sin（z））^2。
渐近：a（n）~8*（Pi-2）/Pi^3*n^2*（2/Pi）^n。
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例子
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大小为3的树架：
1 1 1 1 1 1
/ \ / \ / \ / \
2 2 / \ 2 \ / 2
/ \ 2 2 3 3
3 3 \ /
3 3
T321型：
1
/
2
/
三
避免T321图案的3号树架：
1 1 1 1 1
\ / \ / \ / \
2 / \ 2 \ / 2
\ 2 2 3 3
3 \ /
3 3
留守儿童的受欢迎程度为4。
|
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|
MAPLE公司
|
b： =proc（u，o）选项记忆`如果`（u+o＝0，
加（b（o-1+j，u-j），j=1..u））
结束时间：
a： =n->（n+1）*b（n+1，0）-b（n+2，0）：
|
|
|
数学
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b[u_，o_]：=b[u，o]=如果[u+o==0，1，和[b[o-1+j，u-j]，{j，1，u}]]；
a[n]：=（n+1）*b[n+1，0]-b[n+2，0]；
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|
|
黄体脂酮素
|
（Python）
#通过泰勒展开
从sympy导入*
从sympy.abc导入z
h=（-sin（z）+1+（z-1）*cos（z））/（1-sin（z））**2
NUMBER_OF_COEFFS=20
coeffs=多边形（系列（h，n=NUMBER_OF_coeffs））.coeffs（）
反向系数（）
#并删除对应于O（n**k）的第一个系数1
系数pop（0）
print（[系数[n]*范围内n的阶乘（n+2）（len（系数））]）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1、5、24、128、770、5190、38864、320704、2894544、28382800、300575968、3419882304、41612735632、539295974000、7417120846080、107904105986048、16556341868328352、26721851169634560、452587550053179392、8026445538106839040、148751109541600495104
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
|
|
|
评论
|
树架是有序的二叉（0-1-2）递增树，其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级。经典的Françon双射将树丛映射为置换。下面所示的模式T213对应于由排列213构造的树自我。流行度是对所有n大小的对象的某个统计数据（在这种情况下是留下的孩子的数量）的总和。
|
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链接
|
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki，树丛中的图案，arXiv:1611.07793[cs.DM]，2016年。
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配方奶粉
|
例如：（E^（sqrt（2）*z）*（4*z-4）-（sqert（2）-2）*E^。
渐近：n*（平方（2）/log（2*sqrt（2）+3））^（n+1）。
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|
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例子
|
大小为3的树架：
1 1 1 1 1 1
/ \ / \ / \ / \
2 2 / \ 2 \ / 2
/ \ 2 2 3 3
3 3 \ /
3 3
T213型：
1
/\
2 \
三
避免T213模式的3号树架：
1 1 1 1 1
/ \ / \ / \
2 2 / \ / 2
/ \ 2 2 3
3 3 \ /
3 3
留守儿童的受欢迎程度为5。
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数学
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条款=21；
egf=（E^（平方[2]）（4z-4）-（平方[2]-2）E^；
|
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黄体脂酮素
|
（Python）
##通过泰勒展开
从sympy导入*
从sympy.abc导入z
h=（exp（sqrt（2）*z）*（4*z-4）-（sqrt（2）-2）*exp（2*sqrt（2）*z）+sqrt（2）+2）/（（sqrt（2）-2）*exp（sqrt（2）*z）+2+sqrt（2））**2
NUMBER_OF_COEFFS=20
coeffs=多边形（系列（h，n=NUMBER_OF_coeffs））.coeffs（）
反向系数（）
##并删除对应于O（n**k）的第一个系数1
系数pop（0）
print（[系数[n]*范围内n的阶乘（n+2）（len（系数））]）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A286897型
|
| [n]的所有集合分区的所有块中第k个最后条目的总和T（n，k）；三角形T（n，k），n>=1，1<=k<=n，按行读取。 |
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+10
三
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1, 5, 1, 23, 6, 1, 109, 33, 7, 1, 544, 182, 45, 8, 1, 2876, 1034, 284, 59, 9, 1, 16113, 6122, 1815, 420, 75, 10, 1, 95495, 37927, 11931, 2987, 595, 93, 11, 1, 597155, 246030, 81205, 21620, 4665, 814, 113, 12, 1, 3929243, 1669941, 573724, 160607, 36900, 6979, 1082, 135, 13, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
|
|
|
链接
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|
|
例子
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T（3,2）＝6，因为[3]（123，12|3，13|2，1|23，1|2|3）的所有集合分区的所有块中倒数第二个条目的和是2+1+1+2＝6。
三角形T（n，k）开始于：
: 1;
: 5, 1;
: 23, 6, 1;
: 109, 33, 7, 1;
: 544, 182, 45, 8, 1;
: 2876, 1034, 284, 59, 9, 1;
: 16113, 6122, 1815, 420, 75, 10, 1;
: 95495, 37927, 11931, 2987, 595, 93, 11, 1;
|
|
|
MAPLE公司
|
b： =proc（n，l）选项记忆`如果`（n=0，[1,0]，
（p->p+[0，n*p[1]*x^1]）（b（n-1，[l[]，1]）+
加（（p->p+[0，n*p[1]*x^（l[j]+1）]）（b（n-1，
排序（子图（j=l[j]+1，l），`>`），j=1..nops（l））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（n，[]）[2]）：
seq（T（n），n=1..14）；
|
|
|
数学
|
b[0，_]={1，0}；b[n_，l]：=b[n，l]=函数[p，p+{0，n*p[[1]]*x^1}][b[n-1，Append[l，1]]+Sum[Function[p，p+{0、n*p[1]]*x^（l[[j]]+1）}][b[n-1、Reverse@Sort[ReplacePart[l，j->l[j]+1]]]，{j，1，Length[l]}]；
T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，n}][b[n，{}][[2]]；
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 6, 33, 182, 1034, 6122, 37927, 246030, 1669941, 11844324, 87644672, 675494180, 5413500801, 45040155758, 388441330457, 3467619369538, 31998729152474, 304846692965822, 2994781617653439, 30304301968015582, 315536869771786501, 3377398077726963112
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
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|
抵消
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0,4
|
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链接
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配方奶粉
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例如：（z-2）*exp（2*z+exp（z）-1）+。
a（n）=贝尔（n+1）+（n+1”）*贝尔（n）-贝尔（n+2）+和{k=0..n}斯特林2（n+1，k）*（n+1-k）。
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例子
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a（3）=6=2+1+2+1+0:123，12|3，13|2，1|23，1|2|3。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，m，t）选项记忆`如果`（n=0，[1,0]，（p->
p+[0，p[1]*（n-t）]）（b（n-1，m+1，t+1））+m*b
结束时间：
a： =n->b（n，0，1）[2]：
seq（a（n），n=0..23）；
#第二个Maple项目：
egf：=（z-2）*exp（2*z+exp（z）-1）+（2*z+1）*exp
a： =n->n*系数（系列（egf，z，n+1），z，n）：
seq（a（n），n=0..23）；
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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![[4]置换的超越图](https://translate.baiducontent.com/transpage?cb=translateCallback&ie=utf8&source=url&query=https%3A%2F%2Foeis.org%2Fwiki%2FFile%3AExceedances_4.png&from=en&to=zh&token=&monLang=zh){kind=link}