A139605-OEIS公司

A139605型

向量形式的迭代导数、李导数的幂或无穷小生成器的展开权，（f（x）D_x）^n；Comtet的A-多项式系数；Scherk分区多项式。

1、1、1、1、1、3、1、1、4、1、4、7、6、1、1、7、4、11、1、5、30、15、10、25、10、1、11、15、32、34、26、1、6、57、34、146、31、15、120、90、20、65、15、1、1、16、26、15、76、192、34、122、180、57、1、7、98、140、406、462、588、63、21、252、154、896、301 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)

	抵消	`1,6`
	评论	`本条目和参考文献在高阶项的系数顺序上略有不同。Comtet第167页的表格至少有一个索引错误。` `设F[FI（x）]=FI[F（x）]=x（即，F和FI是一个组合逆对）关于x=0，F（0）=FI（0）=0。定义f（x）=1/[dFI（x）/dx]，然后对于w（x）关于原点的分析，exp[t f（x）d/dx]w（x。请参见A145271号对于w（x）=x，注意A145271号嵌入在中A139605型与f（x）相关联的二项式Sheffer序列的示例f.为exp[x f（z）d/dz]exp（tz）=exp{tf[x+FI（z）]}，在z=0时计算-汤姆·科普兰2011年10月19日` `dq（t，x）/dt-f（x）dq（t，x）/dx=0，因此（1，-f（x））给出了与q的梯度正交的向量的分量，因此与q在（t，x）处的轮廓相切-汤姆·科普兰2011年10月26日` `上述公式exp[t f（x）d/dx]w（x）=w{f[t+FI（x）]}隐含在《数学森林》第10页和第12页的链式规则公式中。Dattoli参考中提到了另一个推导A080635级（重复如下）-汤姆·科普兰2011年11月28日` `设f（x）和g（x）是两个无穷微分函数。表示f_0=f（x），f_1=df_0/dx，f_2=df_1/dx，依此类推。与g_0=g（x）相同。定义线性算子L（u（x））=g（x）*du（x）/dx。表示F_1=L（F（x）），F_2=L（F_1），依此类推。当n>0时，F_n是F_1，…，的线性组合。。。，f_n，其中每个f_k乘以g_0中n次的齐次多项式（P（n，k））。。。，g{n-1}。P（n，k）系数之和的三角形为A130534型. -迈克尔·索莫斯2014年3月23日` `具有行n长度的三角形A000070型（n+1）和第n行由系数组成：P（n，1）。。。，P（n，n）。P（n，k）中系数的阶为Abramowitz阶和Stegun阶，用于n-k与部分g_1。。。，g{n-k}-迈克尔·索莫斯2014年3月23日` `A130534型（n，k）给出了以下示例中与R^（n+1）关联的具有（n+2）个节点或顶点的“自然生长”有根树林中与D^（k+1）个树干关联的有根树的数量。请参阅MF链接-汤姆·科普兰2014年3月23日` `这些划分多项式出现在1823年海因里希·谢克（Heinrich Scherk）的一篇论文中-汤姆·科普兰2021年7月14日` `Schröder在研究函数迭代或迭代函数合成时，使用了迭代导数或迭代无穷小生成器（IGs），（1/f'）D）^n，这与牛顿寻找方程零点方法的扩展有关。他根据IGs为在t=-f（z）下评估的finv[t+f（z）]构造了系列，给出了z_1=finv（0），尽管他没有这样表示他的分析-汤姆·科普兰2021年7月19日`
	参考文献	`F.Bergeron、G.Labelle和P.Leroux，《组合物种与树状结构》，（1997），剑桥大学出版社，第386页。` `L.Comtet，《Une formule explicite pour les puissances sequences de L'operateur de dérivation de Lie》，康普特斯·伦德斯学院。《巴黎科学》，A辑第276卷（1973年），第165-168页。` `H.Davis，《线性算子理论》（1936），普林西比亚出版社，第13页。` `T.Mansour和M.Schork，交换关系，正规序和斯特林数，查普曼和霍尔/CRC，2015年。`
	链接	`n=1..68时的n、a（n）表。` `P.Blasiak和P.Flajolet，创新的组合模型，arXiv:1010.0354[math.CO]，2011年。` `汤姆·科普兰，数学森林v2, 2008.` `汤姆·科普兰，无穷大、Pascal三角、Witt和Virasoro代数, 2012.` `汤姆·科普兰，Pre-Lie代数、Cayley分析树和数学魔法森林, 2018.` `G.Datolli、P.L.Ottaviani、A.Torre和L.Vazquez，演化算子方程：代数和有限差分方法的积分。[...]，《新世界报》20,2（1997）1-133。等式（I.2.18）。` `D.格林伯格，交换子、矩阵和Copeland恒等式，arXiv:1908.09179[math.RA]，2019年。` `郭乃涵、马世美，欧拉多项式与Young表的g指数，程序。阿默尔。数学。Soc.，（2023年）。` `Kentaro Ihara，非交换幂级数的导子和自同构，《纯粹与应用代数杂志》，第216卷，第1期，2012年1月，第192-201页。` `T.Mansour和M.Shork，重温广义Touchard多项式，《应用数学与计算杂志》，第219卷，第19期，2013年6月，第9978-9991页。` `数学溢出，组合学中的重要公式：用于组合反演的迭代导数（无穷小李生成器）的组合学和向量场的流图，Tom Copeland对Gil Kalai提出的MO问题的回答，2015年。` `数学溢出，迭代或嵌套导数或向量的展开——猜想矩阵计算，Tom Copeland提出的MO问题，Darij Grinberg回答，2019年。` `数学溢出，dx/dt=B（x）的第n次迭代公式，用户解决方案提出的关于MathOverflow的问题，由Tom Copeland回答，2021年。` `H.Scherk，De evolvanda函数（yd.yd.yd.…ydX/dxn）研究非零分析，博士论文，柏林，1823年。Göttinger Digitalisierungszentrum（GDZ）的扫描件。` `E.Schröder，Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen公司《数学年鉴》第2卷，317-3651970。` `G.Stewart，关于求解方程的无穷多算法（以上薛定谔论文的英译）。`
	配方奶粉	`等效矩阵计算：将下三角Pascal矩阵的第n对角线（主对角线n=0）乘以f_n=（d/dx）^n f（x），得到VP（n，k）=二项式（n，k）f_（n-k）的矩阵VP。则R^n=（1，0，0，…）[VP*S]^n（1，D，D^2，…）^T，其中S是移位矩阵A129185号，表示以x^n/n！为基数的微分！。囊性纤维变性。A145271号. -汤姆·科普兰2016年7月17日` `从Comtet获得的Ihara中给出了该矩阵系数的公式-汤姆·科普兰2020年3月25日` `阐述我2011年的评论：让exp[xF（t）]=exp[tp.（x）]作为二项式Sheffer多项式序列（p.（x））^n=p_n（x。然后，在x=t=0处计算，系数p_（n，k）=（D_x^k/k！）p_n（x）=D_t^n[F（t）]^k/k！=（f（x）D_x）^n x ^k/k！=R^n x ^k/k！，所以p_（n，k）是下面算符R^n在x=0时的D^k系数-汤姆·科普兰2020年5月14日` `根据前面的注释，该项的微分对指数的作用是exp（x g（u）D_u）e^。对于H^{（-1）}（x）=-log（1-x），x=0的逆函数是H（x）=1-e^A008275号,A048994号、和A130534型). 因此，将该条目的系数与每个相关导数相加得出这些斯特林数。例如，示例中的第五行减少为（1+4+1）D+（7+4）D^2+6D^3+D^4=6D+11D^2+6D^3+D^4。Connes-Moscovici举重139002澳元是对该条目的改进-汤姆·科普兰2021年7月14日`
	例子	`设R=f（x）d/dx=f（x）d和（j，k）=[（d/dx）^j f（x”）]^k；然后` `R^0=1。` `R^1=（0,1）直径。` `R^2=（0,1）（1,1）D+（0,2）D^2。` `R^3=[（0,1）（1,2）+（0,2）（2,1）]D+3（0,二）（1,1）D^2+（0,3）D^3。` `R^4=[（0,1）（1,3）+4（0,2）（1,1）（2,1）+（0,3）（3,1）]D+` `[7（0,2）（1,2）+4（0,3）（2,1）]D^2+6（0,1）（1,1）D^3+（0,4）D^4-汤姆·科普兰2008年6月12日` `R^5=[（0,1）（1,4）+11（0,2）（1,2）（2,2）+4（0,3）+（0,5）D^5-汤姆·科普兰2016年7月17日` `R^6=[（0,1）（1,5）+26（0,2）（1,3）（2,1）+34（0,3）（1,1）（4,1）]D^2+[90（0,3）（1,3）+120（0,4）（1,1）（2,1）+15（0,5）D^5+（0,6）D^6-汤姆·科普兰，2016年7月17日` `------------` `F_1=（1g_0）F_1，F_2=（1g_0g_1）1+（1g_0^2）F_2，F_3=（11g_0g_1^2+1g_0^2g_2）1+-迈克尔·索莫斯2014年3月23日` `P（4,2）=4g0^3g2+7g0\|2g1^2。P（5,2）=5g0^4g3+30g0\|3g1g2+15g0 ^2g1^3-迈克尔·索莫斯2014年3月23日` `1` `1, 1` `1 1 , 3 , 1` `1 4 1 , 4 7 , 6 , 1` `1 7 4 11 1, 5 30 15 , 10 25 , 10 , 1` `1 11 15 32 34 26 1 , 6 57 34 146 31 , 15 120 90 , 20 65 , 15 , 1`
	数学	`row[n_]：=使用[{pn=系数规则[Nest[g[x]D[#，x]&，f[x]，n]，导数[#][f][x]&/@Range[n]][[；；，2]/.{导数[k_][g][x]：>h[k]，g[x]->1}}，表[系数[pn[k]]，乘积[h[x]、{x、p}]]、{k、n-1}、{p、Sort[Sort/@Integer分区[n-k]]}]~连接~{{1}}]；` `表[行[n]，{n，7}]//展平(安德烈·扎博洛茨基2024年3月8日）`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000070型（每个订单的不同术语数量）。` `囊性纤维变性。A130534型（导数的数值系数之和）。` `囊性纤维变性。A008275号,A048994号,A080635级,A124796号,A129185号,A139002型,A145271号.` `上下文中的序列：132442英镑 A364082型 A074927号A191780号 A098712号 A264490型` `相邻序列：A139602型 139603元 A139604型A139606型 A139607型 A139608型`
	关键词	`非n,标签`
	作者	`汤姆·科普兰2008年6月12日`
	扩展	`标题扩展人汤姆·科普兰2014年3月17日` `序列项按Abramowitz和Stegun顺序重新排列迈克尔·索莫斯2014年3月23日` `标题扩展人汤姆·科普兰2021年7月14日`
	状态	`经核准的`