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2015年5月19日 |
| 对于n>=2,a(n)=3*a(n-1)-a(n-2),其中a(0)=a(1)=1。 (原M1439 N0569)
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348
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1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229, 1346269, 3524578, 9227465, 24157817, 63245986, 165580141, 433494437, 1134903170, 2971215073, 7778742049, 20365011074, 53316291173, 139583862445, 365435296162, 956722026041
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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具有n+1个边且高度最多为3的有序树的数量(高度=从根开始的最大路径上的边数)。区域n+1的定向柱-凸多边形数。长度为2n+2的非递减Dyck路径数-Emeric Deutsch公司2001年7月11日
a(0)=a(1)=1,a(n+1)是大于第n个部分和的最小斐波那契数-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月21日
将k编号为floor(phi^2*k^2)-floor(phi*k)^2=1,其中phi=(1+sqrt(5))/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年3月16日
面积为n+1的左侧水平凸多边形的数量。
字母表{1,2,3}中长度为n且不以3结尾的31个避免单词的数目。(例如,当n=3时,我们有111、112、121、122、132、211、212、221、222、232、321、322和332。)参见A028859号. -乔恩·佩里2003年8月4日
似乎给出了方程的所有解>1:x^2=天花板(x*r*地板(x/r)),其中r=φ=(1+sqrt(5))/2-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月24日
a(1)=1,a(2)=2,则为使任何项的平方正好小于其相邻项的几何平均值的最小数。a(n+1)*a(n-1)>a(n)^2-阿玛纳斯·穆尔西2004年4月6日
与活塞序列E(2,5)基本相同。
[n+1]避免321和3412的排列数。例如,a(3)=13,因为[4]避免321和3412的排列是1234、2134、1324、1243、3124、2314、2143、1423、1342、4123、3142、2413、2341-布里吉特·坦纳2005年8月15日
在[n+1]上避免循环排列的1324个。
(x,y)=(a(n),a(n+1))是x/(yz)+y/(xz)+z/(xy)=3与z=1的解-楼层van Lamoen2001年11月29日
数量(0),s(1)。。。,s(2n)),使得0<s(i)<5和|s(i,i)-s(i-1)|=1,对于i=1,2,。。。,2n,s(0)=1,s(2n)=1-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
使用插值零,统计P_4的开始或结束节点处长度为n的闭合行走。a(n)统计P_4的开始或结束节点处长度为2n的闭合行走。序列0,1,0,2,0,5,。。。计算P_4的开始节点和第二个节点之间长度为n的行走次数-保罗·巴里2005年1月26日
a(n)是n条边上有序树的数量,n条边正好包含一个非叶顶点,所有非叶顶点的子节点都是叶(每个有序树必须至少包含一个这样的顶点)。例如,a(0)=1,因为没有边的树的根不被视为叶子,并且根空洞地满足了“所有子级都是叶子”的条件,a(4)=13计算了4条边上的所有14个有序树(A000108号)除外(忽略点)
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就延伸(1,1)-纳米管中六角体的数量而言,与聚对映体中Kekulé结构的数量相同。见I.Lukovits和D.Janezic第411页的表1-帕塔萨拉提纳姆比,2006年8月22日
3-非交变量中对称多项式n次自由生成元的个数-迈克·扎布罗基2006年10月24日
逆:当φ=(sqrt(5)+1)/2,log_phi((sqrt(5)*a(n)+sqrt大卫·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月19日
假设一个老师教一个学生,然后他发现他可以教两个学生,而原来的学生可以教一个。以此类推,每一代人都可以比以前多教一个学生。a(n)从a(2)开始给出新学生/教师的总数(见程序)-本·保罗·瑟斯顿2007年4月11日
a(n+1)=B^(n)(1),n>=0,含Wythoff互补a(n)的成分:=A000201号(n) 和B(n)=A001950号(n) 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示(A为1,B为0,参数1省略)。例如,2=`0`,5=`00`,13=`000`。。。,Wythoff代码。
a(n)是[n]的分区pi的数量(以标准递增形式),使得Flatten[pi]是一个(2-1-3)-避免排列。示例:a(4)=13统计[4]的所有15个分区,13/24和13/2/4除外。这里的“标准递增形式”是指每个块中的条目都在递增,并且块是按其第一个条目的递增顺序排列的。另外,编号应避开3-1-2-大卫·卡伦2008年7月22日
设P是部分和算子,A000012号:(1;1,1;1,1,1;…)和A153463号=M,部分和移位运算符。看起来,从任意随机序列S(n)开始,操作M*S(n,->M*ANS,->P*ANS等的迭代(或以P开头)将快速收敛到(1,2,5,13,34,…)和(1,1,3,8,21,…)的双序列极限环-加里·亚当森2008年12月27日
斐波那契数的平方和,每次取2。偏移量1。a(3)=5.-Al Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2009年5月27日
在n-1个单位的时间段内,节奏音乐的音乐作品数量。示例:a(4)=13;实际上,用R表示1个单位时间段内的休息,用N[j]表示j个单位时间内的注释,我们有(用N表示N[1]):NNN,NNR,NRN,RNN,NRR,RNR,RRN,RRR,N[2]R,RN[2],NN[2],N[2],N[3](见j.Groh参考,第43-48页)Juergen K.Groh(Juergen.Groh(AT)lhsystems.com),2010年1月17日
给定一个无限下三角矩阵M,每列中有(1,2,3,…),但最左边的列向上移动了一行。那么(1,2,5,…)=lim_{n->infinidy}M^n。A144257号.) -加里·亚当森2010年2月18日
分数:8/71=0.112676或98/9701=0.010102051334……(分数9/71或99/9701用于无初始项的序列)。19/71或199/9701,用于倒序-马克·多尔斯2010年5月18日
对于n>=1,a(n)是2n-1到奇数个奇数部分的组成(有序整数分区)的数量。O.g.f.:(x-x^3)/(1-3x^2+x^4)=A(A(x)),其中A(x”)=1/(1-x)-1/(1-x^2)。
对于n>0,n X n三对角矩阵的行列式,上对角线和次对角线中有1,主对角线上有(1,3,3,3,…),其余零-加里·亚当森2011年6月27日
具有0和1的非同构分次偏序集和秩n+1的一致Hasse图的个数,每个秩正好有2个元素在0和1之间。(统一用于Retakh、Serconek和Wilson的意义。分级用于R.Stanley的意义,即所有最大链具有相同的长度。)
皮萨诺周期长度:1、3、4、3、10、12、8、6、12、30、5、12、14、24、20、12、18、12、9、30-R.J.马塔尔2012年8月10日
a(n+1)是写为正方形的Pascal三角形的上升对角线之和-参见中的注释A085812号例如,13=1+5+6+1-约翰·莫洛卡赫2013年9月26日
a(n)是3X3矩阵[1,1,1;1,1,1;0,1,1]或[1,1,1;0,1,1;1,1]或[1,1,1,0;1,1,1]n次方的左上角条目-R.J.马塔尔2014年2月3日
除初始项外,x(或y)的正值满足x^2-3xy+y^2+1=0-科林·巴克2014年2月4日
除初始项外,x(或y)的正值满足x^2-18xy+y^2+64=0-科林·巴克2014年2月16日
x的正值,使得y满足x^2-xy-y^2-1=0-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月30日
a(n)也是同时避免经典意义上的231、312和321的排列数,可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
(1,a(n),a(n+1)),n>=0,是Markoff三元组(参见A002559号和罗伯特·威尔逊v2005年10月5日的评论)。在马尔科夫树上,他们给了一根外部的树枝。证明:a(n)*a(n+1)-1=A001906号(2*n)^2=(a(n+1)-a(n))^2=a-沃尔夫迪特·朗2015年1月30日
对于n>0,a(n)是序列中没有的最小正整数,例如a(1)+a(2)+…+a(n)是斐波那契数-德里克·奥尔2015年6月1日
除第一项外,该序列可由Azarin论文中参考文献中的推论1(ii)生成-穆罕默德·阿扎里安2015年7月2日
精确地说,数字F(n)^k+F(n+1)^k也是k>1的斐波那契数字,请参见Luca&Oyono-查尔斯·格里特豪斯四世2015年8月6日
a(n)是无谷的半周长n+1的条图数量(即凸条图)。等价地,半周长n+1的条图数量正好有1个峰值。示例:a(5)=34,因为在35个(=A082582号(6) )只有与组合[2,1,2]对应的半周长6的条形图才有谷-Emeric Deutsch公司,2016年8月12日
整数k,使k*phi的小数部分小于1/k。参见Byszewski链接第2页-米歇尔·马库斯2016年12月10日
长度为n-1超过{0,1,2,3}的单词数,其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
序列数(e(1)。。。,e(n)),0≤e(i)<i,这样就没有e(i,e(j)<e(k)的三元组i<j<k。[马丁内兹和萨维奇,2.12]-埃里克·施密特2017年7月17日
避开模式321和2341的[n]排列数-科林·德芬特2018年5月11日
这个序列解决了以下问题:找到所有配对(i,j),这样i除以1+j^2,j除以1+i^2。事实上,配对(a(n),a(n+1)),n>0,都是解-山田友弘2018年12月23日
S_n中Bruhat阶的主序理想为格(等价地,模格、分配格、布尔格)的置换数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
a(n)是2X2三对角矩阵M_2=矩阵([1,1],[1,2])的n次幂的左上项A322602型:a(n)=((M_2)^n)[1,1]。
证明:从M_2的特征多项式(参见A322602型)和凯莱-汉密尔顿定理。递归M^n=M*M^(n-1)导致(M_n)^n=S(n,3)*1_2+S(n-a,3)*(M-3*1_2),对于n>=0,其中S(n、3)=F(2(n+1))=A001906号(n+1)。因此((M_2)^n)[1,1]=S(n,3)-2*S(n-1,3)=a(n)=F(2*n-1)=(1/(2*r+1))*r^(2*1)*(1+(1/r^2)^(2%n-1)),其中r=rho(5)=A001622号(黄金比率)(参见2004年8月31日的第一个公式,使用S(n,3)的递推公式,以及迈克尔·索莫斯2002年10月28日配方奶粉)。这证明了一个猜想加里·亚当森在里面A322602型.
a(n)是底部一行n个硬币的堆叠方式的数量,这样,底部一行以外的任何硬币都会正好接触到下面一行的两个硬币,并且任何一行上的所有硬币都是连续的[Wilf,2.12]-格雷格·德累斯顿2020年6月29日
a(n)是4 X 4 Jacobi矩阵L(i,j)=1的(2*n)次幂的左上入口,如果|i-j|=1,否则L(i、j)=0-迈克尔·什莫伊什2020年8月29日
判别式5的不定二元二次型F(1,-3,1):=x^2-3*x*y+y^2的所有正解,表示-1(如果y<=z,特殊的马尔可夫三元组(1,y=x,z=y)是[x(n),y(n)]=[abs(F(2*n+1))),abs(F(2*n-1))],对于n=-无穷大+无穷。(F(-n)=(-1)^(n+1)*F(n))。只有这一系列正确的解决方案,没有不正确的解决方法。[另请参阅Floor van Lamoen 2001年11月29日的评论,其中使用了这个负数n,以及我2015年1月30日的评论。]-沃尔夫迪特·朗2020年9月23日
这些是较低收敛到黄金比率tau的分母;它们也是上收敛的分子(即1/1<3/2<8/5<21/13<…<tau<…13/8<5/3<2/1)-克拉克·金伯利2022年1月2日
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参考文献
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配方奶粉
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G.f.:(1-2*x)/(1-3*x+x^2)。
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-x)))-迈克尔·索莫斯2012年5月3日
对于Z中的所有n,a(n)=a(1-n)。
a(n+2)=(a(n+1)^2+1)/a(n),其中a(1)=1,a(2)=2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n)=(φ^(2*n-1)+φ^-迈克尔·索莫斯2002年10月28日
a(n)=和{k=0..n}二项式(n+k,2*k)-伦·斯迈利2001年12月9日
a(n)~(1/5)*sqrt(5)*phi^(2*n+1).-乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年5月15日
a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*F(k+1)-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月3日
设q(n,x)=Sum_{i=0..n}x^(n-i)*二项式(2*n-i,i);则q(n,1)=a(n)(该评论与L.Smiley的评论基本相同)-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
a(n)=(1/2)*(3*a(n-1)+平方(5*a(n-1)^2-4))-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月12日
由T(i,1)=T(1,j)=1,T(i,j)=max(T(i-1,j)+T(i-1,j-1)定义的阵列的主对角线;T(i-1,j-1)+T(i,j-1-贝诺伊特·克洛伊特,2003年8月5日
当r=phi时,解x>0到等式楼层(x*r*floor(x/r))=楼层(x/r*flower(x*r))-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月15日
a(n)=和{i=0..n}二项式(n+i,n-i)-乔恩·佩里2004年3月8日
a(n)=S(n-1,3)-S(n-2,3)=T(2*n-1,sqrt(5)/2)/(sqrt。T(n,x),分别是切比雪夫第二多项式。第一类。请参见三角形A049310型,分别。A053120号. -沃尔夫迪特·朗2004年8月31日
a(n)=和{0<=i_1<=i_2<=n}二项式(i_2,i_1)*二项式-贝诺伊特·克洛伊特2004年10月14日
a(n)=a(n-1)+Sum_{i=0..n-1}a(i)*a(nAndras Erszegi(Erszegi.Andras(AT)chello.hu),2005年6月28日
序列的第i项是2X2矩阵M=((1,1),(1,2))的第i次幂的项(1,1)-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
a(n-1)=(1/n)*Sum_{k=0..n}B(2*k)*F(2*n-2*k-贝诺伊特·克洛伊特2005年11月2日
a(n)=2*a(n-1)+2*a(n-2)-a(n-3);a(n)=((sqrt(5)+5)/10)*(3/2+sqrt-安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯2008年3月21日
和{n>=0}atan(1/a(n))=(3/4)*Pi-杰姆·奥利弗·拉丰2009年2月27日
a(n)=斐波那契(2*n+2)mod斐波那奇(2*n),n>1-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a(n)=(斐波那契(n-1)^2+斐波那奇(n)^2+Fibonacci(2*n-1))/2-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a(n)=2^n*f(n;1/2),其中f(n),n=0,1,。。。,d、 表示所谓的delta-Fibonacci数(参见Witula等人的论文和评论A000045号)-罗曼·维图拉2012年7月12日
a(n)=(斐波那契(n+2)^2+斐波那契(n-3)^2)/5-加里·德特利夫斯2012年12月14日
G.f.:1+x/(Q(0)-x),其中Q(k)=1-x/(x*k+1)/Q(k+1);(递归定义的连分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年2月23日
G.f.:(1-2*x)*G(0)/(2-3*x),其中G(k)=1+1/(1-x*(5*k-9)/(x*(5%k-4)-6/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月19日
一般公式:1+x*(1-x^2)*Q(0)/2,其中Q(k)=1+1/(1-x*(4*k+2+2*x-x^2;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月11日
G.f.:Q(0,u),其中u=x/(1-x),Q(k,u)=1+u^2+(k+2)*u-u*(k+1+u)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月7日
设F(n)为第n个Fibonacci数,A000045号(n) ,L(n)是第n个卢卡斯数,A000032号(n) ●●●●。那么对于n>0,a(n)=F(n)*L(n-1)+(-1)^n-查理·马里恩2014年1月1日
对于Z中的所有n,1=a(n)*a(n+2)-a(n+1)*a-迈克尔·索莫斯2014年7月8日
a(n)=3*F(n-1)^2+F(n-3)*F(n)-2*(-1)^n-J.M.贝戈2016年2月17日
a(n)=(F(n-1)*L(n)+F(n)*L-J.M.贝戈2016年3月22日
a(n)=((M_2)^n)[1,1]=S(n,3)-2*S(n-1,3),其中2X2三对角矩阵M_2=矩阵([1,1],[1,2])A322602型。有关证据,请参阅上面2020年3月30日的评论-沃尔夫迪特·朗2020年3月30日
a(n+1)=产品{k=1..n}(1+4*cos(2*Pi*k/(2*n+1))^2)。的特殊情况A099390号. -格雷格·德累斯顿2021年10月16日
a(n+1)=4^(n+1”)*Sum_{k>=n}二项式(2*k,2*n)*(1/5)^(k+1)。囊性纤维变性。A102591号. -彼得·巴拉2021年11月29日
a(n)=cosh((2*n-1)*arcsinh(1/2))/sqrt(5/4)-彼得·卢什尼2022年5月21日
a(n)=(L(n-1)^2+L(n-1)*L(n+1))/5+(-1)^n。
a(n)=2*(顶点位于(L(n-2),L(n-1)),(F(n),F(n-1)),(L(n),L(n+1))的三角形的面积)+5*(-1)^n,对于n>2。(结束)
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例子
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a(3)=13:有14个有4条边的有序树;除有4条边的路径外,所有路径的高度最多为3。
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+13*x^4+34*x^5+89*x^6+233*x^7+。。。
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MAPLE公司
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2015年5月19日:=proc(n)选项请记住:如果n=0,则1 elif n=1,则1 elif n>=2,然后3*procname(n-1)-procnname(n-2)fi:end:seq(2015年5月19日(n) ,n=0..28)#约翰内斯·梅耶尔2011年8月14日
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数学
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线性递归[{3,-1},{1,1},29](*罗伯特·威尔逊v2012年6月28日*)
a[n_]:=使用[{c=Sqrt[5]/2},ChebyshevT[2n-1,c]/c];(*迈克尔·索莫斯2014年7月8日*)
系数列表[级数[(1-2x)/(1-3x+x^2),{x,0,30}],x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=fibonacci(2*n-1)}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
(PARI){a(n)=实(quadgen(5)^(2*n))}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
(PARI){a(n)=subst(poltchebi(n)+poltchebi(n-1),x,3/2)*2/5}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
(Sage)[lucas_number1(n,3,1)-范围(30)中n的lucas_number1(n-1,3,1)]#零入侵拉霍斯2009年4月29日
(哈斯克尔)
a001519 n=a001519_列表!!n个
a001519_list=1:zipWith(-)(尾部a001906_list)a001906 _ list
a001519_list=1:f a000045_list,其中f(_:x:xs)=x:f xs
(最大值)a[0]:1$a[1]:1$a[n]:=3*a[n-1]-a[n-2]$生成列表(a[n],n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月15日*/
(岩浆)[1]猫[(卢卡斯(2*n)-斐波纳契(2*n))/2:n in[1..50]]//文森佐·利班迪2014年7月2日
(间隙)
a: =[1,1];;对于[3..10^2]中的n,做a[n]:=3*a[n-1]-a[n-2];od;a#穆尼鲁·A·阿西鲁,2017年9月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001653号,A055105号,A055106号,A055107号,A074664号,A101368号,A124292号,A124293号,A124294号,A124295号,A140069型,A153463号,A153266号,A153267号,A144257号,A211216型,A002559号,A082582号.
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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