平衡解或定态解通常通过双曲输运项和源项之间的精确平衡进行。这种平衡解受到截断误差的影响，这些截断误差阻止了任何经典数值格式捕捉具有物理意义的小振幅波的演变。为了为了克服这个问题，我们比较了两种常用的策略：高阶并大大减少了平衡解的截断误差，或者设计一个特定的方案，通过构建精确地保持平衡所谓的平衡方法。我们提供了一个现代的数字实现这两种策略并对它们进行了详细比较，既使用了流体静力学，也使用了动力学几个简单测试用例的平衡解。最后，我们应用我们的方法原行星盘绕恒星离心平衡的模拟并对其与嵌入式行星的相互作用进行建模，在实际应用中说明了这两种方法的优势。

我们研究了矩形封闭盆地中西部边界流的稳定性和动力转换。通过将无限动力系统简化为通过中心流形的归约，我们得到了一个无量纲的确定动态跃迁类型的跃迁数。我们通过显示仔细计算两个连续跃迁的跃迁数（超临界Hopf分岔）和灾难性跃迁（亚临界Hoff分岔）可能发生在临界雷诺数，这取决于纵横比和分层。分隔连续过渡和灾难性过渡的区域是在参数平面上描绘。

本文提出使用树搜索算法改进链接列表以进行邻居查找，目的是使用无网格方法处理高度非均匀分辨率的模拟。新程序创造了四叉树细胞网格，已在平滑粒子流体动力学（SPH）中实现。SPH方案采用的是自适应的，因此允许在流量。由于存在广泛的共存粒子质量水平，标准的链接邻域搜索算法变得无效。因此，找到了一种替代方案基于分层数据结构的使用，使用四叉树（在2D问题中）。本算法利用了链表和四叉树方法的优点，目的是在处理不均匀的颗粒分布。涉及两个不同流问题的测试用例已经证明，当前自适应邻域查找算法的计算成本与粒子总数成线性关系，因此可以检索到统一网格搜索中链接列表的特性。然而，内存使用由于数据结构更加复杂而增加。

本文将半隐式谱延迟校正方法与能量稳定线性方法相结合，提出了一种高阶时间离散化方法模拟一系列相场问题的方案。我们从线性方案开始，它基于不变能量求积方法，并被证明是线性无条件能量稳定。该方案还利用了避免保证非线性系统的非线性迭代和时间步长限制唯一可解的。此外，该方案导致线性代数系统求解每次迭代，我们都使用多重网格求解器来高效地求解。数值结果表明，局部间断Galerkin（LDG）组合空间离散化和高阶时间格式是一种实用、准确和解决相场问题时的高效仿真工具。也就是说，我们可以获得通过求解一些简单的线性代数在时间和空间上都具有高精度方程。

基于间断Galerkin（DG）方法，采用数值确定性方法模拟悬浮单层石墨烯中的电荷输运求解电子的半经典玻尔兹曼方程。传导和包括价带，并考虑了带间散射。
直接模拟蒙特卡罗（DSMC）方法的使用描述带间散射，计算上非常昂贵，因为价带非常密集，需要大量粒子。也是选择用模拟空穴代替电子并不能解决这个问题，因为是电子-空穴对的产生和复合项中存在一定程度的歧义。通常，忽略DSMC的Boltzmann方程的直接解基于物理参数的带间散射。DG方法可以不受之前的缺点影响，需要合理的计算工作。
在本论文中，对费米能量的几个值准确评估了带间散射的重要性，解决了与有效性相关的问题忽略生成重组合项。结果发现带间散射在费米能量为零的电流中产生了巨大的平均值变化，而正如预期的那样，带间散射的影响通过增加费米能量的绝对值变得可以忽略不计。

提出了一种求解一般三角形网格上各向异性扩散问题的非线性有限体积元格式。从标准线性协调有限体积元近似开始增加了跨单元边界的通量跳跃，使格式满足离散最大值原理。新方案不存在各向异性非钝角对于各向异性扩散问题，这是对网格的严格限制。此外，这种操作几乎可以保持与原始操作相同的精度方案。我们证明了该非线性格式数值解的存在性理论上。给出了这两种情况的数值结果和网格收敛研究连续和不连续各向异性扩散问题。

本文致力于研究弱Galerkin的应用椭圆特征值问题的（WG）有限元方法获得下限。WG方法在多边形或多面体有限元分区上使用不连续多项式。非协调有限元空间WG方法是下界性质的关键。它还使WG方法在求解特征值问题时更加健壮和灵活。我们证明工作组该方法可以实现任意高阶收敛。这与现有的非协调有限元方法可以通过线性有限元提供下限近似。数值结果表明理论结果的效率和准确性。

本文提出了一种用于材料缺陷分子动力学模拟的吸收边界条件。边界条件的目的是消除边界处声子的虚假反射，并使有限尺寸最小化效果。与其他现有方法相比，我们的重点是易于实施。特别是，我们提出了一种方法，实现可以在现有的分子动力学代码中进行，并且它对晶格结构、计算域的几何和空间维数不敏感。为了证明给出了两个测试问题的有效性结果。

本文提出了一种新的带平流的梯度矢量流模型增强，称为平流增强梯度矢量流，用于计算主动轮廓图像分割中使用的外力。建议的模型主要受到自适应全变分正则化器的泛函导数的启发，该正则化器期望其极小值能够有效地保持期望的对象边界。更具体地说，通过在通常的梯度矢量流模型，产生的外力可以更好地帮助活动轮廓，以恢复缺失的边，并收敛到窄而深的凹面，并保留弱边。通过数值实验证明新提出的模型的高性能。

本文提出了一种求解非定常强非线性对流扩散反应初边值问题的新的数值方法（ADR）方程式。该方法基于径向基函数（RBF）的使用解的近似空间。Crank-Nicolson方案用于时间近似值。这导致了一系列平稳的非线性ADR方程。使用基于RBF的拟议半分析技术，在每个时间步长依次求解方程。近似解如下所示基函数的解析展开式，并包含自由参数。基函数的构造方式使展开式满足边界任意自由参数选择的问题条件。自由参数通过替换方程中的展开式和解决方案域。对于非线性方程，我们使用了众所周知的拟线性化过程。这将原始方程式转换为每个时间层上的线性值。数值算例验证了高精度和所提数值格式的鲁棒性。

我们开发了一种非重叠区域分解方法（DDM），用于周期性层状介质对标量波的散射。我们的方法依赖于整个频谱中Robin-to-Robin（RtR）映射的稳健边界积分方程公式，包括截止（或Wood）频率。通过引入新引入的位移格林函数，我们克服了这些频率下非收敛准周期格林函数的障碍。在准周期边界积分算子的定义中使用后者可以导致RtR算子的严格稳定计算。我们开发了RtR映射的Nyström离散化，它依赖于三角插值、奇异性分解和快速收敛加窗准周期格林函数。我们通过递归求解三对角DDM系统舒尔补充并严格确立了该程序始终是完整的成功。我们给出了有关Wood频率的各种数值结果在二维和三维以及大量图层中。