本文提出了一种新的方法来验证计算的准确性仿真。我们发展了可以作为稳健后验概率的数学定理误差估计技术用于识别数值污染，检查性能自适应网格，并验证数值解。我们展示了它的性能多孔介质流动问题的方法论。然而，可以扩展它与其他车型相比。我们构造了这样的数学性质：达西方程和达西-布林克曼方程满足它们。数学特性包括总最小机械功率、最小耗散定理、倒数以及涡度的最大原理。所有发展的定理具有坚实的机械基础，并且独立于数值方法。所以，这些可以用于有限元、有限体积、有限差分的解验证，晶格玻尔兹曼方法等等。特别地，我们证明了，对于给定的边界条件下，达西速度的总机械功率最小运动学上允许的向量场。我们还表明，对于达西-布林克曼速度。然后我们展示了保守的体力，达西和达西-布林克曼速度在其各自的总耗散中最小运动容许向量场。通过数值例子，我们表明最小耗散和总机械功率定理可以用来识别数值解中的污染误差。达西和达西·布林克曼的解决方案这些方程被证明满足一个倒易关系，它有可能被识别边界条件数值实现中的错误。图中还显示了稳态和瞬态Darcy-Brinkman方程下的涡度满足最大值原理，如果体力保守且渗透率均匀和各向同性。关于定常和瞬态涡度性质的讨论文中还给出了达西方程。使用几个数值示例，我们将演示所提出的后验技术在评估一类一般问题的数值解的准确性，包括复杂域和通用计算网格。

水平集方法是最成功的模拟方法之一多相流。要保持液位设置功能关闭符号距离功能，通过求解Hamilton-Jacobi型，不断地重新初始化水平集函数在模拟过程中使用。当流体界面与实体墙相交时，一条移动接触线的形成和水平集函数的重新初始化需要墙上某些区域的边界条件。在这项工作中，我们建议使用从接触线延伸的动态接触角作为边界重新初始化level set函数的条件。重新初始化方程式与动态接触角法向延伸方程形成耦合系统和同时求解。在它为重新初始化方程提供了边界条件；水平仪set函数提供接触角延伸的方向接触线。使用三阶TVD龙格库塔求解耦合系统方法和Godunov方案。Godunov方案自动识别需要施加角度条件的区域。对数值方法进行了说明通过三维的例子。

DSMC方法中与采样相关的统计误差可以是分为I类和II类，这是由于不正确的拒收和验收造成的分别为零假设。在本研究中，稳健的全局和局部自动稳态检测方法是基于纯粹是关于粒子的统计和动力学。关键概念基于概率自动重置采样（PARS），以将不正确引起的II型错误降至最低验收不属于稳态的样品。全球稳态方法基于碰撞不变量的相对标准变化，而局部稳态法是基于分布的局部变化每个细胞的粒子功能。为了验证新方法的能力，两个基准案例–一维剪切驱动的Couette流和对垂直壁面二维高速流动进行了广泛的研究。由于自动检测和本地重置采样的综合作用局部稳态检测方法在计算上获得了30-36%的显著增益所研究问题的成本。此外，本地重置功能优于自动检测功能在总体计算上节省了成本。

本文提出了一种扩散界面浸没边界法（IBM）处理三种不同的热边界条件（Dirichlet、Neumann、Robin）在热流问题中。新的IBM是结合晶格实现的玻尔兹曼方法（LBM）。当前算法强制执行三种类型的热边界点的边界条件。具体来说，IBM为Dirichlet边界条件是使用迭代方法实现的其特点是精确满足边界上给定的温度。诺依曼和Robin边界条件在IBM中通过分布边界上到周围欧拉点的热通量，并获得跳跃通过在法向和切向应用跳跃界面条件。A类对IBM的计算精度进行了简单分析。分析表明之前许多研究中使用的泰勒-格林涡问题不是一个合适的精度测试示例。当前热浸没容量边界法通过四个数值实验进行了验证：（1）自然中心有圆柱的空腔内的对流；（2） 流过加热的圆柱；（3） 同心水平圆柱形环空中的自然对流；（4） 沉积作用在垂直通道中的单个等温冷粒子。数字结果表明，与以往文献中的数据吻合较好。

众所周知，传统的全积分四边形单元失效为亥姆霍兹方程提供准确的结果，因为数值离散引起的污染误差。为了克服这一不足，本文提出了一种二维声学分析的单元分解方法用四边形单元求解问题。在目前的EDM中，四边形元素首先被细分为四个子三角形，局部声学梯度使用线性插值函数来获得每个子三角形。声学梯度然后，通过加权平均来表示整个四边形的场操作，这意味着只采用一个集成点来构建系统矩阵。为了解决单点积分的数值不稳定性，需要一个变分梯度该项由局部梯度的方差补充。离散化系统使用广义Galerkin弱形式导出方程。数值示例证明了电火花加工可以获得更好的精度和更高的计算效率。此外，由于不涉及映射或坐标变换形状上的元素可以很容易地去除，这使得EDM工作均匀对于严重扭曲的网格。

在本文中，我们为$\mathbb{R}^3$（球面、立方体和气缸）。正交节点由一维高斯节点的张量积构成非周期变量的[-1,1]或周期变量的[0,2π]或[0，π]上的均匀节点个。正交权重由超奇异的强制积分转换而来函数通过对被积函数的平滑分量进行插值。数值结果验证了计算的准确性和效率超奇异积分，如在计算柯西主值时正交节点的最小数量。预先计算的求积表可以是然后很容易用于实现超奇异体积的Nyström配置方法积分方程，比如麦克斯韦方程组的积分方程。

本文提出了一种新的保能小波配置求解哈密顿偏微分方程一般多符号公式的方法。基于Daubechies紧支撑标度函数的自相关函数，采用小波配置方法进行空间离散化。获得的半离散系统被证明是有限维哈密顿系统具有能量守恒定律。然后，使用平均向量场方法时间积分，导致多符号能量保持方法哈密顿偏微分方程。该方法通过非线性薛定谔方程进行了说明方程和Camassa-Holm方程。由于微分矩阵由小波配置方法是一种循环矩阵，我们可以应用快速傅里叶变换在数值计算中求解方程。数值实验表明该方法的准确性、有效性和保守性。

本文研究了奇异摄动时变问题的数值解对流扩散问题。为了解决这些问题，反向欧拉方法首先用于在均匀网格上离散时间导数采用经典迎风有限差分格式逼近空间导数在任意非均匀网格上。然后，为了获得所有网格的自适应网格时间水平，我们构造了一个正的监控函数，它类似于弧长监视器功能。此外，全离散的ε-一致收敛性推导了数值解的格式。最后给出了一些数值结果以支持我们的理论结果。

我们提出了一种隐式有限差分方法来研究时间演化电场影响下向列相液晶的指向矢场边界处锚固较弱。该方案使我们能够研究动力学变电场下不同导向平衡态之间的跃迁和锚固强度。特别是，我们能够模拟到激发态的转变奇偶校验状态，以前在实验中观察到过，但到目前为止仅在静态情况下进行分析。

尽管有各种快速方法和预处理技术对于泊松问题的模拟，很少有人做过求解工作泊松方程，采用亥姆霍兹分解方案。为了弥补这一点问题，我们提出了一种新的求解不规则泊松方程的有效算法通过准霍姆霍兹分解的静电二维域技术&循环树基分解。它可以处理Dirichlet、Neumann或填充介质可以是均匀或非均匀的混合边界问题。这种方法的一个新意是首先通过应用循环树基函数。随后，通过求梯度算子的逆运算。此外，对两个狄利克雷的处理和Neumann边界条件。最后，通过几个数值算例说明了该方法的有效性和有效性。通过这些模拟观察到，我们提出的方法的计算复杂度几乎达到了规模作为$\mathcal{O}$$（N）$，其中$N$是网格的三角形面片数。因此，这个新的该算法是一种可行的快速泊松解算器。

本文构造了一个保守的并行迭代格式来求解非结构化多边形网格上的非线性扩散方程。设计基于关于两个主要因素：第一，并行化区域分解是嵌入到非线性迭代中；第二是预测和修正在并行化域分解的子域接口上应用步骤方法。提出了一种新的预测方法，以获得有效的保守性并行有限体积格式。数值实验表明，我们的并行该方案具有二阶精度、无条件稳定、保守性和线性并行加速。

纳秒（ns）脉冲介质阻挡放电（DBD）驱动器对层流平板边界层进行了数值研究，试图获得对理解ns DBD驱动机制的一些新见解。特殊重点是放电行为的检查、分离和比较诱导微激波和余热及其研究外部流动对这两种效应的响应。发现冲击波引入流动的高度瞬态、局部扰动，能够显著改变启动后不久的流动模式。主流趋于快速恢复由于摄动的瞬态性质，接近其未受扰状态。然而，随着激波衰减和最终消失放电区域附近，包括余热和冲击变得越来越明显，最终发展为扰动边界层中的波列。扰动相对较弱，可能不是Tollmien-Schlichting（TS）波，不会触发边界层。相反，它更有可能操纵流动稳定性以实现在流量分离控制的情况下，这种驱动的强大控制权限。此外，对不同电学和流体力学的参数研究还进行了参数计算。

辐射传递方程（RTE）出现在许多不同的科学领域在本文中，我们提出并研究了一个离散阶用于求解RTE的间断流线扩散（DODSD）方法，它是一种离散阶技术与非连续流线扩散的结合方法。不同于离散坐标不连续伽辽金（DODG）RTE方法，将人工扩散参数添加到测试函数中空间离散化。证明了在一定范数下的稳定性和误差估计。数值结果表明，该方法可以获得更精确的近似值与DODG方法进行比较。