在这项工作中，我们改进并扩展了一种名为递归加倍法由袁和卢[J.Lightwave Technology 25（2007），3649-3656]开发，用于解决周期阵列问题。结果表明，当周期阵列包含无穷多个周期单元时，如果波数是复杂的，或者是实数但在停止带中，我们的方法可以快速评估精确的边界Robin-to-Robin映射。当周期势函数存在局部缺陷时，该方法还用于求解一维和二维含时薛定谔方程。 

随机充分搅拌的化学反应系统可以用连续时间的Markov-chan精确建模。相应的主方程发展系统的时间概率密度函数，但很少能显式求解。我们研究了谱方法形式的数值求解策略固有的自然适应性和非常有利的基函数选择。理论与收敛相关的结果已经在前面开发出来，并在实现问题中进行了简要总结，包括如何使基函数适应遵循它们所代表的解决方案，这里将详细介绍。该方法首先应用于易于收敛的模型问题研究。然后我们从分子生物学中选取两个更现实的系统，其中随机描述通常是解释实验数据所必需的。结论是，对于足够的精度要求和不太高的维数方法确实提供了其他方法的替代方法。

我们考虑了热量方程的点源识别问题，该问题来自于在空间固定测量点的最少数量处获取的噪声观测数据。我们的目标是确定未知数量的来源及其位置及其优势。在我们之前的工作中，我们证明了在无噪声设置下需要的最小测量点。在本文中，我们将证明扩展到覆盖源函数边界类上的噪声情况。我们证明，如果正则化参数选择得当，问题可以转化为极点识别问题。在此基础上，提出了一种重建方案。本文最后通过二维和三维数值演示得出结论。 

给出了一维薛定谔方程的一般有限元解。该求解器适用于具有一般用户选择的势项的平稳和时间相关情况。此外，还可能包括外部磁场或电场，以及自旋-位和自旋-磁相互作用。我们使用解析解问题来验证求解器。将预测的数值自稳状态与解析自稳状态进行比较，并使用选定的平均值验证自稳功能。为了分析含时薛定谔方程的性能，再现了行波包基准。此外，一个涉及波包在双势垒上散射的问题显示了求解器在包的传输和反射情况下的性能。与周期势有关的其他一般问题，用相同的通用求解器和拉格朗日乘子法处理，以引入周期边界条件。报告了已知周期势解的一些简单例子。 

我们研究了求解多尺度椭圆问题的多尺度有限元方法具有高度振荡系数的问题，其设计目的是准确捕获解决方案的大规模行为，而不解析小规模特征。其核心思想是构造局部偏微分中的多尺度基函数具有适当边界条件的方程。选择边界条件以提取局部问题中更准确的边界信息。我们认为周期性以及具有线性和振荡边界条件的非周期系数基本函数。将提供数值示例以证明其有效性提出的多尺度有限元方法。

本文提出了一种求解非齐次椭圆型偏微分方程的有效无网格方法。我们首先对源函数进行近似切比雪夫多项式。然后，我们重点讨论当源函数是多项式时，如何找到多项式的特定解。通过方法的原理待定系数和待定多项式特解项的适当排列，特解的系数满足线性代数方程的三角系统。显式递归公式对于不同类型的椭圆，导出了特定解的系数PDE。该方法进一步并入基本解方法用于求解非均匀椭圆偏微分方程。数值结果表明，我们的方法高效准确。

描述了区域分解理论，并使用该理论将双原子分子的可变区域划分为独立求解的独立区域。这种方法可以在区域内部使用快速Krylov方法，同时在边界上使用高斯消去等显式方法。通过求解一些模型问题可以证明，这些方法可以用少量的计算时间获得相关偏微分方程和特征值方程的解，精确到六位有效数字。由于本文所述的数值方法将变量空间分解为独立求解方程的单独区域，因此我们的方法非常适合并行计算，并通过将复杂分子划分为单独计算的较小片段，提供了研究复杂分子的长期可能性。 

在[J.Compute.Phys。192(1)，pp.325-354（2003）]，我们开发了一种具有稳定保守罚界面条件的多域谱方法均匀网格下超声速反应性凹腔流动的数值模拟。在这项工作中，将先前开发的方法推广到非均匀网格模拟二维超声速注-腔系统。由于使用新的加权多域谱惩罚方法最小化了空间网格的不均匀性。所提出的方法可以得到精确而稳定的注入-腔系统与实验定性符合良好。通过采用加权法对注水井系统进行直接数值模拟，研究了空腔壁的几何效应对压力波动的影响。确实如此表明凹进的倾斜空腔可以减弱空腔内的压力波动使得空腔能够潜在地用作超燃冲压发动机的稳定火焰稳定器。

在这项工作中，我们提出了一种高效的多网格自适应有限元模拟二维和三维枝晶生长的方法。使用的控制方程是相场模型，其中相关因变量，即热场函数和相场功能，可以非常不同。为了提高计算效率，我们在不同的h自适应网格上近似这些变量。系统中的耦合项基于多网格h自适应算法的实现进行计算由Li提出（《科学计算杂志》，第321-341页，24（2005））。用数字表示多网格技术在求解相场模型时很有用，并且可以节省存储和CPU时间显著增加。

重力像差的任意小正值增加两体和多体系统的角动量。这可能会可能会加速整个宇宙的膨胀。我们现在一些几何、物理、地球物理、太阳物理、气候学、宇宙学，天文观测论证，以及支持这一点的数值试验猜想。我们发现哈勃常数和月球与地球的距离越来越远，这不仅仅是由于潮汐力。重力像差引起膨胀的数值例子给出了。这将由一个非自治的常微分系统建模带有延迟的方程。

许多现实社会网络都具有一些普遍的特性，例如小世界效应和连接的异质分布影响社会系统动力，尤其是舆论动力的程度在社会上。为了看到这一点，我们研究了改进Deffuant模型的意见动态（IDM）在复杂网络中。当两种意见的分歧小于置信度时参数\1013；（0<ϵ<1），每个意见都会随着收敛参数µ，它是相反次数k的函数；否则，两人拒绝讨论，意见也没有改变。我们分析了坚定的意见_∗作为置信参数ϵ的函数少数群体稳定意见$s*{min}$和个体连接性k，并发现一些有趣的结果，表明意见动态对置信度的依赖性参数和系统拓扑。这项研究提供了一个新的视角和了解复杂系统拓扑对意见动态的影响的工具。