基于亚脊尺度（SGS）的激波湍流模拟在冲击附近，滤波可能会失去准确性。本文件涉及湍流LES的精度提高有两种方式：（a）从SGS模型观点和（b）数值方法改进观点。在一份内部报告中，Kotov等人（“大涡的高阶数值方法带冲击的湍流模拟（LES）”，CTR技术简报，2014年10月，斯坦福大学），我们对不同方法进行了初步比较研究在动态Germano SGS框架内减少精度损失模型。Yee&Sjögreen（2009）使用局部的高阶低耗散方法用于控制所需数值耗散量的流量传感器LES模拟。考虑的改进动力学模型方法包括应用Sagaut&Germano（2005）的单侧SGS测试过滤器和/或禁用冲击位置处的SGS条款。对于马赫数1.5和3的正则激波-湍流相互作用问题，这两种方法都显示出与充分使用SGS条款。目前的研究侧重于五个层次的网格细化研究以获得参考直接数值模拟（DNS）解决方案用于其他LES SGS比较和方法。数字精度之一这里包括的改进应用了Harten的子单元解析程序来定位并锐化冲击，并在靠近准确的冲击位置。

这项工作涉及M的数值分辨率₁-麦克斯韦系统在准中性区。在这种情况下经典方案会导致巨大的计算时间。这就是我们推出新马厩的原因数值格式与过渡模型和极限模型一致。此类方案文献中称为渐近保留（AP）方案。这个新方案能够在不受时间和空间限制的情况下处理准中性极限状态步骤。通过使用力矩，这种方法可以很容易地应用于角力矩模型提取。最后，给出了两个物理相关的数值测试案例对于不同状态下的渐近保持方案。第一个对应到电磁效应占主导地位的状态。第二个相反显示了渐近保留方案在准中性中的效率政体。在后一种情况下，将说明性模拟与动力学和水动力数值结果。

在两相流模拟中，一个难题通常是如何处理表面张力效应。这会导致与曲率成比例的压力跃变分离两种流体的界面。由于曲率评估包含二阶导数，容易出现数值不稳定性。在这项工作中，界面用基于间断Galerkin的水平集方法描述离散化。为了稳定曲率的评估采用操作。此过滤操作有多种方式可以应用于曲率计算的整个过程。因此进行了数值研究，以确定补丁恢复的最佳设置计算成本和准确性方面的操作。

液晶中的缺陷具有重要的实际意义和理论意义利息。尽管付出了巨大的努力，预测缺陷的位置和过渡在各种拓扑约束和外部场下仍然是一个挑战。我们研究了三维向列相液晶的缺陷模式不同边界条件下的球形液滴和二维圆盘条件，在Landau-de-Gennes模型中。我们实现了一种光谱方法以高精度数值求解Landau-de-Gennes模型我们来研究详细的静态结构缺陷。我们观察到五种类型的缺陷结构。其中1/2偏斜线是低空时最稳定的结构温度。受数值结果的启发，我们获得了向错线的轮廓分析。此外讨论了Landau-de-Gennes模型和Oseen-Frank模型。最后，三个推测是为了总结朗道-德根理论。这项工作是为了加深我们的理解而进行的持续努力向列相液晶中的缺陷模式。

我们展示了有关能量学和动力学的模拟结果在金刚石中实现NV（氮空位）中心。我们使用自我认同电荷密度泛函紧束缚近似，并证明当氮存在于一个单一的替代位点上，它无法吸引空位，因此没有可以形成NV中心。然而，如果它占据一个分裂的间隙位置和两个空缺位于第二或第三个相邻站点上，NV中心将形成分别在低至300℃$和650℃$的温度下退火。这些结果提供了关于如何提高NV形成效率的实验人员指南菱形。

本文讨论一个四阶特征值的数值计算问题。我们首先展示源问题的适当性。内部处罚提出了基于拉格朗日元的间断Galerkin方法（$C^0$IPG）研究了收敛性。然后使用该方法计算特征值。我们展示了该方法在谱上是正确的，并证明了其最优收敛性。数字的通过实例验证了理论的正确性。

在本文中，我们开发并分析了一种新的质量保护分裂域求解抛物型方程的多子域分解方法。该域被划分为非重叠的多块子域。上子域界面，界面通量由半隐式（显式）计算通量方案。计算了子域内部的解和通量通过分裂一维隐式解-通量耦合格式。这个重要的特点是，所提出的方案在多重非重叠情况下具有质量守恒性子域。分析质量保护S-DDM方案很困难在非重叠的多块子域上由于分裂的组合技术和每个时间步的区域分解。我们从理论上证明我们的方案在多块非重叠子域上满足质量守恒它是无条件稳定的。我们进一步证明了收敛性，并得到误差估计值为$L^2$-范数。数值实验证实了理论结果。

本文提出了一种一致收敛的自适应有限元奇异摄动离散化的混合基方法约束条件下的非线性特征值问题及其在玻色-爱因斯坦中的应用缩合（BEC）和量子化学。我们从时间独立开始Gross-Pitaevskii方程，并展示如何将其重新格式化为奇摄动方程约束下的非线性特征值问题。匹配渐近近似对问题进行了回顾，以确认解的渐近行为在边界层/内层区域。通过使用归一化梯度流，我们提出一种混合基自适应有限元法求解奇异摄动问题非线性特征值问题。我们的基函数和网格是自适应选择的小参数ε。大量的数值结果表明我们方法的一致收敛性。我们还应用AFEM-HB计算盒/谐波/光晶格势BEC的基态和激发态在半经典区域（0<ε≪1）。此外，我们对我们的AFEM-HB到一个更简单的奇摄动两点边值问题，证明了我们的方法具有最小一致收敛阶$\mathcal{O}$（1/$（NlnN）^\压裂{2}{3}$）。

中各向异性扩散算子的非负方向分裂研究了发散形式。为非负方向性建立了条件在任意内部点的邻域中保持分裂。结果用于构造边值问题的单调有限差分格式各向异性扩散算子。结果表明，这种单调格式可以是如果在物理闭包上基础扩散矩阵是连续的，则构造区域和网格上的对称一致正定间距足够小并且有限差分模版的尺寸足够大。获得了模具尺寸的上限，它完全由扩散矩阵。粗略地说，扩散矩阵越各向异性需要更大的模具。一个例外是严格对角占优的情况扩散矩阵，其中三乘三模板足以构建单调有限差分格式。给出了数值例子来说明理论发现。

开发了一个高阶有限差分格式来近似非定常泊松-能斯特-普朗克（PNP）方程中的空间导数项和不可压缩Navier-Stokes（NS）方程。靠近墙壁的尖锐溶液使用组合紧凑差分（CCD）方案求解轮廓在五点模板中开发。该CCD方案对二阶导数项，而一阶导数具有七阶精度条款。PNP-NS方程也被转换为曲线坐标研究通道形状对电渗发展影响的系统流量。在本研究中，通过修正方程分析。此外，所开发的方法已经过计算通过四个问题进行验证，这四个问题适用于它们自己的精确解。已经探索了平面和波浪形通道中的电渗流动细节重点是库仑力的形成。不同力量的重要性由于对流上的压力梯度、扩散和库仑起源对电渗流动也进行了详细的研究。

提出了一种单轴完全匹配层（PML）方法来求解多腔散射问题。借助积分表示对于散射场，我们将问题分解为一个单腔系统与Dirichlet-to-Neumann映射耦合的散射问题。PML是引入截断每个腔的外部区域，以便计算域和其他腔的域不相交。基于后验误差估计，提出了一种求解耦合系统的自适应有限元算法。该方法的新颖之处在于其计算复杂度具有可比性用于解决非耦合单腔问题。数值实验包括证明了自适应PML方法的有效性。