本文提出了一种量化参数不确定性的新方法给出了与随机问题相关的输出。与蒙特卡洛和随机配置方法，仅对随机输出进行点式评估响应面是必需的，允许使用遗留的确定性代码，并且不需要任何专用的随机代码来解决利息。新方法不同于这些标准方法，因为它基于与最近发展的压缩传感理论直接相关的想法。这个技术允许检索对用最少的信息近似解。通过许多解算器调用生成这些信息几乎总是不确定性量化程序。如果随机模型输出具有合理的保留近似基中的可压缩表示法充分利用可用信息并检索主要模式。二维和8-D随机浅水问题解的不确定性量化被用于证明该算法的性能显著提高新方法，与常用的基于稀疏网格的多项式混沌（Smolyak方案）近似精度。

当马赫数有不同的数量级。马赫数正常时第一，现代冲击捕捉方法能够捕捉冲击和其他复杂的冲击具有高数值分辨率的结构。然而，如果马赫数很小声波会导致时间上的刚度和过大的数值粘性，因此所需的时间步长和网格尺寸比不可压缩流动模拟通常所需的要小得多。本文针对可压缩等熵Euler和Navier-Stokes发展了一种全速度渐近保持（AP）数值格式对于所有马赫数一致稳定且精确的方程。我们的想法是将系统分为两部分：一部分是一个缓慢、非线性和保守的双曲线系统，足以使用现代激波捕捉方法，另一部分是包含刚性声学动力学的线性双曲方程组，需要隐式求解。该隐式部分被重新表述为标准压力泊松投影系统，因此具有足够的结构用于高效的快速傅里叶变换求解技术。在零马赫数限制下，该方案自动变为投影方法类似于不可压缩求解器。我们在一个和可压缩和不可压缩区域的二维。

提出了一种新的算法，称为增强混合算法，用于模拟具有时间尺度分离和种群差异的化学反应系统。对于这种刚性系统，该算法能够及时自动识别尺度分离，减缓快速反应，同时保持与原始有效动力学的良好近似。这种技术称为增压。由于增强系统中可能仍然存在物种种群差异，我们提出了一种基于粗粒度方法的混合策略，如τ叉法，以加速大种群物种之间的反应。增压策略和混合方法的结合允许对复杂化学反应进行有效和自适应的模拟。新方法不需要系统的先验知识，也可以用于具有多个时间尺度的分层系统。数值实验表明了该方法的通用性和有效性。 

在本文中，我们提出了一种强保稳预测校正基于隐式Runge-Kutta方法的（SSPC）方法弹性波方程。我们首先将波动方程转换为一个常微分方程组（ODE），并应用局部外推方法离散空间高阶导数，得到一个半离散ODE系统。然后我们使用基于隐式Runge-Kutta方法的SSPC方法来求解半离散ODE，并在SSPC方法中引入加权参数。在这种结构的基础上，我们开发了一种稳健的数值算法，以有效地抑制通常由离散化使用粗网格或地质模型速度较大时的波动方程相邻层之间的对比。同时，我们调查了SSPC方法包括数值误差和收敛速度、数值色散，和稳定性准则，选择不同的加权参数来求解一维问题以及二维声波和弹性波方程。当SSPC应用于地震时仿真结果表明，通过比较SSPC，四阶Lax-Wendroff校正（LWC）方法和交错网格（SG）有限差分法。SSPC计算的合成波形的比较并给出了声学和弹性模型的解析解，以说明SSPC方法的准确性和有效性。此外，几个数值实验对地质模型进行，包括横向均匀的二维地质模型各向同性（TI）介质、双层弹性模型和二维SEG/EAGE盐模型。结果表明，SSPC可以作为大规模地震的实用工具由于其在抑制数值色散方面的有效性，即使在诸如粗糙网格、强界面或高频的情况。

该研究为实现地形跟随σ坐标提供了一种新方法在数值模型中，这不会导致众所周知的“压力梯度力（PGF）”问题。首先，使用现有的方法分析了PGF问题的原因，根据原因将其分为两种不同的类型。然后，新的提出了一种完全绕过PGF问题的方法。通过比较这些通过分析曲线坐标系中标量梯度表达式的三种方法，本研究发现只有当使用协变标量方程时对于σ坐标，PGF计算形式在每个动量中是否有一个项分量方程，从而完全避免了PGF问题。A便利阐述了在数值大气模式中实现σ坐标协变标量方程的方法，即在标量中设置相应的参数笛卡尔坐标方程。最后，两个理想化的实验表明用新方法计算的PGF比用经典方法计算的更准确。此方法也可用于海洋模型，需要在两种情况下进行测试大气和海洋模型。

基于稀疏网格在求解随机偏微分方程方面变得很流行。这些方法使用确定性点进行多维积分或插值，而不受维数灾难的影响。目前尚不清楚这种方法是最好的，特别是在物理现象的随机模型上。我们在数字上研究非均匀介质中地下水流动情况下准蒙特卡罗和稀疏网格方法的误差。特别是，我们考虑了随机维数和样本数/配置的方差误差水力传导率为对数正态的稳定流问题的点过程。根据计算成本确定每种技术的适用性和误差容限。

时空守恒元与解元（CE/SE）方法提出了求解可压缩双流体流动的保守界面捕获简化模型。流量方程是体积方程，结合质量以及两种流体之一的能量方程。后一个方程包含一个源能源交换会计术语。本文对一维和二维流动模型进行了数值研究。CE/SE方法能够准确捕获流体的尖锐传播波前，而不会过多数值扩散或虚假振荡。与现有迎风有限体积方案、黎曼解算器和重建程序不是所建议方法的组成部分。该方法不同于以前的技术由于时空域中的整体和局部通量守恒，无需重新计算插值或外推。为了揭示给出了该方法的几个数值测试实例。为了验证将当前方法与其他有限体积格式进行了比较。

在本文中，我们展示了将平流迎风分裂法⁺-UP[9]，采用高阶迎风基插值程序，加权基本上无振荡（WENO-JS）格式[8]及其变体[2,7]和单调性保持（MP）方案[16]，用于求解欧拉方程。发现MP比研究了三种WENO变体。澳大利亚统计局⁺-通过高阶插值，UP也被证明没有所谓的“痈肿”现象。在使用原语和保守变量，尽管它们需要额外的矩阵向量运算。还包括使用带熵固定的Roe通量和Lax-Friedrichs近似Riemann解算器的结果，以进行比较。此外，四个反射边界比较了条件实现对剩余收敛和解决方案准确性。最后，量化获得高提出了订单解决方案；测量结果表明达到了最大回报之后，对于给定的网格大小，不可能提高精度。

采用量子分子动力学模拟方法研究了液氦在冲击压缩下的状态方程。主要雨果由EOS确定，在EOS中，原子电离的修正被添加到计算数据中。我们的模拟结果表明，主Hugoniot与气枪和激光驱动的实验结果吻合良好，在106 GPa时达到最大压缩比5.16。

两相流和传热，如沸腾流和冷凝流，是复杂的物理现象通常会阻碍精确解，甚至对数值方法提出了严峻挑战。如果数值解时间也是问题挑战进一步加剧。我们在这里提出了一个管内两相流的全分布动态一维模型的数值实现和新的研究，包括压降、传热和管内变化横截面。该模型基于管理的同构公式方程，由Kurganov的高分辨率有限差分格式离散和塔德莫尔。均匀公式需要一组热力学关系来涵盖从液态到气态的整个范围。这带来了许多数字挑战因为这些关系在变量导数中引入了不连续性通常评估非常缓慢。为了克服这些挑战，我们使用插值局部细化的方案。仿真结果表明，该方法可以处理饱和线的交叉液体到两相和两相到气体区域。此外，一个新的结果在这项工作中，该方法对于跨越饱和线的入口/出口边界的动态过渡是稳定的。给出了这些情况的结果以及动态质量守恒的数值演示变化的边界条件。最后，我们给出了代码在一个有窄截面的管子的箱子。

我们提出了一个三维泊松方程的直接求解器一个可变系数，以及一个利用系数矩阵稀疏模式直接求解相关稀疏线性系统的算法。介绍一些适当的有限差分算子，我们导出了然后讨论了两种合适的高阶紧致格式。对于包含N个节点的立方体，解算器需要O（N^3/2日志²N） 算术运算和O（NlogN）存储器，用于存储必要的信息。举例说明其效率结合实例，对数值结果进行了分析。

本文提出了一种新的时间和空间二阶模型采用双调和半线性方程组的精确有限差分格式模拟了粘性流体经过脉冲启动后的时间演化雷诺数（Re）高达9500的圆柱体。方案的稳健性该公式的有效性可以通过以下事实来衡量：它非常准确地捕捉到复杂的流动结构，如冯·卡曼涡街条纹线模拟和3000≤Re≤9500范围内的α和β现象其他。这里主要关注的是能够使用的技术的应用为了有效地模拟与钝体周围流动相关的不同流体结构，将单个半线性双调和方程离散化。我们将定性和定量的结果与已建立的数值进行了比较，并与实验结果进行了比较。在所有案例。

我们构造了一种新的一阶中心迎风数值方法来求解保守形式的双曲方程组，它适用于多维结构化和非结构化网格。该方法是由Stecca、Siviglia和Toro开发的UFORCE方法[25]，其中迎风考虑到整个黎曼扇的最小和最大波浪。建议的一阶方法在应用于2×2线性双曲线系统。然后将该方法推广到非线性系统，并通过求解二维无粘浅水方程来评估其性能。使用ADER-WENO方法扩展到二阶精度非结构网格上的有限体积框架。最后，数值比较利用当前相互竞争的数值方法，我们能够识别显著特征提出的方法。

基于基本上同调的从头计算守恒，提出了在一系列元素类型上构造层次一致基的统一过程。这个过程不仅支持现在众所周知的最常见的单纯形元素类型，而且可以推广到正方形、六面体、棱柱体和重要的金字塔。虽然后一种情况（在不同程度上）在文献中受到了关注，但其基础不如单纯的情况发展得好。本文讨论的泛化受代数拓扑学（微分形式、同调、上同调等）基本思想的影响，因此扩展了Hittmair[16-18]和Arnold等人[4]为单纯形所建立的基本理论框架。层次基的形成过程涉及递归正交化，结果表明，所得到的有限元质量、拟刚度和复合矩阵在条件数上表现出指数增长或更好的增长。 

在[2]中首次介绍，集总粒子框架是一个灵活且数值高效的框架，用于模拟流体中的粒子输运。本文对该框架进行了扩展，以模拟多组分粒子激光流体流动。这是通过引入模拟协议来模拟粒子来实现的在广泛的长度和时间范围内。因此，我们提出了时间顺序加速进化计算的方案和近似方法不同的颗粒成分在物理尺度上有很大差异。我们应用扩展了沙流中三种颗粒组分的时间演化框架，以及球形颗粒的水平释放。此外，我们评估了集总粒子模型的数值误差。在此背景下，我们讨论了Velocity-Verlet数值格式，并展示了如何将其应用于求解牛顿方程我们表明Velocity-Verlet提高了精确度方案应用于集总粒子框架时不会丢失。

本文讨论了一种基于eikonal变换的分裂方法的数值稳定性，该方法对于具有大波数的傍轴亥姆霍兹方程的数值解是非常有效的。在研究中进行了严格的矩阵分析，证明了无振荡计算过程在渐近意义上是稳定的。给出了仿真实例来说明结论。