计算物理中许多问题所遇到的高维性和时间尺度差异的结合推动了粗粒度（CG）模型的发展。在本文中，我们提倡使用数据驱动发现范式，通过使用精细模拟数据来提取控制方程。特别是，我们将粗粒度过程置于概率状态空间模型下，其中过渡定律指示CG状态变量的演化，而排放定律指示粗到细的映射。有向概率图形模型暗示，给定细粒度（FG）变量的值时，必须使用概率推理工具来识别CG状态的相应值，为此，我们使用随机变量推断。我们提倡稀疏贝叶斯学习观点，避免过拟合，并揭示CG进化规律中最显著的特征。所采用的公式能够量化CG过程中关键且经常被忽视的成分，即由于信息丢失导致的预测不确定性。此外，它能够重建完整、精细系统的演化。我们证明了该框架在随机游走者的高维系统中的有效性。

基于一阶双曲方程组（FOHS），提出了求解扩散方程的重构间断Galerkin（rDG）方法。其想法是将FOHS配方和rDG方法的优势结合起来为了开发一种更可靠、准确、高效和稳健的方法来求解扩散方程。开发的双曲线rDG方法可以用于与自由度较少的传统DG方法相比，具有更高的精度。给出了不同扩散方程的一些测试用例来评估新开发的双曲线rDG方法的精度和性能与标准BR2 DG方法进行了比较。数值实验表明双曲线rDG方法能够对规则、不规则和非均匀的解及其导数达到设计的最佳精度网格，并且在误差大小、阶数方面优于BR2方法精确度、时间步长和达到稳定状态所需的CPU时间解决方案，表明所开发的双曲线rDG方法具有吸引力也许是求解扩散方程的一个更好的选择。

这项工作涉及从亥姆霍兹方程的边界测量定位多极源的反源问题。我们开发了简单有效的采样方案，用于单波数源的位置采集。我们的算法基于一些新的指示函数，其指示行为可用于定位多个多极源。反演方案完全是“直接”的，因为在评估指示函数时只涉及简单的积分计算。给出了严格的数学证明，并给出了大量的数值例子，以证明所提方法的有效性、鲁棒性和效率。

在[Fu等人，JCP 305（2016）：333-359]中，提出了一系列高阶目标ENO（TENO）方案。TENO的权重策略要么应用具有最佳权重的候选模具，要么在其与不连续相交时完全删除其贡献。这种类似ENO的模板选择过程显著减少了由经典WENO方案的非线性调整引起的数值耗散。本文将五阶TENO格式扩展到模拟反应流，并结合非耦合方法[1,2]，该方法将详细化学的反应源项从流方程中分离出来。为了验证和比较五阶WENO和TENO方案的性能，模拟了包括二维自持爆轰在内的一组基准情况。数值实验表明，TENO格式对采用非耦合方法模拟化学反应流动具有较强的鲁棒性。特别是，TENO方案在捕捉冲击波和小尺度流动结构（如剪切层和旋涡）方面表现出更好的性能。

为了克服海洋学中典型的准营养极限经典显式格式流动，在这项研究中，是一种高效的旋转海洋学数值方法建立了圣维南系统科里奥利力模型。为了高效处理低Rossby和Froude数区域的旋转流，核心其思想是将快速变化的通量项分解为刚性部分和非刚性部分，并使用中心差分法通过迭代隐式逼近快速动力波算法，并使用带有minmod限制器的有限体积双曲线解算器显式逼近慢动力波。所提出的方法在准地转极限下具有二阶收敛速度。时间演变近似使用高阶隐式显式Runge-Kutta方法。提议的半隐式证明了该方案在准营养状态下一致渐近一致Froude和Rossby数的极限→0.建议的数值方法为最后通过旋转浅层流动的数值实验进行了验证。测试表明所提出的数值格式在任何网格尺寸下都是稳定和准确的Rossby和Froude数，这导致计算量显著减少与经典显式方案的成本比较。

由于其计算效率，高阶有限差分（FD）方法虽然很有吸引力，但边界处理的困难阻碍了复杂流动模拟的实际应用。在这项工作中，我们提出了一种新的高阶FD基于间断Galerkin（DG）边界处理（FDbDG）的方案，其中基于变分原理的DG方法用于提供在时间上具有所需导数信息的边界附近。整齐为了将有限元和有限差分有机地结合起来，采用Hermite加权基本无振荡（HWENO）插值方法建立了HWENO通量对于内部FD方案，使用HWENO重建来构造度边界变分法中DG通量的自由度。几个典型的测试用例用于评估FD边界的处理。数值结果表明提出的FDbDG方法可以达到包括边界在内的任意精度具有非本质振荡的区域。

中子输运过程的模拟在核研究中起着重要作用反应堆计算和数值技术成为核反应堆的焦点工程。本文提供了一种中子有限体积晶格玻尔兹曼方法（NFV-LBM）用于求解中子离散速度Boltzmann方程（NDVBE），其中NDVBE由中子输运方程（NTE）和NFV-LBM是通过集成NDVBE获得的。通过多尺度展开从NDVBE中恢复的宏观守恒方程表明，NDVBE具有比扩散理论更高的精度，中子输运问题的数值解揭示了NFV-LBM的灵活性和适用性可能会为解决NTE提供一些替代观点和一些新想法用于研究NTE和其他近似值之间的关系。

本文提出了一种隐式离散统一气动格式（DUGKS），用于所有流型的稳态流动模拟。DUGKS是一种多尺度有限体积方法（FVM），它能够精确地恢复连续区的Navier-Stokes解和无碰撞区的自由分子输运。在过渡区，DUGKS也可以提供可靠的解决方案，因为在细胞界面通量评估中粒子传输和碰撞紧密耦合。本文构造了一个隐式DUGKS，用预测的迭代步骤更新宏观流动变量，然后更新离散速度空间中的微观气体分布函数。采用上下对称高斯赛德尔（LU-SGS）分解法求解隐式方程。隐式离散统一气动格式（IDUGKS）可以通过采用具有较大CFL数的数值时间步长来实现快速收敛。为了验证所提出的IDUGKS，进行了一些数值试验，包括库特流、不同努森数下的盖驱动空腔流和圆柱绕流过渡区的高超声速流。与显式DUGKS相比，IDUGKS在所有流态下用于稳态流动计算的计算效率可以提高一个或两个数量级。

本文研究平面波间断Galerkin方法三维各向异性对角时谐Maxwell方程矩阵系数。通过引入适当的变换，我们定义了新的平面并导出所提出的离散化方法为所考虑的齐次方程生成的近似解的误差估计。在误差估计中，误差界对条件的一些依赖性显式地给出了系数矩阵的个数。结合局部谱元方法，进一步证明了非齐次情况下的收敛性结果。数值结果验证了理论结果的有效性，并表明由PWDG生成的近似解具有较高的精度。

刚性随机微分方程的数值积分随机计算奇异摄动（SCSP）是最近在[62]中发展起来的。本文提出了一种改进的随机计算奇异摄动（MSCSP）考虑了方法。类似于[26]中提出的确定性化学反应系统，当前的研究应用了作用力的灵敏度导数与状态变量有关的项，用于测量反应尺度，这导致快粒子的准静态方程。这就产生了随机快-慢-刚性微分方程系统的显式大步长积分器，它删除了标准SCSP积分器昂贵的本征计算。的效率用基准随机Davis-Skodje演示了MSCSP积分器模型和一定随机扰动下的非线性催化模型。

介绍了蒙特卡罗（MC）相空间发生器与自适应MC集成/仿真程序FOAM的耦合实现。第一个该程序是对经典相空间生成器GENBOD接口的修改带有自适应采样积分器/发生器FOAM。在此工具之上，该算法适用于生成具有两个先导的反应的相空间提出了颗粒（具有集中生产颗粒的双周边过程）。同时，它也是构建自适应模型的一个有指导意义的例子特殊粒子模块化结构的相空间产生器/积分器物理计算。

高强度聚焦超声是一种非侵入性的治疗方法利用超声波束在小体积内产生热量的病变组织。该技术应用中的一个常见挑战是生物介质可以使超声束散焦。这里我们减少了以下问题将光束重新聚焦到估计由于生物组织的声辐射力成像数据。我们求逆使用具有分层先验的贝叶斯框架并求解逆问题使用Metropolis-within-Gibbs算法的问题。使用以下工具测试框架合成和实验数据集。我们证明我们的方法具有能够使用小数据集（仅32次声波测试）估计畸变，这会导致处理过程显著加快。此外，我们的方法与广泛的声波测试兼容，并且可以应用于其他基于能量的测量技术。

随机粗糙纹理可以提高太阳能电池的吸收效率通过捕获光和增加光子的光路。在本文中，我们关注薄膜太阳能中随机粗糙表面的优化设计细胞。我们将设计问题表述为随机PDE约束优化并采用基于梯度的方法数值求解问题。收件人计算目标函数的梯度，使用蒙特卡罗方法采用概率空间采样和伴随状态法进行计算每个样本处的梯度。给出了数值例子来测试提出的算法。结果表明，最佳获得的随机纹理极大的吸收增强，光子吸收率高于现有的随机纹理。