本文发展了求解各向异性Cahn-Hilliard系统的高效且稳健的数值方法。我们使用稳定技术构造了高度非线性各向异性Cahn-Hilliard系统的时间离散化的能量稳定格式。在每个时间步长，这些方案都会产生一系列具有常系数的线性耦合椭圆型方程，这些方程可以通过使用谱-伽勒金方法进行有效求解。我们给出了与该课题早期工作一致的数值结果，并进行了各种仿真，如线性双拉普拉斯正则化和非线性Willmore正则化，以证明新方案的有效性和鲁棒性。

我们考虑在漫反射界面框架内基于有限元计算隐式表示曲面的拓扑量。利用具有有效梯度恢复技术的自适应有限元实现，我们讨论了如何直接从数值求解的相场函数或阶参数中精确计算欧拉数。文中还给出了数值例子及其在点云拓扑分析中的应用。

考虑二维不可穿透障碍物对声波的散射，其中波的传播由亥姆霍兹方程控制。散射问题被建模为有界区域上的边值问题。基于Dirichlet-to-Neumann（DtN）算子，在包围障碍物的人工圆形边界上引入了透明边界条件。提出了一种基于后验误差估计的自适应有限元方法来求解具有非局部DtN边界条件的边值问题。通过数值实验与完全匹配层（PML）方法进行比较，说明了该自适应方法的竞争行为。

在其管状相中，纳米线吸附聚合物表现出与单壁碳（六边形）和硼（三角形）纳米管已知形态的强烈结构相似性。由于硼/氮化硼管的稳定性需要一些无序性，三角形聚合物管提供了更接近碳管的模拟。通过计算机模拟聚合物的二维和三维粗颗粒珠弹簧模型，我们研究了它们的结构特性，并与碳纳米管的结构进行了详细的比较。

最近，守恒定律的一个新的微分间断公式名为“重建校正程序”（CPR）的方法是受其他几种非连续方法的启发而开发的，如非连续Galerkin方法（DG）、光谱体积（SV）/光谱差（SD）方法。所有这些都可以在CPR公式下统一，由于其类有限差分框架。本文给出了一个不同的间断解空间包括每个元素上的多项式和傅里叶基函数，用于计算宽带波。对傅里叶基中引入的自由参数进行了优化，以使通过波传播的色散和耗散误差最小化分析。通过网格分辨率分析验证了优化过程。数值结果显示了优化CPR的性能配方。

本文提出了一种用于形状和结构拓扑优化。首先，提出了一个基于水平集方法和基于二进制水平集算法的拓扑优化问题提出了解决这一问题的方法。考虑到协调的困难在各种参数和所提方法的有效实施之间，我们提出了一种快速算法，将多个参数简化为一个参数，这将大大降低计算的复杂性，并使其更容易并快速获得最佳解决方案。我们构造的算法不需要重新初始化，可以自动生成许多新孔。此外，快速该算法避免了拉格朗日乘子的更新，且易于处理约束条件，如分段常数、接口的体积和长度。最后，我们给出了几个优化设计示例，以验证我们的方法。

简单网格上的谱元方法，如TSEM，显示了谱和有限元方法的优点，即谱精度和几何灵活性。我们提出了二维（2D）不可压缩的TSEM解算器Navier-Stokes方程，可能扩展到3D情况。它使用投影时间和空间任意次分段多项式基函数的方法。使用了所谓的Fekete-Gauss TSEM，即三角形用作插值点（分别是求积点）。为了一致性，等参元素用于近似曲线几何。分辨率算法基于一种有效的舒尔补码方法，因此只需求解用于元素边界节点。此外，代数系统从未组装，因此，自由度的数量没有限制。进行了精度研究，并提供了经典基准的结果：驱动空腔流、偏心气缸之间的流量和流经气缸的流量。

微流体结构或装置中的气体通常处于非平衡状态状态。流体和传热破裂的常规热力学模型向下和Navier-Stokes-Fourier方程不再准确或有效。在本文采用扩展的热力学方法来研究稀薄微结构中的气体流动，包括平行通道和压力驱动的泊肃叶流动通过平行微通道和圆形微管。对气体流动特性进行了研究，结果表明：非平衡态不再遵循傅里叶梯度输运定律。此外，还研究了流向和展向速度和温度的双峰分布通过一个长的圆形微管首次被捕获。

我们研究了Schrödinger-Poisson方程的紧致有限差分方法有界区域中的方程及其在适当条件下的最优误差估计波函数$ψ$和外部势$V（x）$的正则性假设。Crank-Nicolson紧致有限差分方法和半隐式紧致差分方法都是网格上离散的$l^2$、$h^1$和$l^∞$范数的$\mathcal{O}$（$h^4$+$τ^2$）阶大小$h$和时间步长$τ$。对于紧致有限差分逼近的误差二阶导数和泊松势是非局部的，因此除了标准能量法和数学归纳法，分析中的关键技术是通过离散估计离散的$l^∞$和$H^1$范数中的非局部逼近误差椭圆方程的最大值原理及相关矩阵的性质本文建立了一些有用的不等式。最后，报告了大量的数值结果，以支持我们对数值方法的误差估计。

我们提出了一种有效的方法来求解含时薛定谔方程，以模拟双原子分子在超短强激光脉冲照射下的动力学，而不需要Born-Oppenheimer近似。通过引入可变长球坐标和哈密顿量的离散变量表示，我们可以准确有效地模拟电子动力学和分子动力学的运动。通过模拟分子结构、光子电离和高次谐波的产生，验证了该方法的准确性和收敛性。

我们在Kadioglu et al.，J.Comp.中引入了一种全二阶IMplicit/EXplicit（IMEX）时间积分技术，用于求解可压缩Euler方程和非线性热传导问题（也称为辐射流体力学问题）。物理学[22,24]。本文研究了该方法应用于不可压Navier-Stokes（N-S）方程时的意义。IMEX方法按以下方式应用于不可压缩流动方程。利用众所周知的显式格式，显式求解了流动方程的双曲项。另一方面，对非双曲项采用了隐式策略。显式部分嵌入隐式步骤中，以在雅可比-自由牛顿-克利洛夫（JFNK）方法[8,29,31]的框架内作为非线性函数评估的一部分进行求解。这样做是为了获得IMEX方法的自一致实现，该方法消除了由于特定算子分离而导致的时间精度的潜在阶数降低。我们使用一种简单但非常有效的分步投影方法（类似于[11,19,21,30]中的方法）作为JFNK解算器中的预条件。我们给出了几个测试计算的结果。对于每个测试，我们都显示出二阶时间收敛性。最后，我们使用基于预条件的新投影方法研究了JFNK解算器的算法性能。

气动方案应用于深度积分连续体模型对于雪崩流，即Savage Hutter模型。在这种方法中，连续体通量是根据从非平衡态放松到平衡态的伪粒子运动计算的。这些过程由Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）方程描述。该方案的优点是能够解决冲击急剧不连续，无需特殊处理即可处理真空状态。因为Savage-Hutter方程在切向空间上承受各向异性应力微观粒子的平衡分布函数显示为双麦克斯韦。这些各向异性应力是保持协调Savage-Hutter模型中的客观性。各向异性应力的影响通过两个例子进行了说明：轴对称溃坝和有限质量滑动斜面溜槽。结果发现，流动前沿的传播显著取决于切向应力主轴的方向。