我们提出了一种计算最小能量路径的有效算法（MEP）和多维势能面（PES）上局部极小值之间的能量屏障。这些途径在理解过渡过程中起着核心作用亚稳状态之间的通路。我们的方法依赖于原始公式弦方法[Phys.Rev.B，66，052301（2002）]，即沿垂直于曲线的方向。该算法通过执行最小化来工作垂直于曲线的超平面上的步数。因此，在上查找MEP的问题PES被重新建模为一组约束最小化问题。这提供了使用比最速下降法更快的最小化算法的灵活性用于简化字符串方法[J.Chem.Phys.，126（16），164103（2007）]。在同时，它为有限温度串方法提供了一个更直接的模拟。通过各种实例证明了该算法的适用性。

在一系列论文的第一部分中，我们将研究间断Galerkin（DG）许多电子量子系统的框架。该框架的显著特征使用基于混合物理的局部轨道的灵活性和准确性是否得到保证表示多体系统哈密顿量的分段多项式基。这种灵活性是通过使用间断Galerkin方法实现的用适当的数值结构逼近哈密顿矩阵元有限元界面处的DG通量。在本文中，我们将应用DG密度矩阵最小化公式的方法，这是多体薛定谔方程的密度泛函理论。密度矩阵最小化是求总能量的最小值，表示为密度矩阵ρ（r，r′），由提出的富集基近似，以及幂等性和电中性的两个约束。将处理幂等性在McWeeny净化的同时，通过强制用惩罚方法计算电子数。共轭梯度法（Polak-Ribiere变体）来解决最小化问题。最后，线性缩放局部轨道丰富有限元基的算法及优点通过研究一维格子的例子验证了DG近似模型系统。

在本文中，我们提出了一个新的高阶精确任意族求解刚性问题的Lagrangian-Eulerian一步WENO有限体积格式双曲线平衡定律。使用标准获得空间高精度WENO重建算法和高阶时间利用局部最近在[20]中提出的时空间断Galerkin方法。在拉格朗日在这里考虑的框架下，局部时空DG预测器基于弱运动时空元素上控制PDE的公式。对于空时基和测试函数，我们使用由以下公式定义的拉格朗日插值多项式张量积Gauss-Legendre求积点。移动的时空元素使用等参方法将其映射到参考元素，即时空映射由与PDE的弱解相同的基函数定义。我们在一维空间中给出了非刚性和刚性平衡定律，特别是可压缩气体动力学的欧拉方程，用于电阻相对论MHD方程和相对论辐射流体动力学方程。给出了刚性情况下的数值收敛结果在空间和时间上的精度为六阶，对于非刚性案例，精度高达八阶在空间和时间上的准确性。

基于均匀单相流模型的数值方法是提出模拟压力波与水流空化之间的相互作用。收件人考虑到液态水的压缩效应，假设空化流为可压缩且由含时Euler方程和适当方程控制状态（EOS）。采用等熵单流体公式模拟空化的发生和发展，纯液相采用Tait方程模拟州的。由于Tait EOS的大刚度和声速在流场，一些传统的可压缩气体动力学求解器不稳定甚至不适用于流动空化的计算。克服困难在于，将Godunov型以单元为中心的有限体积法推广到对三角网格上的控制方程进行数值积分。边界是经过特殊处理以确保进近的稳定性。该方法证明是稳定的，稳健、准确、高效且无振荡。
设计了新的数值实验来研究非定常动力学压力波对空化流动的影响，在工程应用中引起了极大的兴趣，但迄今为止尚未进行系统的研究。数值模拟表明，如果物体突然加速，柱上的空腔可能会坍塌，并且几乎在瞬间产生超高压脉冲。这，然而，可以通过平滑地改变行进速度来避免。伴随的巨大压力增加可能会损坏水下设备。然而，形成了空洞在相对较高的上游速度下，受冲击波和可以从初始变形中完全恢复。观察到空化流从较高的自由流速度开始比具有较低背景速度的流更稳定并且相对于扰动更有弹性。这些发现可能阐明了如何控制空化发展以避免可能的损坏操作设备。

比热C的奇异性_V（V）三维伊辛模型的基于蒙特卡罗数据对晶格尺寸L≤1536进行了研究。两个数据集的拟合，一个对应于粘合剂累积量的特定值，另一个对应于最大值第页，共页_V（V），提供一致的C值₀在模拟C中_V（V）（五十） =C₀+美国铝业公司^α/ν在逃五十、 如果α/ν=0.196（6）。然而，从我们的C美元直接估算^{最大}_V$数据表明α/ν很可能具有较小的值（例如，α/¼=0.113（30））。因此，传统的由于这种不一致性，幂律标度安萨茨可能会受到质疑。我们有发现这些数据被某种对数安萨茨很好地描述了。

本文针对高度非均匀介质中的扩散和对流扩散问题以及对流主导扩散问题，提出了一种有效的计算方法。众所周知，这些问题的数值计算需要大量的计算机内存和时间。然而，这些问题的解决方案通常包含一个粗分量，它通常是感兴趣的量，可以用少量自由度表示。有许多方法旨在计算粗略分量，而没有解决解决方案的全部细节。我们提出的方法属于内罚间断Galerkin方法的框架，它被证明是求解偏微分方程数值解的一类有效且准确的方法。我们方法的一个显著特征是，解空间包含两个分量，即以传统方式对粗分量进行多项式近似的粗空间和包含解的子网格结构并对粗分量的计算至关重要的多尺度空间。此外，证明了该方法的稳定性。数值结果表明，对于高度非均匀介质中的问题，该方法可以准确地捕捉到解的粗糙行为，对于对流为主的问题，也可以精确地捕捉到边界层和内层。

本文提出了随机哈密顿偏微分方程的随机多符号守恒律，并发展了一种随机多符号方法来数值求解一类随机非线性薛定谔方程。结果表明，随机多符号方法保留了多符号结构和离散电荷守恒定律，并推导了离散能量的递推关系。

稳健优化是一种考虑设计变量不确定性的机械结构设计方法。它要求在每次迭代时对目标函数和约束的一些稳健度量进行评估。在之前的工作中，作者提出了一种方法，该方法可以有效地生成关于设计变量不确定性的实验设计，以使用多项式混沌展开计算鲁棒性度量。本文将所提出的方法推广到鲁棒优化的情况。生成的实验设计用于在特定信任域上建立鲁棒度量的代理模型。这就产生了一种信赖域优化方法，该方法每次迭代只需要对实验设计进行一次评估（单循环方法）。与仅基于约束的鲁棒测度的一阶近似并且不处理目标函数的鲁棒测度的其他单循环方法不同，所提出的方法可以处理鲁棒测度的任何近似阶和任何选择。基于有限元函数的数值实验表明了该方法的有效性。 

本文研究了一类接触光滑粒子流体力学（SPH）通过引入黎曼解和使用高阶限制器。特别是在重构中提出了作为限幅器的WENO插值概念过程。用作初始值的相互作用粒子的物理值黎曼问题可以通过泰勒级数展开来重构。联系人接触点处黎曼问题的求解器被纳入SPH近似中。为了保持墙排的流体密度与内部流体壁边界，几行虚拟粒子被放置在外部根据初始配置分配的实心墙。最后，该方法适用于具有尖锐间断的可压缩流动，例如两个强震的碰撞和两个爆炸波的相互作用等等数值结果表明，该方法能够处理尖锐的不连续性并有效减少非物理振荡。

由微相分离的嵌段共聚物系统形成的有序图案表现出周期对称性，并且所有的周期性结构都属于230个空间组。基于这一事实发展了自洽场理论来发现嵌段共聚物的有序模式。特别是，计算框的初始周期由Landau-Brazovskii模型。通过将该策略植入到全空间离散方法中，在二嵌段共聚物中发现了几个新的亚稳模式。

我们提出了一种加速方法来随机模拟异质细胞种群的动力学。该算法将用于模拟单细胞生化动力学的蒙特卡罗方法与用于模拟生长细胞种群的生殖适合度和统计特征的常数蒙特卡罗法相结合。为了对精度和性能进行基准测试，我们将仿真结果与先前验证的种群动力学算法生成的结果进行了比较。比较表明，加速方法准确地模拟了在通常调用的稳态和对称细胞分裂假设下运行时显著减少的种群动态。考虑到细胞种群模型日益复杂，该方法是对现有算法库的一个重要补充，这些算法用于模拟细胞和种群动力学，从而实现对参数空间的高效、粗粒度探索。

在本文中，我们提出了一个新的模型，用于用相场法分析二元混合物凝固过程中出现的现象，它结合了对流效应和磁场的作用。模型由非线性的流动、浓度、相场和能量系统组成演化和耦合系统。它表示二元混合物的非等温各向异性凝固过程以及在外加磁场作用下熔体中的运动。为了说明我们的模型，对影响进行了数值模拟磁场对二元合金凝固过程中枝晶演化的影响开发了镍铜（Ni-Cu）混合物。结果表明可以使用我们的模型。

我们研究了在水平集方法实现中镜面反射的模拟基于WENO空间的高频声学波前传播操作员。为了有效地实现WENO并保持收敛速度网格用于物理空间。当物理域不符合矩形网格，表示反射的适当边界条件必须是导出应用于与反射边界不一致的网格位置。一个相关的问题是提取边界的法向量，这是制定反射条件所必需的。应用单独的级别集方法预先计算边界法线，然后将其存储以用于波前方法。提出了两种处理反射边界条件的方法并研究了：一个使用边界位置的近似值，另一个使用局部反射原理。第二种方法显示出了优越的结果。