搜索： a152947-编号：a152947
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A053632号
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| 由乘积展开中给出系数的行读取的不规则三角形_{k=1..n}（1+x^k）。 |
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82
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,11
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评论
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或者，按行读取三角形T（n，k），给出{1,2，…，n}的子集数和k。-罗杰CUCULIERE（cuculier（AT）imaginet.fr），2000年11月19日
第n行包括A000124号（n） 条款。这些也是连续向量（它们的非零元素），当一个从无穷向量（零的）开始，在某处插入1，然后将其移动一步（向右或向左）并与原始向量相加，然后将结果移动两步并相加，三步并相乘，等等-安蒂·卡图恩2002年2月13日
T（n，k）=将k划分为不同部分的次数<=n。Wilcoxon符号秩统计量的分布三角形-米奇·哈里斯2006年3月23日
T（n，k）=长度为n的二进制字的数目，其中0的位置之和为k。例如：T（4,5）=2，因为我们有0110（0的位置总和为1+4=5）和1001（0的位总和为2+3=5）-Emeric Deutsch公司2006年7月23日
一枚公平的硬币被掷了n次。在第i次翻转中，如果你“成功”，你将获得i美元，1<=i<=n。T（n，k）/2^n是你将恰好获得k美元的概率。你的期望是n（n+1）/4美元-杰弗里·克雷策2010年5月16日
在偏移量为1的情况下，对于k=n.n（n+1）/2，其部分和加起来等于k的n的整数合成数。例如，第n=6行统计以下成分：
6 15 24 33 42 51 141 231 321 411 1311 2211 3111 12111 21111 111111
114 123 132 222 312 1131 1221 2121 11121 11211
213 1113 1122 1212 2112 1111
（结束）
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参考文献
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A.V.Yurkin，《新二项式和光理论的新观点》（新书），2013年，78页，未列出出版商。
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链接
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Alexander Rosa和Štefan Znám，同余理论中的一个组合问题。（俄语），材料-Fys。斯洛文尼亚卡索皮斯。阿卡德。于1965年15日以49-59获胜。[带注释的扫描副本]见表1。
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-n），T（0,0）=1，T（0，k）=0，如果k<0或k>（n+1选择2），则T（n、k）=0。
G.f.：（1+x）*（1+x^2）**（1+x^n）。（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1;
...
行n=4统计以下二进制字，其中k=零位置之和：
1111 0111 1011 0011 0101 0110 0001 0010 0100 1000 0000
1101 1110 1001 1010 1100
行n=5统计k的以下严格分区，所有部分<=n（0是空分区）：
0 1 2 3 4 5 42 43 53 54 532 542 543 5431 5432 54321
21 31 32 51 52 431 432 541 5321 5421
41 321 421 521 531 4321
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MAPLE公司
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with（gfun，seriestolist）；映射（op，[seq（序列列表（序列（mul（1+（z^i），i=1..n），z，二项式（n+1，2）+1）），n=0..10）]）#安蒂·卡图恩2002年2月13日
#第二个Maple项目：
g： =进程（n）g（n）：=`if`（n=0，1，展开（g（n-1）*（1+x^n）））结束：
T： =n->seq（系数（g（n），x，k），k=0..度（g（n）））：
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数学
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表[系数列表[系列[产品[（1+t^i），{i，1，n}]，{t，0，100}]，t]，{n，0，8}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年5月16日*）
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交叉参考
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关键词
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标签,非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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已批准
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A000125号
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| 蛋糕数：通过立方体（或蛋糕）的n个平面切割产生的最大块数：C（n+1,3）+n+1。
（原名M1100 N0419）
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77
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1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, 1160, 1351, 1562, 1794, 2048, 2325, 2626, 2952, 3304, 3683, 4090, 4526, 4992, 5489, 6018, 6580, 7176, 7807, 8474, 9178, 9920, 10701, 11522, 12384, 13288, 14235, 15226
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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（1） 没有两个平面是平行的，
（2） 没有两条平行的相交线，
（3） 四个或更多平面没有共同点。
假设在总布置中已经有n-1个平面，从而定义了n-1个面在空间中可以获得的最大区域数，现在在总布置上又增加了一个平面。然后，它将切割n-1个平面中的每个平面，并获取总体布置的相交线。（请参阅上的评论A000124号用于线路的总体布置。）新平面上的这些线定义了2空间中可由n-1条直线定义的最大区域数，因此这是A000124号（n-1）。每个区域都起到了分隔墙的作用，因此除了已经存在的a（n-1）区域外，还创建了尽可能多的新区域，因此a（n）=a（n-1）+A000124号（n-1）.-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日
一般来说，我们有：A000027号（n） =二项式（n，0）+二项式的（n，1）（自然数），A000124号（n） =二项式（n，0）+二项式Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=3，a（n-3）是X的3个子集的数目，这些子集与Y没有完全相同的元素-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）是n+1分成四个或四个以下部分的组合数（有序分区），或相当于帕斯卡三角形第n行中前四项的总和-杰弗里·克雷策2009年1月23日
a（n）也是通过将n个连续的正整数与所有可能的2^n符号组合求和而获得的不同值的最大数目。当对间隔[n，2n-1]求和时，首先达到最大值-奥利维尔·杰拉德2010年3月22日
给定n个具有两个值（A值和B值）的平铺，玩家可以选择A值或B值。特定的分幅是[n，0]，[n-1，1]。。。，[2，n-2]和[1，n-1]。顺序是不同的最终A:B计数的数量。例如，在n=4的情况下，我们可以得到最终的总数[5，3]=[4，_]+[_，1]+[_'，2]+[1，_]=[_，0]+[3，_]+[2，_]+[_]，因此a（4）=2^4-1=15。最大和最小的最终A+B计数如下所示A077043号和A002620型分别是-乔恩·佩里2014年10月24日
对于n>=3，a（n）也是（n+1）-三角图（4-三角图有a（3）=8个最大团）中最大团的个数-安德鲁·霍罗伊德2017年7月19日
a（n）是与正则表达式1*0*1*0*匹配的长度为n的二进制字数。巧合的是，A000124号统计形式为0*1*0*的二进制字。请参阅Alexandersson和Nabawanda以获取证据-佩尔·亚历山大森2021年5月15日
对于n>0，让n维立方体{0,1}^n具有汉明距离d。给定{0,1}^n中的元素x，a（n）是{0,1neneneep ^n中元素y的数量，使得d（x，y）<=3。例如：n=4。设x=（0,0,0.0）在{0,1}^4中。
{（0,0,0.0）}中的d（x，y）=0:y。
d（x，y）=1:y，在{（1,0,0,0），（0,1,0.0），（0，0,1,0）和（0,0,1）}中。
d（x，y）=2:y在{（1,1,0,0）、（1,0,1,0），（1,0,0,1）、（0,1,1,0”、（0,1,0）、“（0,0,1）}中。
d（x，y）=3:y在{（1,1,1,0），（1,1,0,1），（2,0,1,1）。
所有这些y与（0,0,0.0）的距离<=3，因此a（4）=15。（见Peter C.Heinig的公式）-尤拉门迪2021年12月14日
对于n>=2，a（n）是拟合到n个点（j，y_j），1<=j<=n的不同最小二乘回归线的数量，其中每个y_j为0或1。y_1，…，中k为1的不同行数。。。，y_n是A077028美元（n，k）。不同坡度的数量为A123596型（n） ●●●●-蓬图斯·冯·布罗姆森2024年3月16日
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参考文献
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V.I.Arnold（编辑），《Arnold的问题》，斯普林格出版社，2004年，《关于1990-11年问题的评论》（第75页），第503-510页。编号N_3。
R.B.Banks，《切片披萨、赛跑海龟和应用数学的进一步冒险》，普林斯顿大学出版社，1999年。见第27页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第72页，问题2。
H.E.Dudeney，《数学游戏》，纳尔逊，伦敦，1917年，第177页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
T.H.Stickels，思维拓展难题。纽约斯特林，1994年，第85页。
W.A.Whitworth，《DCC在选择和机会中的练习》，纽约州斯特切特，1945年，第30页。
A.M.Yaglom和I.M.Yaglom：用初等解挑战数学问题。第一卷组合分析与概率论。纽约：Dover Publications，Inc.，1987年，第13页，#45（首次出版：旧金山：Holden-Day，Inc.，1964）
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链接
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P.Alexandersson和O.Nabawanda，在运行排序下保留峰值，arXiv:2104.04220[math.CO]，2021。
M.L.科尼利厄斯，几何级数的变分《学校数学》，第4期（第3期，1975年5月），第32页。（带注释的扫描副本）
Svante Linusson，M序列和f向量的数量，Combinatorica，第19卷第2期（1999年）255-266。
Toufik Mansour、Howard Skogman和Rebecca Smith，排序反转序列，arXiv:2401.06662[math.CO]，2024。见第7页。
Sebastian Mizera和Sabrina Pasterski，天体几何学，arXiv:2204.02505[hep-th]，2022年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），除数的枚举
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配方奶粉
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a（n）=（n+1）*（n^2-n+6）/6=（n^3+5*n+6”）/6。
总尺寸：（1-2*x+2x^2）/（1-x）^4.-[西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。]
例如：（1+x+x^2/2+x^3/6）*exp（x）。
a（n）=二项式（n，3）+二项式Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日
解释前面的注释：序列是[1,1,1,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年10月23日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）。
和{n>=0}a（n）/n！=8*经验（1）/3。（结束）
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例子
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a（4）=15，因为有15个由5组成的成分，分成4个或更少的部分。a（6）=42，因为帕斯卡三角形第六行的前四项之和为1+6+15+20=42-杰弗里·克雷策2009年1月23日
对于n=5，（1，3，5，7，9，11，13，17，19，21，23，25，35）及其相反的是用任意符号组合求5，6，7，8，9得到的26个不同的和-奥利维尔·杰拉德2010年3月22日
G.f.=1+2*x+4*x^2+8*x^3+15*x^4+26*x^5+42*x^6+64*x^7+-迈克尔·索莫斯2022年7月7日
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MAPLE公司
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数学
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表[（n^3+5n+6）/6，{n，0，50}](*哈维·P·戴尔2013年1月19日*）
线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，2，4，8}，50](*哈维·P·戴尔2013年1月19日*）
表[二项式[n，3]+n，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（1-2*x+2*x^2）/（1-x）^4）+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月16日
（岩浆）[（n^3+5*n+6）/6:n in[0..50]]//文森佐·利班迪2014年11月8日
（Python）
a、 b，c=1，1，1
为True时：
产量a
a、 b，c=a+b，b+c，c+1
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交叉参考
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参见。A000124号,A003600型,A005408号,A016813号,A086514号,A058331号,A002522号,A161701型-A161705型,A000127号,A161706型-A161708号,A080856号,A161710号-A161713号,A161715号,A006261号,A063865号,A051601号,A077043号,A002620型,A123596型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A358194型
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| 按行读取的不规则三角形，其中T（n，k）是n的整数分区数，部分和求和为k，其中k的范围为n到n（n+1）/2。 |
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+10
39
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1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,77
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评论
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序列（a、b、c…）的部分和是（a、a+b、a+b+c…）。
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链接
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例子
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三角形开始：
1
1
1 1
1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
例如，T（15,59）=5个分区为：（8,2,2,2,1），（7,3,3,1,1），（6,5,2,1,1），（4,3,2,2,2,2），（3,3,3,2,1）。
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Total[Accumulate[#]]==k&]]，{n，0，8}，{k，n，n*（n+1）/2}]
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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已批准
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1, 2, 7, 16, 29, 46, 67, 92, 121, 154, 191, 232, 277, 326, 379, 436, 497, 562, 631, 704, 781, 862, 947, 1036, 1129, 1226, 1327, 1432, 1541, 1654, 1771, 1892, 2017, 2146, 2279, 2416, 2557, 2702, 2851, 3004, 3161, 3322, 3487, 3656, 3829
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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由n条折线（角扇区）确定的最大区域数。参见GKP参考。
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，第二版，Addison-Wesley，Reading，MA，1994年，第7-8页。
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链接
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弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+4*n-3，对于n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年11月23日
外径：（4*x^2-x+1）/（1-x）^3-杰弗里·克雷策2011年3月30日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-埃里克·沃利2011年6月27日
a（0）=1，a（1）=2，a（2）=7；对于n>2，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年7月20日
例如：（2*x^2+x+1）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2017年7月14日
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{1，2，7}，50](*哈维·P·戴尔2011年7月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（岩浆）[0..50]]中的[2*n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2020年3月25日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,30
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评论
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加权和由行i被i加权的行之和给出。
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1;
1;
1,1;
1,1,0,1;
1,1,1,1,0,0,1;
1,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1;
1,1,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,0,0,0,1;
1,1,1,2,1,1,2,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1;
1,1,1,2,2,1,2,2,1,1,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1；
...
a（15,31）=15的5个分区，加权和31为：（6,2,2,1,1,1,1,1），（5,4,1,1,1,1），（5，2,2,2,2,1,1）、（4，3,2,2,2,2）、（3，3,3,2,1）。这些也是具有基于一的加权和46的15的分区-古斯·怀斯曼，2023年1月9日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，w）选项记忆；展开(
`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，b（n，i-1，w）+
`如果`（i>n，0，x^（w*i）*b（n-i，i，w+1）））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n$2,0））：
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数学
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b[n_，i_，w_]：=b[n，i，w]=展开[If[n==0，1，If[i<1，0，b[n、i-1，w]+如果[i>n，0，x^（w*i）*b[n-i，i，w+1]]]；T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}]][b[n，n，0]]；表[T[n]，{n，0，10}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2017年2月7日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Total[Accumulate[Reverse[#]]==k&]]，{n，0，8}，{k，n，n*（n+1）/2}](*古斯·怀斯曼2023年1月9日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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已批准
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2, 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, 47, 57, 68, 80, 93, 107, 122, 138, 155, 173, 192, 212, 233, 255, 278, 302, 327, 353, 380, 408, 437, 467, 498, 530, 563, 597, 632, 668, 705, 743, 782, 822, 863, 905, 948, 992, 1037, 1083, 1130, 1178, 1227, 1277, 1328, 1380
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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a（1）=2；然后在第一个数字上加0，然后加1、2、3、4。。。等等。
如果我们忽略零多边形数，那么对于n>=3，a（n）是最小的k，使得第k个n次方数是两个n次方数的和（参见公式和示例）。
如果忽略零多边形数，则对于n>=4，a（n）-第n个n次方数是第（a（n。（结束）
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链接
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玛丽莲娜·巴纳贝（Marilena Barnabei）、弗拉维奥·博内蒂（Flavio Bonetti）、尼科洛·卡斯特罗诺沃（NiccolóCastronoovo）和马特奥·西林巴尼（Matteo Silinbani），避免simsun模式的置换《组合数学电子杂志》（2020）第27卷第3期，第3.45页。
E.R.Berlekamp，对数学心理测量学的贡献，未出版的贝尔实验室备忘录，1968年2月8日[带注释的扫描件]
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+n-2（a（1）=2）-文森佐·利班迪2010年11月26日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
通用名称：-x*（2-4*x+3*x^2）/（x-1）^3-R.J.马塔尔2011年10月30日
和{n>=1}1/a（n）=1/2+2*Pi*tanh（sqrt（15）*Pi/2）/sqrt（16）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月13日
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例子
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数学
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数组[（#^2-3#+6）/2&，54]（*或*）Rest@CoefficientList[序列[-x（2-4 x+3 x ^2）/（x-1）^3，{x，0，54}]，x](*迈克尔·德弗利格2020年3月25日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[2+二项式（n，2），n在范围（0，54）内]#零入侵拉霍斯2009年3月12日
（岩浆）[（n^2-3*n+6）/2:n in[1.60]]；
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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3, 4, 6, 9, 13, 18, 24, 31, 39, 48, 58, 69, 81, 94, 108, 123, 139, 156, 174, 193, 213, 234, 256, 279, 303, 328, 354, 381, 409, 438, 468, 499, 531, 564, 598, 633, 669, 706, 744, 783, 823, 864, 906, 949, 993, 1038, 1084, 1131, 1179, 1228, 1278, 1329, 1381, 1434
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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a（1）=3；然后在第一个数字上加1，然后再加2,3,4……以此类推。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=3+C（n，2），n>=1-零入侵拉霍斯2009年3月12日
a（n）=a（n-1）+n-1（a（1）=3）-文森佐·利班迪2010年11月27日
和{n>=1}1/a（n）=2*Pi*tanh（sqrt（23）*Pi/2）/sqrt（24）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月13日
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MAPLE公司
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数学
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s=3；lst={3}；Do[s+=n；AppendTo[lst，s]，｛n，1，5！｝]；第一次
表[3+n*（n-1）/2，{n，100}](*韦斯利·伊万·赫特2014年1月28日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[3+二项式（n，2），n在范围（1，55）内]#零入侵拉霍斯2009年3月12日
（岩浆）[1..50]]中的[3+n*（n-1）/2:n//韦斯利·伊万·赫特2020年3月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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已批准
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A300453型
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| 行读取的不规则三角形：行n由多项式（x+1）^n+x^2-1的展开系数组成。 |
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+10
13
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 4, 1, 0, 4, 7, 4, 1, 0, 5, 11, 10, 5, 1, 0, 6, 16, 20, 15, 6, 1, 0, 7, 22, 35, 35, 21, 7, 1, 0, 8, 29, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 0, 9, 37, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 0, 10, 46, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 0, 11, 56, 165
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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评论
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设P（n；x）=（x+1）^n+x^2-1。那么P（n；x）=P（n-1；x）+x*（x+1）^（n-1），其中P（0；x）=x^2。
设（2，n）-环面结投影在平面上。得到的投影是一个具有n个双点的平面图。然后，T（n，k）给出了具有k个组件的状态图的数量，这些组件是通过删除每个双点，然后按如下所示的两种方法之一粘贴边而获得的。
\ / \___/ \ / \ /
(1) \/ ==> (2) \/ ==> | |
/\ ___ /\ | |
/ \ / \ / \ / \
参见示例了解n=2的情况。
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参考文献
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科林·亚当斯（Colin Adams），《结书》（The Knot Book），W.H.Freeman and Company，1994年。
路易斯·考夫曼，《结与物理》，世界科学出版社，1991年。
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链接
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Agnijo Banerjee，结理论[箔结家族]。
艾莉森·亨里奇、丽贝卡·霍伯格、斯拉维克·贾布兰、李·约翰逊、伊丽莎白·明滕和拉多维奇，伪结理论，arXiv预印本arXiv:1210.6934[math.GT]，2012年。
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配方奶粉
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T（n，0）=0，T（0,1）=1，T（0，2）=1和T（n、k）=T（n-1，k）+A007318号（n-1，k-1）。
通用公式：（x^2+y*x/（1-y*（x+1））/（1-y）。
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例子
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三角形T（n，k）开始
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0: 0 0 1
1: 0 1 1
2: 0 2 2
3: 0 3 4 1
4: 0 4 7 4 1
5: 0 5 11 10 5 1
6: 0 6 16 20 15 6 1
7: 0 7 22 35 35 21 7 1
8: 0 8 29 56 70 56 28 8 1
9: 0 9 37 84 126 126 84 36 9 1
10: 0 10 46 120 210 252 210 120 45 10 1
11: 0 11 56 165 330 462 462 330 165 55 11 1
12: 0 12 67 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
13: 0 13 79 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
14: 0 14 92 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
...
（2,2）-环面结（Hopf-Link）的状态是最后四个图表：
____ ____
/\/\
/ /\ \
| | | |
| | | |
\ \/ /
\____/\____/
___ ____ __________
/ \ / \ / __ \
/ / \ \ / / \ \
|||||||
| | | | | | | |
\ \/ / \ \/ /
\_____/\_____/ \____/\____/
____ ____ ____ ____ ____________ __________
/ \ / \ / \ / \ / __ \ / __ \
/ / \ \ / / \ \ / / \ \ / / \ \
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
\ \ / / \ \__/ / \ \ / / \ \__/ /
\____/ \____/ \____________/ \____/ \____/ \__________/
有两个图由两个组件组成，两个图则由一个组件组成。
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数学
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f[n_]：=系数列表[展开[（x+1）^n+x^2-1]，x]；数组[f，12，0]//展平（*或*）
CoefficientList[系数列表[级数[（x^2+y*x/（1-y*（x+1）））/（1-y），{y，0，11}，{x，0，11-}]，y]，x]//展平(*罗伯特·威尔逊v2018年3月8日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）
P（n，x）：=（x+1）^n+x^2-1$
电话：[]$
对于i:0到20 do
T：追加（T，makelist（ratcoef（P（i，x），x，n），n，0，max（2，i））$
T；
（PARI）行（n）=Vecrev（（x+1）^n+x^2-1）；
tabl（nn）=用于（n=0，nn，打印（行（n）））\\米歇尔·马库斯2018年3月12日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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已批准
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1, 2, 6, 13, 23, 36, 52, 71, 93, 118, 146, 177, 211, 248, 288, 331, 377, 426, 478, 533, 591, 652, 716, 783, 853, 926, 1002, 1081, 1163, 1248, 1336, 1427, 1521, 1618, 1718, 1821, 1927, 2036, 2148, 2263, 2381, 2502, 2626, 2753, 2883, 3016, 3152, 3291
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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等于[1,1,3,0,0,0，…]的二项式变换。
这些可能被称为“三等分五边形数”：一个五边形数字由三个三角形组成，其中中心三角形最大，去掉中心三角形的三角形框（3*n）将图形分为三部分。这反映在公式A（n）中=A000326号（n+1）-3*n。请参阅链接中的插图-约翰·埃利亚斯2022年5月27日
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链接
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D.Bevan、D.Levin、P.Nugent、J.Pantone和L.Pudwell，二元灌木林的模式回避，arXiv预印arXiv:1510:08036[math.CO]，2015-2016。
弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+3*n-2（a（0）=1）-文森佐·利班迪2010年11月25日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+3。
出生日期：（1-x+3*x^2）/（1-x）^3）-埃里克·沃利2011年6月27日
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数学
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表[（3n^2-n+2）/2，｛n，0，50｝]（*或*）线性递归[｛3，-3，1｝，｛1，2，6｝，50](*哈维·P·戴尔2014年5月5日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a143689 n=n*（3*n-1）`div`2+1--莱因哈德·祖姆凯勒2014年5月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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1, 4, 16, 37, 67, 106, 154, 211, 277, 352, 436, 529, 631, 742, 862, 991, 1129, 1276, 1432, 1597, 1771, 1954, 2146, 2347, 2557, 2776, 3004, 3241, 3487, 3742, 4006, 4279, 4561, 4852, 5152, 5461, 5779, 6106, 6442, 6787, 7141, 7504, 7876, 8257, 8647, 9046
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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这个序列的旧定义是“广义多边形数”。
等于[1,3,9,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年4月30日
a（n）也是具有n个不同部分的自共轭分区的最小权重，使得每个部分与2个模3同余。第一个这样的自共轭分区，对应于a（n）=1,2,3,4，是2+2、5+5+2+2、8+8+5+5+2+2+2和11+11+8+8+5+2+2+-奥古斯汀·穆纳吉2008年12月18日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=3，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=3，a（n-1）=-系数（charpoly（a，x），x^（n-2））-米兰Janjic2010年1月27日
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链接
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弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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通用名称：（1+x+7*x^2）/（1-x）^3。
a（n）=9*n+a（n-1）-6，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年8月8日
a（0）=1，a（1）=4，a（2）=16；对于n>2，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-哈维·P·戴尔2013年7月24日
例如：（2+6*x+9*x^2）*exp（x）/2-G.C.格鲁贝尔2018年11月2日
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MAPLE公司
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seq（（9*n^2-3*n+2）/2，n=0..50）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月2日
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数学
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s=1；lst={s}；做[s+=n+2；附加到[lst，s]，{n，1500，9}]；第一次(*零入侵拉霍斯2009年7月11日*）
表[（9n^2-3n+2）/2，{n，0，50}]（*或*）线性递归[{3，-3，1}，{1，4，16}，50](*哈维·P·戴尔2013年7月24日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（9*n^2-3*n+2）/2:n in[0..50]]//G.C.格鲁贝尔，2018年11月2日
（GAP）列表（[0..50]，n->（9*n^2-3*n+2）/2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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