%I M1100 N0419#271 2024年3月22日09:18:29

%S 1,2,4,8,15,26,42,64,93130176232299378470576978349881160，

%电话：13511562179420482325262952330436834094264925489，

%电话：601865807176780784749178992010701152212384132881423515226

%N块数：通过立方体（或蛋糕）的N个平面切割产生的最大块数：C（N+1,3）+N+1。

%C注意a（n）=a（n-1）+A000124（n-1。这有以下几何解释：当

%C（1）没有两个平面平行，

%C（2）没有两条平行相交线，

%C（3）四个或更多平面没有共同点。

%C假设在总布置中已经有n-1个平面，从而定义了n-1个面在空间中可以获得的最大区域数，现在在总布置上又增加了一个平面。然后，它将切割n-1个平面中的每个平面，并获取总体布置的相交线。（见A000124上的注释，了解直线的总体布局。）新平面上的这些直线定义了可由n-1条直线定义的2个空间中的最大区域数，因此这是A000124（n-1）。每个区域都充当分隔墙，因此除了已经存在的a（n-1）区域外，还创建了尽可能多的新区域，因此a（n）=a（n-1）+A000124（n-1Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日

%C更一般地说，我们有：A000027（n）=二项式（n，0）+二项式Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日

%C如果Y是n集X的2个子集，那么，对于n>=3，a（n-3）是X的3个子集的数量，这些子集与Y没有恰好一个共同元素。-Milan Janjic，2007年12月28日

%C a（n）是n+1分为四个或四个以下部分的组合数（有序分区），或相当于帕斯卡三角形第n行中前四项的总和_Geoffrey Critzer，2009年1月23日

%C{a（k）：0<=k<4}=8.的除数_Reinhard Zumkeller_，2009年6月17日

%C a（n）也是通过将n个连续的正整数与所有可能的2^n符号组合求和而获得的不同值的最大数目。当对区间[n，2n-1].-求和时，首先达到该最大值_Olivier Gérard_，2010年3月22日

%C a（n）只包含5个大于1:4、64、576、67600和75203584的完美正方形。A047694给出了>0的发生率_Frank M Jackson，2013年3月15日

%C给定n个具有两个值（A值和B值）的瓦片，玩家可以选择A值或B值。特定的分幅是[n，0]，[n-1，1]。。。，[2，n-2]和[1，n-1]。顺序是不同的最终A:B计数的数量。例如，在n=4的情况下，我们可以得到最终的总数[5，3]=[4，_]+[_，1]+[_'，2]+[1，_]=[_，0]+[3，_]+[2，_]+[_]，因此a（4）=2^4-1=15。最大和最小最终A+B计数分别由A077043和A002620给出_乔恩·佩里（Jon Perry），2014年10月24日

%C对于n>=3，a（n）也是（n+1）-三角图中最大团的个数（4-三角图有a（3）=8个最大团）_安德鲁·霍罗伊，2017年7月19日

%C a（n）是长度为n的二进制字数，与正则表达式1*0*1*0*匹配。巧合的是，A000124统计形式为0*1*0*的二进制字。请参阅Alexandersson和Nabawanda以获取证据_Per W.Alexandersson，2021年5月15日

%C对于n>0，让n维立方体{0,1}^n具有Hamming距离d。给定{0,1{^n中的元素x，a（n）是{0,1}^n中元素y的数量，使得d（x，y）<=3。例如：n=4。设x=（0,0,0.0）在{0,1}^4中。

%{（0,0,0.0）}中的Cd（x，y）=0:y。

%C d（x，y）=1:y在{（1,0,0,0），（0,1,0.0），（0，0,1,0）和（0,0,1）}中。

%C d（x，y）=2:y在{（1,1,0,0）、（1,0,1,0），（1,0,0,1）、（0,1,1,0，（0,1,1），（0,0,1,1）}中。

%C d（x，y）=3:y在{（1,1,1,0），（1,1,0,1），（2,0,1,1）。

%C所有这些y与（0,0,0.0）的距离<=3，因此a（4）=15。（见Peter C.Heinig的公式）_Yosu Yurramendi，2021年12月14日

%C对于n>=2，a（n）是拟合到n个点（j，y_j），1<=j<=n的不同最小二乘回归线的数量，其中每个y_j为0或1。y_1，…，中k为1的不同行数。。。，y_n是A077028（n，k）。不同坡度的数量为A123596（n）_布伦森桥，2024年3月16日

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%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CakeNumber.html“>蛋糕编号</a>

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%H Reinhard Zumkeller，除数枚举</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-6,4，-1）。

%F a（n）=（n+1）*（n^2-n+6）/6=（n^3+5*n+6”）/6。

%财务报表：（1-2*x+2x^2）/（1-x）^4.-[西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中写道。]

%F例如：（1+x+x^2/2+x^3/6）*exp（x）。

%F a（n）=二项式（n，3）+二项式（n，2）+二项式（n，1）+二项式（n，0）。-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日

%F解释前面的注释：序列是[1,1,1,1,0,0,0，…]的二项式变换_Gary W.Adamson_，2007年10月23日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年7月18日：（开始）

%F a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）。

%Fa（n）=Sum_{k=0..n}A152947（k+1）。

%F A134396的二项式逆变换。

%F和{n>=0}a（n）/n！=8*经验（1）/3。（结束）

%F a（n）=-A283551（-n）_Michael Somos_，2022年7月7日

%e a（4）=15，因为有15个由5组成的成分，分成4个或更少的部分。a（6）=42，因为帕斯卡三角形第六行的前四项之和为1+6+15+20=42_Geoffrey Critzer，2009年1月23日

%e对于n=5，（1，3，5，7，9，11，13，17，19，21，23，25，35）及其相反的是用任意符号组合求5，6，7，8，9得到的26个不同的和_Olivier Gérard_，2010年3月22日

%e.G.f.=1+2*x+4*x^2+8*x^3+15*x^4+26*x^5+42*x^6+64*x^7+…-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2022年7月7日

%p A000125：=n->（n+1）*（n^2-n+6）/6；

%t表[（n^3+5n+6）/6，{n，0，50}]（*哈维·P·戴尔，2013年1月19日*）

%t线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，2，4，8}，50]（*哈维·P·戴尔，2013年1月19日*）

%t表[二项式[n，3]+n，{n，20}]（*_Eric W.Weisstein_，2017年7月21日*）

%o（PARI）a（n）=（n^2+5）*n/6+1\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月15日

%o（PARI）Vec（（1-2*x+2*x^2）/（1-x）^4）+o（x^100））\\阿尔图·阿尔坎，2015年10月16日

%o（岩浆）[（n^3+5*n+6）/6:n in[0..50]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2014年11月8日

%o（Python）

%o def A000125_gen（）：#术语生成器

%o a，b，c=1，1，1

%o为True时：

%o产生a

%o a，b，c=a+b，b+c，c+1

%o它=A000125_gen（）

%o A000125_list=[范围（50）内_的下一个（it）]#_Cole Dykstra_，2022年8月3日

%Y等分表示A100503和A100504。

%A077028的Y行总和。

%Y参见A000124、A003600、A005408、A016813、A086514、A058331、A002522、A161701-A1161705、A000127、A161606-A161708、A080856、A161710-A161713、A16171、A006261、A063865、A051601、A077043、A002620、A123596。

%Y参见A000027、A047694、A134396、A152947、A283551。

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E由_Mauro Fiorentini更正的评论中的轻微拼写错误，2018年1月2日