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%I M2952 N1191#783 2024年4月21日21:06:48
%S 1,1,3,13,755414683472935458357087261102247563163263573，
%电话2809156759552685834838110641342970443230283190977853，
%电话：53156546819813551303707670291359013385534663256845323928015187319328411367768796244384203115
%N福比尼数：N个标记元素的优先排列数；或n个标记元素的弱阶数；或[n]的有序分区数。
%C考虑到平局的可能性，n名选手在比赛中的排名方式。
%C也是n点上非对称广义弱阶的个数。
%C也称为订购的贝尔号码。
%弱序是一个传递的、完全的关系。
%C Comtet称之为Fubini数：当切换多个和的求和顺序时，计算Fubini定理中的公式_Olivier Gérard_，2002年9月30日[以意大利数学家Guido Fubini（1879-1943）命名.-Amiram Eldar_，2021年6月17日]
%C如果点未标记，则答案为a（0）=1，a（n）=2^（n-1）（参见A011782）。
%对于n>0，a（n）是a{n-1}型Coxeter复数中的元素数。B型的相应序列为A080253，可以找到一个工作示例以及几何解释_Tim Honeywill和Paul Boddington，2003年2月10日
%C还有标记的（1+2）-自由偏序集的数量Detlef Pauly，2003年5月25日
%C也是以空集开始，以n个不同对象集结束的子集链的数量_Andrew Niedermaier，2004年2月20日
%C摘自Michael Somos，2004年3月4日：（开始）
%C A007680（n）=[3,10,42216，…]的斯特林变换给出[3,13,75541，…]。
%C（n）=[1,3,13,75，…]的斯特林变换是A083355（n）=[1,4,23175，…]。
%C A000142（n）=[1,2,6,24120，…]的斯特林变换是a（n）=[1,3,13,75，…]。
%C A005359（n-1）=[1,0,2,0,24,0，…]的斯特林变换是a（n-1，=[1,1,3,13,75，…]。
%C A005212（n-1）=[0,1,0,6,0120,0，…]的斯特林变换是a（n-1）=[0,1,3,13,75，…]。
%C（结束）
%C未约化分母收敛到log（2）=lim_{n->infinity}n*a（n-1）/a（n）。
%对于n>=h，C a（n）与a（n+（p-1）p^（h-1））（mod p^h）同余（参见Barsky）。
%1/（1-x^2）.-的C Stirling-Bernoulli变换_Paul Barry_，2005年4月20日
%C这是一系列公平硬币投掷中第一个头部之前的尾部数量的概率分布的矩序列。相同概率分布的累积量序列为A000629。该序列是删除该序列第一项的两倍结果迈克尔·哈迪（Hardy（AT）math.umn.edu），2005年5月1日
%C其中p（n）=n的整数分区数，p（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，pp（i，j）！））*（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）_托马斯·维德，2005年5月18日
%C[n]的子集之间的链数。新公式中的总和项是2006年7月1日长度为k.-Micha Hofri（Hofri（AT）wpi.edu）的链的数量
%C也发生在类幂和问题中矩阵求逆的第一列。考虑求解方程Sum_{k=1..n}k^m=（k+1）^m的任意固定自然数m>2的问题。Erdős猜想n，m>2没有解。设D是D[m，n]的差分矩阵：=Sum_{k=1..n}k^m-（k+1）^m。然后，该矩阵D的行的生成函数构成了n中的一组多项式（用于沿列变化n）和定义第m行的第m个多项式。设GF_D是这组多项式的系数矩阵。那么当前序列就是GF_D^-1的（无符号）第一列_Gottfried Helms_，2007年4月1日
%假设A=log（2），D是D/dx，f（x）=x/（exp（x）-1），我们得到了A（n）=（n！/2*A^（n+1））和{k=0..n}（A^k/k！）D^n f（-A），当n趋于无穷大时，它给出了Wilf的渐近值。等价地，D^n f（-a）=2*（a*a（n）-2*a（n-1））Martin Kochanski（mjk（AT）cardbox.com），2007年5月10日
%C（1，-1，-1，-1，…）的列表分区转换（参见A133314）_汤姆·科普兰，2007年10月24日
%C A154921的第一列。-_Mats Granvik，2009年1月17日
%对于n是n个不同素数的乘积的情况，A（n）的一个更透明的解释是n的“因子序列”的数量。长度为k的N的因子序列的形式为1=x（1），x（2）。。。，x（k）=N，其中{x（i）}是一个递增序列，使得x（i）除以x（i+1），i=1,2，。。。，k-1。例如，N=70具有13个因子序列{1,70}、{1,2,70}，{1,5,70}（1，7，70}）、{1,10,70}，{1,14,70}、{1,35,70}.、{1,2,10,70}.{1,2,14，70}_Martin Griffiths_，2009年3月25日
%C起始（1、3、13、75…）=三角形A163204.-的行和_Gary W.Adamson，2009年7月23日
%C等于A007047的二项式双逆变换：（1，3，11，51，…）_Gary W.Adamson，2009年8月4日
%如果f（x）=Sum_{n>=0}C（n）*x^n对每个x收敛，那么Sum_}n>=0}f（n*x）/2^（n+1）=Sum _{n>=0}C（n1/（2-exp（x））=例如f.-Miklos Kristof，2009年11月2日
%C Hankel变换为A091804。-_Paul Barry_，2010年3月30日
%C在这个序列中大于3的素数（13554147293，…）的形式似乎是4n+1。-_保罗·穆尔贾迪（Paul Muljadi），2011年1月28日
%C A028246的Fi1和Fi2三角和由该序列的项给出。关于这些三角和的定义，请参见A180662_Johannes W.Meijer，2011年4月20日
%C修正生成函数A（x）=1/（2-exp（x））-1=x+3*x^2/2！+13*x^3/3！+。。。满足自治微分方程A'=1+3*A+2*A^2，初始条件A（0）=0。应用[Bergeron等人，定理1]可以对这个序列进行两种组合解释：（A）A（n）给出了n个顶点上平面增加的0-1-2树的数量，其中超度数1的顶点有3种颜色，超度数2的顶点有2种颜色。（B） a（n）给出了n个顶点上非平面增加的0-1-2树的数量，其中超度数1的顶点有3种颜色，超度数2的顶点有4种颜色。示例如下_Peter Bala，2011年8月31日
%C从偏移量1开始=A074909（被斩首的帕斯卡三角形）的特征序列，以及三角形A208744的行和。-_Gary W.Adamson，2012年3月5日
%C a（n）=正整数字母表中长度为n的单词数，单词中出现的字母构成正整数的初始段。示例：a（2）=3计数11、12、21。映射“包含i，1<=i<=n的块的记录位置”是从[n]上的集合列表到这些单词的双射。（[2]上的集合列表为12、1/2、2/1。）-达维德·卡兰，2013年6月24日
%C这个序列是数据库最早使用的主题之一_在1973年手册出版之前，Don Knuth_有一个数据库的计算机打印输出，他于1970年5月18日写信给N.J.a.Sloane，说：“我刚刚用你的序列索引取得了第一次真正的‘成功’，发现了一个被Cayley处理过的序列，结果发现它与另一个序列完全相同（先验非常不同）与计算机排序有关的序列。“A000670在1973年第3卷《计算机编程艺术》第5.3.1节的练习3中进行了讨论_N.J.A.Sloane，2014年8月21日
%C Ramanujan给出了一种求方程1=x+a2*x^2+的解x的连分数的方法。。。并使用log（2）作为1=x+x^2/2+x^3/6+的解。。。作为例子，给出了简化收敛序列为0/1，1/1，2/3，9/13，52/75，375/541。。。其中分母的序列是这个序列，而A052882是分子_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2015年6月19日
%C对于n>=1，a（n）是具有（i）n+1个峰值（UD），（ii）没有UUDD，和（iii）每个小于路径高度的非负高度上至少有一个谷顶点的Dyck路径数（A000108）。例如，a（2）=3计算UDUDUD（高度为1，高度为0时有2个山谷顶点）、UDUUDUD、UUDUDD。在“手套”或“手风琴”双射下，这些路径对应于凯利在1859年参考文献中统计的有序树，在凯利的树中进行无害的“长枝成叶”修剪后。（凯利让读者从小n的例子中推断出他所谈论的树，也许还可以从他的证明中推断出。）-达维德·卡兰，2015年6月23日
%C发件人：David L.Harden，2017年4月9日：（开始）
%C固定一个集合X，并定义X上的两个距离函数d，d，当d（X_1，y_1）<=d（X_2，y_2）iff d（X_1，y_1）<=d（X_2、y_2）时，它们在X上是度量等价的。
%现在假设我们将一个函数f从无序的X元素对固定到{1，…，n}。然后选择正实数d_1<=…<=d_n，使得d（x，y）＝d_{f（x，y）}；d_i的所有可能选择的集合使其成为X上的距离函数的n参数族（当n是三角数时，出现这种族的最简单例子：当发生这种情况时，写n=（k2）。那么当|X|=k时，X上所有距离函数的集合就是这样一个族。）这种距离函数的数量，直到公制等价，是a（n）。
%很容易看出，距离函数的等价类在{d_1，…，d_n}上产生了定义良好的弱阶。为了确保任何弱阶都是可实现的，请从整数集合{n-1，…，2n-2}中选择距离，以便自动满足三角形不等式。（结束）
%C a（n）是n个节点上避免模式213、312和321的根标记林的数量。-_Kassie Archer_，2018年8月30日
%C来自_A.H.M.Smeets_，2018年11月17日：（开始）
%C还有n个变量（x_1，…，x_n）的语义不同赋值数，包括同时赋值。从Joerg Arndt（2014年3月18日）给出的示例中，可以通过替换
%C“{i}”by“x_i:=表达式_i（x_1，…，x_n）”，
%C“{i，j}”由“x_i，x_j:=表达式_i（x_1，..，x_n），表达式_j（x_1，…，x_n）”表示，即同时赋值给两个不同的变量（i<>j），
%C类似于对更多变量的同时赋值，以及
%C“<”by“；”，即顺序构造函数。这些例子与第一条评论中的“n个竞争者在竞争中排名的方式数量，考虑到并列的可能性”直接相关。
%C由此也可以得出通过在n个初始值上迭代n个不同的平均函数而获得的不同平均定义的数量。示例：
%AGM（x1，x2）=AGM（x2，x1）由{算术平均值，几何平均值}表示，即在任何迭代步骤中同时赋值；
%C阿基米德方案（对于Pi）由{几何平均}<{调和平均}表示，即在任何迭代步骤中进行顺序赋值；
%两个值的几何平均值也可以用{算术平均值，调和平均值}来观察；
%AGHM（定义见A319215）由{算术平均值、几何平均值、调和平均值}表示，即同时赋值，但在AGHM方案中还有12种其他语义不同的赋值方式。
%C通过应用功率手段（也称为持有者手段），这可以扩展到n的任何值。（结束）
%C n阶置换面体中所有维度的面总数。例如，3阶置换面（六边形）有6个顶点+6条边+1个2面=13个面，4阶置换面形（截断八面体）有24个顶点+36条边+14个2面+1个3面=75个面。A001003是结合面体的类似序列_Noam Zeilberger，2019年12月8日
%C奇数多项式系数的个数N/（a_1！*a_2！*…*a_k！）。这里每个a_i都是正的，和{i}a_i=N（总共是2^{N-1}多项式系数），其中N是二进制展开式为N 1的任何正整数。-里查德·斯坦利，2022年4月5日（2022年10月19日编辑）
%C From _Peter Bala，2022年7月8日：（开始）
%C猜想：设k为正整数。通过减少a（n）模k得到的序列最终是周期的，周期除以φ（k）=A000010（k）。例如，模16，我们得到序列[1，1，3，13，11，13，11,13，13,13，…]，表观周期为2，从a（4）开始。参见A354242。
%C更一般地，我们推测对于具有g（exp（x）-1）形式的e.g.f.的整数序列，同样的性质成立，其中g（x）是一个整数幂级数。（结束）
%C a（n）是构成[n]的置换，然后选择其下降集的子集的方法数_杰弗里·克里泽尔，2023年4月29日
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%F a（n）=和{k=0..n}k！*StirlingS2（n，k）（而Bell数A000110（n）=总和{k=0..n}StirlingS2（n，k））。
%F例如：1/（2-exp（x））。
%F a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）*a（n-k），a（0）=1。
%例如F.y（x）满足y'=2*y^2-y。
%如果n>0，F a（n）=A052856（n）-1。
%如果n>0，F a（n）=A052882（n）/n。
%F a（n）=A076726（n）/2。
%F a（n）渐近于（1/2）*n*log_2（e）^（n+1），其中log_2（e）=1.442695…[Barthelemy80，Wilf90]。
%F对于n>=1，a（n）=（n！/2）*（log（2）+2 Pi ik）^（-n-1）的和{k=-无穷大..无穷}_迪安·希克森_
%F a（n）=（（x*d/dx）^n）（1/（2-x））在x=1时计算_卡罗尔·彭森，2001年9月24日
%F对于n>=1，a（n）=和{k>=1}（k-1）^n/2^k=A000629（n）/2.-_Benoit Cloitre_，2002年9月8日
%F x=2时第n个欧拉多项式（参见A008292）的值。-_Vladeta Jovovic，2003年9月26日
%F 2的幂的第一次欧拉变换[A000079]。FET的定义见A000142_Ross La Haye_，2005年2月14日
%F a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*k*箍筋2（n+1，k+1）*（1+（-1）^k）/2.-_保罗·巴里（Paul Barry），2005年4月20日
%F a（n）+a（n+1）=2*A005649（n）.-_菲利普·德雷厄姆，2005年5月16日-托马斯·维德，2005年5月18日
%F等于A000629的反二项式变换。-_Gary W.Adamson_，2005年5月30日
%F a（n）=和{k=0..n}k*（箍筋2（n+2，k+2）-箍筋2Micha Hofri（Hofri（AT）wpi.edu），2006年7月1日
%F递归：2*a（n）=（a+1）^n其中上标在二项式展开后转换为下标-让人联想到伯努利数“B_n=（B+1）^n.-马丁·科昌斯基（mjk（AT）cardbox.com），2007年5月10日
%F a（n）=（-1）^n*n！*拉盖尔（n，P（（.），2）），本影，其中P（j，t）是A131758中的多项式_汤姆·科普兰，2007年9月27日
%F超几何函数的公式，用Maple符号表示：a（n）=超几何（[2,2…2]，[1,1…1]，1/2）/4，n=1,2…，其中超几何函数中有n个上参数都等于2，n-1个下参数都等于1，参数都等于1/2。示例：a（4）=evalf（hypergeom（[2,2,2,2]，[1,1,1]，1/2）/4）=75.-_卡罗尔·彭森，2007年10月4日
%F a（n）=和{k=0..n}A131689（n，k）.-_Philippe Deléham，2008年11月3日
%F From _Peter Bala，2009年7月1日：（开始）
%F与伯努利数的类比。
%F我们进一步阐述M.Kochanski的上述评论。
%F贝努利多项式B_n（x），n=0.1，。。。，由公式给出
%F（1）。。。B_n（x）：=和{k=0..n}二项式（n，k）*B（k）*x^（n-k），
%F其中B（n）表示伯努利数B（0）=1的序列，
%F B（1）=-1/2，B（2）=1/6，B（3）=0。。。。
%通过类比，我们将多项式{P_n（x）}n>=0的Appell序列与当前序列相关联，该序列由
%F（2）。。。P_n（x）：=和{k=0..n}二项式（n，k）*a（k）*x^（n-k）。
%这些多项式具有与伯努利多项式类似的性质。
%F前几个值是P_0（x）=1，P_1（x，
%F P_2（x）=x^2+2*x+3，P_3（x）=x^3+3*x^2+9*x+13和
%F P_4（x）=x^4+4*x^3+18*x^2+52*x+75。关于这些多项式的系数三角形，请参见A154921。
%F对于这个多项式序列，例如F.是
%F（3）。。。exp（x*t）/（2-exp（t））=1+（x+1）*t+（x^2+2*x+3）*t^2/2！+。。。。
%F多项式满足差分方程
%F（4）。。。2*P_n（x-1）-P_n（x）=（x-1”^n，
%F和so可用于评估整数的加权幂和
%F（1/2）*1^m+（1/2）^2*2^m+（1/2）^3*3^m+…+（1/2）^（n-1）*（n-1）^m
%F通过公式
%F（5）。。。和{k=1..n-1}（1/2）^k*k^m=2*P_m（0）-（1/2），
%F类似于求和1^m+2^m+…+（n-1）^m表示伯努利多项式。
%F最后一个结果可以推广到
%F（6）。。。求和{k=1..n-1}（1/2）^k*（k+x）^m=2*P_m（x）-（1/2）。
%F有关多项式P_n（x）的更多属性，请参阅A154921。
%F有关整数加权幂和和相关多项式序列的更多信息，请参见A162312。
%F当前序列也发生在计算另一个整数幂和时。定义
%F（7）。。。S_m（n）：=和{k=1..n-1}（1/2）^k*（（n-k）*k）^m，m=1,2，。。。。
%F然后
%F（8）。。。S_m（n）=（-1）^m*[2*Q_m（-n）-（1/2）^（n-1）*Q_m（n）]，
%F，其中Q_m（x）是x中的多项式，由
%F（9）。。。Q_m（x）=和{k=0..m}a（m+k）*二项式（m，k）*x^（m-k）。
%F前几个值是Q_1（x）=x+3，Q_2（x）=3*x^2+26*x+75
%F和Q_3（x）=13*x^3+225*x^2+1623*x+4683。
%F例如，m=2表示
%F（10）。。。S_2（n）：=和{k=1..n-1}（1/2）^k*（（n-k）*k）^2
%F=2*（3*n^2-26*n+75）-（1/2）^（n-1）*（3*n^2+26*n+75）。
%F（结束）
%财务报表：1/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/；连分式系数按楼层（（n+2）/2）*（3-（-1）^n）/2（A029578（n+2））给出_保罗·巴里（Paul Barry），2010年3月30日
%财务报表：1/（1-x-2*x^2/（1-4*x-8*x^2/（1-7*x-18*x^ 2/（1-10*x-32*x^/（1../（1-（3*n+1）*x-2*（n+1）^2*x*2/（1-…（连分数））_保罗·巴里（Paul Barry），2010年6月17日
%F G.F.：A（x）=和{n>=0}n*x^n/产品{k=1..n}（1-k*x）.-_Paul D.Hanna，2011年7月20日
%F a（n）=A074206（q_1*q_2*…*q_n），其中{q_i}是不同素数_弗拉基米尔·谢维列夫，2011年8月5日
%F调整后的F。A（x）：=1/（2-exp（x））-1，具有反函数A（x）^-1=积分_｛t=0..x｝1/（（1+t）*（1+2*t））。应用[Dominci，定理4.1]来反演积分，得到a（n）的公式：设f（x）=（1+x）*（1+2*x）。设D是算子f（x）*D/dx。然后a（n）=D^（n-1）（f（x））在x=0时计算。与A050351比较_Peter Bala，2011年8月31日
%F G.F:1+x/（1-x+2*x*（x-1）/（1+3*x*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2011年10月30日
%F a（n）=D^n*（1/（1-x））在x=0时计算，其中D是运算符（1+x）*D/dx。参见A052801.-_Peter Bala，2011年11月25日
%F例如：1+x/（g（0）-2*x），其中g（k）=x+k+1-x*（k+1）/g（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年7月11日
%例如，（2-2*x）*（1-2*x^3/（8*x^2-4*x+（x^2-4*x+2）*g（0））/（x^2-4*x+2）其中g（k）=k^2+k*（x+4）+2*x+3-x*（k+1）*（k+3）^2/g（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年10月1日
%F G.F.：1+x/G（0），其中G（k）=1-3*x*（k+1）-2*x^2*（k+1*）*（k+2）/G（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年1月11日
%F G.F.：1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（1-2*x*（k+1）/G（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年3月23日
%F a（n）总是奇数。对于奇素数p和n>=1，a（（p-1）*n）=0（mod p）_Peter Bala，2013年9月18日
%F G.F:1+x/Q（0），其中Q（k）=1-3*x*（2*k+1）-2*x^2*（2xk+1）*（2k+2）/（1-3*x*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年9月23日
%F G.F.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）^2/（2*x*2*（k+1）^2-（1-x-3*x*k）*（1-4*x-3*x*k）/T（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年10月14日
%F a（n）=log（2）*Integral_{x>=0}楼层（x）^n*2^（-x）dx.-_Peter Bala，2015年2月6日
%F对于n>0，a（n）=Re（多蜂（n，i*log（2）/（2*Pi））/（2*Pi*i）^（n+1））-n/（2*log（2）^（n+1））_弗拉基米尔·雷舍特尼科夫，2015年10月15日
%Fa（n）=Sum_{k=1..n}（k*b2（k-1）*（k）*Stirling2（n，k）），n>0，a（0）=1，其中b2（n）是第n个第二类伯努利数_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2016年11月21日
%F a（n）=和{k=0..2^（n-1）-1}A284005（k），n>0，a（0）=1.-_Mikhail Kurkov，2018年7月8日[需要验证]
%F a（n）=A074206（k），对于具有n个素因子的无平方k。特别是a（n）=A074206（A002110（n））_Amiram Eldar_，2019年5月13日
%F对于n>0，a（n）=-（-1）^n/2*PHI（2，-n，0），其中PHI（z，s，a）是Lerch zeta函数_Federico Provvedi，2020年9月5日
%F a（n）=s_n}乘积{i=1..n}二项式（i，s（i）-1）中的和{s，其中s的范围在[n].-的置换集s_n上_Jose A.Rodriguez，2021年2月2日
%F总和{n>=0}1/a（n）=2.425674839121428857970063350004993937066410932870188408577170864211946122664…-Vaclav Kotesovec_，2021年6月17日
%F From _ Jacob Sprittulla，2021年10月5日：（开始）
%F对于具有偶数或奇数第二个参数的第二类Stirling数的和，以下恒等式成立：
%F a（n）=2*和{k=0..层（n/2）}（2k）！*箍筋2（n，2*k））-（-1）^n=2*A052841-（-1）
%F a（n）=2*和{k=0..层（n/2）}（（2k+1）！*箍筋2（n，2*k+1））+（-1）^n=2*A089677+（-1
%F a（n）=和{k=1..层（（n+1）/2）}（（2k-1）！*箍筋2（n+1,2*k）
%F a（n）=和{k=0..层（（n+1）/2）}（（2k）！*箍筋2（n+1,2*k+1））。（结束）
%e将点标记为1,2,3，。。。
%e a（2）=3:1<2，2<1，1=2。
%e a（3）=13来自13个排列：1<2<3，1<3<2，2<1<3，2<3<1，3<1<2，3<2<1，1=2<3 1=3<2、2=3<1、1<2=3、2<1=3、3<1=2、1=2=3。
%e三名选手可以以13种方式完成比赛：1、2、3；1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2；3,2,1; 1,1,3; 2,2,1; 1,3,1; 2,1,2; 3,1,1; 1,2,2；1,1,1。
%e a（3）=13。3个顶点上的13个平面增加的0-1-2树，其中出度1的顶点有3种颜色，出度2的顶点有2种颜色，如下所示：
%e。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
%e。。。。。。。。1（x3色）。。。。。1（x2色）。。。。1（x2色）。。
%e……….|…………../.\……../。。。。。。。。。。。。
%e。。。。。。。。2（x3色）。。。2...3...........3...2...........
%e…………..|。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
%e。。。。。。。。三。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
%e……===…………..===。。。。。。。。。。。。
%e、。总计9……+。。。。。。。。。。2....+..........2....=..13....
%e。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
%e a（4）=75。4个顶点上75个非平面增加的0-1-2树，其中伸出度1的顶点有3种颜色，伸出度2的顶点有4种颜色，如下所示：
%e。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
%e。。。。。1（x3）。。。。。1（x4）。。。。。。。1（x4）。。。。。1（x4）。。。。。。。。1（x3）。。。。。。。
%e…..|…………/.\……/.\……./.\。。。。。。。。。。。
%e。。。。。2（x3）。。。2…3.（x3）。。3…2（x3）.4…2（x 3）。。。。。。2（x4）。。。。。。。
%e…..|…………..\………..\……../。。。。。。。。。。
%e。。。。。3.（x3）。。。。。。。。。4...........4.........3......3...4.........
%e…..|。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
%e。。。。。4.........................................................
%e….===……====。。。。。。。。。
%e总计27….+。。。。12......+...12....+...12.......+...12...=...75
%e来自Joerg Arndt_，2014年3月18日：（开始）
%e字母表{1,2,3}上的a（3）=13个字符串包含出现的最大值之前的所有字母，相应的有序集分区为：
%e 01:[1 1 1]{1，2，3}
%e 02:[1 1 2]{1，2}<{3}
%e 03：[1 2 1]{1，3}<{2}
%e 04:[2 1 1]{2，3}<{1}
%e 05:[1 2 2]{1}<{2，3}
%e 06:[2 1 2]{2}<{1，3}
%e 07:[2 2 1]{3}<{1，2}
%e 08：[1 2 3]{1}<{2}<{3}
%e 09:[1 3 2]{1}<{3}<{2}
%e 00:[2 1 3]{2}<{1}<{3}
%e 11:[2 3 1]{3}<{1}<{2}
%e 12:[312]{2}<{3}<{1}
%e 13:[3]{3}<{2}<{1}
%e（结束）
%p A000670:=proc（n）选项记忆；局部k；如果n<=1，则另加1（二项式（n，k）*A000670（n-k），k=1..n）；fi；结束；
%p与（combstruct）；SeqSetL:=[S，{S=序列（U），U=集合（Z，卡>=1）}，标记]；seq（计数（SeqSetL，大小=j），j=1..12）；
%p与（组合）：a:=n->add（加法（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..n），k=0..n）：seq（a（n），n=0..18）；#_Zerinvary Lajos，2007年6月3日
%p a:=n->add（组合：-欧拉1（n，k）*2^k，k=0..n）：#_Peter Luschny_，2015年1月2日
%p a:=n->（polylog（-n，1/2）+`if`（n=0,1,0））/2:seq（round（evalf（a（n），32）），n=0..20）；#_Peter Luschny_，2015年11月3日
%p#下一个Maple程序：
%p b:=proc（n，k）选项记忆；
%p`如果`（n=0，k！，k*b（n-1，k）+b（n-l，k+1））
%p端：
%pa:=n->b（n，0）：
%p序列（a（n），n=0..20）；#_阿洛伊斯·海因茨，2021年8月4日
%t表[（PolyLog[-z，1/2]+KroneckerDelta[z]）/2，{z，0，20}]（*_Wouter Meeussen_*）
%ta[0]=1；a[n]：=a[n]=和[二项式[n，k]*a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，30}]（*_Roger L.Bagula_和_Gary W.Adamson_，2008年9月13日*）
%t t=30；范围[0，t]！系数列表[系列[1/（2-实验[x]），{x，0，t}]，x]（*_文森佐图书馆_，2014年3月16日*）
%t a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（2-实验@x)，{x，0，n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2015年6月19日*）
%t表[总和[k^n/2^（k+1），{k，0，无限}]，{n，0,20}]（*_Vaclav Kotesovec_，2015年6月26日*）
%t表[HurwitzLerchPhi[1/2，-n，0]/2，{n，0，20}]（*Jean-François Alcover_，2016年1月31日*）
%t Fubini[n_，r]：=总和[k！*总和[（-1）^（i+k+r）*（i+r）^[n-r）/（i！*（k-i-r）！），{i，0，k-r}]，{k，r，n}]；福比尼[0,1]=1；表[Fubini[n，1]，{n，0，20}]（*Jean-François Alcover_，2016年3月31日*）
%t欧拉1[0，0]=1；欧拉数1[n_，k_]：=和[（-1）^j（k-j+1）^n二项式[n+1，j]，{j，0，k+1}]；表[总和[Eulerian1[n，k]2^k，{k，0，n}]，{n，0，20}]（*Jean-François Alcover_，2019年7月13日，在_Peter Luschny_*之后）
%t前缀[表[-（-1）^k HurwitzLerchPhi[2，-k，0]/2，{k，1，50}]，1]（*_Federico Provvedi_，2020年9月5日*）
%t表[总和[k！*StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]，{n，0，20}]（*_Vaclav Kotesovec_，2020年11月22日*）
%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（subst（1/（1-y），y，exp（x+x*o（x^n））-1），n））}；/*_迈克尔·索莫斯，2004年3月4日*/
%o（PARI）Vec（serlaplace（1/（2-exp（'x+o（'x^66））））/*_Joerg Arndt_，2011年7月10日*/
%o（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，m！*x^m/prod（k=1，m，1-k*x+x*o（x^n）），n）}/*Paul D.Hanna，2011年7月20日*/
%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，和（k=1，n，二项式（n，k）*a（n-k））}；/*_Michael Somos，2017年7月16日*/
%o（Maxima）makelist（总和（stirling2（n，k）*k！，k、 0，n），n，0,12）；/*_Emanuele Munarini_，2011年7月7日*/
%o（最大值）a[0]：1$a[n]：=和（二项式（n，k）*a[n-k]，k，1，n）$A000670（n）：=a[n]$清单（A000670（n），n，0.30）；/*_Martin Ettl_，2012年11月5日*/
%o（鼠尾草）
%o@CachedFunction
%o def A000670（n）：如果n==0，则返回1，否则相加（A000667（k）*范围（n）中k的二项式（n，k））
%o[A000670（n）代表n in（0..20）]#_Peter Luschny_，2012年7月14日
%o（哈斯克尔）
%o a000670 n=a000670_列表！！n个
%o a000670_list=1:f[1]（映射尾部$tail a007318_tabl），其中
%o f xs（bs:bss）=y:f（y:xs）bss其中y=总和$zipWith（*）xs bs
%o——Reinhard Zumkeller，2014年7月26日
%o（Python）
%o来自数学导入阶乘
%o来自sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
%o def A000670（n）：返回和（阶乘（k）*范围（n+1）中k的斯特林（n，k））#_Chai Wah Wu_，2022年11月8日
%Y有关实际优惠安排的列表，请参见A240763。
%Y A000629，这个序列，A002050，A032109，A052856，A076726都是或多或少相同的序列_N.J.A.Sloane，2012年7月4日
%A052841的Y二项式变换。A000629的二项式逆变换。
%Y渐近到A034172。
%Y参见A002144、A002869、A004121、A004122、A007047、A007318、A048144、P053525、A080253、A080254、A011782、A154921、A162312、A163204、A242280、A261959、A290376、A074206。
%Y行r=1，共A094416行。A226513中数组的第0行。A262809第n=1行。
%Y主对角线：A135313、A261781、A276890、A327245、A327583、A32758。
%Y行三角形A019538、A131689、A208744和A276891的总和。
%Y A217389和A239914给出了部分总和。
%A326322的Y列k=1。
%K nonn，core，nice，easy，changed
%0、3
%A·N·J·A·斯隆_
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