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(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A154921 按行读取的三角形,T(n,k)=C(n,k)*和{j=0..n-k}E(n-k,j)*2^j,其中E(n,k)是欧拉数A173018型(n,k),n>=0,0<=k<=n。 13
1,1,1,3,2,1,13,9,3,1,75,52,18,4,1,541,375,130,30,5,1,4683,3246,1125,260,45,6,1,47293,32781,11361,2625,455,63,7,1,545835,378344,131124,30296,5250,728,84,8,1,70872614912515,1702548,393372,68166,9450,1092,108,9,1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

旧名:矩阵逆邮编:A154926.

A000670型出现在第一列中。A052882号出现在第二列。A000027号A045943号显示为对角线。求矩阵逆的另一种方法邮编:A154926将右下角的项移到同一列中的某个位置,然后计算行列式,得到相同的答案。

(2*I-P)的矩阵逆,其中P是Pascal的三角形,I是单位矩阵。看到了吗邮编:A162312关于(2*P-I)的矩阵逆及关于M(a):=(I-a*P)^-1形式的数组及其与整数加权幂和的关系的一般性评论。当前数组等于1/2*M(1/2)。-彼得·巴拉2009年7月1日

这个三角形中的值可以看作是Pascal三角形的永久值,类似于Redheffer矩阵中的方法。这些元素满足T(n,k)/T(n,k-1)*k=T(n-1,k)/T(n,k)*n,其收敛到对数(2)为n-->无穷大和k-->0。更一般地计算log(x)乘以邮编:A154926用1/(x-1)计算矩阵的逆。然后T(n,k)/T(n,k-1)*k和T(n-1,k)/T(n,k)*n收敛到log(x)。-马茨格兰维克2009年8月11日

当x大于5时,这种计算log(x)的方法比泰勒级数收敛更快。请参阅《明镜》中有关泰勒级数的章节进行比较。-马茨格兰维克2009年8月11日

指数Riordan阵列[1/(2-exp(x)),x]。-保罗·巴里2011年4月6日

{T,k是第一个包含1,n个分块的有序元素。对于k=0,第一个块包含任意多个元素。-杰弗里·克里特2013年7月22日

这些多项式的自然(有符号)精化由Appell序列给出,例如f.e^(xt)/f(t)=exp[tP(x)],形式泰勒级数f(x)=1+x[1]x+x[2]x^2/2!+ ... 用提升算子R=x-d[log(f(d)]/dD(cf。A263634号). -汤姆·科普兰2015年11月6日

参考文献

默里R.斯皮格尔,《数学手册》,沙姆提纲,第111页。

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..140行,展平

R、 B.尼尔森,问题E3062,艾默尔。数学。月刊,第94卷,第4期(1987年4月),第376-377页。

R、 B.Nelsen和H.Schmidt,Jr。,动力链装置,数学杂志,第64卷,第1期(1991年2月),第23-31页。

公式

彼得·巴拉2009年7月1日:(开始)

表条目

(1) 。。。T(n,k)=二项式(n,k)*A000670型(n-k)。

生成函数

(2) 。。。经验(x*t)/(2-exp(t))=1+(1+x)*t+(3+2*x+x^2)*t^2/2!+ ....

行多项式的性质

行生成多项式R\n(x)形成Appell序列。它们出现在对幂集偏序集的研究中[Nelsen和Schmidt]。

前几个值是R_0(x)=1,R_1(x)=1+x,R_2(x)=3+2*x+x^2和R_3(x)=13+9*x+3*x^2+x^3。

行多项式可通过以下方式递归计算

(3) 。。。R_n(x)=x^n+和{k=0..n-1}二项式(n,k)*R_k(x)。

显式公式包括

(4) 。。。R\n(x)=1/2*和{k=0..inf}(1/2)^k*(x+k)^n,

(5) 。。。R\n(x)=和{j=0..n}和{k=0..j}(-1)^(j-k)*二项式(j,k)*(x+k)^n,

(6) 。。。R\n(x)=和{j=0..n}和{k=j..n}k!*斯特林2(n,k)*二项式(x,k-j)。

整数的幂和

行多项式满足差分方程

(7) 。。。2*R_m(x)-R_m(x+1)=x^m,

很容易得到整数的加权幂和

(8) 。。。和{k=1..n-1}(1/2)^k*k^m=2*R\u m(0)-(1/2)^(n-1)*R_m(n)。

例如,m=2给出

(9) 。。。和{k=1..n-1}(1/2)^k*k^2=6-(1/2)^(n-1)*(n^2+2*n+3)。

更普遍的是

(10) 。。。和{k=0..n-1}(1/2)^k*(x+k)^m=2*R ium(x)-(1/2)^(n-1)*R_m(x+n)。

与其他序列的关系

数据库中由行多项式的特定值给出的序列是

(11) 。。。A000670型(n) =R\n(0)

(12) 。。。A052841号(n) n=1个

(13) 。。。A000629号(n) =R\n(1)

(14) 。。。A007047号(n) =R\n(2)

(15) 。。。A080253号(n) =2^n*R\n(1/2)。

最后一个结果是多项式2^n*R\n(1/2+x/2)是行生成多项式的结果的特殊情况(x=0)邮编:A162313.

上述公式应与邮编:A162312.

(结束)

...邮编:A151919=R\n(1/3)*3^n*(-1)^n

...A052882号x(单位=1)

...A045943号=[x^(n-1)]R\n+1(x)

...A099880号=[x^n]R\u 2n(x)。-彼得·卢什尼2012年7月15日

多项式p{0}(x)=1和p{n}(x)=sum{k=0..n-1}二项式(n,k)*p{k}(0)*(1+x^(n-k))的升序系数。-彼得·卢什尼2012年7月15日

例子

彼得·巴拉2009年7月1日:(开始)

三角形开始

==============================================

n\k |…..0…..1…..2…..3…..4…..5…..6

==============================================

0….|…..1

1….|…..1…..1

2….|…..3…..2…..1

3…..13…..9…..3…..1

4…..75….52….18…..4…..1

5…..541…375…130…30…..5…..1

6…..4683..3246..1125…260….45…..6…..1

...

(结束)

马茨格兰维克2009年8月11日:(开始)

第4行等于75,52,18,4,1,因为:

1,0,0,0,1..1,0,0,0,0..1,0,0,0..1,0,0,0,0..1,0,0,0,0,0

1,1,0,0,0..1,1,0,0,1..1,1,0,0,0..1,1,0,0,0..1,1,0,0,0

1,2,1,0,0..1,2,1,0,0..1,2,1,0,1..1,2,1,0,0..1,2,1,0,0

1,3,3,1,0..1,3,3,1,0..1,3,3,1,0..1,3,3,1,1..1,3,3,1,0

1,4,6,4,0..1,4,6,4,0..1,4,6,4,0..1,4,6,4,0..1,4,6,4,1

是:

75………52………18………4………1

(结束)

枫木

邮编:A154921_行:=proc(n)local i,p;p:=proc(n,x)选项记住;local k;

如果n=0,则1加上(p(k,0)*二项式(n,k)*(1+x^(n-k)),k=0..n-1)fi结束:

顺序(系数(p(n,x),x,i),i=0..n)结束:对于n从0到5 do邮编:A154921_第(n)行od;

#彼得·卢什尼2012年7月15日

T:=(n,k)->二项式(n,k)*加法(组合:-eulerian1(n-k,j)*2^j,j=0..n-k):

n..0(n=0,n=0)#彼得·卢什尼2015年2月7日

#第三个枫树计划:

b: =过程(n)b(n):=`如果`(n=0,1,加上(b(n-j)/j!,j=1..n))结束:

T: =(n,k)->n!/k!*b(n-k):

n..0,n=12,n=0#海因茨2019年2月3日

数学

nn=8;a=Exp[x]-1;

地图[选择[#,#>0&]&,

转置[

表[范围[0,nn]!系数表[

系列[x^n/n!/(1-a),{x,0,nn}],x],{n,0,nn}]]]]//网格(*杰弗里·克里特2013年7月22日*)

E1[n_2;n>=0,0]=1;E1[n_2;k]/;k<0 | | k>n=0;E1[n,k]=(n-k)E1[n-1,k-1]+(k+1)E1[n-1,k];

T[n,k_u]:=二项式[n,k]和[E1[n-k,j]2^j,{j,0,n-k}];

Table[T[n,k],{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2018年12月30日,之后彼得·卢什尼*)

黄体脂酮素

(圣人)

@缓存函数

定义聚乙烯(n,x):

如果n==0,则返回1,否则将范围(n)中的k加上(Poly(k,0)*二项式(n,k)*(x^(n-k)+1)

R=多项式环(ZZ,'x')

对于n in(0..6):print(R(Poly(n,x)).list())#彼得·卢什尼2012年7月15日

交叉引用

囊性纤维变性。A000629号(行总和),A000670型,A007047号,A052822号(第1列),A052841号(其他行总和),A080253号,邮编:A162312,邮编:A162313.

囊性纤维变性。甲2634.

T(2n,n)给出A099880号.

上下文顺序:A134090 邮编:A132845 A129652号*A127126型 邮编:A161133 A112911年

相邻序列:邮编:A154918 邮编:A154919 邮编:A154920*邮编:A154922 邮编:A154923 邮编:A154924

关键字

不,不,

作者

马茨格兰维克2009年1月17日

扩展

一个新的更简单的名字由彼得·卢什尼2015年2月7日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年12月3日02:27。包含338898个序列。(运行在oeis4上。)