显示找到的107个结果中的1-10个。
1, 2, 7, 14, 23, 46, 53, 97, 106, 151, 161, 194, 227, 302, 311, 322, 371, 419, 454, 541, 622, 661, 679, 742, 827, 838, 1009, 1057, 1082, 1193, 1219, 1322, 1358, 1427, 1589, 1619, 1654, 1879, 2018, 2114, 2143, 2177, 2231, 2386, 2437, 2438, 2741, 2854, 2933
评论
整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）*…*质数（yk）。
例子
术语序列及其素数开始于：
1: {}
2: {1}
7: {4}
14: {1,4}
23: {9}
46: {1,9}
53: {16}
97: {25}
106: {1,16}
151: {36}
161: {4,9}
194: {1,25}
227: {49}
302: {1,36}
311: {64}
322: {1,4,9}
371: {4,16}
419: {81}
454: {1,49}
541: {100}
数学
选择[Range[1000]，和@@Cases[FactorInteger[#]，{p_，k_}:>k==1&IntegerQ[Sqrt[PrimePi[p]]&]
交叉参考
囊性纤维变性。A001156号,A005117号,A011757号,A033461号,A052335号,A056239美元,A062457号,A078135型,A112798号,A117144号,A276078型.
1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128, 2229, 2929, 3022, 4481, 34542, 34951, 36996, 58091, 292949, 437728, 438237, 2103581, 2237158, 3215950, 3375578
例子
2229在序列中是因为A033461号(2229) = 51267 = 23 * 2229.
数学
最大值=100；p=常量数组[0，最大^2+1]；p[[1]=1；p[2]]=1；做[做[p[[j+1]]+=p[[j-k^2+1]]，{j，最大^2，k^2，-1}]，{k，2，最大}]；选择[Range[1，max^2]，Divisible[p[[#+1]]，#]&]
将n划分为正方形的数量。
（原名M0221 N0079）
+10
111
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 10, 10, 12, 13, 14, 14, 16, 19, 20, 21, 23, 26, 27, 28, 31, 34, 37, 38, 43, 46, 49, 50, 55, 60, 63, 66, 71, 78, 81, 84, 90, 98, 104, 107, 116, 124, 132, 135, 144, 154, 163, 169, 178, 192, 201, 209, 220, 235, 247, 256
评论
当然p_{4*square}（n）>0。事实上，p_{4*square}（32n+28）=3乘以p_{4*square}（8n+7），p__{4*square{（72n+69）是偶数。这些似乎是函数p_{4*square（n）}所具有的唯一算术属性。类似的结果适用于划分为正方形、不同正方形和不同正方形-迈克尔·戴维·赫施霍恩2005年5月5日
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
J.Bohman等人。，正方形分区，Nordisk Tidskr。信息行为处理（BIT）19（1979），297-301。
J.Bohman等人。，方形分区，Nordisk Tidskr。信息处理（BIT）19（1979），297-301。（带注释的扫描副本）
G.H.Hardy和S.Ramanujan，组合分析中的渐近公式《伦敦数学学会会刊》，第2期，第十六期，1917年，第373页。
配方奶粉
G.f.：产品{m>=1}1/（1-x^（m^2））。
通用公式：和{n>=0}x^（n^2）/产品{k=1..n}（1-x^，k^2））-保罗·D·汉纳2012年3月9日
a（n）=f（n，1,3），其中f（x，y，z）=如果x<y，则0^x否则f（x-y，y，z）+f（x、y+z，z+2）-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月8日
猜想（Jan Bohman，Carl-Erik Fröberg，Hans Riesel，1979）：a（n）~c*n^（-alfa）*exp（beta*n^（1/3）），其中c=1/18.79656，beta=3.30716，alfa=1.16022-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月19日
这些常数的正确值为：
1/c=平方（3）*（4*Pi）^（7/6）/泽塔（3/2）^[2/3）=17.49638865935104978665。。。
alfa=7/6=1.16666666666666666666。。。
β=3/2*（Pi/2）^（1/3）*Zeta（3/2）^。。。
a（n）~3^（-1/2）*（4*Pi*n）^（-7/6）*Zeta（3/2）^。【哈迪和拉马努扬，1917年】
（结束）
例子
p_{4*square}（23）=1，因为23=3^2+3^2+2^2+1^2，并且没有其他23的分块。
通用公式：A（x）=1+x+x^2+x^3+2*x^4+2*x^5+2*x*^6+2*x^7+。。。
A（x）=1/（（1-x）*（1-x^4）*（2-x^9）*（1-1x^16）*（1x^25）*…）
A（x）=1+x/（1-x）+x^4/（1-x）*（1-x^4））+x*9/。。。
a（14）=6整数分为正方形的分块为：
(941)
(911111)
(44411)
(44111111)
(41111111111)
(11111111111111)
而a（14）＝6个整数分区，其中k的多重性是所有k的k的倍数
(333221)
(33311111)
(22222211)
(2222111111)
(221111111111)
(11111111111111)
（结束）
MAPLE公司
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
b（n，i-1）+`if`（i^2>n，0，b（n-i^2，i））
结束时间：
a： =n->b（n，isqrt（n））：
数学
系数列表[系列[积[1/（1-x^（m^2）），{m，70}]，{x，0，68}]，x]（*或*）
联接[{1}，表[长度@功率表示[n，n，2]，{n，68}]](*罗伯特·威尔逊v2005年4月12日，2011年9月27日修订*）
f[n_]：=长度@整数分区[n，全部，范围@Sqrt@n^2]；数组[f，67](*罗伯特·威尔逊v2013年4月14日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n、i-1]+如果[i^2>n，0，b[n-i^2，i]]]；a[n_]：=b[n，Sqrt[n]//楼层]；表[a[n]，{n，0，120}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗，2015年11月2日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a001156=p（尾部a000290_list），其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
（PARI）{a（n）=polceoff（1/prod（k=1，平方（n+1），1-x^（k^2）+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2012年3月9日
（PARI）{a（n）=极系数（1+sum（m=1，sqrtint（n+1），x^（m^2）/prod（k=1，m，1-x^（k^2）+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2012年3月9日
（岩浆）m:=70；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&*[1/（1-x^（k^2））：k in[1..（m+2）]]））//G.C.格鲁贝尔2018年11月11日
交叉参考
囊性纤维变性。A001462号,A003114号,A006141号,A011757号,A039900型,A047993号,A052335号,A062457号,A064174号,A078135型,A109298号,17144年.
扩展
更多术语来自Gh.Niculescu（ghniculescu，AT）yahoo.com），2006年10月8日
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 0, 3, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 4, 6, 4, 2, 5, 4, 2, 6, 5, 3, 7, 6, 3, 5, 5, 5, 6, 5, 4, 7, 7, 6, 8, 6, 5, 9, 7, 4, 9, 9, 6, 10, 9, 4, 9, 10, 8, 11, 11, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 14, 14, 7, 14, 14, 7, 15, 15, 8, 15, 17, 13
配方奶粉
对于n>0：a（n）=b（n，1），其中b（n、k）=如果n>k*（k+1）/2，则b（n-k*（k+1）/2、k+1）+b（n和k+1）else（如果n=k*（k+1）/2则1 else 0）-莱因哈德·祖姆凯勒2003年8月26日
a（n）~exp（3*Pi^（1/3）*（（sqrt（2）-1）*Zeta（3/2））^（2/3）*n^（1/3）/2^（4/3））*（sqrt（2）-1）*Zeta（3/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月2日
例子
a（31）计算这些分区：[28,3]，[21,10]，[21,6,3,1]，[15,10,6]克拉克·金伯利2014年3月9日
数学
删除[系数列表[系列[产品[（1+x^（k*（k+1）/2））），{k，1，15}]，{x，0，102}]，x]，1]
（*也*）
t=表[n（n+1）/2，{n，1200}]；p[n_]：=整数分区[n，All，t]；表[p[n]，{n，0，12}]（*显示无限制分区*）
d[n_]：=选择[p[n]，最大[Length/@Split@#]==1&]；表[d[n]，{n，1，31}]（*显示严格分区*）
表[长度[d[n]]，{n，1，70}](*克拉克·金伯利2014年3月9日*）
nmax=100；nn=楼层[Sqrt[8*nmax+1]/2]+1；poly=常量数组[0，nn*（nn+1）/2+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=多边形[[j-k*（k+1）/2+1]]，{j，nn*（nn+1）/2，k*（k+1）/2、-1}]，{k，2，nn}]；取[poly，nmax+1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年12月10日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a024940=p$tail a000217_list，其中
p _ 0=1
p（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks（m-k）+p ks m
2, 6, 1, 2, 3, 7, 5, 3, 4, 8, 6, 8, 5, 4, 8, 8, 3, 4, 3, 3, 4, 8, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 9, 2, 4, 0, 7, 1, 6, 3, 0, 5, 7, 0, 8, 0, 0, 6, 5, 2, 4, 0, 0, 0, 6, 3, 4, 0, 7, 5, 7, 3, 3, 2, 8, 2, 4, 8, 8, 1, 4, 9, 2, 7, 7, 6, 7, 6, 8, 8, 2, 7, 2, 8, 6, 0, 9, 9, 6, 2, 4, 3, 8, 6, 8, 1, 2, 6, 3, 1, 1, 9, 5, 2, 3, 8, 2, 9, 7
配方奶粉
等于（2/sqrt（Pi））*积分{x>=0}平方（x）/（exp（x）-1）dx-让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年11月12日
例子
2.6123753486854883433485675679240716305708006524000634075733...
数学
真数字[Zeta[3/2]，10，110][[1]
1, 2, 9, 18, 125, 250, 1125, 2250, 2401, 4802, 21609, 43218, 161051, 300125, 322102, 600250, 1449459, 2701125, 2898918, 4826809, 5402250, 9653618, 20131375, 40262750, 43441281, 86882562, 181182375, 362364750, 386683451, 410338673, 603351125, 773366902, 820677346
评论
有限幂等函数是有限子集上的恒等映射，将空函数计数为空集上的幂等元。
此外，数字的有序素数签名等于不同素数指数的递增顺序。n的素数索引是一个数字m，使得素数（m）除以n。有序素数签名(A124010型)是一个数的素因式分解中的重数（或指数）序列，按素基的顺序进行。素数指数按降序取值的情况是A324571型.
此外，对于支持中的所有m，m的重数为m的整数分区的Heinz数（通过A033461号). 整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）*…*质数（yk）。
也是不同元素的产品A062457号例如，43218=prime（1）^1*prime（2）^2*prime。
（结束）
配方奶粉
和{n>=1}1/a（n）=Product_{n>=1}（1+1/素数（n）^n）=1.6807104966-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月3日
例子
将（质数（i））^j写成i:j，我们有下表的例子：
正整数上有限幂等函数的原码
` ` ` 1 = { }
` ` ` 2 = 1:1
` ` ` 9 = ` ` 2:2
` ` `18 = 1:1 2:2
` ` 125 = ` ` ` ` 3:3
` ` 250 = 1:1 ` ` 3:3
` `1125 = ` ` 2:2 3:3
` `2250 = 1:1 2:2 3:3
` `2401 = ` ` ` ` ` ` 4:4
` `4802 = 1:1 ` ` ` ` 4:4
` 21609 = ` ` 2:2 ` ` 4:4
` 43218 = 1:1 2:2 ` ` 4:4
`161051 = ` ` ` ` ` ` ` ` 5:5
`300125 = ` ` ` ` 3:3 4:4
`322102 = 1:1 ` ` ` ` ` ` 5:5
`600250 = 1:1 ` ` 3:3 4:4
项的序列及其素数索引如下所示。例如，我们有18:{1,2,2}，因为18=prime（1）*prime（2）*price（2）有素数签名{1,2}并且不同的素数索引也是{1,2neneneep。
1: {}
2: {1}
9: {2,2}
18: {1,2,2}
125: {3,3,3}
250: {1,3,3,3}
1125: {2,2,3,3,3}
2250: {1,2,2,3,3,3}
2401: {4,4,4,4}
4802: {1,4,4,4,4}
21609: {2,2,4,4,4,4}
43218: {1,2,2,4,4,4,4}
161051: {5,5,5,5,5}
300125: {3,3,3,4,4,4,4}
322102: {1,5,5,5,5,5}
600250: {1,3,3,3,4,4,4,4}
（结束）
数学
选择[Range[10000]，和@@Cases[If[#==1，{}，FactorInteger[#]]，{p_，k_}:>PrimePi[p]=k]&]
黄体脂酮素
（PARI）是（n）=我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f~，if（素数（f[i，2]）！=f[i，1]，返回（0））；1 \\大卫·A·科内斯2019年3月9日
1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
评论
一般来说，如果m>0且g.f=Product_{k>=1}（1+x^（k^m）），则a（n）~exp（（m+1）*（2^（1/m）-1）*Gamma（1/m）*Zeta（1+1/m）/m^2）^（m/（m+1 m+1））/（平方（（m+1）*Pi）*2^（（2*m+3）/（2*（m+1。
a（12758）=0是此序列中的最后一个零-安蒂·卡图恩2017年8月30日
配方奶粉
G.f.：产品{k>=1}（1+x^（k^3））。
a（n）~exp（2^（7/4）*3^（-3/2）*（2^-（1/3）-1）*Gamma（1/3）*Zeta（4/3））^（3/4）*n^（1/4））*（2（1/3）-1）*Gamma（1/3）*Zeta（3/3））*3/8）/（2（17/8）*3（1/4）*sqrt（Pi）*n（7/8）））。
例子
a（9）=1，因为我们有一个解，[8,1]。
a（216）=2，因为我们有两个解：216=6^3=5^3+4^3+3^3。这也是序列获得大于1的值的第一个点-安蒂·卡图恩2017年8月30日
数学
nmax=10；系数列表[系列[乘积[（1+x^（k^3）），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax^3}]，x]
nmax=10；poly=常量数组[0，nmax^3+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=多边形[[j-k^3+1]]，{j，nmax^3，k^3，-1}]，{k，2，nmax}]；聚
黄体脂酮素
（PARI）A279329型（n，m=1）={my（s=0）；如果（！n，1，for（c=m，n，if（ispower（c，3），s+=A279329型（n-c，c+1））；（s） ）；}\\安蒂·卡图恩2017年8月30日
（PARI）V279329=Vecsmall（产品（k=1，平方（#1=1+O（x^N=39800），3），l+x^k^3）-1）；A279329型（n） =V279329[n+！n]\\需要n*201字节的堆栈（allocateem）来计算序列，只需要（n+1）*8字节来存储向量-M.F.哈斯勒2020年1月5日
2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128
参考文献
S.Lin，《构成积分基的序列的计算机实验》，J.Leech主编，第365-370页，《抽象代数中的计算问题》。牛津佩加蒙，1970年。
Harry L.Nelson，《分区问题》，《数学评论》。，20 (1988), 315-316.
J.Roberts，《整数的诱惑》，数学。美国协会，1992年，第222页。
链接
R.E.Dressler和T.Parker，12,758，数学。公司。28 (1974), 313-314.
数学
nn=50；t=静止[系数列表[系列[乘积[（1+x^（k*k）），{k，nn}]，{x，0，nn*nn}]，x]]；压扁[位置[t，0]](*T.D.诺伊2006年7月24日*）
黄体脂酮素
（PARI）选择（是_A001422号（n，m=n）={m^2>n&&m=sqrtint（n）；n！=m^2&&！while（m>1，isSumOfSquares（n-m^2，m-）&&return）}，[1.128]）\\M.F.哈斯勒2020年4月21日
（任意数量）不同正方形之和：形式为r^2+s^2+t^2+。。。0<=r<s<t<。。。
+10
28
0, 1, 4, 5, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 20, 21, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95, 97
配方奶粉
展开式中的指数^100）*（1+x^121）*（1+x^144）*。。。
对于n>98，a（n）=n+30-查尔斯·格里特豪斯四世，2011年9月2日（这意味着当n>98时，a（n+2）=2*a（n+1）-a（n）。）
数学
lim=10；s={0}；Do[s=并集[s，s+n^2]，{n，lim}]；选择[s，0<=#<=lim^2&](*T.D.诺伊2012年7月10日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n＜1，0，n＝a（n-1）；直到（polceoff（prod（k=1，sqrt（n），1+x^k^2），n），n++）；n）
（哈斯克尔）
a003995 n=a003995_列表！！（n-1）
a003995_list=过滤器（p a000290_list）[0..]
其中p（q:qs）m=m==0|q<=m&&（p qs（m-q）||p qs m）
1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 9, 13, 15, 20, 24, 30, 37, 47, 55, 71, 83, 103, 123, 151, 178, 218, 257, 310, 366, 440, 515, 617, 722, 857, 1003, 1184, 1380, 1625, 1889, 2214, 2570, 3000, 3472, 4042, 4669, 5414, 6244, 7221, 8303, 9583, 10998, 12655, 14502
评论
此外，n的分区数，其中小于k的部分等于所有k的k-乔恩·佩里和弗拉德塔·乔沃维奇2004年8月4日。例如，a（8）=5，因为我们有8=6+2=5+3=4+4=3+2。
整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。Perry和Jovovic的注释中描述的整数分区的Heinz数如下所示A325128型，而名称中描述的整数分区的Heinz数由A325129型。在前一种情况下，前10项计算以下整数分区：
() (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(32) (33) (43) (44) (54)
(42) (52) (53) (63)
(62) (72)
(332) (432)
而在后一种情况下，他们计算如下：
() (2) (3) (22) (5) (6) (7) (8) (63)
(32) (33) (52) (53) (72)
(222) (322) (62) (333)
(332) (522)
(2222) (3222)
（结束）
参考文献
G.E.Andrews、K.Eriksson，《整数分区》，剑桥大学出版社，2004年。参见第48页。
配方奶粉
G.f.：产品{m>0}（1-x^（m^2））/（1-x*m）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月21日
G.f.：产品{i>=1}（总和{j=0..i-1}x^（i*j））-乔恩·佩里2004年7月26日
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3）-3^（1/4）*Zeta（3/2）*n^（1/4）/2^（3/4）-3*Zeta-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年12月30日
例子
n=7:2+5=2+2+3=7:a（7）=3；
n=8:2+6=2+2+2=2=2+3=3+5=8:a（8）=5；
n=9:2+7=2+2+5=2+2+3=3+3+6:a（9）=5。
MAPLE公司
g： =乘积（（1-x^（i^2））/（1-x ^i），i=1..70）：gser:=系列（g，x=0，60）：seq（系数（gser，x^n），n=1.53）#Emeric Deutsch公司2006年2月9日
数学
nn=54；系数列表[Series[Product[Sum[x^（i*j），{j，0，i-1}]，{i，1，nn}]，}x，0，nn}]，x](*罗伯特·威尔逊v2004年8月5日*）
nmax=100；系数列表[系列[乘积[（1-x^（k^2））/（1-x*k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年12月29日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a087153=p a000037_列表，其中
p=0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
（PARI）第一（n）=我的（x='x+O（'x^（n+1）））；Vec（乘积（m=1，平方（n），（1-x^m^2）/（1-x*m））*prod（m=sqrtint（n）+1，n，1/（1-x|m））\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年8月28日
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