关键词：bref-OEIS

序列被认为是无限的。

约瑟夫·西尔弗曼（Joseph Silverman）证明了abc猜想意味着序列中有无限多的素数-贝诺伊特·克洛伊特，2003年1月9日

Graves和Murty（2013）改进了Silverman的结果，表明对于任何固定的k>1，abc猜想意味着有无限多的素数==1（mod k）不在序列中-乔纳森·桑多2013年1月21日

这些数字的平方是以2为基数的费马伪素数(A001567号)和加泰罗尼亚伪素数(A163209号). -T.D.诺伊2003年5月22日

素数p除以调和数H（（p-1）/2）的分子；也就是说，p除以A001008号（第（p-1）/2页）-T.D.诺伊2004年3月31日

在1977年的一篇论文中，威尔斯·约翰逊引用了劳伦斯·华盛顿的一项建议，指出了数字的二进制表示中的重复，这些数字比已知的两个威弗里奇素数少一；即1092=10001000100（基数2）；3510=110110110110（基数2）。也许值得注意的是，1092=444（以16为基数）和3510=6666（以8为基数），因此这些数字是各自基数中单位数的小倍数。这在数学上是否重要似乎还不清楚-约翰·布莱斯·多布森2007年9月29日

A002326号（（a（n）^2-1）/2）=A002326号（a（n）-1）/2）-弗拉基米尔·舍维列夫，2008年7月9日，2008年8月24日

人们认为，如果p=a（n），p^2不除以3^（p-1）-1。对于n＝1和2，这是正确的。请参见A178815号,A178844号,A178900个和Ostafe-Shparlinski（2010）第1.1节-乔纳森·桑多2010年6月29日

这些素数还除以调和数H的分子（floor（（p-1）/4））H.Eskandari（hamid.r.Eskandari（AT）gmail.com），2010年9月28日

1093和3511是满足同余429327^（p-1）==1（modp^2）的素数p。为什么-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年4月7日。这些基础列于A247208型. -马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月25日。请参见A269798型对于所有这些基，质数和复合数，它们都不是2的幂-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年4月7日

A196202号(A049084号（a（1））=A196202号(A049084号（a（2））=1-莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月29日

如果q是素数，q^2除以素数指数Mersenne数，那么q一定是Wieferich素数。两个已知的维埃弗里奇素数都不能划分梅森数。请参阅以下链接中的Will Edgington的Mersenne页面-达兰·吉尔2013年4月4日

PrimeGrid制定的4.97*10^17以下没有其他条款（见以下链接）-马克斯·阿列克塞耶夫2015年11月20日。搜索是通过PrimeGrid的PRPNet完成的，结果没有经过双重检查。由于测试的不可靠性，搜索于2017年5月暂停（参见Goetz，2017）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年4月1日。2020年11月28日，PrimeGrid恢复了搜索（参见Reggie，2020）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2020年11月29日

还有其他素数q>=p吗，q^2除以2^（p-1）-1，其中p是素数-托马斯·奥多夫斯基，2014年11月22日。任何这样的q都必须是Wieferich素数-马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月25日

素数p使得p^2除以2^r-1得到一些r，0<r<p-托马斯·奥多夫斯基，2014年11月28日，更正人马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月28日

由于某些原因，p=a（1）和p=a；换句话说，a（1）和a（2）属于A248865型. -杰佩·斯蒂格·尼尔森2015年7月28日

设r_1、r_2、r_3。。。，r_i是多项式X^（（p-1）/2）-（p-3）的根的集合！*X^（（p-3）/2）-（p-5）！*X ^（（p-5）/2）-…-1.那么p是一个Wieferich素数，当p除以和{k=1，p}（r_k^（（p-1）/2））（参见Jakubec，1994年的例子2）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日

Arthur Wieferich证明，如果p不是这个序列的一个项，那么Fermat最后定理的第一种情况在x、y和z中没有素数指数p的解（参见Wiefrich，1909）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日

设U_n（P，Q）是第一类Lucas序列，e是Legendre符号（D/P），P是不除2QD的素数，其中D=P^2-4*Q。然后，一个素数P，使得U_（P-e）==0（mod P^2）称为“与该对（P，Q）相关联的Lucas-Wieferich素数”。维埃弗里奇素数是与这对（3，2）相关联的卢卡斯-维埃弗里希素数（参见McIntosh，Roettger，2007，第2088页）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日

项的任何重复素因子A000215号是这个序列的一个项。因此，如果存在无限多个非平方自由的费马数，那么这个序列就是无限的，因为没有两个费马数共享一个公因数-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日

如果丢番图方程p^x-2^y=d在正整数（x，y）中有多个解，并且（p，d）不是对（3，1），（3，-5），（3,13）或（5，-3）中的一个，那么p是这个序列的一个项（参见Scott，Styer，2004，定理2的推论）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月18日

奇素数p，使得Chi_（D_0）（p）！=1和Lambda_p（Q（sqrt（D_0））！=1，其中D_0<0是虚二次域Q（sqrt（1-p^2））的基本判别式，Chi和Lambda是Iwasawa不变量（参见Byeon，2006，命题1（i））-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2016年6月25日

如果q是奇素数，k，p是p=2*k+1，k==3（mod 4），p==-1（mod q）和p=/=-1（mod q^3）（雅库贝克，1998，推论2给出p==-5（mod q^）和p=/=-5（mod q ^3））的素数，其乘法阶为q模k=（k-1）/2，q除以实分圆域q（Zeta_p+（Zeta_p）^（-1））的类数，那么q是这个序列的一个项（参见Jakubec，1995，定理1）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月25日

发件人费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年8月6日：（开始）

素数p使得p-1在A240719型.

的主要条款A077816号（参见Agoh，Dilcher，Skula，1997，推论5.9）。

p=素数（n）在序列iff T（2，n）>1中，其中T=A258045型.

p=素数（n）在序列中，如果存在整数k，使得T（n，k）=2，其中T=A258787型.（结束）

猜想：一个整数n>1，使得n^2除以2^（n-1）-1必须是Wieferich素数-托马斯·奥多夫斯基2016年12月21日

上述猜想相当于不存在“魏氏伪素数”（WPSP）的说法。虽然已知存在多个碱基b>1而不是2的碱基b WPSP（参见示例A244752号)，没有已知的base-2 WPSP。由于复合物成为碱-2 WPSP的两个必要条件是，两者都是碱-2费马伪素数(A001567号)它的所有素因子都是维埃弗里奇素数（参见。A270833型)，如中的注释所示A240719型，似乎第一个碱基-2 WPSP（如果存在）可能非常大。这似乎得到了以下猜测的支持：复合物的属性是A001567号和，共A270833型相互“独立”，通过观察A256517型随着n的增加，在x轴平行线y=2处似乎变得“不太稠密”。文献中建议，在某个数x以下可能存在对数（log（x））Wieferich素数的渐近性，这是一个增长到无穷大的函数，但增长速度非常慢。考虑到上述限制，WPSP的数量可能会增长得更慢，这意味着如果存在这样的数量，那么可能远远超出暴力搜索在可预见的未来可能达到的极限。因此，我猜想这个猜想可能是错误的，但反驳或反例的发现可能是非常困难的问题-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2019年1月18日

以德国数学家亚瑟·约瑟夫·阿尔温·威弗里奇（Arthur Josef Alwin Wieferich，1884-1954）的名字命名。a（1）=1093由Waldemar Meissner于1913年发现。a（2）=3511是由N.G.W.H.Beeger于1922年发现的-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月5日

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(178815英镑(A000720号（p））^（p-1）-1）模块p^2=A178900个（n），其中p=a（n）-乔纳森·桑多2010年6月29日

奇素数p是这样的A002326号（（p^2-1）/2）=A002326号（第（p-1）/2页）。请参见A182297号. -托马斯·奥多夫斯基2014年2月4日

wieferich:=proc（n）local nsq，remain，bin，char:if（not isprime（n））then RETURN（“not prime”）fi:nsq:=n^2:remain:=2:bin:=convert（convert，n-1，binary），string）：remain:=（remain*2）mod nsq:bin:=substring（bin，2.length（bin））：while（lengthmod nsq fi:remain:=（remain^2）mod nsq:bin:=substring（bin，2..length（bin））：od:if（bin=“1”）then remain:=（remain*2）mod-nsq fi:if remain=1 then RETURN（“Wieferich prime”）fi:RETURN:（“non-Wieferichprime”

选择[Prime[Range[50000]]，Divisible[2^（#-1）-1，#^2]&](*哈维·P·戴尔2011年4月23日*）

选择[Prime[Range[50000]]，PowerMod[2，#-1，#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2016年5月25日*）

（哈斯克尔）

导入数据。列表（元素索引）

a001220 n=a001220_列表！！（n-1）

a001220_list=地图（a000040.（+1））$elemIndices 1 a196202_list

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月29日

N=10^4；默认值（primelimit，N）；

forprime（n=2，n，如果（Mod（2，n^2）^（n-1）==1，print1（n，“，”））；

\\乔格·阿恩特2013年5月1日

从sympy导入质数

从gmpy2导入powmod

A001220号_如果powmod（2，p-1，p*p）==1，则list=[p代表p in（prime（n）代表n in range（1，10**7））

#柴华武2014年12月3日

（GAP）过滤（[1..50000]，p->IsPrime（p）和（2^（p-1）-1）mod p^2=0）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年4月3日

（岩浆）[p:p在PrimesUpTo（310000）|IsZero（（2^（p-1）-1）mod（p^2））中]//文森佐·利班迪，2019年1月19日

参考与费马最后定理第一种情况相关的类似素数：A007540号,A088164号.

序列“素数p使得p^2除以X^（p-1）-1”：A014127号（X=3），A123692号（X=5），A212583型（X=6），A123693号（X=7），A045616号（X=10），A111027号（X=12），128667英镑（X=13），A234810型（X=14），A242741型（X=15），A128668号（X=17），A244260号（X=18），A090968号（X=19），A242982型（X=20），A298951型（X=22），A128669号（X=23），A306255型（X=26），A306256型（X=30）。

非n,坚硬的,布雷夫,美好的,更多

此序列不同于A061931号在级联过程中，所有最低有效零都被保留。

没有更多条款<10^7-拉尔斯·布隆伯格2011年10月1日

12345->（1）（01）（11）（001）（101）基数2->10111001101基数2=1485，5除以1485。

b=2；c={}；选择[Range[10^4]，Divisible[FromDigits[c=Join[c，Reverse[IntegerDigits[#，b]]，b]，#]&](*罗伯特·普莱斯2020年3月12日*）

（PARI）是（n）=我的（t=[]）；对于（k=1，n，t=concat（t，Vecrev（二进制（k）））；如果（Mod（subst（Pol（t），x，2），n）==0，返回（1），返回（0））\\费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2017年7月6日

非n,基础,布雷夫

由Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）编辑和更新，2002年4月12日

Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的附加评论、更多术语和示例，2001年5月25日

下一项对应于k=317，太大了，无法包括在内：请参见A004023号.

也称为重单位素数或素数重单位。

此外，数字积为1的素数。

这些重单位中的1数也必须是质数。由于（10^k-1）/9中1的数目是k，如果k=p*m，那么（10^（p*m）-1）=（10^p）^m-1=>（10^p-1）/9=q，q除以（10^k-1）。这源于恒等式a^k-b^k=（a-b）*（a^（k-1）+a^b ^（k-1））-西诺·希利亚德2008年12月23日

的子集A020449号, ...,A020457号,A036953号, ..., 参见OEIS索引链接-M.F.哈斯勒2015年7月27日

这个序列中的项，除了11个不是巴西的项外，都是以10为基数的素数单位，所以它们是巴西素数，属于A085104号和A285017型. -伯纳德·肖特2017年4月8日

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S.S.Wagstaff，Jr.，小。，坎宁安项目

a（n）=A002275号(A004023号（n））。

lst={}；Do[If[PrimeQ[p=（10^n-1）/9]，AppendTo[lst，p]]，{n，10^2}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2008年8月22日*）

选择[表[（10^n-1）/9，{n，500}]，PrimeQ](*文森佐·利班迪2014年11月8日*）

选择[Table[FromDigits[PadRight[{}，n，1]]，{n，30}]，PrimeQ](*哈维·P·戴尔2018年4月7日*）

（PARI）对于素数（x=220000，如果（ispseudoprime（（10^x-1）/9），打印1（（10*x-1）/9“，”））\\西诺·希利亚德2008年12月23日

（岩浆）[0..300]|IsPrime（a）中的[a:n，其中a是（10^n-1）div 9]//文森佐·利班迪2014年11月8日

从sympy导入isprime

从itertools导入计数，islice

def agen（）：#术语生成器

从（t表示t in（int（“1”*k）表示计数（1）中的k）的产量，如果是素数（t））

打印（列表（islice（agen（），4））#迈克尔·布拉尼基2022年6月9日

A116692号是repnit素数或repdigit素数的另一个版本-N.J.A.斯隆2023年1月22日

请参见A004023号表示1的数量。

囊性纤维变性。A046413号.

非n,美好的,布雷夫

编辑人马克斯·阿列克塞耶夫2010年11月15日

名称扩展人N.J.A.斯隆2023年1月22日

多雷斯和克莱夫证明，在9.7*10^14之前，没有其他条款。

这些素数是以1910年Mirimanoff的著名结果命名的（见下文），对于费马最后定理第一种情况的失败，指数p必须满足定义中规定的标准。勒奇（见下文）表明，这些素数也会除以调和数H的分子（floor（p/3））。这类似于Wieferich素数(A001220号)除以谐波数H（（p-1）/2）的分子-约翰·布莱斯·多布森2014年3月2日，2015年4月9日

根据各种来源，质数1006003显然是由K.E.Kloss（参见Kloss，1965）发现的-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2020年12月8日

如果除了11和1006003之外没有其他项，那么丢番图方程a^w+a^x=3^y+3^z的唯一解（a，w，x，y，z）是（5，1，1，2，3）（参见Scott，Styer，2006，引理12）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2020年12月10日

以俄罗斯数学家德米特里·塞米诺诺维奇·米里马诺夫（1861-1945）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日

保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《费马大定理13讲》，施普林格出版社，1979年，第23、152-153页。

Alf van der Poorten，《费马大定理注释》，威利出版社，1996年，第21页。

阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。

Chris K.Caldwell，费马商《主要词汇表》。

约翰·布莱斯·多布森，关于模p的特殊调和数H_floor（p/9）和H_loor（p/18），arXiv:2302.02027[math.NT]，2023。

弗朗索瓦·多雷斯（François G.Dorais）和多米尼克·克莱夫（Dominic Klyve），p＜6.7*10^15的Wieferich素数搜索，J.整数序列。，第14卷（2011年），第11.9.2条，第1-14条。

Wilfrid Keller和Jörg Richstein，同余a^（p-1）==1（mod p^r）的解，数学。公司。，第74卷，第250期（2005年），第927-936页。

K.E.Kloss，一些数论计算《国家标准局研究杂志-B.数学和数学物理》，第69B卷，第4期（1965年10月至12月），第335-336页。

马蒂亚斯·勒奇，费马逊商理论（a^（p-1）-1）/p==q（a）《数学年鉴》，第60卷（1905年），第471-490页。

D.米里马诺夫，费马河畔，C.R.学院。科学。巴黎，第150卷（1910），第204-206页。修订为费马特郡《数学杂志》，第139卷（1911年），第309-324页。

行星数学，Wieferich素数.

瑞斯·斯科特和罗伯特·斯泰尔，关于广义Pillai方程+-a^x+-b^y=c《数论杂志》，第118卷，第2期（2006年），第236-265页。

选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[3，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*）

N=10^9；默认值（primelimit，N）；

对于素数（n=2，n，如果（Mod（3，n^2）^（n-1）==1，打印1（n，“，”））；

\\乔格·阿恩特2013年5月1日

从sympy导入质数

从gmpy2导入powmod

A014127号_如果powmod（3，p-1，p*p）==1，则list=[p代表p in（prime（n）代表n in range（1，10**7））#柴华武2014年12月3日

囊性纤维变性。A039951号,A096082号.

序列“素数p使得p^2除以X^（p-1）-1”：A001220号（X＝2），A123692号（X＝5），A212583型（X=6），A123693号（X＝7），A045616号（X=10），A111027号（X=12），A128667号（X=13），A234810型（X=14），A242741型（X=15），A128668号（X=17），A244260号（X=18），A090968美元（X=19），A242982型（X=20），A298951型（X=22），A128669号（X=23），A306255型（X=26），A306256型（X=30）。

非n,坚硬的,布雷夫,更多

编辑人马克斯·阿列克塞耶夫2010年10月20日

更新者马克斯·阿列克塞耶夫2012年1月29日

对于（9+k！）/9为素数的数字k，请参见A137390号.

a={}；做[If[PrimeQ[（n！+9）/9]，AppendTo[a，[（n）+9）/9]]，{n，1，150}]；一

选择[范围[100]/9+1，PrimeQ](*哈维·P·戴尔2017年8月17日*）

（PARI）对于（n=6，1e4，如果（是假时间（t=n！/9+1），打印1（t“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月15日

阿图尔·贾辛斯基2008年4月7日

Wilson-Lagrange定理建议：整数p>1是素数当且仅当（p-1）！==-1（型号p）。参考威尔逊商，A007619号.

序列被认为是无限的。已知下一项大于2*10^13（参见Costa等人，2013）。

威尔逊数的交集A157250型和素数A000040型. -乔纳森·桑多2016年3月4日