可判定集X⊆N上的语句和开放问题,其中包含非正式概念并引用了X上的当前知识

应用计算机科学与数学杂志16 (2):31-35 (2022)
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摘要

设f(1)=2,f(2)=4,f(n+1)=f(n)!对于每个整数n≥2。Edmund Landau的猜想表明,形式为n^2+1的素数的集P(n^2+1)是无限的。Landau猜想暗示了以下未经证明的语句Φ:card(P(n^2+1))<ωP(n^2+1)⊆[2,f(7)]。设B表示方程组:{x_j!=x_k:i,k∈{1,…,9}}{x_i●x_j=x_k:i,j,k∈的{1,..,9}}。方程组{x_1!=x_1,x_1\cdot x_1=x_2,x_2!=x_3,x_3!=x_4,x_4!=x_5,x_5,。。。,x_9,即(1,…,1)和(f(1),。。。,f(9))。已知系统S⊆B在正整数x_1中没有有限个解,。。。,x_9有一个满足max(x_1,…,x_9)>f(9)的解(x_1,…,x_9)∈(N\{0})^9。对于每个已知系统S⊆B,如果集合{(x_1,…,x_9)∈(N\{0})^9:(x_1,…,x_9)解S}的有限性/无限性未知,则语句∃x_1,。。。,x_9∈N\{0}((x_1,…,x_9)解S)∧(max(x_1,…,x_9)>f(9))仍未证明。让∧表示:如果方程组{x_2!=x_3,x_3!=x_4,x_5!=x-6,x_8!=x9,x_1\cdot x_1=x_2,x_3\cdot x_5=x_6,x_4\cdot x _8=x_9,x_5\cdot x _7=x_8}在正整数x_1中最多有有限多个解,。。。,x_9,则每个这样的解(x_1,…,x_9)满足x_1,。。。,x9≤f(9)。报表∧等同于报表Φ。它启发性地证明了Φ语句的合理性。这种对正并没有产生P(n^2+1)的有限性/无限性。我们对P(n^2+1)的无穷性提出了一个新的启发式论证,它不是基于Φ语句。算法总是终止的。我们解释了现有算法(即ZFC中可证明存在的算法)和已知算法(即定义是构造性的且当前已知的算法)之间的区别。假设集合X⊆N的无限性为假或未经证实,我们定义X的哪些元素被分类为已知元素。没有已知集合X⊆N满足条件(1)-(4),并且在数论中广为人知或自然定义,其中该术语仅具有非正式含义。***(1) 无输入的已知算法返回整数n满足卡(X)<ω(2)每个k∈n的已知算法决定k∈X是否存在。(3) 没有输入的已知算法返回语句卡的逻辑值(X)=ω。(4) X有很多元素,虽然到目前为止还没有证明,但人们推测X是无限的。(5) X是自然定义的。X的不定式是错误的或未经证实的。X在具有相同已知元素集的已知集合Y⊆N中具有最简单的定义。***条件(2)-(5)适用于X=P(n^2+1)。语句Φ表示X=P(n^2+1)的条件(1)。集合X={n∈n:区间[-1,n]包含超过29.5+\frac{11!}{3n+1}●sin(n)形式的k+1} 满足条件(1)-(5),但X是自然定义的要求除外。501893∈X。条件(1)成立,n=501893。卡(X[0501893])=159827。X∈[501894,∞)={n∈n:区间[-1,n]至少包含30个k!+1}形式的素数。我们给出了一个表格,其中显示了形式#(条件1)∧(条件2)∧#(条件3)∧*(条件4)∧@(条件5)的可满足连词,其中#表示否定或没有任何符号。没有集合X⊆N将永远满足条件(1)-(4),如果对于每个没有输入的算法,在未来的某一天,计算机将能够在1秒或更短的时间内执行该算法。计算的物理极限推翻了这一假设。

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2017-10-17

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