A002326-OEIS公司

抵消

0,2

换句话说，最小m>0，使得2n+1除以2^m-1。

将牌组恢复到初始状态所需的2n+2张牌的随机洗牌次数。随机洗牌替换列表s（1）、s（2）、。..，s（m）与s（1），s（（i/2）+1），s。..a（1）=2，因为[1，2，3，4]的随机洗牌需要2次迭代[1，2,3,4]->[1，3,2,4]->[1，2,3,4]来恢复原始顺序。

关于计算这个序列的复杂性，请参见巴赫和沙利特的例子，第115页，练习8。

不难证明，如果2n+1是素数，那么2n是a（n）的倍数。但反之则不然。事实上，我们可以证明a（2^（2t-1））=4t。因此，如果n=2^（2t-1），其中，对于任何m>0，t=2^。描述2n可被a（n）整除的所有复合数是一个有趣的问题。 -弗拉基米尔·舍维列夫2008年5月9日

有关a（n）的计算算法，请参阅作者在A179680号. -弗拉基米尔·舍维列夫，2010年7月21日

发件人V.拉曼2012年9月18日，2012年12月10日：（开始）

如果2n+1是素数，则多项式（x^（2n+1）+1）/（x+1）将因子转换为GF（2）上相同阶a（n）的2n/a（n）多项式。

如果（x^（2n+1）+1）/（x+1）在GF（2）上是不可约的，则2n+1是素数，2是本原根（mod 2n+1。A001122号).

对于所有n>0，a（n）是GF（2）上多项式（x^（2n+1）+1）/（x+1）的最大不可约多项式因子的次数。（结束）

a（n）是φ（2n+1）的因子(A000010号（2n+1））。 -道格拉斯·博菲2013年10月21日

猜想：如果p是奇数素数，那么a（（p^3-1）/2）=p*a（（p^2-1）/2）。因为否则a（p^3-1）/2）<p*a。 -托马斯·奥多夫斯基2014年2月10日

对先前猜想的推广：对于每个k>=2，如果p是奇数素数，则A（（p^（k+1））-1）/2）=p*A（（p^k-1）/2）。对这个广义猜想的计算机测试表明，k和p在1000以内都没有反例。 -艾哈迈德·马萨德2020年10月17日

a（n）=a（（n-1）/2），奇数n=2*n+1>=3（n>=1），也是二进制表示法中（1/n）的原始周期长度：（1/n）_2=0.repeat（a[1]a[2]…a[P（n）]），P（n）=a（（n-1）/2）。例如，N=11（N=5），（1/11）_2=0.重复（0001011101），其中P（11）=10=a（5）。证明：在循环中使用循环移位操作σ（向左1步）：σ（（1/N）_2）=.repeat（a[2]…a[P（N）]a[1]）。然后，我们可以证明对于组成sigma^[k]（k=0是单位映射），用十进制记数法写回结果（sigma*k]（（1/N）_2））_10=（1/N）*2^k（mod N）。例如N=11，sigma^[2]（（1/11）_2）=.repeat（0101110100），以10为基数写为4/11，等等。因此P（N）和2模N的阶数是一致的。 -加里·亚当森和沃尔夫迪特·朗2020年10月14日

参考文献

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链接

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埃里克·魏斯坦的数学世界，鸽尾式洗牌法

埃里克·魏斯坦的数学世界，In-Shuffle系列

埃里克·魏斯坦的数学世界，摆脱混乱

埃里克·魏斯坦的数学世界，乘法顺序

维基百科，鸽尾式洗牌法

配方奶粉

a（（3^n-1）/2）=A025192号（n）。 -弗拉基米尔·舍维列夫2008年5月9日

的二等分A007733号：a（n）=A007733号（2*n+1）。 -马克斯·阿列克塞耶夫2009年6月11日

a（（b（n）-1）/2）=n表示奇数n和偶数n，因此b（n/2）！=b（n），其中b（n=A005420型（n）。 -托马斯·奥多夫斯基2014年1月11日

注意，a（2^n-1）=n+1，a（2 ^n）=2*（n+1）。 -托马斯·奥多夫斯基2014年1月16日

a（n）=A056239号(A292239号（n））=A048675号(A292265型（n））。 -安蒂·卡图恩，2017年10月4日

例子

发件人弗拉基米尔·舍维列夫2017年10月3日：（开始）

在作者的评论中，我们计算a（n）的算法A179680号（另请参阅下面的Sage程序）可以用“有限连分式”的形式表示。例如，设n=8，2*n+1=17。我们有

1 + 17

------- + 17

2

------------- + 17

2

------------------- + 17

2

-------------------------- = 1

32

这里的分母是A006519号分子数量：A006519号(1+17) = 2,A006519号(9+17) = 2,A006519号(13+17) = 2,A006519号(15+17) = 32.对这些2次幂的指数求和，我们得到了所需的结果：a（8）=1+1+1+5=8。事实上，我们有（（1*32-17）*2-17）*2-17）*2-17=1。所以32*2*2*2-1==0（mod 17），2^8-1==0。在一般情况下，请注意，所有“部分分数”（实际上是整数）都是区间[1，2*n-1]中模2*n+1的奇余数。很容易证明第一个1不迟于第n步出现。（结束）

枫木

a:=n->`如果`（n=0，1，数字理论：-顺序（2，2*n+1））：

seq（a（n），n=0..72）；

数学

表[乘法顺序[2,2*n+1]，{n，0，100}](*罗伯特·威尔逊v2011年4月5日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n）=如果（n＜0，0，z阶（Mod（2，2*n+1）））/*迈克尔·索莫斯2005年3月31日*/

（岩浆）[1]猫[Modorder（2,2*n+1）：n in[1..72]]； //克劳斯·布罗克豪斯2008年12月3日

（哈斯克尔）

导入数据。列表（findIndex）

导入数据。也许（来自Just）

a002326 n=（+1）$来自Just$

查找索引（（==0）。（`mod`（2*n+1）））$tail a000225_list

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年4月22日

（鼠尾草）

#发件人彼得·卢什尼2017年10月6日：（开始）

如果gcd（n，2）==1，[（0..145）中n的Mod（2，n）.miplicative_order（）]

#算法来自弗拉基米尔·舍维列夫如中所述A179680号并在示例中介绍。

定义A002326VS（n）：

s、 m，N=0，1，2*N+1

为True时：

k=牛顿+米

v=估价（k，2）

s+=v

m=k>>v

如果m==1：断裂

返回s

[A002326VS（n）for n in（0..72）]#（结束）

（GAP）列表（[0..100]，n->OrderMod（2，2*n+1））； #穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月1日

（Python）

从sympy导入n_order

[范围（73）内n的n阶（2,2*n+1）]#赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年7月27日

交叉参考

囊性纤维变性。A003571号,A003573号,A217469号,A070667号-A070683号,A053447号,A053451号,A292239号,A292265型.

囊性纤维变性。A024222号,A006694号（分圆陪集的数量）。

囊性纤维变性。A014664号（2模n阶素数）。

囊性纤维变性。A001122号（2是基元根的素数）。

囊性纤维变性。A216838型（2不是本原根的素数）。

囊性纤维变性。A000010号,A000225号,A005420型,A006519号,A007733号,A025192号,A048675美元,A056239号,A179680号.

平分法给出A274298型,A274299型.

部分金额：A359147型.

上下文中的序列：A131388号 A131393号 A216476型*A285493型 A064273号 A257986型

相邻序列：A002323号 A002324号 A002325号*A002327号 A002328号 A002329号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自大卫·W·威尔逊2000年1月13日

更多术语来自贝诺伊特·克洛伊特2003年4月11日

状态

经核准的