搜索： a014127-编号：a014172
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A001220号
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| 维埃弗里奇素数：素数p，使得p^2除以2^（p-1）-1。 |
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序列被认为是无限的。
约瑟夫·西尔弗曼（Joseph Silverman）证明了abc猜想意味着序列中有无限多的素数-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月9日
Graves和Murty（2013）改进了Silverman的结果，表明对于任何固定的k>1，abc猜想意味着有无限多的素数==1（mod k）不在序列中-乔纳森·桑多2013年1月21日
在1977年的一篇论文中，威尔斯·约翰逊引用了劳伦斯·华盛顿的一项建议，指出了数字的二进制表示中的重复，这些数字比已知的两个威弗里奇素数少一；即1092=10001000100（基数2）；3510=110110110110（基数2）。也许值得注意的是，1092=444（以16为基数）和3510=6666（以8为基数），因此这些数字是各自基数中单位数的小倍数。这在数学上是否重要似乎还不清楚-约翰·布莱斯·多布森2007年9月29日
这些素数也除以调和数H的分子（floor（（p-1）/4））H.Eskandari（hamid.r.Eskandari（AT）gmail.com），2010年9月28日
如果q是素数，q^2除以素数指数Mersenne数，那么q一定是Wieferich素数。两个已知的维埃弗里奇素数都不能划分梅森数。请参阅以下链接中的Will Edgington的Mersenne页面-达兰·吉尔2013年4月4日
还有其他素数q>=p吗，q^2除以2^（p-1）-1，其中p是素数-托马斯·奥多夫斯基2014年11月22日。任何这样的q都必须是Wieferich素数-马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月25日
设r_1、r_2、r_3。。。，r_i是多项式X^（（p-1）/2）-（p-3）的根的集合！*X^（（p-3）/2）-（p-5）！*X ^（（p-5）/2）-…-1.那么p是一个Wieferich素数，当p除以和{k=1，p}（r_k^（（p-1）/2））（参见Jakubec，1994年的例子2）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日
设U_n（P，Q）是第一类Lucas序列，e是Legendre符号（D/P），P是不除2QD的素数，其中D=P^2-4*Q。然后，一个素数P，使得U_（P-e）==0（mod P^2）称为“与该对（P，Q）相关联的Lucas-Wieferich素数”。维埃弗里奇素数是与这对（3，2）相关联的卢卡斯-维埃弗里希素数（参见McIntosh，Roettger，2007，第2088页）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日
如果丢番图方程p^x-2^y=d在正整数（x，y）中有多个解，并且（p，d）不是对（3，1），（3，-5），（3,13）或（5，-3）中的一个，那么p是这个序列的一个项（参见Scott，Styer，2004，定理2的推论）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月18日
奇素数p，使得Chi_（D_0）（p）！=1和Lambda_p（Q（sqrt（D_0））！=1，其中D_0<0是虚二次域Q（sqrt（1-p^2））的基本判别式，Chi和Lambda是Iwasawa不变量（参见Byeon，2006，命题1（i））-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2016年6月25日
如果q是奇素数，k，p是p=2*k+1，k==3（mod 4），p==-1（mod q）和p=/=-1（mod q^3）（雅库贝克，1998，推论2给出p==-5（mod q^）和p=/=-5（mod q ^3））的素数，其乘法阶为q模k=（k-1）/2，q除以实分圆域q（Zeta_p+（Zeta_p）^（-1））的类数，那么q是这个序列的一个项（参见Jakubec，1995，定理1）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月25日
的主要条款A077816号（参见Agoh，Dilcher，Skula，1997，推论5.9）。
p=素数（n）在序列中，如果存在整数k，使得T（n，k）=2，其中T=A258787型.（结束）
猜想：一个整数n>1，使得n^2除以2^（n-1）-1必须是Wieferich素数-托马斯·奥多夫斯基2016年12月21日
上述猜想相当于不存在“魏氏伪素数”（WPSP）的说法。虽然已知存在多个碱基b>1而不是2的碱基b WPSP（参见示例A244752号)，没有已知的base-2 WPSP。由于复合物成为碱-2 WPSP的两个必要条件是，两者都是碱-2费马伪素数(A001567号)它的所有素因子都是维埃弗里奇素数（参见。A270833型)，如中的注释所示A240719型，似乎第一个碱基-2 WPSP（如果存在）可能非常大。这似乎得到了以下猜测的支持：复合物的属性是A001567号和，共A270833型相互“独立”，通过观察A256517型随着n的增加，在x轴平行线y=2处似乎变得“不太稠密”。文献中建议，在某个数x以下可能存在对数（log（x））Wieferich素数的渐近性，这是一个增长到无穷大的函数，但增长速度非常慢。考虑到上述限制，WPSP的数量可能会增长得更慢，这意味着如果存在这样的数量，那么可能远远超出暴力搜索在可预见的未来可能达到的极限。因此，我猜测这个猜测可能是错误的，但反证或反例的发现可能是非常困难的问题-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2019年1月18日
以德国数学家亚瑟·约瑟夫·阿尔温·威弗里奇（Arthur Josef Alwin Wieferich，1884-1954）的名字命名。a（1）=1093由Waldemar Meissner于1913年发现。a（2）=3511是由N.G.W.H.Beeger于1922年发现的-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月5日
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参考文献
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Richard Crandall和Carl Pomerance，《素数：计算视角》，Springer，NY，2001年；见第28页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），A3。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第91期。
Yves Hellegouarch，“Fermat Wiles的数学邀请”，Dunod，2eme版，第340-341页。
佩斯·尼尔森（Pace Nielsen），《威弗里奇素数，启发式，计算》（Wieferich primes，heuristics，calculations），《抽象艾默尔》（Abstracts Amer）。数学。Soc.，33（#1，20912），#1077-11-48。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《素数记录》（The Book of Prime Number Records）。Springer-Verlag，纽约州，第二版，1989年，第263页。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》，企鹅图书，纽约，1986年，第163页。
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链接
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Takashi Agoh、Karl Dilcher和Ladislav Skula，复合模的费马商，《数论杂志》66（1），1997年，29-50页。
理查德·克兰德尔（Richard Crandall）、卡尔·迪尔彻（Karl Dilcher）和卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance），对Wieferich和Wilson素数的搜索《计算数学》，第66卷，第217期（1997年），第433-449页；备用链路.
Bruno Dular，整数和的循环，arXiv:1905.01765[math.NT]，2019年。
威尔·埃德金顿，梅塞纳页面[来自Internet Archive Wayback Machine]。
M.Goetz，WSS和WFS暂停，PrimeGrid论坛，消息107809，2017年5月11日。
勒内基，调和数的扩展同余，arXiv:1902.05258[math.NT]，2019年。
Lorenz Halbeisen和Norbert Hungerbuehler，组合函数的数论方面，《数论和离散数学笔记》5（1999）138-150。(秒,pdf格式)
斯坦尼斯拉夫·雅库贝克，高斯周期的同余《数论杂志》，第48卷，第1期（1994年），第36-45页。
D.H.Lehmer，关于费马商，以二为基数，数学。公司。，第36卷，第153号（1981年），第289-290页。
Mishima Miwako和Koji Momihara，一类新的权重为3的最优紧冲突避免码《离散数学》，第340卷，第4期（2017年），第617-629页。参见第618页。
Alina Ostafe和Igor E.Shparlinski，费马商的伪随机性和动力学，arXiv:1001.1504[math.NT]，2010年。
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公式
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MAPLE公司
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wieferich:=proc（n）local nsq，remain，bin，char:if（非isprime（n）），然后RETURN（“非素数”）fi:nsq:=n^2：remain:=2:bin:=convert（convert（n-1，二进制），string）：remain:=（remain*2）mod nsq:bin:=substring（bin，2..length（bin））：while（length（bin）>1）do:char:=substring（bin，1..1）：如果char=“1”，那么remain:=（remain*2）mod nsq fi:remain:=（remain^2）mod nsq:bin:=substring（bin，2..length（bin））：od:if（bin=“1”）then remain:=（remain*2）mod-nsq fi:if remain=1 then RETURN（“Wieferich prime”）fi:RETURN:（“non-Wieferichprime”
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数学
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选择[Prime[Range[50000]]，Divisible[2^（#-1）-1，#^2]&](*哈维·P·戴尔2011年4月23日*）
选择[Prime[Range[50000]]，PowerMod[2，#-1，#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2016年5月25日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（元素索引）
a001220 n=a001220_列表！！（n-1）
a001220_list=地图（a000040.（+1））$elemIndices 1 a196202_list
（PARI）
N=10^4；默认值（primelimit，N）；
对于素数（n=2，n，如果（Mod（2，n^2）^（n-1）==1，打印1（n，“，”））；
（Python）
从sympy导入质数
从gmpy2导入powmod
A001220号_如果powmod（2，p-1，p*p）==1，则list=[p代表p in（prime（n）代表n in range（1，10**7））
（GAP）过滤（[1..50000]，p->IsPrime（p）和（2^（p-1）-1）mod p^2=0）#穆尼鲁A阿西鲁，2018年4月3日
（岩浆）[p:p在PrimesUpTo（310000）|IsZero（（2^（p-1）-1）mod（p^2））中]//文森佐·利班迪2019年1月19日
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交叉参考
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参见。A001567号,A002323号,A077816号,A001008号,A039951号,A049094号,A126196号,A126197号,178815英镑,A178844号,A178871号,A178900个,A246503型,A247208型,A269798型.
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关键字
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非n,坚硬的,布雷夫,美好的,更多
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A039951号
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| a（n）是p^2除以n^（p-1）-1的最小素数p。 |
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2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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对于任意n，k>1，a（n^k）<=a（n）。
a（n）在{47，72，186，187，200，203，222，231，304，311，335，355，435，454，546，554，610，639，662，760，772，798，808，812，858，860，871，983，986，…}中的n当前未知-理查德·费希2021年7月15日
a（47）>1.4*10^14，a（72）>1.4x10^14（见费舍尔表格）。
对于所有非负整数n和k，a（n^（n^k））=a（n）（请参阅链接中的拼图762）。当且仅当mod（n，36）在集合{8，10，19，26，28，35}中时，a（n）=3-法里德·菲鲁兹巴赫特和贾汉格·科尔迪2014年11月1日
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公式
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a（4k+1）=2。
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数学
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表[p=2；当[！可除[n^（p-1）-1，p^2]，p=NextPrime@p]；p、 {n，33}](*迈克尔·德弗利格2016年11月24日*）
f[n_]：=块[{p=2}，而[PowerMod[n，p-1，p^2]！=1，p=NextPrime@p]；p] ；阵列[f，33](*罗伯特·威尔逊v2018年7月18日*）
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黄体脂酮素
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非n,更多,坚硬的
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a（34）-a（46）摘自Helmut Richter（Richter（AT）lrz.de），2004年5月17日
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2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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多雷斯和克莱夫证明，在9.7*10^14之前，没有其他条款。
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链接
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
Chris K.Caldwell，主要词汇表，费马商.
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数学
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选择[Prime[Range[2500]]，Divisible[5^（#-1）-1，#^2]&](*阿隆索·德尔·阿特2014年8月1日*）
选择[Prime[Range[55*10^6]]，PowerMod[5，#-1，#^2]==1&]（*程序生成序列的前4项。*）(*哈维·P·戴尔2023年1月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
N=10^9；默认值（primelimit，N）；
对于素数（n=2，n，如果（Mod（5，n^2）^（n-1）==1，打印1（n，“，”））；
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坚硬的,非n,更多
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多雷斯和克莱夫证明，在9.7*10^14之前，没有其他条款。
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
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数学
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选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[7，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*）
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布雷夫,坚硬的,非n,更多
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截至3.127*10^13，无其他条款。
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链接
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
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数学
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选择[Prime[Range[5*10^7]]，Mod[13^（#-1）-1，#^2]==0&](*G.C.格鲁贝尔2018年1月18日*）
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布雷夫,坚硬的,更多,非n
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A045616号
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| 素数p使得10^（p-1）==1（mod p^2）。 |
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没有低于1.172*10^14的其他条款（截至2020年2月，参考费舍尔表格）。
Brillhart等人在论文中宣布了56598313-赫尔穆特·里希特2004年5月17日
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参考文献
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J.Brillhart、J.Tonascia和P.Weinberger，《论费马商》，A.O.L.Atkin和B.J.Birch的第213-222页，《数论中的计算机》编辑。纽约学术出版社，1971年。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），施普林格出版社，2004年，A3。
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链接
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
塞缪尔·耶茨，声誉之谜，数学。Mag.51（1978），22-28。
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数学
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选择[Prime[范围[34*10^5]，PowerMod[10，#-1，#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2018年4月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表a（nn）=素数（p=2，nn，如果（Mod（10，p^2）^（p-1）==1，print1（p，“，”））\\米歇尔·马库斯2015年8月16日
（哈斯克尔）
导入数学。数字理论。模数（powerMod）
a045616 n=a045616_列表！！（n-1）
a045616_list=过滤器
（\p->powerMod 10（p-1）（p^2）==1）a000040_list'
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交叉参考
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参见。A001220号,A014127号,123692英镑,A212583型,A123693号,A111027号,A128667号,A234810型,A242741型,A128668号,A244260号,A090968美元,A242982型,A128669号,A039951号.
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关键字
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布雷夫,坚硬的,非n,美好的,更多
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作者
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状态
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经核准的
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莫辛霍夫表示，截至2014年10月，没有其他条款。
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链接
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
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数学
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选择[Prime[Range[5*10^6]]，Mod[17^（#-1）-1，#^2]==0&](*G.C.格鲁贝尔2018年1月18日*）
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坚硬的,更多,非n
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作者
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质数478225523351是由理查德·费舍尔于2005年10月25日发现的
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经核准的
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素数p使p除以p的费马商（以19为基数）。以a为底的p的费马商表示整数q_p（a）=（a^（p-1）-1）/p，其中p是一个不除整数a的素数。-C.罗纳尔多（aga_new_ac（AT）hotmail.com），2005年1月20日
在3.127*10^13之前没有进一步的条款。
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参考文献
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J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目43，第17页，《椭圆》，巴黎，2008年。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《大素数小书》（The Little Book Of Big Primes），斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），纽约，1991年，第170页。
Roozbeh Hazrat，《数学：以问题为中心的方法》，施普林格出版社，2010年，第39、171页。[哈维·P·戴尔2011年10月17日]
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链接
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
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数学
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NextPrim[n_]：=块[{k=n+1}，While[！PrimeQ[k]，k++]；k] ；p=1；Do[p=NextPrim[p]；如果[PowerMod[19，p-1，p^2]==1，打印[p]]，{n，1，2*10^8}]
选择[Prime[Range[4*10^6]]，PowerMod[19，#-1，#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2017年11月8日*）
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评论
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截至3.127*10^13，无其他条款。
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链接
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阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见表1第5页。
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数学
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选择[Prime[范围[5*10^7]，Mod[23^（#-1）-1，#^2]==0&](*G.C.格鲁贝尔2018年1月18日*）
选择[Prime[Range[93*10^9]]，PowerMod[23，#-1，#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2018年5月15日*）
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坚硬的,更多,非n
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评论
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所有Wieferich素数p都将两次属于这个序列，因为如果H（[p/k]）表示带指数底的调和数（p/k），那么p将H（[p/4]）、H（[p/2]）和H（p-1）的所有值除以。这些元素中的前两个给出了一个解决方案，第二个和第三个给出了另一个解决方法。Wieferich素数的这一性质早于其名称，显然是Glaisher在《关于r^（p-1）到模p^2、p^3等的剩余》中首次证明的，第21-22、23页（见参考文献）。
请注意与Mirimanoff素数的联系A014127号：a（1）=A014127号（1） ，a（8）=A014127号(2). 所有Mirimanoff素数p都属于这个序列，因为p除H（[p/3]）和H（[2p/3]）。Mirimanoff素数的这一性质同样早于它们的名字，显然是Glaisher在第50页的“与贝努利函数有关的一般同余定理”中首次证明的（见Links）。
维埃弗里奇素数和米里曼诺夫素数似乎是唯一一种情况，其中n的值A126196号（n） 从p的知识可以预测。目前序列的所有成员都是质数，这一点并不明显；然而，根据定义，它们的所有除数都必须是非调和素数A092102号此外，从该条目下引用的文献中可以清楚地看出，H（[n/2]）==H（n）==0（mod p）只有当n＜p时才可能。因此，当前序列的所有除数都必须属于调和不规则素数A092194号.
对这个序列感兴趣的一个可能原因是Dilcher和Skula（参见Links）1995年的一个结果，该结果除其他外表明，如果质数p是费马最后定理第一种情况的例外，那么p会将k的每个值从2到46除以H（[p/k]）和H（[2p/k]。迄今为止，已发现此类重合的唯一值为k=2、3或4。对于k=6要成立，p必须同时是Wieferich素数和Mirimanoff素数，而对于k=5要成立，p必须同时是Wall Sun Sun素数和123692英镑.本序列的稀疏数值结果表明，即使更宽松的条件H（[n/2]）==H（n）==0（mod p）也很少满足。（结束）
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参考文献
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J.W.L.Glaisher，《关于r^（p-1）到模p^2、p^3等的残差》，《纯粹与应用数学季刊》32（1900-1901），1-27。
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链接
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数学
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f[n_]：=GCD@@分子@HarmonicNumber@{n，楼层[n/2]}；f@选择[Range[5000]，f[#]>1&](*乔瓦尼·雷斯塔2016年5月13日*）
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