%I#158 2023年4月28日11:03:28

%S 168432124679号

%N Wolstenholme素数：素数p使得二项式（2p-1，p-1）==1（mod p^4）。

%C McIntosh和Roettger表明，如果下一个术语存在，它必须大于10^9_Felix Fröhlich，2014年8月23日

%C当cb（m）=二项式（2m，m）表示第m个中心二项式系数时，显然，cb（a（n））=2 mod a（n）^4。我已经证实，在所有自然数中，只有当m是Wolstenholme素数时，cb（m）=2 mod m^4才成立（见A246134）。因此，人们可能会怀疑这是否普遍属实_Stanislav Sykora，2014年8月26日

%C Romeo Mestrovic，Wolstenholme素数的同余，引理2.3，表明p是Wolstenholme素数的标准等价于p除以A027641（p-3）。1847年，Cauchy证明了这是指数p的费马最后定理第一种情况失败的必要条件（见Ribenboim，13讲，第29页）_约翰·布莱斯·多布森，2015年5月1日

%C素数p^3除以A001008（p-1）（Zhao，2007年，第18页）。另外：素数p使得（p，p-3）是一个不规则对（参见Buhler，Crandall，Ernvall，Metsänkylä，1993，p.152）。Keith Conrad观察到，对于两个已知的（截至2015年）项ord_p（H_p-1）=3是满足的，其中ord_p。Romeo Mestrovic猜想p是Wolstenholme素数当且仅当S_（p-2）（p）==0（mod p^3），其中S_k（i）表示（i-1）之前（包括i-1）的正整数的k次幂之和（参见Mestrovic，2012，猜想2.10）_Felix Fröhlich，2015年5月20日

%C素数p除以Wolstenholme商W_p（A034602）。此外，素数p使得p^2除以巴贝奇商b_p（A263882）_Jonathan Sondow，2015年11月24日

%C唯一已知的二项式（2n-1，n-1）与1模n^2同余的复合数n是n=p^2，其中p是Wolstenholme素数：参见A267824_Jonathan Sondow，2016年1月27日

%Wolstenholme定理的逆命题意味着，如果一个整数n满足同余二项式（2*n-1，n-1）==1（mod n^4），那么n是这个序列的一个项，也就是说，对于所有i>0，n必然是素数，或者等价于A298946（i）>1。对于所有这些n是否都是这样，这是一个悬而未决的问题_Felix Fröhlich，2018年2月21日

%C素数p使得二项式（2*p-1，p-1）==1-2*p*Sum_{k=1..p-1}1/k-2*p^2*Sum_{k=1.p-1}1/k^2（mod p^7）（参见Mestrovic，2011，推论4）_Felix Fröhlich，2018年2月21日

%C这些是素数p，使得p^2除以A007406（p-1）（Mestrovic，2015，p.241，引理2.3）_Amiram Eldar和Thomas Ordowski，2019年7月29日

%C如果存在第三个Wolstenholme素数，则它大于6*10^10（参见Hathi，Mossinghoff，Trudgian，2021）_Felix Fröhlich，2021年4月27日

%C以英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍尔姆（1829-1891）的名字命名_Amiram Eldar，2021年6月10日

%D Richard K.Guy，《数论中未解决的问题》，第。B31。

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%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/IntegerSequencePrimes.html“>整数序列素数</a>。

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%F A000984（a（n））=2模块a（n_Stanislav Sykora，2014年8月26日

%F A099908（a（n））==1模型a（n_Jonathan Sondow，2015年11月24日

%F A034602（PrimePi（a（n）））==0 mod a（n_Jonathan Sondow，2015年12月3日

%t对于[i=2，i<=20000，i++，{If[PrimeQ[i]&&Mod[二项式[2*i-1，i-1]，i^4]==1，打印[i]}]（*_Dylan Delgado_，2021年3月2日*）

%o（PARI）表示素数（n=2，10^9，if（Mod（二项式（2*n-1，n-1），n^4）==1，print1（n，“，”））；\\_Felix Fröhlich，2014年5月18日

%o（岩浆）[p:p在素数UpTo（2*10^4）|（二项式（2*p-1，p-1）mod（p^4）eq 1）中]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年5月2日

%Y参见A000984、A001008、A007406、A027641、A034602、A099908、A246130、A246132、A246133、A2460134、A263882、A267824、A298946。

%K hard，nonn，bref，更多

%O 1,1号机组

%克里斯蒂安·施罗德，2003年9月21日