本文是对大卫·戈特利布非凡的研究生涯的简要概述。不可能透彻地介绍他的所有研究和影响但我们将描述其主要贡献并举例说明结果出现在他的一些论文中。多年来，大卫一直是光谱方法的发展，我们在本文中花了大量篇幅讨论此字段。

给定一个分段光滑函数，可以构造一个全局展开式在一些完全正交基中，例如傅里叶基。然而，当地函数的不连续性将破坏全局近似的收敛性，甚至在底层函数是解析函数的区域。全球扩张受到局部不连续性的污染，结果是部分和是振荡的，具有非均匀收敛性。这个特点这种行为被称为吉布斯现象。然而，David Gottlieb和Chi-WangShu表明，这些缓慢且非一致收敛的全局近似在其中保留可以通过适当的后处理恢复的高阶信息。本文回顾了吉布斯现象的历史和它的解决方案。

在许多问题中，人们希望用变量求解亥姆霍兹方程类拉普拉斯项中的系数，并使用高精度方法（例如，四阶精度）通过减少色散误差。方程中系数的变化可能是由于非均匀介质和/或非笛卡尔坐标。这将呈现现有四阶有限差分方法不适用。我们开发了一种新的紧凑型即使对于这些问题，也可以证明四阶精度的方案。我们现在几种模型四阶收敛速度的数值结果问题。

使用稀疏网格的随机配置方法已经成为一种流行的方法在高维（随机）参数中执行随机计算的选择空间。除了提供高精度的随机解外，稀疏网格搭配结果自然包含关于输入的敏感度信息随机参数。在本文中，我们使用了稀疏网格插值和容积Smolyak方法与组合分析相结合，计算出计算Sobol’整体灵敏度值的有效方法。此方法允许用于近似所有主要影响和总效应评估值如果在一组稀疏网格。我们讨论了该方法的收敛性，并将其应用于测试用例并与现有方法进行比较。因此可能是独立的有趣的是，我们恢复了一个计算拉格朗日基插值的显式公式和切比雪夫极值相关的多项式。这允许一个人操纵稀疏网格配置的结果是高效的。

初始数据和边界数据之间的不兼容将导致奇异性在时空角，这反过来会对用于计算解的数值格式。我们研究了角点奇异性问题对于一维非线性发展方程，提出了两种补救方法有效地恢复了所用数值格式的大部分精度。应用一维粘性Burgers方程和一维非线性方程的修正程序给出了反应扩散方程。补救程序适用于其他非线性扩散方程也是如此。

在本文中，我们讨论了用于利用Robin边界条件求解线性椭圆边值问题。让Ω 和ω是R（右）^d日这样ω⊂Ω. 对于线性椭圆问题英寸Ω\ω和ω的边界γ上的Robin边界条件，我们的目标是开发一种虚拟域方法，在其中解决原始问题的变体完全Ω, 然后对ω进行精心选择的校正。此方法是虚拟的控制类型，并依赖于最小二乘公式，通过以下方式解决问题在选定的控制空间中运行的共轭梯度算法。数值结果将我们的方法应用于二维椭圆的解时获得的给出了抛物线问题；它们表明了最佳收敛顺序。

我们研究了两种基于外推法的瞄准方法的有效性非定常模拟中迭代求解器所需的初始状态近似流动问题。这些方法使迭代过程减少了大约十倍计数，而只需要微不足道的计算开销。他们尤其适合并行计算，因为它们几乎完全基于存储的数据在每个处理器上本地执行。在湍流模拟中对性能进行了评估狭窄的颈动脉中的流动以及非常大的区域中的层流包含人类颅内动脉树。

李等人的最新工作。[数值数学理论或方法应用，1（2008），pp。92-112]提出了一种求解二维稳态欧拉方程的有限体积解算器。尽管Venkatakrishnan限制器用于防止激波区，仍能观察到过冲或欠冲现象。此外，文卡塔克里希南限制器的使用降低了数值精度。要修复问题，本文采用WENO型重构来获得光滑区域和非振荡尖锐轮廓的精确逼近冲击不连续性。数值实验将证明效率和所提数值策略的鲁棒性。

我们提出了球壳上的快速泊松解算器。有一个特殊的变化对于变量，拉普拉斯算子的径向部分转换为常系数微分操作员。因此，可以应用快速傅里叶变换来求解带O（N）的泊松方程^三logN）操作。数值示例已证实新方案的准确性和鲁棒性。

[8]中提出了一种新的欧拉-高斯光束方法来计算薛定谔方程在半经典区域有效。在本文中，我们介绍该方法的有效半欧拉实现。新算法继承了计算黑森函数的欧拉-高斯光束法的本质通过复杂水平集函数的导数而不是求解动态光线追踪方程。区别在于，我们解决了光线跟踪确定梁中心然后计算感兴趣量的方程只有在这些中心周围。这样可以有效地实现本地级别集，可以在初始物理空间而不是相平面。因此，它降低了计算成本并避免了欧拉-高斯光束焦散线周围光束总和的微妙问题方法。此外，半欧拉高斯光束方法很容易推广到高阶高斯光束方法，这是第二部分的主题本文的第二部分。提供了几个数值例子来验证其准确性和一阶和高阶半欧拉方法的效率。

我们考虑保持约束的多维演化方程。等离子体磁感应方程提供了一个典型例子物理学。感兴趣的约束是磁场的发散。我们设计以稳定方式近似这些方程的有限体积格式保留约束的离散版本。这些方案基于重新制定以顶点中心势表示的标准边缘中心有限体积通量。基于势的方法为忠实离散化提供了一个通用框架我们将其应用于保散度和旋度保留方程。我们提供的基准数值测试证实了基于势的方案在保持约束的同时，获得了较高的分辨率。

提出了一种新的自适应单元平均谱元方法求解量子器件中输运的含时Wigner方程。这个提出的单元平均SEM允许相空间中的自适应非均匀网格减少Wigner函数的高维计算成本，同时保持数值解的质量守恒。提议的关键特征该方法是Wigner函数的单元格平均值之间的分析关系在k空间（有限范围速度的局部电子密度）和分布，导致局部电子密度和局部电子密度之间的快速转换通过快速正弦和余弦变换离散化Wigner方程的通量。数值结果表明，该方法具有较高的精度，使用自适应网格保持、收敛和降低成本。

旋转增量压力校正（RIPC）方案，如Timmermans等人[Int.J.Numer.Methods.Fluids.，22（1996）]和Shen等人[Math。计算。，73（2003）]对于非旋转Navier-Stokes方程，扩展到旋转不可压缩流。该方法是在伪Fourier谱代码，并应用于几种旋转层流和湍流。该方案的性能和计算结果与所谓的Morinishi等人开发的对角化方法（DM）。流量。，22（2001）]。RIPC的预测与DM的预测非常一致，同时实现更简单，计算效率更高。这个RIPC方案无论如何都不限于在伪谱码或周期性边界条件，可以用于复杂的几何结构和其他合适的边界条件。

在这项探索性研究中，我们提出了一种新的方法来近似ODE系统由一个方程更少的系统组成，同时试图保留基本方程一组简化的相关变量的动力学。该方法具有以下内容关键要素：（i）在相空间上放置（简单，特殊）概率分布ODE；（ii）断言一小组替换变量是未知的线性变量组合无关紧要的变量，并让变量的系统由相关变量和替换变量组成；（iii）找出线性组合，以最小化原始系统和简化系统。我们详细描述了线性ODE系统。实现所需最小化的数值技术和问题呈现。线性常微分方程和可变效率系统的示例线性偏微分方程用于演示该方法。我们表明，得到的近似值简化的常微分方程组能很好地逼近原系统。最后，概述了进一步工作的一些方向。

我们为三角形H（旋度）构造了一个条件良好的层次基-具有选定正交性的协调元素。基本函数分为边缘和内部功能，后者进一步分为正常和气泡功能。在我们的构造中，边缘形状函数的轨迹是正交的在相关边上。内部法线函数，垂直于边和气泡函数之间都是正交的参考元素。用经典的正交多项式可以进行构造，即勒让德多项式和雅可比多项式。对于质量矩阵和准刚性矩阵，通过比较显示了新基的更好条件根据Ainsworth和Coyle先前提出的基础[计算方法]。申请。机械。工程，190（2001），6709-6733]。

本文考虑两类常用的有限体积二维笛卡尔方程中的加权本质无振荡（WENO）格式网格。我们从准确性、流畅性和震撼性方面对它们进行了比较解决方案和CPU计时效率。对于线性系统，这两种方案都很高然而，对于非线性系统，分析和数值模拟结果的顺序是精确的验证其中一个（A类）仅为二阶精度，而另一个（B级）为高阶精度。A类中的WENO方案更容易实现与B级相比，成本更低。数值实验表明，分辨率对于相同的两类方案，震惊问题通常是可比较的构建块和网格，尽管其形式顺序的准确性不同。本文的结果对高阶有限元的应用具有一定的指导意义用于模拟冲击流的体积方案。

结合有限差分的准非重叠混合格式时域（FDTD）方法和有限元时域（FETD）法建立了麦克斯韦方程时域解的非协调网格。FETD方法使用电和磁的混合阶基函数字段，而FDTD方法使用传统的Yee网格；这两种方法是通过FETD方法和间断Galerkin方法的缓冲区连接用于FETD子域中的域分解。的主要特点这种技术允许不一致的网格和任意数量的FETD和FDTD子域。混合方法在当时是完全稳定的达到FDTD方法和FETD方法的稳定极限。数字的结果证明了该技术的有效性。