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第页1
0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 31, 34, 37, 42, 46, 51, 57, 62, 68, 76, 83, 91, 101, 109, 120, 132, 143, 156, 171, 186, 202, 221, 239, 259, 283, 306, 331, 360, 388, 420, 455, 490, 529, 572, 616, 663, 716, 769, 827
评论
将n划分为奇数部分的次数,如果一个数字作为一部分出现,那么所有较小的正奇数也会出现。
将n表示为1+[1,3]+[1,5]+[1,1,7]+[1.9]+……的部分和的方法的数量。。。。例如,a(6)=2,因为我们有6=1+1+1+1+1=1=1+3+1+1-乔恩·佩里,2004年1月1日
还有n个分区的数量,其中最大部分正好出现一次,所有其他部分正好出现两次。例如:a(9)=4,因为我们有[9]、[7,1,1]、[5,2,2]和[3,2,2,1,1]-Emeric Deutsch公司,2006年3月8日
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.13)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第31页。
配方奶粉
G.f.:psi(q)=总和{n>=1}q^(n^2)/((1-q)*(1-q^3)**(1-q^(2*n-1)))。
G.f.:总和{k>=1}q^k*产品{j=1..k-1}(1+q^(2*j))(见精细参考,第58页,等式(26,53))-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/6))/(4*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月9日
例子
q+q^2+q^3+2*q^4+2*q^5+2*q*6+3*q^7+3*q*8+4*q^9+。。。
n|分区(d1,d2,…,dm)|(d1/1,d2/2,……,dm/m)
--+--------------------------+-------------------------
1 | (1) | (1)
2 | (2) | (2)
3 | (3) | (3)
4 | (4) | (4)
| (1, 3) | (1, 3/2)
5 | (5) | (5)
| (1, 4) | (1, 2)
6 | (6) | (6)
| (1, 5) | (1, 5/2)
7 | (7) | (7)
| (1, 6) | (1, 3)
| (2, 5) | (2, 5/2)
8 | (8) | (8)
| (1, 7) | (1, 7/2)
| (2, 6) | (2, 3)
9 | (9) | (9)
| (1, 8) | (1, 4)
| (2, 7) | (2, 7/2)
|(1,3,5)|(1,3/2,5/3)(结束)
MAPLE公司
f: =n->q^(n^2)/mul((1-q^)(2*i+1)),i=0..n-1);加上(f(i),i=1..6);
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i)选项记忆;(s->`if`(n>s,0,`if`)(n=s,1,
b(n,i-1)+b(n-i,min(n-i、i-1)))(i*(i+1)/2)
结束时间:
a: =n->`如果`(n=0,0,加上(b(j,min(j,n-2*j-1)),j=0..iquo(n,2)):
数学
级数[和[q^n^2/积[1-q^(2k-1),{k,1,n}],{n,1,10}],}q,0,100}]
(*第二个节目:*)
b[n_,i_]:=b[n,i]=函数[s,如果[n>s,0,如果[n==s,1,b[n、i-1]+b[n-i,Min[n-i,i-1]]][i*(i+1)/2];
a[n_]:=如果[n==0,0,和[b[j,Min[j,n-2*j-1]],{j,0,商[n,2]}];
黄体脂酮素
(PARI){n=20;v=矢量(n);对于(i=1,n,v[i]=矢量(2^(i-1),如果(v[i][j]<=n,c[v[i][j]++));c}\\乔恩·佩里
(PARI){a(n)=局部(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);极系数(sum(k=1,sqrtint(n),t*=x^(2*k-1)/(1-x^(2*k-1))+O(x^(n-(k-1)^2+1))),n)}/*迈克尔·索莫斯2007年9月4日*/
三阶模拟θ函数f(q)的系数。 (原名M0433 N0164)
+10 20
1, 1, -2, 3, -3, 3, -5, 7, -6, 6, -10, 12, -11, 13, -17, 20, -21, 21, -27, 34, -33, 36, -46, 51, -53, 58, -68, 78, -82, 89, -104, 118, -123, 131, -154, 171, -179, 197, -221, 245, -262, 279, -314, 349, -369, 398, -446, 486, -515, 557, -614, 671, -715, 767, -845, 920, -977, 1046, -1148, 1244
评论
a(n)=n的偶数秩分区数减去奇数秩的分区数。分区的秩是其最大部分减去部分数。
参考文献
G.E.Andrews,《分割理论》,Addison-Wesley,1976年,第82页,示例4和5。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17、31页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
新泽西州罚款,基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.11),(26.24)。
小野康夫,天才的遗言,通知Amer。数学。《社会学杂志》,57(2010),1410-1419。
配方奶粉
通用公式:1+Sum_{n>=1}(q^(n^2)/Product_{i=1..n}(1+q^i)^2)。
通用公式:(1+4*Sum_{n>=1}(-1)^n*q^(n*(3*n+1)/2)/(1+q^n))/Product_{i>=1}(1-q^i)。
a(n)~-(-1)^n*exp(Pi*sqrt(n/6))/(2*sqert(n))[Ramanujan]-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月10日
G.f.:1-求和{n>=1}(-1)^n*x^n/Product_{k=1..n}1+x^k。见Fine,方程26.22,第55页-彼得·巴拉2021年2月4日
G.f.:1+(1/Product_{k>=1}(1-x^k))*Sum_{k>=1}(-1)^(k-1)*x^(k*(3*k-1)/2)*(1-x^k)^2/(1+x^k)。(结束)
例子
G.f.=1+q-2*q^2+3*q^3-3*q^4+3*q^5-5*q^6+7*q^7-6*q^8+6*q^9+。。。
MAPLE公司
a: =m->系数(级数((1+4*add((-1)^n*q^(n*(3*n+1)/2))/
(1+q^n),n=1..m)/mul(1-q^i,i=1..m),q,m+1),q,m):
seq(a(n),n=0..120);
数学
系数列表[级数[(1+4Sum[(-1)^nq^(n(3n+1)/2)/(1+q^n),{n,1,10}])/和[(-1(*N.J.A.斯隆*)
sgn[P_(*a分区*)]:=
签名[
排列列表[
循环[展平[
SplitBy[Range[Total[P]],(函数[{x},x>#1]&)/@
累加[P]],长度[P]-1]]]
共轭[P_List(*a分区*)]:=
模块[{s=选择[P,#1>0&],i,row,r},row=长度[s];
表[r=row;而[s[[row]]<=i,row-->;r、 {i,第一个[s]}]
总计[函数[{x},sgn[x]sgn[共轭[x]]]/@
整数分区[#]]和/@范围[20]
a[n_]:=如果[n<0,0,系列系数[Sum[x^k^2/乘积[1+x^j,{j,k}]^2,{k,0,平方@n}],{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2015年6月30日*)
rnk[prts_]:=最大[prts]-长度[prts';mtf[n_]:=模块[{pn=IntegerPartitions[n]},总计[If[EvenQ[rnk[#]],1,-1]&/@pn]];加入[{1},数组[mtf,60]](*哈维·P·戴尔2024年9月13日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(和(k=1,平方(n),x^k^2/prod(i=1,k,1+x^i,1+x*O(x^(n-k^2)))^2,1),n))}/*迈克尔·索莫斯2007年9月2日*/
(PARI)我的(N=60,x='x+O('x^N));Vec(1+1/prod(k=1,N,1-x^k)*总和(k=1,N,(-1)^(k-1)*x^(k*(3*k-1)/2)*(1-x^ k)^2/(1+x^ k))\\Seiichi Manyama先生2023年5月23日
1, 1, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 0, 2, 0, -2, 1, 1, -1, -2, 1, 3, -1, -2, 1, 2, -2, -3, 1, 4, 0, -4, 2, 3, -2, -4, 1, 5, -2, -5, 3, 5, -3, -5, 2, 7, -2, -7, 3, 6, -4, -8, 3, 9, -2, -9, 5, 9, -5, -10, 3, 12, -4, -12, 5, 11, -6, -13, 6, 16, -6, -15, 7, 15, -8, -17, 7, 19, -6, -20, 9, 19, -10, -22, 8, 25, -9, -25, 12, 25, -12, -27, 11, 31
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.12),第58页,等式(26.56)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17、31页。
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考虑将n分成不同的奇数部分。a(n)=最大部分减去两倍部分数量的数量==3(mod 4)减去其数量==1(mod4)。
通用公式:1+Sum_{k>0}x^k^2/((1+x^2)(1+x^4)。。。(1+x^(2*k)))。
G.f.1+Sum_{n>=0}x^(2*n+1)*Product_{k=1..n}(x^,2*k-1)-1)(Folsom等人)。囊性纤维变性。A207569型和A215066型. -彼得·巴拉2017年5月16日
例子
G.f.=1+x-x^3+x^4+x^5-x^6-x^7+2*x^9-2*x^11+x^12+x^13-x^14+。。。
MAPLE公司
f: =n->q^(n^2)/mul((1+q^)(2*i)),i=1..n);加(f(n),n=0..10);
数学
级数[Sum[q^n^2/乘积[1+q^(2k),{k,1,n}],{n,0,10}],{q,0100}]
a[n_]:=系列系数[Sum[x^k^2/QPochhammer[-x^2,x^2、k],{k,0,Sqrt@n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年7月9日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=my(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polceoff(和(k=1,平方(n),t*=x^(2*k-1)/(1+x^/*迈克尔·索莫斯2007年7月16日*/
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, 36, 44, 56, 68, 82, 101, 122, 146, 176, 210, 248, 296, 350, 410, 484, 566, 660, 772, 896, 1038, 1204, 1391, 1602, 1846, 2120, 2428, 2784, 3182, 3628, 4138, 4708, 5347, 6072, 6880, 7784, 8804, 9940, 11208, 12630
评论
经验:a(n)是2n+1的整数分区mu的数量,使得mu的图中每行和每列中的单元格数为奇数-约翰·M·坎贝尔2020年4月24日
根据上面Campbell的猜想,a(n)是2n+1的所有奇数部分和所有奇数共轭部分的分区数,a(0)=1到a(5)=8个分区是(B=11):
(1) (3)(5)(7)(9)(B)
(111) (311) (511) (333) (533)
(11111) (31111) (711) (911)
(1111111) (51111) (33311)
(3111111) (71111)
(111111111) (5111111)
(311111111)
(11111111111)
(结束)
参考文献
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第15、17、31页。
配方奶粉
一般公式:ω(q)=和{n>=0}q^(2*n*(n+1))/(1-q)*(1-q^3)**(1-q^(2*n+1))^2。
通用公式:和{k>=0}x^k/((1-x)(1-x^3)。。。(1-x^(2k+1)))-迈克尔·索莫斯2006年8月18日
G.f.:(1-G(0))/(1-x),其中G(k)=1-1/(1-x^(2*k+1))/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月18日
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3))/(4*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月10日
数学
级数[和[q^(2n(n+1))/积[1-q^[(2k+1)),{k,0,n}]^2,{n,0,6}],{q,0,100}]
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<0,0,a=1+x*O(x^n);polceoff(总和(k=0,(平方(2*n+1)-1)\2,a*=(x^(4*k)/(1-x^/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<0,0,n++;a=1+x*O(x^n);polcoeff(和(k=0,n-1,a*=(x/(1-x^(2*k+1))+x*0(x^,n-k))),n))}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
1, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, -6, 6, -8, 10, -10, 12, -14, 15, -18, 20, -22, 26, -29, 32, -36, 40, -44, 50, -56, 60, -68, 76, -82, 92, -101, 110, -122, 134, -146, 160, -176, 191, -210, 230, -248, 272, -296, 320, -350, 380, -410, 446, -484, 522, -566, 612, -660, 715, -772, 830, -896, 966, -1038
评论
在Watson 1936中,函数用upsilon(q)表示-迈克尔·索莫斯2015年7月25日
参考文献
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第31页。
配方奶粉
G.f.:nu(q)=和{n>=0}q^(n*(n+1))/(1+q)*(1+q^3)**(1+q^(2n+1))
(-1)^n*a(n)=n的分区数,其中偶数部分是不同的,如果出现k,那么小于k的每个正偶数也会出现k。
通用格式:1/(1+x*(1-x)/(1+x2*(1-x^2)/(1+x^3*(1-x^3)/-保罗·D·汉纳2013年7月9日
a(n)~(-1)^n*exp(Pi*sqrt(n/6))/(2^(3/2)*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月15日
例子
G.f.=1-x+2*x^2-2*x^3+2*x^4-3*x^5+4*x^6-4*x^7+5*x^8+。。。
黄体脂酮素
(PARI)/*继续分数膨胀:*/
{a(n)=局部(CF);CF=1+x;对于(k=0,n,CF=1/(1+x^(n-k+1)*(1-x^\\保罗·D·汉纳2013年7月9日
1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -2, 0, 1, 2, 1, -1, -1, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 2, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 0, -1, -3, 0, 2, 3, 2, -2, -2, -1, 2, 3, 0, -2, -3, -1, 2, 3, 2, -3, -3, -1, 2, 4, 1, -2, -4, -1, 3, 4, 2, -2, -4
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.14)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17页。
配方奶粉
G.f.:chi(q)=和{n>=0}q^n^2/((1-q+q^2)*(1-q^2+q^4)**(1-q^n+q^(2n)))。
G.f.:G(0),其中G(k)=1+q^(k+1)/(1-q^-乔格·阿恩特2013年6月29日
数学
级数[和[q^n^2/积[1-q^k+q^(2k),{k,1,n}],{n,0,10}],},{q,0,100}]
psi(x^3)^2/f(-x^2)的x次幂展开式,其中psi()、f()是Ramanujan theta函数。
+10 三
1, 0, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 22, 28, 33, 40, 50, 58, 70, 84, 98, 116, 138, 160, 188, 222, 256, 298, 348, 400, 463, 536, 614, 706, 812, 926, 1060, 1212, 1378, 1568, 1785, 2022, 2292, 2598, 2932, 3312, 3740, 4208, 4736, 5328, 5978, 6708, 7522, 8416, 9416
评论
在Watson 1936的第63页上,有一个方程,左边是2*rho(q)+omega(q),右边是这个序列的g.f.的3倍-迈克尔·索莫斯,2015年7月14日
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第50页,等式(25.4)。
乔治·N·沃森(George N.Watson),《最后一个问题:模拟θ函数的说明》(The final problem:account of The mock theta functions),《伦敦数学》(J.London Math)。《社会学杂志》,11(1936)55-80。
配方奶粉
q^(-2/3)*eta(x^6)^4/(eta(x^2)*eta(x^3)^2)的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2015年7月14日
G.f.:产品{n>=1}(1+q^(3*n))^4*(1-q^。
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3))/(12*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日
例子
G.f.=1+x^2+2*x^3+2*x^4+2*x*5+4*x^6+4*x*7+6*x^8+8*x^9+。。。
G.f.=q^2+q^8+2*q^11+2*q ^14+2*q ^17+4*q ^20+4*q^23+6*q ^26+。。。
数学
a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[2,0,x^(3/2)]^2/(4 x ^(3/4)QPochhammer[x^2]),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年7月14日*)
nmax=60;系数列表[系列[乘积[(1+x^(3*k))^4*(1-x^(*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x^6+a)^4/(eta(x^2+a)*eta(x^3+a)^2),n))}/*迈克尔·索莫斯2015年7月14日*/
1/(和{i>=0}q^(2*i*(i+1))/Product_{j=0..i}(1+q^。
+10 2
1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 1, 2, 2, 1, -2, -4, -5, -2, 4, 9, 11, 4, -8, -20, -22, -7, 18, 42, 43, 12, -42, -89, -87, -19, 96, 189, 179, 28, -214, -399, -363, -32, 472, 838, 727, 6, -1041, -1760, -1452, 112, 2291, 3696, 2895, -487, -5015, -7735, -5740, 1551, 10929, 16135, 11298, -4377, -23741, -33587
配方奶粉
通用公式:1/(总和{i>=0}q^(2*i*(i+1))/产品{j=0..i}(1+q^。
数学
nmax=60;系数列表[级数[1/和[q^(2i(i+1))]/积[1+q^
Ramanujan模拟θ函数f(q)的级数展开式中q^(2n)系数绝对值的累计和。
+10 1
1, 3, 6, 11, 17, 27, 38, 55, 76, 103, 136, 182, 235, 303, 385, 489, 612, 766, 945, 1166, 1428, 1742, 2111, 2557, 3072, 3686, 4401, 5246, 6223, 7371, 8692, 10236, 12014, 14074, 16435, 19171, 22292, 25884, 29981, 34677, 40017, 46122, 53038, 60920
配方奶粉
a(n)~平方(3/2)*exp(平方(n/3)*Pi)/Pi-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月12日
数学
nmax=200;f[q_,s_]:=和[q^(n^2)/积[1+q^k,{k,n}]^2,{n,0,s}];A000039号:=系数列表[系列[f[q,nmax],{q,0,nmax}],q][[1;;-1;;2];表[总和[Abs[A000039号[[k]],{k,1,n}],{n,1,51}](*G.C.格鲁贝尔,2018年2月18日*)
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