搜索: a000107-编号:a000107
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0, 0, 1, 3, 10, 30, 91, 268, 790, 2308, 6737, 19609, 57044, 165796, 481823, 1400028, 4068577, 11825459, 34380152, 99981942, 290854486, 846397344, 2463892294, 7174933683, 20900764811, 60904875999, 177535250815, 517673673674, 1509950058629, 4405547856394, 12857716906991
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.4
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评论
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这将计算一对圆接触的平面中n个嵌套圆的排列。a(2)=1,因为(唯一的)一对必须接触。a(3)=3,因为第三个圆包围接触对,或者位于其中一个接触圆内,或者与接触对完全分离。
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链接
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数学
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b[0]=0;b[1]=1;b[n]:=b[n]=和[Sum[db[d],{d,Divisors[j]}]b[n-j],{j,1,n-1}]/(n-1);
a7[n]:=a7[n]=b[n]+和[a7[n-i]b[i],{i,1,n-1}];
c[n_]:=c[n]=如果[n<=1,n,(总和[d c[d],{d,除数[j]}]c[n-j],{j,1,n-1}])/(n-1)];
a52[n_]:=(总和[c[i]c[n-i],{i,0,n}]+如果[Mod[n,2]==0,c[n/2],0])/2;
a[n_]:=和[a7[k]a52[n-k+1],{k,0,n+1}];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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3, 6, 1, 7, 7, 8, 2, 5, 8, 3, 9, 0, 0, 2, 1, 2, 1, 9, 7, 9, 2, 6, 8, 8, 6, 2, 4, 7, 3, 1, 1, 9, 2, 4, 5, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 1, 2, 2, 1, 8, 1, 0, 1, 6, 8, 2, 1, 4, 1, 7, 8, 4, 2, 1, 0, 9, 8, 7, 8, 3, 4, 2, 7, 8, 1, 0, 5, 6, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 2, 4, 0, 9, 2, 4, 2, 8, 0, 6, 2, 8, 3, 1, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 8, 4, 9, 6, 9, 6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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链接
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配方奶粉
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例子
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0.36177825839002121979268862473119245527193122181016821417842109878342781...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A000312号
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| a(n)=n ^n;从n点到自身的标记映射数(内函数)。 (原名M3619 N1469)
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+10 572
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1, 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000, 285311670611, 8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016, 437893890380859375, 18446744073709551616, 827240261886336764177, 39346408075296537575424, 1978419655660313589123979
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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还有n个节点上标记的尖根树(或脊椎动物)的数量。
对于n>=1,a(n)也是n X n(0,1)矩阵的数量,其中每行正好包含一个等于1的条目Avi Peretz(njk(AT)netvision.net.il),2001年4月21日
此外,(n+1)节点上标记的根树的数量,使得根低于其子节点。此外,(n+1)节点上交替标记的根有序树的数量,使得根低于其子节点塞德里克·乔夫(Chauve(AT)lacim.uqam.ca),2002年3月27日
其中p(n)=n的整数分区数,p(i)=n第i个分区的部分数,d(i)=n第i分区的不同部分数,pp(i,j)!))*((n!/(n-p(i)))/(乘积_{j=1..d(i)}m(i,j)!))-托马斯·维德2005年5月18日
a(n)是以0为根的{0,1,2,…,n}上所有(n+1)^(n-1)棵树的叶子总数。例如,如果边指向远离根的方向,则{0,1,2}上的树是{0->1,0->2}、{0->1->2}、{0->2->1},并且总共包含(2)=4个叶子-大卫·卡伦2007年2月1日
极限{n->infinity}A000169号(n+1)/a(n)=经验(1)。收敛速度较慢,例如,需要n>74才能得到一个小数位的正确值,并且需要n>163才能得到其中的两个-阿隆索·德尔·阿特2011年6月20日
也是最小的k,使得二项式(k,n)可被n^(n-1)整除,n>0-米歇尔·拉格诺2013年7月29日
对于n>=2,a(n)以n为基数表示为“1后面跟着n个零”-R.J.卡诺2014年8月22日
n个字母的字母表中长度为n的单词的数量-乔格·阿恩特2015年5月15日
满足本福德定律【Miller,2015年】-N.J.A.斯隆2017年2月12日
除了第一项(1,-4,-27,256,3125,-46656,…)之外,这个序列的有符号版本具有以下性质:对于每个素数p==1(mod 2n),(-1)^(n(n-1)/2)*n^n=A057077号(n) *a(n)总是模p的第2次幂剩余-宋嘉宁2018年9月5日
n^n既是Sum_{i=0..n}二项式(n,i)*(n-1)^(n-i)
和和{i=0..n}二项式(n,i)*(n-1)^(n-i)*i。
前者是常见的n面骰子掷数的二项式分布,根据所需面出现的次数0到n。后者是相同的,但每个项都乘以其数量。这意味着,如果银行为每一个拥有所选方的骰子支付玩家1个令牌,那么如果玩家支付1个令牌进入,这总是一场公平的游戏——银行和玩家平均都不会赢。
示例:
双面骰子(2枚硬币):4=1+2+1=1*0+2*1*2(从现在开始省略0);
三面骰子(3个长三角棱镜):27=8+12+6+1=12*1+6*2+1*3;
四边骰子(4个长方形棱镜或4个四面体):256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+12*3+1*4;
五边形骰子(5个长五边形棱镜):3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+160*3+20*4+1*5;
六面骰子(6个方块):46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*2+2500*3+375*4+30*5+1*6。
(结束)
对于每个n>=1,在一个(n)顶点上有一个图,其最大独立集的大小为n,其独立集序列是常数(具体来说,对于每个k=1,2,…,n,该图有n^n个大小为k的独立集)。没有具有此特性的小阶图(Ball等人2019)-大卫·加尔文2019年6月13日
对于n>=2和1<=k<=n,a(n)*(n+1)/4+a(n)*(k-1)*(n+1-k)/2*n等于所有字w=w(1)…的和。。。在以下数量的字母表{1,2,…,n}上长度为n的w(n):Sum_{i=1..w(k)}w(i)。灵感来自AMM中的问题12432(参见链接)-塞拉·弗里德2023年12月10日
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux,《组合物种和树状结构》,剑桥,1998年,第62、63、87页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第173页,#39。
A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分与级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992,等式(4.2.2.37)
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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泰勒·鲍尔(Taylor Ball)、大卫·加尔文(David Galvin)、凯蒂·海瑞(Katie Hyry)和凯尔·温加特纳(Kyle Weingartner),独立集与匹配排列,arXiv:1901.06579[math.CO],2019年。
H.J.Brothers和J.A.Knox,对数常数e的新闭式逼近《数学智能》,第20卷(4),1998年,第25-29页。(序列如公式(8)所示)
C.Chauve、S.Dulucq和O.Guibert,一些标记树的枚举《FPSAC/SFCA 2000会议录》(莫斯科),施普林格出版社,第146-157页。
E.Vigren(投标人),问题12432阿默尔。数学。《月刊》第130期(2023年),第953页。
迪米特里·茨万金,幂级数代数。。。,arXiv:math/0403092[math.AG],2004年。
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配方奶粉
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a(n-1)=-和{i=1..n}(-1)^i*i*n^(n-1-i)*二项式(n,i).-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月28日
例如:1/(1+W(-x)),W(x)=兰伯特函数的主分支。
关于分母为a(n)的幂级数的注记:设f(x)=1+Sum_{n>=1}x^n/n^n。然后作为x->infinity,f(x)~exp(x/e)*sqrt(2*Pi*x/e)-菲利普·弗拉乔莱2008年9月11日
例如:1-exp(W(-x)),偏移量为1,其中W(x)=Lambert函数的主分支-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年9月15日
偏移量为1时,例如f.是组成逆((x-1)*log(1-x))^(-1)=x+x^2/2!+4*x^3/3!+27*x^4/4!+-彼得·巴拉2011年12月9日
a(n)=(n-1)^(n-1)*(2*n)+Sum_{i=1..n-2}二项式(n,i)*(i^i*(n-i-1)^(n-i-1)),n>1,a(0)=1,a(1)=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁,2014年11月28日
log(a(n))=lim{k->infinity}k*(n^(1+1/k)-n)-理查德·福伯格2015年2月4日
Limit_{n->oo}(a(n+1)/a(n)-a(n)/a(n-1))=e(请参阅Brothers/Knox链接)-哈兰·J·兄弟2021年10月24日
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+27*x^3+256*x^4+3125*x^5+46656*x^6+823543*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[Sum[StirlingS2[n,i]i!二项式[n,i],{i,0,n}],{n,0,20}](*杰弗里·克雷策2009年3月17日*)
a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],n^n];(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!级数系数[1/(1+LambertW[-x]),{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!系列系数[Nest[1/(1-x/(1-积分[#,x]))&,1+O[x],n],{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,With[{m=n+1},m!SeriesCoefficient[Inverse Series[级数[(x-1)Log[1-x],{x,0,m}]],m]];(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=n^n};
(PARI)是(n)=我的(b,k=功率(n,&b));如果(k,对于(e=1,估值(k,b),如果(k/b^e==e,返回(1)));n==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月14日
(PARI){a(n)=my(a=1+O(x));如果(n<0,0,for(k=1,n,a=1/(1-x/(1-intformal(a)));n!*polcoeff(a,n))}/*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*/
(哈斯克尔)
a000312 n=n ^n
a000312_list=zipWith(^)[0..][0..]--莱因哈德·祖姆凯勒,2012年7月7日
(Python)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000107号,A000169号,A000272号,A001372号,A007778号,A007830号,A008785美元-A008791号,A019538年,A048993号,A008279号,A085741号,A062206型,A212333型.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A339067型
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| 行读取的三角形:T(n,k)是具有n个节点和k个根树的线性森林的数量。 |
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+10 11
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 20, 30, 25, 14, 5, 1, 48, 74, 69, 44, 20, 6, 1, 115, 188, 186, 133, 70, 27, 7, 1, 286, 478, 503, 388, 230, 104, 35, 8, 1, 719, 1235, 1353, 1116, 721, 369, 147, 44, 9, 1, 1842, 3214, 3651, 3168, 2200, 1236, 560, 200, 54, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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T(n,k)是n个节点以两个互不可交换的节点为根,彼此之间距离为k-1的树的数量。
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始:
1;
1, 1;
2, 2, 1;
4, 5, 3, 1;
9, 12, 9, 4, 1;
20, 30, 25, 14, 5, 1;
48, 74, 69, 44, 20, 6, 1;
115, 188, 186, 133, 70, 27, 7, 1;
286, 478, 503, 388, 230, 104, 35, 8, 1;
719, 1235, 1353, 1116, 721, 369, 147, 44, 9, 1;
...
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MAPLE公司
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b: =proc(n)选项记忆`如果`(n<2,n,(加上(d*b(d),
d=数值[除数](j))*b(n-j),j=1..n-1))/(n-1))
结束时间:
T: =proc(n,k)选项记忆`如果`(k=1,b(n),(t->
加(T(j,T)*T(n-j,k-T),j=1..n-1))(iquo(k,2))
结束时间:
seq(seq(T(n,k),k=1..n),n=1..12)#阿洛伊斯·海因茨2020年12月4日
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数学
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b[n]:=b[n]=如果[n<2,n,(总和[d*b[d],{d,除数[j]}]*b[n-j],{j,1,n-1}])/(n-1)];
T[n_,k_]:=T[n,k]=如果[k==1,b[n],其中[{T=商[k,2]},和[T[j,T]*T[n-j,k-T],{j,1,n-1}]];
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黄体脂酮素
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树Gf(N)={my(A=向量(N,j,1));对于(N=1,N-1,A[N+1]=1/N*和(k=1,N,sumdiv(k,d,d*A[d])*A[N-k+1]);x*Ser(A)}
列序列(n,k)={my(t=TreeGf(max(0,n+1-k));向量(t^k,-n)}
M(n,M=n)=Mat(向量(M,k,列序列(n,k)~))
{my(T=M(12));对于(n=1,#T~,print(T[n,1..n]))}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A000243号
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| 具有n个节点的树的数量,其中2个已标记。 (原M2803 N1128)
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+10 9
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1, 3, 9, 26, 75, 214, 612, 1747, 4995, 14294, 40967, 117560, 337830, 972027, 2800210, 8075889, 23315775, 67380458, 194901273, 564239262, 1634763697, 4739866803, 13752309730, 39926751310, 115988095896, 337138003197
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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参考文献
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J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第138页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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b: =proc(n)选项记忆;如果n<=1,则n另外加上(k*b(k)*s(n-1,k),k=1..n-1)/(n-1)fi结束:s:=进程(n,k)选项记住;加法(b(n+1-j*k),j=1..iquo(n,k))结束:b:=proc(n)选项记忆;加法(b(k)*x^k,k=1..n)结束:a:=n->系数(级数(b(n-1)^2/(1-b(n-1)),x=0,n+1),x,n):序列(a(n),n=2..27)#阿洛伊斯·海因茨2008年8月21日
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数学
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b[n_]:=b[n]=如果[n<=1,n,和[k*b[k]*s[n-1,k],{k,1,n-1}]/(n-1)];s[n_,k_]:=s[n,k]=和[b[n+1-j*k],{j,1,商[n,k]}];B[n_]:=B[n]=和[B[k]*x^k,{k,1,n}];a[n]:=系数[级数[B[n-1]^2/(1-B[n-1'),{x,0,n+1}],x,n];表[a[n],{n,2,27}](*Jean-François Alcover公司,2012年1月25日,翻译自枫叶*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A008295年
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| 按行读取的三角形:T(n,k)是带有n个顶点的部分标记根树的数量,其中k个被标记,0<=k<=n。 |
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+10 9
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 5, 9, 9, 4, 13, 34, 64, 64, 9, 35, 119, 326, 625, 625, 20, 95, 401, 1433, 4016, 7776, 7776, 48, 262, 1316, 5799, 21256, 60387, 117649, 117649, 115, 727, 4247, 22224, 100407, 373895, 1071904, 2097152, 2097152
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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T(n,k),其中n计算顶点,0<=k<=n计算标签-肖恩·欧文2018年3月22日
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参考文献
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J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第134页。
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链接
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配方奶粉
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例如:r(x,y)=T(n,k)*y^k*x^n/k!满足r(x,y)*exp(r(x))=(1+y)*r(xA000081号. -肖恩·欧文2018年3月22日
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例子
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三角形以T(0,0)开头:
否0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 2
3 2 5 9 9
4 4 13 34 64 64
5 9 35 119 326 625 625
6 20 95 401 1433 4016 7776 7776
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数学
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m=9;r[_]=0;
Do[r[x_]=x Exp[Sum[r[x^k]/k,{k,1,j}]]+O[x]^j//正常,{j,1,m}];
r[x_,y_]=-产品日志[(-E^(-r[x]))r[x]-(r[x]y)/E^r[x4];
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A303833型
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| 双根树:在2个不可区分的根上有n个节点的未标记树的数量。 |
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+10 8
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0, 1, 2, 6, 15, 43, 116, 329, 918, 2609, 7391, 21099, 60248, 172683, 495509, 1424937, 4102693, 11830006, 34148859, 98686001, 285459772, 826473782, 2394774727, 6944343654, 20151175658, 58513084011, 170007600051, 494230862633
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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a000081:=[1、1、2、4、9、20、48、115、286、719、1842、4766、12486、32973、87811、235381、634847、1721159、4688676、12826228、35221832、97055181、268282855、743724984、2067174645、5759636510、16083734329、45007066269、126186554308、354426847597];
g81:=加法(op(i,a000081)*x^i,i=1..nops(a000082));
克:=0;
nmax:=nops(a000081);
对于从0到nmax的m do
mhalf:=地板(m/2);
ghalf:=g81^(mhalf+1);
gcyc:=(ghalf^2+subs(x=x^2,ghalf))/2;
如果类型(m,奇数),则
gcyc:=gcyc*g81;
结束条件:;
g:=g+gcyc;
结束do:
泰勒(g,x=0,nmax);
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黄体脂酮素
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树Gf(N)={my(A=向量(N,j,1));对于(N=1,N-1,A[N+1]=1/N*和(k=1,N,sumdiv(k,d,d*A[d])*A[N-k+1]);x*Ser(A)}
序列(n)={my(t=TreeGf(n),t2=subst(t,x,x^2)+O(x*x^n));向量((2*t^2-1)/(1-t)+(1+t)/(1-t2),-n)/2}\\安德鲁·霍罗伊德2020年12月4日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A214568型
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| 按行读取的三角形:T(n,k)是将悬垂边添加到T(1<=k<=n)的顶点时,具有n个顶点的有根树T的数量,生成具有n+1个顶点的k个不同有根树。 |
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+10 4
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 3, 0, 1, 1, 6, 6, 6, 0, 1, 3, 7, 11, 14, 12, 0, 1, 1, 11, 16, 29, 32, 25, 0, 1, 3, 11, 26, 46, 72, 75, 52, 0, 1, 2, 16, 27, 79, 122, 182, 177, 113, 0, 1, 3, 18, 42, 101, 217, 336, 457, 420, 247, 0, 1, 1, 20, 47, 149, 303, 621, 911, 1160, 1005, 548
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,10
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评论
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第n行包含n个条目。
和{k=1..n}T(n,k)=A000081号(n) =具有n个顶点的根树数。
T(n,3)=A032741号(n-1)=n-1的真除数;如果d是n-1的真除数(=边数),则考虑d个具有(n-1)/d边、根阶为1、高度为2的相同根树,并确定它们的根。
二元g.f.可以用Harary-Robinson的等式(4.2)计算-R.J.马塔尔2015年9月16日
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链接
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配方奶粉
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二元g.f.T(x,y)=x*y*Product_{p>=1}Product_{k=1..p}(1+x^p*y^k/(1-x^p))^。这允许通过从T(x,y)=x*y(p=1)开始,并将每行的p增加1来增量计算序列中的行-肖恩·欧文2017年10月10日
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例子
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三角形开始:
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0、1、1、2;
0、1、2、3、3;
0, 1, 1, 6, 6, 6;
0, 1, 3, 7, 11, 14, 12;
0, 1, 1, 11, 16, 29, 32, 25;
第4行是0,1,1,2,因为具有4个顶点的四根树会生成具有5个顶点的2,3,4和4根树。
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A246860型
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| 迹(O)^(2n)的期望值,其中O是根据Haar度量随机选择的4X4正交矩阵。 |
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+10 4
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1, 3, 15, 105, 903, 8778, 92235, 1023165, 11821953, 141061206, 1727926291, 21634600078, 275950576450, 3576315994020, 46995014634435, 625082431593285, 8403885851894445, 114069364107664350, 1561609592248119645, 21543838447412548410, 299299110959202973710
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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A246860型:=proc(n)return(1/8)*积分。。2*Pi),x=0。。2*Pi)/Pi^2+(1/2)*积分((1-cos(z)^2)*(2*cos(z))^(2*n),z=0。。2*Pi)/Pi结束进程;序列(A246860型(n) ,n=1。。21);
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数学
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a[n_]:=a[n]=(1/8)*积分[积分[(Cos[x]-Cos[y])^2*(2Cos[x]+2Cos[y];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000524号
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| 具有n个节点的根树的数量,其中2个已标记。 (原名M1927 N0761)
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+10 三
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2, 9, 34, 119, 401, 1316, 4247, 13532, 42712, 133816, 416770, 1291731, 3987444, 12266845, 37627230, 115125955, 351467506, 1070908135, 3257389088, 9892759091, 30002923380, 90879555521, 274963755791, 831064788976
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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参考文献
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J.Riordan,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第134页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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b: =proc(n)选项记忆;如果n<=1,则n另外加上(k*b(k)*s(n-1,k),k=1..n-1)/(n-1)fi结束:s:=进程(n,k)选项记住;加法(b(n+1-j*k),j=1..iquo(n,k))结束:b:=proc(n)选项记忆;加法(b(k)*x^k,k=1..n)结束:a:=n->系数(级数(b(n-1)^2*(2-b(n-l))/(1-b(n-1))^3,x=0,n+1),x,n):序列(a(n),n=2..25)#阿洛伊斯·海因茨2008年8月21日
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数学
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b[n_]:=b[n]=如果[n<=1,n,和[k*b[k]*s[n-1,k],{k,1,n-1}]/(n-1)];s[n_,k_]:=s[n,k]=和[b[n+1-j*k],{j,1,商[n,k]}];B[n_]:=B[n]=和[B[k]*x^k,{k,1,n}];a[n]:=系数[级数[B[n-1]^2*((2-B[n-1')/(1-B[n-1)^3),{x,0,n+1}],x,n];表[a[n],{n,2,25}](*Jean-François Alcover公司,2012年12月20日,翻译自阿洛伊斯·海因茨的Maple程序*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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