癌症扩散是一个动态过程，不仅在时间上发生，而且在空间上也发生，至少对于实体肿瘤来说，可以通过反应和扩散方程以双稳态行为进行定量建模：肿瘤细胞定植发生在部分组织中并传播，但在某些情况下该过程会停止。在许多数学模型中，这样的癌症增殖/灭绝动力学是作为复杂相互作用生物场的极限而获得的。在本文中，我们采用双稳态单个肿瘤细胞动力学方程。对反应扩散理论进行了数值和分析研究，然后进行了扩展，以便与基于多孔介质方程的生态模型类似地考虑癌症进展中的扩散效应。本文讨论了这种方法在现有脑癌进展研究中解释和预测肿瘤发展的可能意义。本文讨论了连续体模型在连接两种主要的癌症解释理论（一旦以适当的数学术语形式化）方面的潜在作用。

我们开发了一个构造混合多尺度有限体积的框架多孔介质中流动产生的多尺度椭圆方程的方法。使用该框架开发的一些方法已经为人所知[20]；其他都是新的。对已知方法和额外灵活性有了新的见解是由新方法提供的。我们以均匀分布上的混合MsFV为例二维网格。该方法使用新的多尺度速度基函数用于使用全局信息，这通常是提高具有强非局部特征的连续尺度下的多尺度模拟。该方法有效地捕捉了粗糙网格上的微小影响混合MsFV并应用于求解非均质多孔介质中的两相流方程媒体。数值例子证明了所提出的方法的准确性和有效性不可分离和可分离多孔介质中流动的建模方法规模。

MUPHY的并行实现，MUPHY是一种用于针对多GPU平台，以解剖逼真的几何图形进行了大规模血液动力学模拟。性能测试显示出优异的结果线性并行加速高达32GPU，GPU/CPU加速超过10倍，所有GPU都可以实现。基本的MUPHY方案结合了血浆的流体动力学（Lattice Boltzmann）表示，以及悬浮生物体（如红细胞）的粒子动力学处理。最好的据我们所知，这是为多尺度/物理并行粒子动力学应用程序制定一般设计原则的第一次努力在非理想几何中。这将MUPHY的当前多GPU版本配置为用于多尺度/物理的高性能并行代码的首批示例之一生物流体在实际复杂几何形状中的应用。

三维多物理两相输运模型的数值方法本文对质子交换膜燃料电池（PEMFC）进行了研究。由于多相区共存，标准有限元/有限体积法可能无法获得两相输运模型的收敛非线性迭代质子交换膜燃料电池[49，50]。通过引入基尔霍夫变换技术和有限元-迎风有限体积组合方法，我们有效地实现了该多相多物理PEMFC模型的快速收敛和合理解。数值实现是通过使用一种新型的自动有限元/有限元卷程序生成器（FEPG）。借助高级算法描述语言（脚本）、组件编程和人类智能技术，FEPG可以快速生成用于PEMFC模拟的有限元/有限体积源代码。因此，人们可以专注于高效的算法研究，而不会被有限元/有限体积法的繁琐计算机编程。数值上的成功证实了FEPG是算法研究和三维多物理PEMFC模型的软件开发，该模型具有多组分和多相机制。

提出了九点二维模板的高阶紧致格式对于球极坐标下不可压缩Navier-Stokes（NS）方程的定常流函数涡度形式，早期仅用于笛卡尔几何和圆柱几何。将稳态、不可压缩、粘性和轴对称的球体绕流用作模型问题。N-S中的非线性方程以综合的方式处理，避免了计算中的复杂性。该方案与多重网格方法相结合以增强收敛性费率。这些解是在使用变换r=e生成的非均匀网格上获得的^ξ同时在计算平面上保持均匀的网格。这个通过比较清楚地说明了高阶紧致格式的优越性采用迎风格式和高雷诺数下的缺陷修正技术获取一个大域。这是一项开创性的努力，因为第一次，第四次给出了粘性绕球流动问题的阶精度解在这里。计算阻力系数和表面压力，并与可用的实验和理论结果。可以观察到，使用本方案在较粗网格上模拟的这些值与其他常规方案。还观察到，最初的流动分离Re=21时发生。

本文扩展了Tang提出的自适应移动网格方法以及Tang[36]到二维（2D）相对论流体动力学（RHD）方程。该算法由两个“独立”部分组成：RHD的时间演化方程和（静态）网格迭代重新分布。在第一部分中，RHD在固定网格上使用高分辨率有限体积格式离散方程但非均匀网格没有控制方程的完全特征分解。第二部分是迭代过程。在每次迭代中，网格首先重新分配点，然后再重新分配保守变量的单元格平均值以保守的方式重新映射到新网格上。几个数值示例通过实例验证了该方法的准确性和有效性。

本文主要研究退化各向异性椭圆问题的数值逼近。该数值方法适用于任意空间相关各向异性方向，不需要任何特殊的坐标系。它在强各向异性和弱各向异性情况下也同样精确。该方法适用于漂移流体极限下的欧拉-洛伦兹系统。该系统为磁化等离子体提供了一个模型。

我们考虑设计一个有效可靠的自适应有限元非线性泊松-玻耳兹曼方程（PBE）的方法（AFEM）。我们首先研究了Chen、Holst和Xu最近提出的基于去除生物分子内部奇异静电势的连续问题的二项正则化技术；这项技术使第一项技术的发展成为可能泊松-玻耳兹曼方程的完全解和近似理论首次证明收敛的离散化，并允许开发可证明收敛的AFEM。然而，在实际实现中，这两项正则化表现出数值不稳定性。因此，我们研究了这个变量正则化技术，该技术可以被证明不太容易受到这种不稳定性的影响。我们建立先验的连续正则化的估计和其他基本结果问题，以及Galerkin有限元近似。我们展示了新的该方法产生的正则化连续和离散问题具有与原始正则化相同的数学优势。然后我们设计了一个AFEM方案对于新的正则化问题，通过证明误差的压缩结果，表明所得到的AFEM格式是准确可靠的。这个结果是这类非线性椭圆问题的第一个结果之一是基于使用连续和离散先验的 L（左）^∞估计。提供高质量的几何图形模型作为AFEM算法的输入，我们还描述了一类特征表示为构造网格而专门设计的自适应网格生成算法基于分子固有局部结构张量的生物分子结构表面。本文中描述的所有算法都在UCSD开发和维护的有限元工具包（FETK）中实现。稳定性优势通过比较，用FETK演示了新正则化方案的用原正则化方法求解模型问题。融合和整个AFEM算法的准确性也通过数值逼近进行了说明胰岛素蛋白的静电溶剂化能。

我们提出了一种基于四面体网格的三维预处理隐式自由曲面捕捉方案。当前方案在几个方面改进了我们最近报告的方法[10]。具体来说，我们通过应用预处理矩阵修改了原始特征系统，使新特征系统几乎与密度比无关，密度比对于实际两相问题来说通常很大。此外，我们将显式多级Runge-Kutta方法替换为用于Navier-Stokes（NS）解算器的全隐式Euler积分格式，现在用二阶Crank-Nicolson隐式格式求解流体体积（VOF）方程，以减少数值扩散效应。然后使用预处理重启广义最小剩余法（GMRES）求解所得线性系统。验证研究表明，通过这些改进，该方法在处理大密度比两相流问题时提高了稳定性和准确性。

我们研究了一种离子型聚合物-金属复合材料（IPMC）模型，该模型由泊松方程和能斯特-普朗克方程的耦合系统组成，并通过有限元方法进行了离散。我们表明，由于问题的瞬态特性，使用能够及时动态改变网格的自适应算法是有效的。我们还表明，由于两个解分量之间存在很大的定性和定量差异，使用一种新的自适应多网格在不同的网格上对它们进行近似是有效的马力-有限元法。该研究伴随着自适应多重网格的大量计算和比较马力-FEM和其他几种自适应FEM算法。