在本文中，我们详细介绍了在三维非结构混合元上构造任意高阶格式（线性和WENO）的方法由一般凸多面体单元组成的网格。该方法是定制的专门用于求解标量水平集方程，用于不可压缩两相流问题。众所周知，在三维非结构化网格上构造WENO格式非常困难，因为它涉及到更高的复杂性而不是2D方法。这是由于额外维度引入了多重几何考虑，特别是在混合元素网格上。因此，我们专门开发了许多算法来处理混合元素网格由具有凸多边形面的凸多面体组成。这个的贡献工作涉及几个感兴趣的领域：改进方法的制定在3D中，通过最大限度地利用预处理操作，生成处理复杂三维混合元素网格的新方法，最后将该方法应用于标量水平集的传输。

标准晶格玻尔兹曼方法最严重的限制是使用统一的笛卡尔网格，尤其是在需要高分辨率时身体或墙壁。在晶格玻尔兹曼研究处理复杂几何形状的最新进展中，一个特别显著的选择是改变从最初的“流与碰撞”到有限体积技术的求解过程。然而，大多数提出的方案都存在稳定性问题。这篇论文基于以细胞为中心的方案。为了提高稳定性，在D2Q9晶格上使用迎风二阶压力偏置因子作为通量校正器。生成的模型已经过测试针对均匀流通过圆柱体和典型自由剪切流问题中等雷诺数：边界层、混合层和平面射流。这个数值结果显示了很好的精度，并与精确解相一致Navier-Stokes方程和以前的数值结果和/或实验结果数据。对自相似坐标下的结果也进行了研究，表明速度和涡度的时间平均统计表示低雷诺数下的自相似性数字。此外，该方案还被用于模拟圆形绕流圆柱体和雷诺数范围的选择应确保流量为时间依赖。数值结果与以往结果吻合良好。

我们耦合了不同的流动模型，即Navier-Stokes方程的有限元解算器和格子Boltzmann自动机，使用Peano框架作为共同基础。细观和宏观求解器之间的新耦合策略在二维通道流动场景中进行了演示和验证。结果良好与Latt等人在类似工作中获得的理论和结果一致。此外，测试场景表明，与纯方法相比，耦合方法的稳定性有所提高格子Boltzmann模拟。

本文对量子重粒子与轻粒子的散射引起的退相干效应进行了数值研究。用时间分裂法求解含时两粒子薛定谔方程。数值估计了重粒子密度矩阵非对角项所经历的阻尼，以及Joos-Zeh近似公式中的误差。 

我们考虑了一个非标准混合方法来求解Stokes问题R（右）^n个，n∈{2,3}，使用Dirichlet边界条件，其中，在使用不可压缩条件消除压力后，伪应力张量σ和速度矢量u个成为唯一的未知数。然后，我们应用Babuška-Brezzi理论证明了相应的连续和离散公式的适定性。特别地，我们证明了σ的k阶Raviart-Thomas元≥0，以及u个确保相关Galerkin格式的唯一可解性和稳定性。此外，我们还介绍并分析了伪应力-速度公式的一种增广方法。所采用的方法基于引入本构方程和平衡方程产生的Galerkin最小二乘型项，以及速度的Dirichlet边界条件，所有这些都乘以合适的稳定参数。我们证明了可以选择这些参数，从而使得到的增广变分公式定义为强强制双线性形式，从而使相关的Galerkin格式对于任何有限元子空间的选择都是适定的。例如，σ的k≥0阶Raviart-Tomas元素和σ的k+1阶连续分段多项式u个在这种情况下成为一个可行的选择。最后，在这种情况下成为一个可行的选择。最后，提供了大量的数值实验，说明了该方法的良好性能，并将其与文献中可用的其他程序进行了比较。

轨道自由密度泛函理论是一种量子力学材料能量仅取决于电子密度和离子位置。我们研究了一些常用的优化电子的算法OFDFT中的密度分布，解释其适用性，对其性能进行基准测试，并提出一些改进建议。我们首先描述约束包含电子密度优化的优化问题。接下来，我们讨论线性搜索（包括Wolfe条件）和非线性共轭梯度和截断牛顿算法，如我们的开源OFDFT代码中所实现的。最后，我们重点讨论了由OFDFT能量泛函导出的预条件子。新推出的预条件器适用于所有大小的无区域模拟细胞低电子密度和具有此类区域的小型模拟电池。

本文基于Boltzmann动力学方程的数值解和模型碰撞积分，建立了一个有效的确定性三维稀薄气体流动建模框架。这个框架由一个高精度隐式平流格式组成非结构化网格、模型碰撞积分计算的保守过程以及在并行机上的高效实现。主要应用程序所建议方法的领域是微尺度流动。在稀薄气体流经有限长圆管的情况下，验证了该方法的性能。结果表明，该算法在所有流型和它的高效性和卓越的并行可扩展性，可支持多达512个内核。

我们发展了一个稳定的三维有限差分近似粘弹性波动方程。材料模型是N标准的超级组合线性固体机制，通常在地震学中用于模拟材料该方案使用3N个记忆变量离散二阶位移公式中的控制方程，使得它比常用的一阶速度-应力公式具有更高的记忆效率。新方案是我们的能量守恒有限元的推广二阶弹性波方程的差分格式[SIAM J。数字。分析。，45（2007），第1902–1936页]。我们的主要结果是证明了离散化是能量稳定的，即使在材料性质可变的情况下也是如此。这个证明依赖于离散化的逐部分求和性质。新方案通过界面上挂起节点的网格细化实现。数字实验验证了新方案的准确性和稳定性。使用了半空间问题和半空间上LOH.3层问题的半分析解演示粘弹性机制的数量和网格分辨率影响准确性。我们发现通常有三种标准线性固体机构足以使建模误差小于离散化误差。

本文基于边界积分方程和新版本的快速多极子方法，发展了一种高效的数值方法来求解有限元中位错相关应力场的边值问题中等。给出了数值例子来检验材料的影响位错上的边界。

扩散调节（DR）的概念最初由Jaisankar，用于传统的二阶有限体积Euler解算器。这是用来减少与使用近似黎曼解算器相关的固有耗散。本文将上述概念推广到高阶谱体积（SV）方法。DR公式与Rusanov通量一起用于处理无粘通量项。进行了数值实验以比较和对比原始配方和DR配方。这些实验证明（i）保持新配方的高精度，（ii）DR的更高保真度公式，当与所有阶的原始方案进行比较时，以及（iii）直接扩展到Navier-Stokes方程，因为DR不干扰粘性通量的离散化。一般来说，二维数值结果非常这表明该方法在三维流动问题中具有很大的潜力。

本文提出了一种使用双层集变分公式的选择性分割模型。我们的变分模型旨在用一个水平集函数（全局）分割所有对象，用另一个水平集中（局部）分割最接近几何约束（标记）的选定对象。它是边缘检测、标记距离函数和无边缘活动轮廓的组合。实验结果表明，我们的模型比以前的工作更加稳健

在我们之前的研究中，高阶（三阶或更多）数值方法引入了“静态重建”和“动态重建”的概念工作。基于这一概念，发展了一类混合DG/FV方法对于一维守恒定律，使用“混合重建”方法，以及扩展到三角形和笛卡尔/三角形上的二维标量方程混合电网。在混合DG/FV格式中，分段多项式的低阶导数通过传统DG方法（称为作为“动态重建”），而高阶导数由FV方法的“静态重建”，使用已知的低阶导数在细胞本身及其相邻细胞中。在本文中，混合DG/FV将该格式推广到三角网格和笛卡尔/三角混合网格上的二维欧拉方程。给出了一些典型的测试用例来演示DG/FV混合方法的性能，包括具有精确解的标准涡演化问题、等熵涡/弱激波相互作用、，亚音速跨音速流过圆柱和三元翼型（30P30N）流经NACA0012翼型的气流。精度研究表明，混合DG/FV该方法达到了预期的三阶精度，应用表明它们可以准确地捕获流结构，并可以减少CPU时间和与相同阶数的传统DG方法相比，内存需求大大增加准确性。

本文提出了一种求解Navier-Stokes方程的非结构节点谱元方法。该方法基于三角形和四面体有理逼近和一个易于实现的节点基，它充分享受张量积性质。它允许任意三角形和四面体网格，在处理复杂域时提供更大的灵活性，同时保持所有基本的常用光谱元素法的特点。实施细节和给出了一些数值算例，验证了该方法的有效性和灵活性提出的方法。