研究了用于模拟聚合物电解质膜燃料电池催化剂层的孔尺度模型的数值方面。通过对一系列纳米结构、计算重建的催化剂层样品进行并行有限体积模拟，考虑了热、质量和荷电物种传输以及反应动力学的耦合。通货紧缩作为第二阶段预条件的有效性通常会提高收敛性，并导致比更复杂的第一阶段预条件更好的收敛行为。这种行为归因于这样一个事实，即两级预处理器在每次重新启动GMRES时更新预处理矩阵，减少了使用单级预处理器时在重新启动的GMRES中常见的失速效应。此外，压缩预处理器的有效性与处理器数量无关，而局部块ILU预处理器的质量随着处理器数量的增加而下降。收敛所需的GMRES搜索方向总数因预处理剂而异，但也取决于催化剂层微观结构，低孔隙率微观结构需要较少的迭代次数。改进的模型和数值求解策略应允许对更大的计算域进行模拟，并提高预测传输参数的可靠性。本文中提出的预处理策略具有可扩展性，对于涉及非线性方程的其他问题的大规模并行模拟应该是有效的。

研究了无界空间域上非线性波动方程爆破问题的数值解。应用基于算子分裂方法的统一方法，构造了非线性波动方程的有效非线性局部吸收边界条件，并将无界空间域上的非线性问题简化为有界域上的初边值问题。然后用有限差分法在有界计算域上求解约化问题。最后，给出了一系列数值例子来证明我们方法的有效性和准确性，并观察到非线性波动方程爆破问题的一些有趣的传播和行为。

高阶方案的开发主要集中在限制器和高阶重建技术。在本文中将研究通量函数对高阶格式性能的影响。基于相同的WENO重建，将比较具有不同通量函数的两种方案，即五阶WENO方法和WENO-Gas-动力学方案（WENO-GKS）。五阶有限差分WENO-SW格式是一个特征变量基于重构的方法，对无粘项使用Steger-Waring通量分裂，对粘性项使用六阶中心差分，对时间积分使用三阶段Runge-Kutta时间步进。另一方面，有限体积WENO-GKS是一种基于保守变量重建的方法WENO重建。但它评估了与时间相关的气体分布函数并通过以下方式更新每个控制体积内的流量变量沿两个空间中控制体边界积分通量函数和时间。为了验证方案的稳健性和准确性，两种方法都在广泛的流动条件下进行了测试：涡流传播、马赫数3台阶问题，以及雷诺数为3200时的空腔流动。我们的研究表明WENO-SW和WENO-GKS都得出了定量相似的结果，并且与如果使用了足够的网格分辨率，则彼此之间的关系非常好。随着网格点的减少，WENO-GKS表现出较少的数值耗散和在所有测试用例中，提供比WENO-SW更准确的解决方案。对于Navier-Stokes方程，因为WENO-GKS耦合了无粘和粘性项在单通量评估中，WENO-SW使用算子分裂技术似乎WENO-SW对WENO重建和边界处理更敏感。就效率而言，有限体积WENO-GKS约为4倍在二维模拟中比有限差分WENO-SW慢。当前的研究清楚地表明，除了高阶重建外，高阶格式中的准确气体演化模型或通量函数对捕获物理解也很重要。在物理流中，输运、应力变形、热传导和粘性加热都耦合在一个单一的气体演化过程中。因此，建议开发一个多维的方案，统一处理无粘项和耗散项。高阶方案确实更喜欢高阶方案气体演化模型。即使随着高阶重建技术的迅速发展，黎曼解的一阶动力学也成为高阶格式的进一步发展。为了避免低阶通量函数，高阶格式的发展在很大程度上依赖于附加度更新原控制方程的弱解自由度，例如流量变量的非保守梯度，不能在不连续区域中物理有效。

$\mathcal{H}（div）$协调三角形和构建四面体元素的目的是改善质量和刚度矩阵。对于带有三角形单元的基，从数值上发现，在四阶近似下，条件是可以接受的，并且优于Sabine Zaglmayr【电磁场计算的高阶有限元方法，Johannes Kepler】在论文中的相应基础林茨大学，2006年]。新构造的质量矩阵的稀疏性基础和Zaglmayr的基础对于四阶近似是相似的。使用新基的刚度矩阵比使用基的矩阵稀疏得多Zaglmayr，用于四阶近似。对于四面体单元，从数值上可以确定，只有在近似第三道菜。与新构造的三角形单元基础相比，四面体单元的质量矩阵相对稀疏更稀疏。

尽管轨迹分段线性（TPWL）模型降阶（MOR）对于非线性电路具有很高的效率，但对于大规模非线性电路，它需要大量的扩展点。这将不可避免地增加模型大小以及由此减少的宏模型的模拟时间。本文提出了一种用于非线性电路模型降阶的子空间TPWL-MOR方法。子空间TPWL-MOR通过将高维状态空间分解为几个低维的子空间，在减少扩展点数量以及增加降阶模型在状态空间中的有效区域方面具有很好的优势。因此，可以大大提高TWPL模型的尺寸和精度。数值结果表明，与传统的TPWL-MOR方法相比，使用子空间TPWL-MOR方法大大减小了模型尺寸，并提高了精度。

针对有限域中的浅水方程，采用严格方法导出了一组新的边界条件。本文的目的是介绍这些边界条件，并报告使用这些边界条件进行的数值模拟。新的边界条件是适度耗散的，可以让波浪在区域内外自由移动。所考虑的问题包括两层流体的一维浅水系统和矩形中的二维无粘浅水系统。

提出了一种用直接模拟蒙特卡罗方法模拟定常流动的新方法。其想法是为气体混合物的每个成分指定单独的时间步长。该方法主要包括对碰撞阶段模拟的修改和对时间步长比选择的建议。它可以降低不同分子碰撞直径和/或不同分子质量情况下对计算资源的要求。这些情况很重要，例如在真空沉积技术中。几乎没有对新方法进行测试。最后，在银沉积实验条件下，对银纳米团簇在氩气载气中的扩散问题进行了验证。

提出了一种求解MHD方程边界最优控制的新方法，将边界控制问题转化为扩展的分布式控制问题。这可以通过考虑提升函数形式的边界控制来实现，提升函数从边界延伸到内部。然后通过探索所有可能的扩展函数来寻求最优解。该方法对边界控制算法具有鲁棒性，边界控制算法可以通过域内部的标准分布式控制技术进行求解。

本文提出并分析了H（div）-椭圆问题的内罚间断Galerkin方法。证明了能量范数下的最优先验误差估计。此外，还获得了基于残差的后验误差估计量。在能量范数下证明了该估计量的可靠性和有效性。通过数值试验验证了该方法的有效性。

对Schwarz波形松弛（SWR）算法进行了深入研究广泛用于常规时间相关问题。但对于时延问题，对算法的完整分析很少。本文利用反应扩散作为基本模型问题，我们研究了具有Robin传输条件的重叠SWR算法的收敛性。使用此传输条件的关键点是确定一个自由参数，并且表明参数的最佳选择取决于一个min-max问题的解，该问题比经常出现的问题会毫不拖延地出现。我们提出新的概念来解决min-max问题，并获得参数的准优化选择，即证明了SWR算法在加速收敛方面的有效性。数值结果为验证理论结论提供了依据。

“模拟重力形式主义”是过去发展起来的一种跨学科理论方案，用于通过有效的相对论弯曲时空研究几个非相对论经典和量子系统，本文将其应用于固体力学非线性理论所描述的大变形弹性体。假设弹性材料的最简单非线性本构关系由Kirchhoff-St-Venant应变能密度函数给出，如果变形是纯纵向的并且仅依赖于一个空间坐标，则可以为扰动编写有效的时空度量。在选定的情况下对相应的动力学进行了理论和数值研究，最后讨论了所得结果的物理含义。

本文研究了二维（2D）Ginzburg-Landau方程（GLE）中无量纲参数ε>0在Dirichlet或齐次有界区域上的数值量子化涡旋动力学及其相互作用诺依曼边界条件。我们首先回顾简化动力学定律GLE中量子化涡旋中心的时间演化，并展示如何解决这些问题非线性常微分方程数值解。然后我们展示高效和矩形或圆盘上离散GLE的精确数值方法Dirichlet或齐次Neumann边界条件下的区域。基于利用这些有效而精确的GLE数值方法和简化的动力学定律，我们模拟了不同ε和ε下GLE的量子化涡旋相互作用不同的初始设置包括单涡、涡对、涡偶极子和涡格，将它们与从相应的约化动力学定律中获得的结果进行比较，并确定约化动力学律定性一致的情况和/或在数量上与GLE关于涡旋相互作用的结果不一致。最后，我们还从数值上获得了有界区域上GLE动力学下的量子化涡旋晶格。