我们提出了一种基于有限体积的以细胞为中心的方法来解决扩散问题具有广义张量传导的三维非结构网格上的方程。我们的主要动机是对流体之间的耦合进行数值模拟流动和传热。相应的数值格式的特征是以细胞为中心的未知数和局部模板。也就是说，该方案导致全局稀疏扩散矩阵，仅耦合以细胞为中心的未知项。空间离散化依赖于将多面体单元划分为子单元以及将单元面划分为子面。其特点是引入了子面正常通量和亚表面温度，这是辅助未知数。基于子单元的本构傅里叶定律变分公式允许构造以细胞为中心的亚表面法向热通量的显式近似温度和相邻子面温度。子面消除相对于以电池为中心的温度的温度在每个节点通过求解一个小而稀疏的线性系统。该系统是通过强制在所考虑的节点处，穿过每个子单元界面的法向热流的连续性条件。数字的并行实现对算法及其效率进行了描述和分析。通过各种数值方法评估了所提出的有限体积方法的准确性和稳健性测试用例。

在当前的研究中，二维多弛豫时间（MRT）晶格采用了能够承受高密度比和低粘度的Boltzmann模型模拟液滴撞击弯曲目标。时间变化研究了目标表面北极处的薄膜厚度。三个不同的动力学行为的时间阶段，即初始跌落变形阶段，再现了惯性主导相和粘度主导相研究。雷诺数、韦伯数和伽利略数对研究了薄膜流动动力学。此外，液滴的动力学行为显示了对弯曲目标侧面的冲击，以及接触角的影响，研究了雷诺数和韦伯数。

我们开发了一种求解弹性波的超网格建模技术半有界二维和三维空间域中的方程。在这种方法中，波在远场边界附近的海绵层中减慢并消散。从数学上讲，这相当于转换一个非常大的物理域到更小的计算域，其中弹性波动方程在规则网格上进行数值求解。为了抑制由于坐标映射而导致的低分辨率波动，在计算域边界附近的层中添加了高阶人工耗散算子。通过能量估计，我们证明了超网格建模可以得到稳定的数值能量递减法，适用于非均匀材料特性以及在域的一侧上的自由表面边界条件。我们的空间离散化基于四阶精确有限差分方法，该方法满足分部求和的原则。我们表明，离散能量估计成立当中心有限差分模板与均匀Dirichlet条件在远场边界外的多个鬼点结合时。因此，有限差分模板中的系数只需在附近进行边界修改自由表面。这允许提高计算效率和显著性简化了所提方法在多维中的实现域。三维数值实验表明通过选择足够的宽超网格阻尼层。数值精度首先根据Lamb问题的解析解进行评估，其中四阶精度通过六阶人工耗散。然后我们使用连续的网格细化来研究点力矩张量引起的更复杂运动的数值精度正则层状材料中的源。

用BGK方程和离散速度法（DVM）求解复杂稀薄流需要大量的速度网格点计算成本巨大。我们提出了一种自适应速度网格方法，该方法利用了以下事实：在空间局部，分布函数仅由全球速度网格的子集。由于基于标准，速度网格得到了调整关于局部温度、速度和质量守恒的实施。给出了不同努森数的一维和二维模拟结果，并与全球速度网格BGK解决方案，显示了所提出的方法。

我们提出了一种有限差分鬼点方法来数值求解任意无界线性弹性问题中的Cauchy-Navier方程域。该技术基于平滑坐标变换，该变换映射将无界域转换为单位正方形。任意几何形状由合适的水平集函数定义。方程采用经典的九点模板离散化内部点，而边界条件和高阶重建用于在重影点定义字段变量，重影点是域外部的网格节点域中有一个邻居。由这种离散化产生的线性系统通过多重网格策略解决。然后将该方法应用于火山学中的弹性问题，以计算压力源引起的位移。这个该方法适用于处理震源几何结构经常变化的问题（探索不同场景的效果，或解决几何体本身是未知部分的逆问题），因为它不需要复杂的重设修改几何图形时。成功进行了几个数值试验，评估当前方法的有效性。

结合Karhunen-Loeve展开，提出了一种随机非均匀介质中流动条件模拟的随机方法概率配置法（PCM）。条件对数导水率场用Karhunen-Loeve展开表示确定性函数和一组独立的高斯随机变量。这个通过PCM进行流动模拟中的不确定性传播，它依赖于用于表示流的有效多项式混沌展开响应，如液压头。使用PCM，现有的流量模拟器可以用于非均质多孔介质中流动的不确定性量化考虑了直接测量水力传导率。通过几个地下水流动的数值示例，本研究揭示了该方法能够准确地量化流量响应的不确定性对水力传导率数据进行调节，而与蒙特卡罗模拟相比，计算工作量大大减少。

本文提出了一种改进的Loop细分算法用于研究单个胶囊的变形、两个胶囊之间的流体动力相互作用和胶囊悬浮液在有界剪切中的流体动力扩散流量。采用细分薄壳模型计算在变形过程中弹性胶囊的表面。胶囊曲面是使用改进的Loop细分方案进行近似的，该细分方案保证极限曲面上各处的有界曲率和$C^1$连续性。通过研究球形胶囊在剪切作用下的变形，验证了当前的数值技术流量。还对双凹面胶囊进行了广泛的计算剪切速率和粘度比来研究其动力学。此外，还研究了有界剪切流中两个弹性胶囊之间的流体动力相互作用。根据壁分离距离的不同，分离球形和双凹面胶囊的反向和交叉运动的轨迹分叉点可以是找到。与球形胶囊相比，双凹面胶囊表现出更多交互类型，如旋转和正面碰撞。迎头碰撞导致大的轨迹偏移，这有助于暂停。大量双凹面胶囊在剪切流中的悬浮是还进行了模拟，以显示修改后的方案在大规模运行中的能力长时间模拟。

本文着重于开发高效、三维、，用于冰盖模拟的热力学、非线性Stokes流计算模型。该模型基于[14]中开发的并行有限元模型，其中具有在可变分辨率网格上进行高精度有限元离散的特点。这里，我们添加了一种改进的迭代求解方法，用于处理Stokes问题，一种新的高精度温度有限元解算器方程，以及处理质量守恒的新保守有限体积解算器。结果是一个准确有效的热力冰川数值模型和冰层模拟。我们演示了Stokes解算器的改进效率使用ISMIP-HOM基准实验和格陵兰冰盖的实际测试案例。我们还将我们的模型应用于EISMINT-II基准实验并在结构和非结构化网格。值得注意的是，我们没有发现“冷言冷语”不稳定性的证据当在结构化网格上使用有限差分、浅层近似模型时，观察到这些相同的实验。

一种模拟随机声波前传播的方法给出了声速条件。该方法应用水平集方法求解相反，常相位表面的高频声学Eikonal方程追踪光线。拉格朗日性质通常使全场射线解难以求解重建。水平集方法在固定网格上捕获多值解。使用该模型比蒙特卡罗方法具有优势，因为它可以生成作为随机变量函数的解的表达式。

基于数值证据，在[Commun.Comput.Phys.，3（3）：641-6582008]中，首次对具有正弦电位的一维特征Schrödinger方程，以无穷乘积形式推测了Dirichlet-to-Neumann映射的解析表达式。随后在[J.Comp。物理。，227: 6877-6894, 2008]. 本文给出了Dirichlet-to-Neumann映射的一个证明。

在[SIAM J.Sci.Compute.，35（2）（2013），A1049–A1072]中，一类多域介绍了用于守恒定律的DG和WENO混合方法。该方法的最新应用表明，如果DG通量使用拉格朗日插值作为保守耦合。在这篇后续文章中，我们提出了一种更稳健的方法使用WENO程序在耦合界面构建DG通量重建。基于这种方法，可以很好地克服这种数值不稳定性好。此外，将DG方法与WENO-FD方案耦合的过程对混合网格进行了详细的研究。使用典型的测试案例来证明该方法的准确性以及在使用任意一种方法的灵活性下的稳定性需要保守耦合时的WENO-FD通量或DG通量。