本文提出了一种生成独立样本的方法一般随机变量，连续或离散。该算法是一种扩展它对动力学模拟特别有用其中速率在时间上波动且具有奇异极限，例如等离子体中复合相互作用的模拟。尽管这取决于一些附加要求，新方法易于实现，拒绝次数较少样品，而不是接受-拒绝方法。

我们提出了新的大时间步长方法来计算低弗劳德数限制。为了考虑到典型的多尺度现象出现在地球物理流中非线性通量被分割成线性部分控制引力波和非线性平流。我们建议快速近似线性波在时间和空间中通过真正的多维隐式传播进化算子。另一方面，我们明确地近似非线性平流部分通过特征法或某些标准在时间和空间上数值通量函数。时间积分通过隐式显式（IMEX）实现方法。我们应用IMEX Euler方案，两步龙格-库塔-克兰克-尼科尔森格式，以及半隐式BDF格式，并证明了其渐近保持性低弗劳德数限制中的属性。数值实验证明这些新的大时间步长有限体积格式的稳定性、准确性和鲁棒性关于小弗劳德数。

相对论流中奇点的形成尚不清楚。相对论欧拉方程的光滑解的寿命是有限的；可能的击穿机制是冲击形成，破坏亚发光条件和质量浓度。我们提出了一种新的混合型Glimm/central-upwind相对论流方案。该方案用于数值研究，对于一系列问题，涉及上述哪种机制。

在这项工作中，我们关注不同多项式空间上最小二乘（LS）方法中的各种设计点。这样一个本主题的动机是不确定性量化（UQ）。三种设计要点是考虑了稀疏网格（SG）点、蒙特卡洛（MC）点和准蒙特卡罗（QMC）点。在比较过程中，我们重点关注三个方面：（i） 收敛性；（ii）稳定性，即结果的特性设计矩阵的条件数；（iii）数字噪声时的鲁棒性存在于函数值中。几个经典的高维函数在一起用随机ODE模型进行了测试。数值表明（i）MC采样和QMC采样都引入了低收敛速度，即在所有情况下实现高阶收敛速度，前提是函数具有一定的规律性，并使用了足够的设计点；（ii）SG的使用点仅对极低维问题具有更好的收敛性（假设d≤2）；（iii）QMC点具有确定性，似乎是一个很好的选择高维问题不仅具有更好的收敛性，而且在稳定性的观点。

非线性滤波器问题在通信和信号处理等许多应用中都会出现。常用的数值模拟方法包括卡尔曼滤波法、粒子滤波法等。本文基于通过求解状态方程隐含。数值实验表明，我们的算法是比卡尔曼滤波更精确，比粒子滤波更稳定。

在本文中，我们详细介绍了构建高效接口描述技术-稳健保守水平集（RCLS）-在混合单元非结构网格上模拟多相流质量对机器精度。该方法是专门为行业量身定制的三维非结构化方法允许处理非常复杂的几何图形。此外，我们还特别注意优化精度和计算成本，同时保持数值的稳健性方法。这是通过求解液体体积的传输方程实现的使用多面体网格的WENO格式和添加通量线的分数算法。将所得方法的性能与已建立的方法进行了比较多相数值方法及其捕捉多相物理的能力流在一系列相关的测试用例上进行了演示。最后，RCLS该方法已用于模拟扁平液膜的一次破碎煤油在同向流动的高压气体中。这种准DNS/LES计算是在相关航空发动机条件下对三维混合元件进行非结构化网格。数值结果已经过定性验证理论预测和实验数据。特别是，预期的分手在模拟结果中观察到了流型。最后，计算再现了根据实验数据，通过相关性如实地预测破裂长度。这是走向定量验证的第一步。

在这项工作中，我们关注的是时间分裂傅里叶伪谱Klein-Gordon（KG）方程的（TSFP）离散化，涉及无量纲参数ε∈（0,1]。在非相对论极限状态下，小ε产生高振荡波长为O（ε）的精确解²)及时。背后的关键理念TSFP将时间分割积分器应用于等效的一阶系统，非线性和线性子问题分别在时间和时间上精确可积，傅里叶频率空间。该方法是完全显式的，时间可逆的。此外，我们严格地建立了二阶TSFP的最优误差界对于固定ε=O（1），由于观察到该方案符合三角积分器。作为第二项任务，进行了数值研究在非相对论限额制度中应用TSFP所做的特殊努力，包括致力于了解其时间分辨率和网格划分策略对于O（ε²)-0<ε≪1时的振荡解。这表明该方法具有一致性空间谱精度和渐近O（ε⁻²∆t²)时间离散化误差范围（∆t是指时间步长）。另一方面大多数三角积分器，如久负盛名的Gautschi型积分器在[6]中，是O（ε⁻⁴∆t²). 因此，我们的方法提供了比高振荡区中的Gautschi型积分器。这些结果要么严格或数值计算，对于应用于经典相对论NLS的分裂方案是有效的重新制定。

在马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）模拟中，热平衡量通过包含大量数据的样本集上的集合平均值进行估计相关样本的数量。这些样本是根据概率选择的分布函数，由平衡态的配分函数可知。作为仿真结果的随机误差很大，需要了解集合平均估计值的方差，这取决于样本大小（即集合中样本的总数）和采样间隔（即循环数两个连续样本之间）。虽然大样本减少了差异，它们增加了模拟的计算成本。对于给定的CPU时间通过增加采样间隔，可以大大减少样本量，而如果原始采样间隔为非常小。在这项工作中，我们报告了一些将方差与样本大小和采样间隔。观察并确认了这些结果数字上。这些方差规则是为MCMC方法推导的，但也是有效的对于使用其他蒙特卡罗方法获得的相关样本。主要贡献这项工作包括这些数值观测的理论证明以及导致这些问题的一系列假设。

提出了一种迭代间断Galerkin（DG）方法来求解非线性泊松-玻尔兹曼（PB）方程。我们首先确定一个函数空间，其中非线性PB方程的解通过一系列迭代逼近线性PB方程，而适当的初始猜测和适当的迭代参数使得线性PB方程的解在确定的解决方案空间。对于空间离散化，我们使用直接间断这些线性PB方程的Galerkin方法。更准确地说，我们使用一个当德拜参数λ=O（1）时的初始猜测，以及λ≪1的特殊初始猜测以确保收敛。仔细选择迭代参数以确保存在，迭代的唯一性和收敛性。特别是，迭代步骤可以对于可变的迭代参数进行简化。一维和二维数值结果证明了迭代的准确性和能力λ=O（1）和λ≪1两种情况下的DG方法。的（m+1）阶精度L（左）²H的精度为m级¹ 对于P^米通过数值计算获得了单元。

高阶离散格式在分数阶算子中起着更重要的作用而不是经典的。这是因为通常对于经典衍生品来说，模板高阶离散格式比低阶离散格式宽；但对于分数操作员高阶方案和低阶方案的模板是相同的。然后使用高阶格式求解分数阶方程会导致几乎相同的计算结果成本为一阶方案，但精度大大提高。使用在分数阶线性多步方法中，Lubich得到了ν-阶（ν≤6）近似α-阶导数（α>0）或积分（α<0）[Lubich，SIAM J.Math.Anal。，17，704-719，1986]，由于稳定性问题，获得的方案不能直接应用于含α∈（1,2）的空间分数阶算子求解含时问题。由加权和移位Lubich的二阶离散化方案，见[Chen&Deng，SINUM，arXiv:1304.7425]我们推导了一系列有效的高阶离散化空间分数导数，在那里称为WSLD算子。作为之前的续集工作中，我们进一步为空间分数导数提供了新的高阶格式通过加权和移动Lubich的三阶和四阶离散化。特别地，我们证明了所得到的四阶近似对空间分数阶是有效的衍生产品。并使用相应的格式求解空间分数变系数扩散方程。

提出了双曲型问题的一种新的弱边界方法。我们考虑弱和-by-parts形式的高阶有限差分算子边界条件并推广该技术。新的边界程序是应用于已知数据的扩展域中的边界附近。我们展示了如何为了提高方案的精度，如何修改结果的频谱运算符以及如何在边界处构造非反射特性。这个新的边界程序成本低廉，易于实现，适用于所有数值计算采用弱边界条件的方法，不仅是有限差分方法。给出了证实分析的数值结果。